CC BY
18
УДК 539.4.011.24+539.4.014.11
РЕАЛИЗАЦИЯ ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
© 2003 г. С.Ю. Калашников
Постановка вопроса
В экспериментальных работах [1-3] установлено значительное увеличение предельного напряжения, соответствующего началу текучести материала, при неоднородном распределении напряжений. В [4] подобный феномен объясняется стеснением деформаций сдвига по площадкам скольжения со стороны менее напряженных объемов материала. В [5] показано, что обобщенный критерий пластичности в этом случае может быть записан в форме
Ф(/ 2, I з, g ) = 0,
(1)
В настоящей статье предлагается модификация критерия, аналогичного по форме критерию Мизеса. Получаемые в результате сравнительно простые соотношения позволяют аналитически решать относительно сложные задачи. Применимость условия распространяется на упругопластичные материалы (типа строительных сталей).
Основные соотношения
Будем использовать в качестве меры неоднородности поля напряжений относительный градиент напряженного состояния
где 1213 - инварианты тензора напряжения; g -
некоторая функция градиента напряжений. В [6] отмечается, что влияние градиента на величину предела текучести следует рассматривать как удобный способ описания в рамках механики деформируемого твердо -го тела пластической деформации в неоднородных полях напряжений.
В [7, 8] Г.А. Гениевым и автором настоящей публикации построены инкрементальные условия текучести (от английского слова increment - приращение), показана их реализация в ряде задач и предложена соответствующая модель упругопластического деформирования. Условия представлены в форме критериев Треска и Мизеса с учетом того, что функция g
из (1) определенным образом связана с пределом текучести материала. Считается, что при неоднородном напряженном состоянии материал переходит в пластическое состояние при некотором градиентном напряжении, большем предела текучести - тgr > тy
(или, соответственно, Tgr > Ty, где T - интенсивность касательных напряжений). Это напряжение тем больше, чем более неоднородным является распределение напряжений в окрестности рассматриваемой точки. В качестве меры неоднородности скалярного поля напряжений выбирался модуль градиента напряжения. В соподчиненности с ним устанавливался асимптотический закон изменения градиентного напряжения: не менее предела текучести тy (или Ty) и
не более некоторого максимально возможного для данного материала значения тт (или Tm).
В случаях простых одно- и двумерных задач подобный подход аналитически приводит к результатам в виде разрешающих квадратных уравнений. Их численная реализация дает удовлетворительное совпадение с вышеупомянутыми экспериментальными данными.
gT = grad T/T,
(2)
где grad Т - модуль градиента интенсивности касательных напряжений, причем в системе сферических координат
gradT =
ЭГ_ дг
r 2 sin2 0
(dT Л Эф
дт_ д0
(3)
а в системе цилиндрических координат
gradT =
(эт Л2 1 (ЭТ Л
Эр
Р
Эф
[dT + 1 dz
(4)
Закон изменения градиентного напряжения целесообразно представить в виде
Tgr = ТУ +(Tm - Ty Ьт/(т + gT )•
(5)
Качественно подобные зависимости получены в ряде экспериментальных исследований для сталистого чугуна, мягкой стали и стальных образцов с надрезом. В зависимости (5) ХТ есть некоторая упругая характеристика материала, определяемая экспериментально и имеющая размерность м-1. Отметим, что и в других существующих условиях прочности, использующих относительные градиенты напряжений, применяются характеристики материала, связанные с размерностью длины. Так, в критериях М.А. Легана [9] этот параметр связан с критическим размером дефекта и рассматривается как характерный размер структуры материала. В градиентных критериях хрупкого разрушения В.Д. Харлаба [10] структурный параметр с размерностью длины ассоциируется с представительным масштабом материала. В [3] для стальной балочки высотой поперечного сечения И = 0,06 м при пределе текучести ст = 260 МПа в условиях чистого изгиба получено пре-
2
2
2
2
1
1
+
2
r
2
2
2
+
дельное упругое градиентное напряжение а =341 МПа. В момент перехода к пластическим деформациям
Т = Т8Г = ар/л/3 ; grad Т = grad Т8Г = 2аV3Н ;
Ту =ау/73. Принимая Тт = 1,5 Ту (что коррелирует с опытными данными по [1]) из (5) получим ХТ = 20, 16 м-1.
В однородных полях напряжений gradT = 0, из (2), (5) следует Т = Ту и условие приобретает обычный для четвертой теории прочности вид.
Общее решение задач в инкрементальной постановке можно произвести аналитически. При этом за основу принимается известное решение в обычной постановке, когда определены все компоненты напряженного состояния в сферических или цилиндрических координатах:
ar,аф,ае
= y(r, ф, е);
grad T =
)2+(аф 2 2V6A
или grad T =
VW +(Аф)2 + А )2
что определяет
gT =
2V6A ' P'J+(Аф)2+(Ae)2;
2 А
gT =
V(AP)2 +(Аф)2 +(AZ22
2A
В случаях осесимметричных задач решение значительно упрощается. Для сферических координат
gT =
а;|
2A
(6)
а для цилиндрических gT =
М + (A'z 22
2A
ар, аФ, а г = / ( Ф, 2).
Тогда относительно несложно получить соотношение
т=± 4Л, 46
где Л - некоторое алгебраическое выражение, определяемое видом обобщенных функций у или / для конкретного напряженного состояния.
В зависимости от вида координатной системы
Если к тому же можно пренебречь влиянием аппликаты (или она не входит в решение), то функция меры неоднородности напряженного состояния совпадает со случаем сферических координат (6).
В качестве примера ниже реализованы задачи в центрально- и осесимметричной постановке.
Сферический резервуар под действием внутреннего и наружного давлений
Пусть сферический резервуар наружным радиусом Ь и внутренним радиусом а нагружен внутренним давлением р. Напряженное состояние в стенках сосуда является неоднородным и согласно известному решению Ламе определяется выражениями [11]:
а r = C
b3 - r3
аФ = ае =-C
2r3 + b3 2r3
(7)
где C = pa3 ja3 - b3 .
Вследствие симметрии аф = ае и
T=
(аr -аф2
или, с учетом (7),
T = л/Зс^Ь3/2r3 .
В рассматриваемом случае дТ
(8)
grad T =
dr
зУЗс^ь 3
2r 4
что определяет на основании (2) gT = 3/г .
Подставляя этот результат в (5) и учитывая, что первые пластические деформации появятся на внутренней поверхности резервуара, где значение Т максимально, получим аналитическую зависимость
f
T = T
gr У
1 + -
3
А
2"kTa + 6
(9)
как функции соответствующих координат. Подстановка этих выражений в (5) дает в итоге аналитическую формулу для величины градиентной интенсивности касательных напряжений. Далее, исходя из граничных условий и вида функций у и / , можно получить величины характерных компонент напряженного состояния и внешней нагрузки, отвечающих наступлению пластических деформаций при градиентном подходе. При этом, используя результаты стандартных опытов на одноосное растяжение, имеем
Ту = а у/ >/з.
которую можно истолковать следующим образом: каждому резервуару с радиусом внутренней полости а будет соответствовать определенное значение интенсивности касательных напряжений Т^ , при котором
начинаются пластические деформации. Величину соответствующего внутреннего давления определим, приравнивая правые части (8) и (9). Обозначив через к = а/Ь относительную толщину стенки и, перейдя к нормальным напряжениям, окончательно получим
Pgr = 2 аУ(l - k 3 2
2aX T + 9
2a"k T + 6
(10)
3
r
При этом из граничных условий имеем на внутренней грани ст = - р , тогда из (7) и (8) следует
стФг = сте =
2dkT + 9
f = I ct , (l + 2k3
e -3 y v М-Л
3
2akT + 6
Py = f CTy(l - k 3 )-
(11)
стф = CTe =
1 CTy (l + 2k3 ).
Сравнивая (10) и (11), устанавливаем, что область упругой работы материала вследствие стеснения деформаций увеличивается независимо от относительной толщины стенок. На рис. 1 представлены результаты расчетов для резервуаров из материала с вышеприведенными характеристиками, которые показывают, что при реальных размерах а = 0,5+5 м превышение составляет соответственно 11,5+1,5 %.
pgL
Py 1,30
4gr
qy
/2 2 _2_
2/ 2 1 0,5
5
2 0,25
2 0,15
Рис. 1
_2_
0,1
2 -1 —, м 1 a
Под действием наружного давления q напряженное состояние [11]
стг = B
r3 - d3 r3
33
стф =сте = b
2r3 + a3
дает T = V3ßV/2r3, где B = qb3/(d3 - b3)
(12)
тогда
gradT =
dT
dr
-343b1 dъ ¡2r 4.
чина qgr выражается аналогично и совпадает с правой частью (10), но при этом стgr = 0 , а из (12) следует
(13)
gr 2dXT + 9 стф =-ct —7
т у 2akT + 6
При использовании классического условия Мизеса Т г=а = Ту , что определяет соответствующее давление
При этом на внутренней грани стг = -ру , а
При обычном подходе Т| г=а = Ту , что определяет qy аналогично выражению (11) и дает стг = 0, а
стф=-ст у .
Последние результаты можно использовать для оценки эффекта концентрации напряжений у сферической полости в шаре достаточно больших размеров при а ^ 0. В этом случае к ^ 0 и решение не связано с размером внешнего контура. Тогда из (12) приходим к известному решению стф = -1^ . В силу
этого соображения и (10) из (13) следует, что сжимающие окружные напряжения и по долготе и по полярному расстоянию для достижения начала пластического течения в отличие от классического решения должны превосходить величину предела текуче-
сти, а именно: стф = сте| r=
Je| r=d^0^ 1,5стy .
Толстостенная труба под действием внутреннего давления
Рассматриваем трубу внутренним диаметром а и наружным Ь , загруженную внутренним давлением р. Согласно решению Ламе [11]
стр = L
( ь2 ^ 1--
Р2
стф = L
( ь2 ^ 1 + —
Р2
(14)
где Ь = ра2/(Ь2 - а2).
Случай 1. Для короткой трубы, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, стг = 0,
тогда
T=ст2+ст
+ СТф-СТрСТф
или, с учетом (14),
T=
м
1+3Р4.
(15)
(16)
Вследствие симметрии (4) упростится и
дТ
gradT =
Эр
= 6 Lb 7 р 5Тз.
1+3
Из двух последних выражений следует
gT = 6b4
( / Р5
V v
1+3
Пластические деформации начинаются на внутренней поверхности трубы при р = а, тогда из (5)
Как и в предыдущем случае, gT = 3/г . Так как Т| г=а > Т| г =Ь , текучесть наступает на внутренней грани резервуара и подстановка gT в (5) вновь приводит к соотношению (9) с той же трактовкой. Вели-
следует зависимость
T =.ст^
Tgr = s
1+
akT (k4 + 3)
+ 6
(17)
которая означает, что для каждой трубы с внутренним радиусом а текучесть наступает при Т^ > Ту; при
L
этом величина градиентного напряжения при одинаковом радиусе зависит также от относительной толщины стенки.
Давление, вызывающее это напряжение, получим, приравнивая правые части выражений (16) и (17):
Pgr = G у
Lü)
4k
+ 3
1+
ak T (/
k4 +3)+6
Из (16) и условия Т| р=а = Ту получим давление, вызывающее текучесть в обычной постановке
1 - к 2
4kl
+3
График увеличения несущей способности трубы в упругой стадии работы представлен на рис. 2. Превышение для труб реальных размеров составляет при очень толстых стенках 4,5^25 % (кривая I), а для тонкостенных 3,5^21 % (кривые II, III). Отметим, что влияние k является несущественным и дает расхождение в пределах 3 %. Pgr
Ру
2 А
1 0,5
2 0,2
7_ 0,1
2 -1 —, м a
Рис. 2
Случай 2. Для длинной трубы в условиях плоского деформированного состояния
а г =у(ар-ае),
(18)
что в итоге приводит к более сложному выражению для давления, вызывающего текучесть
2
1 - k2
х
xU + -
Vk 4 - 4vk 4 + 4v 2 k 4 + 3
_3_
akT [k4 (1 -4v + 4v2 )+ 3] + 6
Увеличение предельного давления лежит в тех же пределах, что и в предыдущем случае, но влияние на результат величины относительной толщины стенки становится еще менее заметным и не превосходит 0,5 % разницы. При любых значениях к для материала с V = 0,3 этот график практически сливается с кривой I на рис. 2.
Толстостенная труба под действием наружного давления
Случай 3. В условиях плоского напряженного состояния
Gp =- L
2
:-7,
V У
G9 =- L
2
a
v у
; gz = 0, (19)
где L =
qbz
22 b -a
Аналогично преобразованиям случая 1 из (19) и (4) получим
gT = 6a p
4
a
1+3 7,
v у
(20)
Легко убедиться из (15) и (19), что Т р=а > Т| р=ь ,
следовательно, пластические деформации начинаются на внутренней поверхности трубы при р = а и из (5),
(15) и (20) следует величина давления, соответствующего повышенным напряжениям Т^
2
к - k2)
1+
3
4ak T + 6
(21)
В обычной постановке текучесть вызывает ^ = ^ ( - к 2 ).
В рассматриваемом случае сравнительное увеличение несущей способности составляет для труб реальных размеров 3,5^21 % и не зависит от относительной толщины стенки (рис. 3, кривая I).
1,25
1,20
1,15
1,10
1,05
1,00
qgL
qy
II >
^^ I
Г
2
0,5
2
0,2
Рис. 3
_2_
0,1
2
— , м a
Применяя приведенные выражения к трубе с а ^ 0 (т.е. к ^ 0) при больших наружных радиусах, когда решение не связано с формой внешнего контура, из (19) имеем у внутренней цилиндрической полости известное соотношение теории упругости аф = —2д . Этот результат вместе с двумя последними
G
G
q
gr
зависимостями означает: при концентрации напряжений пластическое течение материала начинается при окружном напряжении, превышающем предел текучести - Стф —> -1,5сту .
Случай 4. При плоском деформированном состоянии (19) дополняется соотношением (18), что дает
qgr =
, (i - *2)
V + V
1 +
3
4akT (l -v + v 2 ) + 6
По сравнению с предыдущим случаем вследствие объемности напряженного состояния увеличение предельного давления является чуть более существенным и при V = 0,3 составляет 8+25% (рис. 3, кривая II), а значение предельного окружного напряжения еще
сту
более увеличивается: стф — -1,5-
л/Г
V+V
2
Заключение
В статье представлен модифицированный инкрементальный критерий текучести и примеры его реализации в сферических и цилиндрических координатах. Критерий учитывает феномен повышения предельных упругих напряжений в неоднородных полях. Анализ результатов, полученных при решении рассмотренных задач, позволяет сделать следующие выводы:
1. В сферических и трубчатых конструкциях, загруженных равномерным давлением, эффект увеличения предельного упругого напряжения имеет существенную величину и доминантно определяется размерами внутренних полостей.
2. Толщина стенок оказывает на результат незначительное влияние, что особенно актуально применительно к большинству практически применяемых конструкций и сооружений.
3. Внутреннее давление может быть повышено на достаточно значительную величину, что крайне важно для обеспечения безопасной эксплуатации сооружений типа газгольдеров и трубопроводов.
4. Для обеспечения функционирования в стандартных технологических режимах возможно произвести уменьшение толщины стенки. Для линейных
протяженных сооружений типа трубопроводов это
приведет к существенному эффекту снижения материалоемкости.
Литература
1. Dehousse N.M. Note relative a un phenomene de superel-astisite en flexion constate lors d'essais d'un barreau en acier doux // Bull. de la classe des sciences. 1962. Serie 5. Vol. 48. Р. 329-334.
2. Campus F. Plastification de l'acier doux en flexion plane simple // Bull. de la classe des sciences. 1963. Serie 5. Vol. 49. № 4. Р. 303-314.
3. Фадеев А.А. О переходе малоуглеродистой стали в упруго-пластическое состояние при неравномерном распределении напряжений (при чистом изгибе) // Тр. ин-та / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. Исследования прочности элементов строительных металлических конструкций. 1982. С. 85-91.
4. Балдин В.А. Об учете пластических деформаций при неравномерном распределении напряжений по сечению // Строит. механика и расчет сооружений. 1977. № 1. С. 29-31.
5. König J.A., Olszak W. The yield criterion in the general case of nonhomogeneous stress deformation fields // Topics in Appl. continuum mech. Wien; New York, 1974. С. 58-70.
6. Котречко С.А., Мешков Ю.Я., Меттус Г.С., Косар-чук В.В. О природе пластической деформации поликристаллических металлов в неоднородных силовых полях // 3-й Всесоюз. симп. «Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии», Житомир, 24-26 окт., 1989: Тез. докл. 4.1. Киев, 1989. С. 70-71.
7. О построении инкрементальных условий пластичности / Г.А. Гениев, С.Ю. Калашников; ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. М., 1984. 14с. Деп. во ВНИИИС 16.02.84, № 4817.
8. Гениев Г.А., Калашников С.Ю. Об учете влияния неоднородности напряженного состояния на переход материала в пластическое состояние // Строит. механика и расчет сооружений. 1988. № 6. С. 12-15.
9. Леган М.А. О взаимосвязи градиентных критериев прочности с линейной механикой разрушения // ПМТФ. 1993. № 4. С. 146-154.
10. Харлаб В.Д. Теория прочности, учитывающая влияние неоднородности напряженного состояния // Изв. вузов. Строительство. 1994. № 11. С. 39-44.
11. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости // Пер. с англ. М.И. Рейтмана. М., 1979.
Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия
27 февраля 2003 г.
а
УДК 626.862.3.04
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ К ОБОСНОВАНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ДРЕНАЖНЫХ ТРУБАХ
© 2003 г. В.Л. Ермоленко
Одной из проблем закрытого горизонтального дренажа на мелиоративных системах является потеря жесткости дренажных труб еще в процессе строительства дренажной сети в результате обрушения стенок траншеи или в процессе засыпки дренажной траншеи грунтом.
Особенно актуальна данная проблема при выполнении закрытого горизонтального дренажа из пластмассовых дренажных труб (ПВХ, ПНД и др.).
В настоящее время расчет дренажных труб на прочность и жесткость осуществляется по упрощен-
ным эмпирическим зависимостям. Нами предлагается метод проведения действующей нагрузки к эквивалентной:
где в - коэффициент приведения, зависящий от способа укладки, при укладке на не спланированное основание под дренажную трубу в = 0,75; т| - коэффициент бокового давления, зависящий от вида грунта засыпки для песка при нормальном уплотнении п = (0,95; 0,97); - сумма вертикальных сил от грунта засыпки (рис. 1).
Рис. 1
Наиболее значимой из нагрузок является нагрузка от вертикального давления грунта, которое обычно принимается равномерно распределенным
Рр = у / укБтр кхк2,
где у/ - коэффициент надежности по действующей нагрузке грунта засыпки (уз=1Д5... 1,20); у - удельный вес грунта засыпки, кН/м ; И - приведенная высота грунта засыпки, м; Бтр - ширина траншеи, м; к1 -коэффициент зависания грунта зависящий от отношения приведенной высоты грунта засыпки к ширине И
траншеи (при ^^ = (1,0.2,0), к1 = (0,86.0,75));
Б,
тр
к2 - коэффициент разгрузки грунта в пазухах, зависящий от отношения диаметра дренажной трубы к ширине траншеи ——, модуля деформации грунта за-
Бтр
сыпки Егр, модуля упругости и коэффициента Пуассона материала из которого изготовлена дренажная труба.
Так как расчет ведется на единицу проекции дренажной трубы, то Ргр имеет размерность силы.
Расчет на прочность и жесткость дренажных труб выполняется с учетом от действия на трубу двух сосредоточенных сил.
Перемещения можно определить с использованием интеграла Мора:
8= Г^F^A-dS + Гк3 OfAJS + r^üdS,
J EJx J 3 GA J EA
nfN
где МР, дР, - изгибающий момент, перерезывающая и нормальная сила от внешних нагрузок;
М1,N - тоже от единичных силовых факторов; Ых, ОА, ЕА - жесткости дренажной трубы на изгиб, сдвиг и растяжение; к3 - коэффициент формы сечения.
Анализ расчетов показывает, что влияние перерезывающих (0 и нормальных (Ы) сил для дренажных труб значительно меньше (менее 5 %) чем от изгибающих моментов, поэтому ими можно пренебречь.
Внутренние силовые факторы можно определить с использованием метода сил:
8jjx1 + §12x2 +§i3x3 +A1F = 0 ; 821 Xj + §22X2 + 823X3 + A2F = 0 ; S31x1 + §32x2 + 833x3 + A3F = 0 ;
(1) (2) (3)
Уравнения выражают: (1) - отсутствие смещения разреза (в основной системе) в направлении силы х;;
(2) - отсутствие взаимного смещения в направлении х2;
(3) - отсутствие взаимного поворота разреза (рис. 2). Используя свойства симметричных и кососиммет-
ричных эпюр, имеем:
§12 =8 21 = ^ §23 = §32 =
Уравнение (2) имеет вид:
§22Х2 + A2F = 0 ,
X 2 =--
A2
82
Уравнения (1) и (3) после приведения представим в виде:
Г 8П x1 +S13x3 + A1F = 0 ;
отсюда
831x1 +833x3 +A3F = 0 ;
Х = A3F §13 A1g §33
1 o t- <j2
Х3 =
811833 §13
A1F §31 -A3F §11 §11§33 — §!3
Изгибающие моменты в эпюрах M1, M2, M3 вычисляются по выражениям:
M1 (ф) = 1R(l - cos ф); ^ M2 (ф)= 1R sin ф ; M3 (ф)= 1,
где R - радиус кривизны срединной поверхности дренажной трубы.
1 2h — 1 FR3 7 2
А 2F = — J MFM2Rdy = - 2 "ET" J Sln фЙ?ф =
EI x 0
Рис. 2
Используя интеграл Мора, получаем:
1 ^ i 2h 8П = — JMiMidS = — JM^ =
ElLx 0 ellx О
Rз 2h 3hR3
=- Í(i - cosф)ф =-;
EI J EI
x 0 x
1 2h__
___r 2 2h 2hR 2
813 = JM1M3Rdф = ei~ J(l - cos ф) dф = ■
EIx
833 =
EIx
1 2h__
EI
2h
RR 2hR
J M3M3 Rdф = ei~ J dф = -
x0 2h
x0
822 = —— JM2M2Rdф = -R— J sln2 фdф = —;
EI x 0 EI x 0 EI x
EIx
1 FR
2 EI x
ф sln 2ф 2 4
2 EI
2h
J=-
x0
hFR
2EIx
A3F =
i 2h - i 2hr i ^
— J MFM3Rdф = — JI - 2 FR sln ф j 1Rdф =
EI
x0
x0
FR2 2h FRR2 2Й
=--ÍsinФ^Ф = +-cosФ Í = 0 .
EI EI
x 0 x 0
Для нагрузки, симметричной относительно линии разреза, изгибающий момент в расчетном сечении вычисляется по выражению
M(ф) = MF (ф) - — JMF (ф) dф - 2c0S Ф JMF ^)cos ф dф.
h 0 h О
Используя выражение (4), получаем:
Ml) = - 2 FR slnф+2h FRJ sinф J sinф cosф dф =
1
cosфFR h
1 FR — FRsin ф+--1- cosф)J
2 2h 0 h 2 0
h -2 h cosф FR sin ф J__
1 WO- FR m>\ 1 1 ■
= — FRsmfflH--= FRI---sin ф
2 h ^ h 2
Окончательная формула для определения изгибающих моментов в дренажной трубе будет иметь вид
M (ф)= ^ \ 1 - isin ф| = FeqvD а(ф),
где а(ф)=11— - — sin ф| - безразмерный коэффици-21 h 2 I
ент, определяемый по таблице.
Таблица
Значения безразмерного коэффициента для вычисления напряжений и изгибающих моментов в дренажной трубе
Ф,град 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
а(ф) 0,1592 0,1157 0,0736 0,0342 -0,0015 -0,0324 -0,0574 -0,0758 -0,0870 -0,0900
Перемещения от внешних нагрузок на дренажную трубу вычисляются по выражениям:
i 2h __r2 2h
A1F = E^ JMFM1Rdф = — JMF (i - cos ф) dф.
Изгибающий момент равен нулю при ф равном: Ф = arcsinl -2 | = 39,54 = 39°32' .
EI
x0
x0
под угол ф равен:
На основе предложенной системы уравнений и интеграла Мора, можно определить изменение пара-Так как изгибающий момент в расчетном сечении метров дренажной трубы под действием эквивалентной нагрузки и построить эпюру изгибающих моментов в безразмерном виде. Изложенное позволяет учи-(4) тывать физико-механические свойства материала и самих конструкций дренажных труб.
В заключение отметим, что данная методика апробирована и хорошо согласуется с натурными данными для пластмассовых дренажных труб.
MF 1ф)= - -2 FR sln ф ;
FR3 2h FR3
A1F = - 2ЕГ J1 ф- sln ф cos ф^ф = - ——
2 EI x 0 EI x
Новочеркасская государственная мелиоративная академия
19 февраля 2003 г.
3
3
