CC BY
24
Bogoslovskii Stanislav Evgenyevich, principal engineer-designer, bog_stas@,mail. ru, Russia, Moscow, PJSC «Corporation «Irkut»,
Martirosov Michail Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, michaelmar-tirosov@yandex.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
УДК 623.434.42
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЛИЯНИЯ ИЗНОСА СТВОЛА
И ИНТЕНСИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ НА ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПУШКИ
С.В. Новиков
Теоретически обосновано влияние механических свойств ствола, его геометрических особенностей и условий эксплуатации на возникновение систематических отклонений снарядов при стрельбе, а также построена математическая модель, учитывающая влияние износа ствола и интенсивности ведения огня из автоматической пушки на точность ее стрельбы.
Ключевые слова: точность стрельбы, автоматическая пушка, эксплуатационные факторы, механические свойства ствола, износ ствола.
Термомеханические процессы взаимодействия снаряда и раскалённых пороховых газов со стволом автоматических пушек (АП) при выстреле способствуют возникновению эрозии канала ствола, развитие которой, в конечном счете, приводит к ухудшению точности стрельбы. В этом аспекте, влияние механических свойств ствола, его геометрических особенностей, условий эксплуатации на формирование начальных внешнебаллисти-ческих характеристик выстрела, а следовательно, и точность стрельбы представляет научный и практический интерес.
В качестве эксплуатационных факторов примем количество произведенных из пушки выстрелов за весь период применения изделия по назначению (настрел), приводящих к износу ствола, а также число выстрелов за текущий, сравнительно непродолжительный промежуток времени (интенсивность стрельбы). Геометрическими факторами будут являться линейные размеры ствола, а фактором, учитывающим его механические свойства - модуль упругости первого рода. Под точностью стрельбы будем понимать отклонение точки попадания снаряда от точки прицеливания. Схема воздействия данных факторов на точность стрельбы представлена на рис. 1.
Исходя из вышенаписанного справедливы функциональные зависимости [1, 2], представленные в выражении
463
'Е = /к (I), I = /I (I),
< = /ах^,1X <2 = 2(паз1X/ = X/(nas,1X (1)
у0 = / (паз, I), а = /а (паз, I), где Е - модуль упругости Юнга, Па; 1 - внешний диаметр ствола, м; 12 -внутренний диаметр ствола, м; у0 - начальная скорость полета снаряда, м/с; а - угол возвышения ствола, рад; I - интенсивность стрельбы; паБ -настрел пушки.
Настрел
Интенсивность стрельбы
Эрозия канала ствола Температурный градиент ствола
Линейные размеры ствола Модуль упругости
Начальная скорость снаряда
Статический прогиб ствола
Рис. 1. Структурно-логическая схема влияния теплофизических, геометрических и эксплуатационных факторов на точность стрельбы
из АП
Для теоретической оценки влияния вышеуказанных факторов на точность стрельбы построим и рассмотрим деформацию ствола, траекторию полета снаряда в зависимости от его профиля и объединим их в единую модель.
Допустим следующие предположения, упрощающие модель и не привносящие каких-то значительных отклонений в описание процессов деформации ствола и формирования угла бросания снаряда, а именно представим ствол как консольный полый стержень, защемленный с одной стороны и помещенный в прямоугольную декартову систему координат ОХУ. В этом случае деформация ствола в вертикальной плоскости описывается выражением [3]
а4 ^
—m (х) g ,0 < х < I,
Е/ 4 у (0 ) = 0, уХ (0 ) = tga,
уХх (1 ) = 0 уХхх (1 ) = 0
(2)
где / - момент инерции сечения, м4; у - ордината оси ствола, м; х - абсцисса поперечного сечения ствола, м; т(х) - линейная плотность массы ствола, кг; g - ускорение свободного падения, м/с2; I - длина ствола, м.
464
Учитывая, что краевая задача (2) является линейной, то к ней применим принцип суперпозиции [4]
у (х ) = xtga + и (х), (3)
где xtga - уравнение недеформированного прямолинейного ствола; и(х) -отклонение ствола от прямолинейности в вертикальной плоскости.
Подставив правую часть выражения (3) в краевую задачу (2), получим
а 4и
EJ—— = -m( х) g, 0 < х < /,
ах
и (0) = 0, их (0) = tg а,
(4)
и
хх
(/) = 0, итххх (I) = 0,
Найдем решение дифференциального уравнения краевой задачи (4), разделив обе части на EJ и последовательно проинтегрировав его. В результате получим выражение
и (х)
mg 4 mg
24EJ
а с учетом (3) - выражение у (х ) = х tg а +
24EJ
(х -/)
4
3х.
6EJ
(5)
mg 4 mg
-I
24 EJ
J=64 (а4 - ),
24EJ
(х -/ )4
3 х,
6 EJ
(6)
Из научной литературы известно, что на формирование траектории полета снаряда в значительной степени влияет угол наклона дульного участка ствола [5]. Приняв допущение о неподвижности ствола в момент выстрела (колебания ствола и поворот АП вокруг цапф не рассматриваются) данный угол будет являться углом бросания 0:
0 = у( / ) = tg а
mg/з
6EJ
(7)
Анализ выражения (7) показывает, что угол бросания определяется как углом возвышения, так и некоторым дополнительным углом Да, определяемым упругими свойствами материала ствола и его геометрическими размерами. Учитывая настильность траекторий стрельбы и сравнительно малые дальности стрельбы из АП, а следовательно, малость угла а - Да определяется выражением
Да =
mg / 3
6EJ
(8)
Рассмотрим траекторию полета снаряда с учетом сопротивления воздуха. Закон движения снаряда описывается выражением (9)
С2 г
т-
Сг 2 _ Сг Сг
- ¡С(М)этрБ> ■-
: тр---—— ЫЫ
2 11
(9)
где р - плотность, кг/м3; £ - площадь поперечного сечения, м2; С - некоторая постоянная интегрирования; г - время, с; г - радиус-вектор центра тяжести снаряда - величина, подлежащая определению; ы0 - начальная скорость, м/с; С(М) - безразмерный аэродинамический коэффициент (коэффициент лобового сопротивления), определяемый геометрическими размерами снаряда; М - число Маха - отношение скорости движения снаряда к скорости звука; V - модуль скорости движения снаряда, км/ч; г - коэффициент формы снаряда.
В координатной форме выражение (9) принимает вид
т-
сС 2 х
¡С (М )эт РБ
т
сг2
с 2 у
сг2
V
г Сх
V а,
■ -тр +
х(0) = 0, у(0) = 0,
2
¡С (М )эт рБ 2
аХ(0)
+
V
Су Сх
— I —, г > 0,
Сг ) Сг
г Сх Сг
2
+
Г ^ I2 ^, г > 0,
V Сг) Сг
(10)
Сг
■ Ы0 соб а,
Су(0) Сг
■ Ы0 эт а,
Полученная задача Коши является нелинейной. Её решение может быть получено только численными методами.
Рассмотрим горизонтальное перемещение снаряда. Из (10) видно, что горизонтальная скорость снаряда Сх/Сг монотонно убывает, положительна и много больше его вертикальной скорости Лу/Сг, поэтому, воспользовавшись приближенным равенством (1 + х)а »1 + ах [6], получим
г Сх
V сгу
+
Су сг
Сх Сг
1+-
Су сг
Сх Сг
(11)
)
Теперь уравнения движения принимают вид
гС (М)эт рБ л2
С 2х
т-
Л2
2
Сх I2 +1Г Су I Сг) 2 V Сг)
V .
(
С 2 у ¡С (М )эт рБ
т—= -тр + - эт
а
2
2
Су
Сх Су 1V Сг
---£_ + _ V
г > 0, з >
V
Сг Сг 2 Сх
а
г > 0,
(12)
х(0) = 0, у (0) = 0,Сх(0) = ы0 соб а,Су(0) = ы0 эт а.
л
л
V
2
2
2
1
2
2
Пренебрегая вторыми слагаемыми в скобках правых частей уравнений системы (12) получим
d 2 х
+ a
' dx л2 v dt j
0, t > 0,
dt2 2
d y dx dy
—f - a---- + g = 0, t > 0,
dt2 dt dt
x(0) = 0, y (0) = 0, ^^ = v0 cos a,dy(0) = v0 sin a,
(13)
dt
dt
a=
iC (M) pS
v 'эт. ^
2m
(14)
Решим первое уравнение системы (13), для чего введем вспомогательную переменную г = ЛхМ:
Лг 2 2 ^ — + а2 г 2 = 0.
Л
Решив уравнение (14), получим
х (t) = —1п (аУ0Соъа-1 +1),
откуда при известной горизонтальной координате определим время полета снаряда:
t (х ) =
мх
1
ancosa
(15)
Рассмотрим второе уравнение системы (13) - вертикальное перемещение снаряда, определяемое задачей Коши.
Введем обозначение Ь =-1- , в результате получим
d 2 y
^0 cos a
a
dt2 at + b dt
4+g=0
(16)
Уравнение (16) - линейное неоднородное уравнение второго порядка. Понизим его порядок с помощью введения новой переменной = —. Тогда будем иметь
dw
a
w + g = 0, t > 0,
dt at + b J J (17)
w = ^0 sin a.
Воспользуемся методом вариации постоянных (метод Лагранжа). Найдем решение однородного уравнения:
dw a
— +--w = 0. (18)
dt at + b
Разделив переменные, проинтегрировав и пропотенцировав, получим решение однородного уравнения (18):
С
w(t) = -C—. (19)
М + Ь
Допустим, что решение уравнения (17) имеет вид найденной функции (19) в предположении, что величина С является неизвестной функцией:
с (г)
w
(')
(20)
а+Ь
Подставим функцию (20) в уравнение (18) и решим его. В результате решения функция w(t) - вертикальная скорость снаря да - определена полностью:
2
w (t ) = —^- (М + Ь) + 2а
Ьуо вт а +
2а
(21)
аХ + Ь
Для нахождения вертикального перемещения найдем интеграл от функции (21):
t t
У ^ ) = Iw (т) йт = I 0 0
я
Ьговта +
2а
(ат + Ь) +
2а
ат + Ь
йт.
(22)
Интеграл (22) вычисляется в квадратурах. Искомая величина вертикального перемещения
ч г
У (t)
7 . яЬ2
Ьу0вта + -—
(ат + Ь )2 +-2^ • 1п (ат + Ь)
4а2 а
У
(23)
я
(at + Ь )2 - Ь2 +■
Ьуо вт а +
Ф
2
2а , at + Ь
4а2 а Ь
Подставим (15) в (23), в результате чего получим уравнение траектории полета снаряда
У (t ) = ■
Я •Ь2е2ах +
4а
2
Ьуов\па+
2а
х
(24)
Оценим вертикальное отклонение точки попадания снаряда в зависимости от изменения угла наклона дульного среза ствола. В ходе оценки ограничимся линейным приближением.
Допустим, что tn - время попадания снаряда в центр цели (у(П = 0), расположенную на расстоянии Ь от точки вылета. Следовательно, выполняется равенство
0
x (
(t„ ) = L = -ln
a
tn +1
Отсюда время полета снаряда с учетом (14)
t„ = b (eaL -1
a
а угол вылета а с учетом (24) определяется трансцендентным уравнением
г \
У(а) =
g
1
2 2 4a Vocosa
e2aL +
sin a
+
g
1
•L = 0.
(25)
cosa 2a Vocos2aJ
которое может быть решено аналитически. Перейдем в уравнении (24) к тангенсам, введем обозначение s = tga, в результате получим квадратное уравнение относительно переменной s:
2aL
ge
4a2n<2
(s2 --) +
s +
g
2aVQ
(s2 -1)
•L = 0
(26)
J
Интересующий нас корень уравнения (26)
- L +
s = tga
1
L2 + 4
gL ge
2aL
2
V
2avQ¡ 4a 2vQ
J
2^
2aL
V
gL _ ge_
2av02 4a2v02
J
Продифференцировав функцию (25) по углу а и приняв t = tn, получим отклонение точки попадания снаряда в зависимости от приращения угла бросания Да:
Dy (a)
ge
2aL
2 2 a vQ
tga+
1 +
g
avo
tga
л л
•L
J J
Da
2
cos a
(27)
Подставляя в (27) функциональные зависимости (2), окончательно получим
Í / Л Л
Dy(nas, I)» Da(nas, I)
ge
2aL
a 2v Ü(nas, I)
•tg a +
1 +
g
2
av o(nas, I)
tg a
L J J
x
x
2
cos a
Da(nas, I) =
mg
6E (I )• J (nas, I)
13( I),
a
iC (M )Эт PS
2m
Таким образом, теоретически обосновано влияние механических свойств ствола, его геометрических особенностей и условий эксплуатации на возникновение систематических отклонений снарядов при стрельбе. Построена математическая модель (28), учитывающая влияние настрела и интенсивности ведения огня из АП на точность ее стрельбы.
Список литературы
1. Орлов Б.В., Ларман Э.К., Маликов В.Г. Устройство и проектирование артиллерийских орудий. М.: Машиностроение, 1976. 432 с.
2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
3. Филиппов А.П. Колебания упругих систем. Киев: Изд-во АН УССР, 1956. 322 с.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.
5. Богомолов С.Н., Слуцкий К.А., Колесов В.В. Теоретический анализ динамики системы «снаряд - ствол» автоматической пушки под действием стрельбовых нагрузок // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 11. Ч. 2. С. 78-83.
6. Баллистика / С.В. Беневольский, В.В. Бурлов, В.П. Казаковцев, В.В. Чернов, А.Ю. Козлов, А.И. Сидоров, В.Б. Шмельков, Н.М. Монченко: под общ. ред. Л. Н. Лысенко: учебник. Пенза: ПАИИ, 2005. 510 с.
Новиков Сергей Владимирович, адъюнкт, novikov_sergey_ 78@mail. ru, Россия, Рязань, Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова
THEORETICAL FOUNDA TIONS OF THE EFFECT OF BARREL WEAR AND FIRING INTENSITY ON THE ACCURACY CHARACTERISTICS OF AN AUTOMATIC GUN
S. V. Novikov
The influence of mechanical properties of the barrel, its geometric features and operating conditions on the occurrence of systematic deviations of projectiles during firing is theoretically justified, and a mathematical model is constructed that takes into account the effect of barrel wear and the intensity offiring from an automatic gun on the accuracy of its firing.
Key words: shooting accuracy, automatic gun, operational factors, mechanical properties of the barrel, barrel wear.
Novikov Sergey Vladimirovich, adjunct, novikov_sergey_ 78@mail. ru, Russia, Ryazan, Ryazan Guard Higher Airborne Command School named after General of the Army V.F. Margelov
