CC BY
10
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.72
Мелехин В.Б., Сусин А.Ю., Халилов А.И.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫВОДА УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ В НЕМОНОТОННЫХ СРЕДАХ НА ОСНОВЕ УСЛОВНО-ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Melehin V.B., Susin A. YU., Halilov A.I.
THEORETICAL BASE TO ORGANIZATIONS OF THE CONCLUSION OF THE CONCLUSIONS IN NONMONOTONIC AMBIENCE ON BASE CONDITIONALLY-HUNG VARIABLE
Предлагается один из подходов организации понятийного мышления интеллектуальных систем, связанный с разработкой теоретических основ вывода умозаключений в произвольной немонотонной проблемной области на основе условно зависимых переменных.
Ключевые слова: интеллектуальные системы, условно-зависимые переменные, немонотонный вывод.
It is offered one of the approach to organizations of the notional thinking of the intellectual systems, connected with development theoretical base conclusion of the conclusions in free non monotonicproblem-solving area on base conditionally hung variable.
Key words: intellectual systems, conditionally-hung variable, non monotonic conclusion.
Введение. Организация вывода умозаключений в интеллектуальных системах (ИС) является одним из эффективных направлений моделирования понятийного уровня мышления для принятия решения на основе рассуждений [1]. Однако, по ряду причин оно не получило достаточно широкого распространения в ИС с различным функциональным назначением.
Одной из таких причин является немонотонность вывода умозаключений в рамках произвольной предметной области. Данное обстоятельство привело к разработке различных немонотонных логик рассуждений [2], которые в значительной степени позволили обойти отмеченные трудности. Однако, известные немонотонные логики, к сожалению, не позволяют системе принятия решений однозначно судить об истинности выводимых заключений, а только с определенной степенью правдоподобности подтверждают их выполнимость в выбранном множестве схем логических аксиом и правил вывода. Такая неопределенность вывода в немонотонных логиках ограничивает их эффективное использование для принятия решений автономно функционирующими ИС, часто требующими однозначного ответа на вопрос об истинности выводимых умозаключений.
В настоящей работе предлагается один из подходов к организации вывода умозаключений, позволяющий обойти отмеченный выше недостаток существующих подходов к организации вывода умозаключений в немонотонных средах. В основе организации предложенного подхода лежит применение условно-зависимых переменных, позволяющих выделять монотонный участок вывода умозаключений в произвольной предметной области.
Условно-зависимые переменные и их особенности. Условно-зависимой переменной называется и обозначается двойка А(¥) - (Сл, ¥), где С - название
переменной; ¥ - множество требований и условий, которым должны удовлетворять элементы произвольного (базового) множества А, чтобы они относились к переменной А(¥л ) и удовлетворяли заданному свойству или умению у .
В самом общем случае элементы множества ¥ могут носить разнообразный характер, зависящий от назначения и свойств условно-зависимой переменной А(¥ ) .
Условно-зависимая переменная А(¥) называется условно-зависимой предметной переменной (ПП), если множество ¥ определяется множеством характеристик и признаков, которыми должны обладать произвольные предметы проблемной среды, относящиеся к А(¥А ) .
Пусть каждый предмет произвольной предметной области А - щ (X), г — 1, к описывается множеством характеристик Х{. Тогда (Хг) е А(¥ ) , если ¥А ^ Хг и пишем щ (Xi) £ А(¥) в противном случае.
Таким образом, множество ¥ можно интерпретировать как множество причинно-следственных ограничений, образующих монотонное множество объектов А( ¥) относительно заданного свойства у, определяющегося характеристиками ¥.
В немонотонной изменяющейся во времени области А множество ограничений ¥ можно разбить на два подмножества:
- ¥А - абсолютные причинно-следственные ограничения, присущие 1111 А(¥А)
независимо от условий проблемной среды;
- относительные, то есть появляющиеся причинно-следственные ограничения или «тормозные» сигналы ХА. Появление в среде тормозных сигналов ХА нарушает
монотонность вывода умозаключений в рамках множества А(¥А), образованного
множеством абсолютных ограничений ¥(А ) .
Например, все живые существа, имеющие развитые крылья объединяются во множество А(¥) - «летающих животных». Однако, при появлении «тормозного»
фактора - «наличие повреждений» все живые существа А(¥) теряют способность летать.
Пусть для двух ПП А(¥) и В(¥), образованных из элементов одного и того же базового множества А и выполняется условие " ¥л ^ ¥". Тогда множество А(¥) называется покрытием множества В(¥) и обозначается В(¥) ^ А(¥) . Например, пусть ПП В(¥) и А(¥) соответственно являются переменными с именами «летающие живые существа» и «живые существа». Очевидно, что В(¥) ^ А(¥) и все элементы А, удовлетворяющие ¥ , удовлетворяют требованиям и ¥ , обратное же условие не всегда выполнимо, т.к. не все «живые существа» имеют «развитые крылья», присущие летающим животным.
Из сказанного вытекает, что существующие ПП А(¥) можно расширять и сужать по признакам, которые в первом случае добавляются к множеству признаков ¥ , а во втором случае удаляются из этого множества. Предметные переменные А(¥л) и В(¥) называются условно равными и обозначаются А(¥) — В(¥), если ¥ — ¥ . Рассмотрим один из важных частных случаев ПП. Пусть ПП А(¥А) формируется по заданному
признаку Л, а множество р определяется множеством причин, влекущих за собой выполнимость следствия: Ущ(Х1) е ЛЛ(р) ^ М(щ (X),Л*), где « ^» - операция следования, т.е. из выполнения условия в левой части следует истинность правой части выражения; М (щ (X ),Л*) - высказывание «объект щ (X) обладает признаком Л ».
Приведенное импликативное решающее правило означает следующее: если объект щ (X ) относится к 1111 АЛ(р), то этот объект обладает признаком Л. В этом случае 1111 является каузально-зависимой переменной и обозначается Л"(р), а признак Л называется образующим признаком этой 11.
Например, казуально-зависимая 1111 Л*(р) - «летающие птицы» состоит из
элементов базового множества Л -«птицы», обладающих умением Л - летать по причине наличия у них развитых крыльев и отсутствии повреждений.
Лредметная переменная называется замкнутой и обозначается Л*(р*), если р* определяется множеством необходимых и достаточных причин [3], влекущих за собой общезначимость следствия:
Ущ (X ) е ЛЛ*(р*) ^ М(щ (X), Л), I — 1п
для всех объектов, принадлежащих НИ ЛЛ*(р*) .
Обобщенной 11 называется тройка Лоб(р) - (Со;{Лг.(р)}, г -1, п; ), где Соб -
название обобщенной переменной, например, «хищные животные»; {Д.(р)},г — 1,п ; -множество предметных переменных, образующих обобщенную предметную переменную, например, «хищные птицы» и т.д.; - признаки, характерные для всех 11
Л(р),г — 1,п, образующих обобщенную переменную Лоб(р), т.е. общие признаки для всех исходных предметных переменных.
Рассмотрим условно-зависимые теоретико-множественные операции над предметными переменными, заданными на элементах одного и того же базового множества Л .
1усть 11 Л(р) определена на элементах произвольного базового множества Л. Тогда дополнением 11 Л(р) к базовому множеству Л называется и обозначается 11 Л (р ) — (СА, р), у которой название СА является антонимом названию С, а условия принадлежности к множеству условий р определяются отрицанием хотя бы одного из условий р. Иными словами, к 11 Л(р) относятся все объекты щ (Xi) £ Л(р) или для которых выполняется условие р .
Условно-зависимым пересечением 11 Л( р) и В( р), определенных на элементах произвольного базового множества Л, называется и обозначается 11 ^(р ) — Л(р ) о В(р ), М(р ) — (Сн, р ), у которой название С^ образуется при помощи
конкатенации названий С & Св через связку И, а условия принадлежности предметной переменной к монотонному участку вывода умозаключений определяются следующим образом: р — р ^ р .
Другими словами, 11 N(р) включает такие объекты щ (X) из Л , для которых выполняется условие (р ^ X )&(р ^ X), то есть объекты одновременно удовлетворяющие требованиям и р и р . В результате получается 11, которая одновременно покрывается и Л(р ), и В(р ) .
Условно-зависимым объединением ПП А(¥) и В(¥) называется и обозначается ПП К(¥) — А(¥) ^ В(¥),К(¥) — (Ск,¥к) , для которой название С^ получается при помощи конкатенации названий С^ и Св через связку ИЛИ, а множество условий принадлежности предметной переменной к монотонному участку вывода умозаключений ¥ определяется по следующему правилу:
¥ =■
¥ п ¥, если ¥ п ¥ ^!
[(¥ V ¥ }, если ¥ п ¥ — где запись {¥ V ¥} означает, что множество ¥ условий принадлежности состоит из двух независимых множеств ¥ и ¥, при этом любой элемент из базового множества а (X ) е А относится к ПП К(¥ ), если выполняется либо условие ¥ ^ X, либо условие ¥ ^ X, т.е., если он удовлетворяет требованиям хотя бы одного из подмножеств ¥ или ¥. В результате получается ПП, которая покрывает и А(¥ ), и В(¥) .
Из вышесказанного следует, что каждая ПП А(¥) объединяет под одно название аналогичные друг другу объекты по признакам ¥. Назовем такую аналогию объектов а (X ) е А(¥) сильной аналогией по признакам ¥ . Для количественной оценки сильной аналогии между сравниваемыми объектами по заданным признакам определим показатель степени аналогии р(аг ), щ (Xi)), который вычисляется следующим образом:
р(а (X X а (X )) = тАп
пXI IX, пж1^
м - X
где 1x1 - мощность множества Xi.
С другой стороны, ПП А(¥) включает объекты, аналогичные друг другу по признакам объектов, относящихся к ПП В(¥), если ¥ п ¥ ^ 0. Назовем такую аналогию объектов слабой аналогией по признакам ¥ п ¥. Степень р*(щ (Xi), Ь. (X )) слабой аналогии объектов ПП А(¥) и В(¥) по признакам является величиной постоянной и может определяться следующим образом:
2|¥а п¥в|
р*(а (X ), Ь, (X,)) = ■
|¥а| + |¥,| '
где коэффициент 2 взят для выполнения условия р*(щ (X¡), Ь. (Xj)) — 1, если ¥ — ¥.
Пусть заданы две ПП А(¥) и В(¥) . Прямым условно-зависимым произведением ПП на базе условия ¥ ^ ¥ называется и через А(¥)х В(¥) обозначается множество пар {< ai(X ) е А(¥), Ь (X]) е В(¥) >}, таких, что они удовлетворяют требованиям заданного условия ¥ ^ ¥, которое заключается в следующем: если а (X) удовлетворяет требованиям условий ¥, то Ь] (X.) должен удовлетворять требованиям ¥, вытекающим из условий ¥ .
Нечеткой 1111 называется и обозначается пара А{1<',) = (Са,А(Ра)) , где СА - название предметной переменной; ¥ " нечеткое множество признаков принадлежности, которым должны удовлетворять объекты 1111 А( /•',). Каждый / элемент нечеткого множества ¥ задается парой < [лР (), ^ >, где ^ - название требования или признака; цр (/;) е [0,1] -
субъективная оценка степени того, что объекты, принадлежащие 1111 А(Ра) , обладают характеристикой (признаком) / .
Если каждый объект аг(Хг) определяется при помощи нечеткого множества признаков Х,г=1 ,п2, а в качестве условий принадлежности к 1111 Л(РА) принимается нечеткое множество характеристик РА, то пишем а(Х1) § Л(Рл), если ^ с X . В противном случае пишем, что а(Х{) £ А(Ра). Здесь знак с: означает нечеткое включение множества РЛ в множество X1.
Нечеткое множество РА является нечетким подмножеством Х1, если степень включения
у(РА, Д:) = гтп(Мр(/.,) Мх(/.,))
является величиной большей или равной величине 0.5, где /их(/.) - степень, с которой объект а! (Х/) обладает признаком (характеристикой) /; «—>» - операция нечеткой импликации, которая берется следующим образом: тах(1 — (), цх()) .
Учитывая, что интерпретация степени (/) обладания характеристикой f для объектов 1111 несколько иная, чем интерпретация степени принадлежности у нечетких множеств, операцию включения множества РА в множество X1 можно упростить, воспользовавшись следующим правилом.
Множество р является нечетким собственным подмножеством Х{, если выполняется условие:
(У/^РА\ 3/;еХ,)[(/у /)&(//(/) //(/)).
Приведенная запись означает, что с: X] тогда и только тогда, если каждый признак содержащийся в РА имеется во множестве характеристик объекта (X) со степенью обладания /лх () > /иР ().
Если для двух нечетких 1111 А(РЛ) и В(Рв) выполняется условие Рв <^РА, то 1111 В(Рв) называется нечетким покрытием 1111 А(РЛ) и обозначается А(Ра) с: В(Рв) .
Расширением и сужением нечеткой 1111 А(Ра) по признакам принадлежности Л к ним объектов аг(Х) называются предметные переменные и, соответственно, обозначаются А(Рл и Л) и А(Ра \ Л), для которых множества признаков принадлежности получаются из Рл соответственно путем присоединения к ним и удалением из них
множества признаков Л.
Рассмотрим теоретико-множественные операции над нечеткими 11, заданными на элементах одного и того же базового множества А .
Пусть нечетко заданная 1111 Л(РА) = (СА,РА) определена на элементах базового множества А. Тогда, дополнением А(Ра) к базовому множеству А называется 1111 1А(Ра) = (1СА,1РА), у которой название 1С , является антонимом названию С ,, а степени принадлежности —1 (/1) признаков // к множеству 1РА определяются следующим выражением —1 [лР (— 1 — [лР (, где цР (- степени принадлежности признаков к множеству РА исходной 1111 А(Ра ) .
Пересечением 1111 А(РЛ) = (С,, Рл) и В(РН) = {СИ,РИ) называется и обозначается 1111 0(Рп) = (Сп,Рп), /X Ри ) = А( Р,) о, В( Рн), для которой имя Сп=СА*Св определяется конкатенацией имен СА и Св, а множество признаков принадлежности определяется следующим образом: Рв = РА^РВ:
Ро = {< / (/]),},] = 1,т/Р (/]) = тах(/лА (/]),/ (/])),
где /А (/.), /в (/.) - степени принадлежности признака ^ соответственно к ПП А(Ра)и В(Рв) ; и - нечеткая операция объединения по [4].
Таким образом, 1111 0(Рп) включает те и только те объекты аДХ), которые одновременно удовлетворяют требованиям условий РА и Рв, то есть 1111 0( Ри) нечетко покрывается и А(Ра), и В(Рв). Например, пусть А( /•',) - 1111 с названием «длинные объекты», а В(Рв) - «и острые объекты», тогда 0(Рп) = А(Р1)гл В(Р),) является ПП с названием «длинные и острые объекты».
Объединением 1111 А(Ра) и В(Рв) называется и обозначается 1111
@(Ра ) = А(Р! )>иВ(РЛ @{Р@) = (С@,РВ), для которой имя С@ определяется конкатенацией имен СА, Св, определяемой связкой « ИЛИ », а
р _ \ ¥АпРв, если ¥ * 0;
@ VРв), если ¥ ^Рв = 0,
1'а = {< //Л (/,),/,!,./ = (./',) = т1п(//, (/';),///((/';)), где п - операция
нечеткого пересечения множеств по [4]; РА и Гв - носители нечетких множеств РА и РИ; (РА\/РВ) - запись, означающая, что множество условий принадлежности состоит из двух множеств РА и Рв, и любой элемент базового множества /I является элементом 1111 @(Р@), если он удовлетворяет требованиям хотя бы одного из множеств РА или Рв .
Нечеткая 1111 А(Ра) называется каузально-зависимой, если имеется доминирующий признак Я, определяющий ее название СА, например, «летающие существа», а множество РА является множеством причин и сопричин, влекущих за собой выполнимость следствия:
Ча, (X)е А( Р а )[М (а, (X г ),Я)],
где М(а/(Х/),Я) - высказывание «объект а1 (X) обладает признаком Я». Степень истинности этого высказывания задается величиной, равной степени вхождения
у(Ра,Хг) нечеткого множества Ра в нечеткое множество X, .
Найдем степень сходства р(а1(Х1.), а1(Х1.)) двух объектов и а^Х^ по
доминирующему признаку Я при условии, что аг(Хг),аг (Хг) § А( /•',) . Данная степень вычисляется следующим образом:
р(аХХг),а;(Хг:)) = (1-р(аг(Хг),а;(Хг:))Х1,
где ХЯ - поправочный коэффициент по признакам принадлежности различных элементов к множеству РА, который берётся как абсолютная величина разности:
Х1 = |К¥Д)-К¥Д')|;
" усредненное значение нечетной степени сходства объектов
аг(Х)иа:(Х).
Усредненное значение степени сходства объектов будет определяться согласно следующему выражению:
п
р\а1(х1),а1(х1))=(2>л(/;) **
j=1
где цх (f), fj,'x (f) - степени присущности характеристик f соответственно к множествам X. и X' характеристик объектов aj(Xj) и а'.(Х); - операция нечеткой
эквивалентности, которая берется следующим образом [4]:
min(max(l - /лх (fJ), jlix (fJ)), max(l - jli, (fj), //, (j))))
m =max(m,m1) ; т,щ - соответственно мощности множеств X. иХ . Использование усредненной оценки степени сходства объектов ai (Xi) и ai (X]) обусловлено тем, что множества характеристик Xi и Xi для различных объектов обязательно содержат различные элементы, а это может привести к тому, что при значительном общем сходстве объектов, являющихся различными по заданному признаку, степень их сходства будет принимать нулевое значение.
Заключение. В статье было определено понятия условно-зависимой предметной переменной и определены ее основные свойства, позволяющие организовать вывод умозаключений, на основе условно-зависимых предикатов, предметные переменные, в которых определяются с помощью условно зависимых ПП. Это обеспечивает вывод только истинных умозаключений в немонотонных средах на основе выделения в них монотонных участков вывода. Используя традиционные правила вывода умозаключений, в которых посылки формируются в виде условно зависимых предикатов могут быть построены различные правила вывода истинных умозаключений в немонотонных средах на основе причинно-следственных ограничений, накладываемых на объекты произвольной проблемной области.
Библиографический список:
1. Поспелов Д.А. О человеческих рассуждениях в интеллектуальных системах. В кн.: Логика рассуждений и ее моделирование // Вопросы кибернетики. -М.: АН СССР. 1982.
2. Тейз А., Грибомон П., Луи Ж. и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию. -М.: Мир, 1990.
3. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986.
4. Мелихов А.М., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990.
5. Берштейн Л.С., Ильягуев П.М., Мелехин В.Б. Интеллектуальные системы. -Махачкала: Дагкнигоиздат, 1996.
