Теоретические основы для решения граничных задач электродинамики в киральных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.8:517.2

Радиотехника и связь

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В КИРАЛЬНЫХ СРЕДАХ

К.П. Пискунов, О.А. Соколова, А.В. Тишуков, А.П. Ярыгин

На основе модельных представлений о физической природе плотности тока проводимости в киральных средах и применения новых нормирующих условий для вспомогательных векторных и скалярных потенциалов предложен методический аппарат описания гармонических полей в произвольных неоднородных киральных средах

Ключевые слова: киральная среда, диэлектрическая и магнитная проницаемость, параметр гирации

Для исследования электродинамических свойств киральных сред и структур недостаточно двух общепринятых материальных параметров -диэлектрической е и магнитной ц проницаемостей,

поскольку дополнительно (по аналогии с молекулярной теорией оптически активных сред) вводится параметр, характеризующий киральность среды р (в оптике - параметр гирации).

Необходимо отметить, что материальные уравнения, связывающие векторы электрической Б и магнитной В индукции с напряженностями электрического Е и магнитного Н полей через параметры е, ц и р, могут принимать различный вид. При этом известны материальные уравнения Поста, Теллегена, Кондона, Борна-Федорова и др., которые формально равносильны в том смысле, что они феноменологически верно описывают (электромагнитную) активность однородной киральной среды. Однако, как было показано в [1], с позиций закона сохранения энергии единственной формой, удовлетворяющей данному закону, является форма материальных уравнений Борна-Федорова, которая имеет следующий вид:

В = е

(Ё+гсйЁ), В = ц(Й + ргоШ),(1)

которые в совокупности с системой уравнений Максвелла:

_ 4ж _ —

гоШ = -МУ + — ]; гсйЕ = ¡кВ: с

сП\ В = 0 : сП\ С> = 4лр.

(2)

Пискунов Константин Павлович - ГНИИИПТЗИ ФСТЭК России, канд. техн. наук, нач. отдела, тел. (4732) 244-76-38 Соколова Ольга Анатольевна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 244-76-38

Тишуков Андрей Владимирович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», адъюнкт, &-mail: aboltys2006@mail.ru

Ярыгин Анатолий Петрович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 244-76-38

где к = 2л://. - волновое число; р - объемная

плотность электрических зарядов в среде, ] -плотность тока проводимости, образуют полную систему уравнений, описывающих распространение ЭМВ в киральных средах.

Развивая методологию решения задач распространения электромагнитных волн в киральных средах, представим плотность тока

проводимости ] в виде суммы плотностей линейного (-Гь ) и циркулярного () токов проводимости [2]:

I = += сг(Е + ргогЁ),

= стЕ,

= Ра • кйЕ .

(3)

(4)

(5)

Подставив выражения (3-5) в систему уравнений Максвелла для киральной среды, можно переписать ее в следующем обобщенном виде:

гоШ = -М(Ё + р-гоШ);

гсЛЕ = ¡к|1 (н + р • го®);

<иу[е(Ё + р-кЛЁ)] = 0; (6)

Шу[Ц(Н + Р-ГОШ)] = 0,

где точки над е и ц означает их комплексность (т.е. введем в рассмотрение поглощение киральной среды).

Для разрешения системы (6) традиционно [2] будем исходить из соленоидальности векторов

ё (е + р • пМ Е | и + р • гоШ |, из чего следует, что

эти векторы можно представить с помощью некоторых других векторов в виде

£ (Ё + р • кйЁ) = кйА ,

ц(н + р-гоШ)

= гсМЛ.

(7)

Подставляя

(7)

(6),

получим

rot|H + ikAj = 0 и rot^E-ikAj = 0, т.е. векторы

Н + ikA и Е - ikA являются потенциальными, поскольку дифференциальная операция rot определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции Q-' (т.к.

rotVC = 0 ). Следовательно, векторы Н и Е могут быть выражены через некоторые векторный и скалярный электродинамические потенциалы в следующем виде:

Н = -ikA -VQ ; E = ikA-VC.

(8)

Подставив (8) в уравнения (6) и воспользовавшись произвольным характером задания векторных и скалярных потенциалов, находим, что при выполнении нормирующих условий:

ikprotA = VQ,

_„*

-ikprotA =VC*

(9) (10)

уравнения (6) могут быть записаны в следующем виде:

_, _„* _„* _»

rotA = -ik|!A , rotA = -ikeA;

div [¿A J

= 0, div

|IA

= 0. (11)

Если в (11) ввести новые переменные

Ел = ¡кА и Нл = 1кА , имеющие размерность напряженностей электрического и магнитного полей, то исходной системе уравнений Максвелла для гиротропных сред (6) можно поставить в соответствие характеристическую систему уравнений для некоторых локальных электрических и магнитных полей [2]:

кМ Е , = ЧкцНл, гоШ, = ¡кеЕл;

div^eEn J

= 0, div

|Шл

= 0. (12)

При этом напряженности магнитных и электрических полей исходной системы (6) могут быть выражены через введенные локальные

напряженности Ел и Нл следующим образом:

Н = Нл + Р• гоШл, Ё = Ёл+Р-го1Ёл. (13)

Характеристическая система (12) не содержит в явном виде информации о гиротропности среды и может быть разрешена описанным ниже методом

для негиротропных сред, поскольку в этом методе не предъявляется ограничений на вид функций е и ц, которые могут зависеть как от пространственных координат, так и от параметра р , характеризующего гиротропность среды.

Из соленоидальности вектора цН, следует, что его можно представить с помощью другого вектора в виде

|1Нл = rotA,

(14)

где А - произвольный вектор. Из этого следует, что rot (Е-ikA) = 0, т.е. вектор Е-ikA является

потенциальным, поскольку дифференциальная операция rot определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции ф (т.к.

rot Уф = 0). Тогда вектор Е может быть выражен через некоторые векторный и скалярный электродинамические потенциалы

Ел =ikA-^

(15)

Подставляя (14) и (15) в первое уравнение

системы (12), получим

_ _ уц -

-ДА + Vdiv А--- х rotA =

А . (16)

(k2A + ikVcp)e|i

Пользуясь произвольным характером задания векторного и скалярного потенциалов из уравнения (16) находим, что при выполнении нормирующего условия

Vdiv А - ¡кё|1Уф = ^ х rotA (17)

А

векторный потенциал А подчиняется однородному волновому уравнению

ДА + к2б|1А = 0.

(18)

Следует отметить отличие нормирующего условия (17) от традиционного нормирующего условия Лоренца

divA - iki':fj/|) = 0,

(19)

которое изначально было записано для однородной среды. Действительно, для однородной среды (ё = const, |i = const) правая часть (17) тождественно равна нулю, а операция градиента V может быть вынесена за скобку, в результате может быть записано следующее выражение:

v(divA-ik6|>)oodivA-ik6|i + C0 = 0 , (20)

в

где С - некоторая произвольная константа, которая для удобства полагается равной нулю. При С = 0 из (20) следует традиционное нормирующее условие Лоренца (19), которое многими авторами используется при рассмотрении электромагнитных полей в неоднородных средах (что они, конечно же, имеют право сделать). Однако, если изначально преследовать цель упрощения исходного уравнения (16), то становится очевидным, что для рассматриваемых неоднородных сред правильней было бы пользоваться новым нормирующим условием (17), так как это условие в отличие от (19) всегда приводит к классическому векторному уравнению Гельмгольца (18).

Поскольку в определении компонент вектора

Ел (15) используется не сам потенциал ф, а его градиент, который может быть найден из нормирующего условия (17) как

1

iksja

— VLI — -VdivA н—— х rotA

(21)

то вектор Ел может быть выражен только через векторный потенциал А. Вводя обозначение А = -¡кС, для векторов Ел и Нл можно записать следующие выражения:

Ел =k G +

J_

ёц

VdivG - — х rotG

J_

¿(j.

(22)

rotrotG - — x rotG

Нл = -—rotG.

A

Вектор С, через который находится частное электромагнитное поле по формулам (22), будем называть электрическим вектором циркулярного смещения, а определяемое им поле - полем магнитного типа и обозначать ТМ.

Аналогичным образом можно найти частное электромагнитное поле при использовании свойства

соленоидальности вектора ёЕл. Для этого в рассмотрение вводятся некоторые вспомогательные

векторный и скалярный электродинамические

_,*

потенциалы А и ф*. Тогда для системы (12) может быть построено другое частное решение, имеющее следующий вид:

—* , Ve —*

VdivA + iki':jlVc|) = — xrotA (25)

6

и введении обозначения А = ¡кС (А и С являются при выбранной нормировке решением волнового уравнения (18)) может быть переписано в следующем виде:

ik

ё

Е л=—rotG

Нл = к G +-

ец

Ve —* VdivG--х rotG

J_

¿|i

Ve —* rotrotG--xrotG

(26)

. (27)

Вектор С , через который находится частное электромагнитное поле по формулам (26) и (27), будем называть магнитным вектором циркулярного смещения, а определяемое им поле - полем электрического типа и обозначать ТЕ.

Из вышеизложенного следует, что электромагнитное поле для условий неоднородной среды может быть всегда разложено на два частных поля, одно из которых определяется через электрический вектор циркулярного смещения по формулам (22), а второе - через магнитный вектор циркулярного смещения по формулам (26), (27). Суперпозиция этих частных решений даёт общее решение системы уравнений (12):

Ёл^ ¿(1

rotrotG-—xrotG

+—rotG*, (28) £

Нл =-

ец

_» Ve —* rotrotG--xrotG

+ —rotG. (29)

A

Из (22) и (26), (27) можно установить частную связь введённых векторов электрического и магнитного циркулярного смещения G и G* с хорошо известными электрическим и магнитным векторами Герца П и П* [3] для однородной среды (ё = const, (1 = const). В этом случае для векторов

Герца и векторов G и G* можно записать следующие соотношения:

G = ejin, G* =ёцП*.

(30)

*

1

*

1

- 1 —*

Ел =-rotA, (23)

ё

_„ _,*

Ил=-\кА-Щ\ (24)

которое при выполнении нормирующего условия

Для случая неоднородных сред такой простой связи между П, П* и С, в* уже построить не представляется возможным. Это обстоятельство показывает принципиальное отличие векторов Герца П, П* от введённых векторов электрического и магнитного циркулярного смещения б и б*.

При решении конкретной граничной задачи для заданной симметрии граничных условий и свойств среды бывает удобней пользоваться или вектором G, или вектором G*, или и тем и другим вместе. При этом по соотношениям, связывающим G и G* с векторами электромагнитного поля Ед и Нд, могут быть определены граничные условия для вспомогательных векторов G и G*, отвечающих граничным условиям для векторов Ед и Нд Общее граничное условие для тангенциальных составляющих электрических полей (в т.ч. и в киральных средах) имеет стандартный вид

[пЕ1]=[пЕ,],

(31)

где п - нормаль к границе раздела сред, индексы 1 и 2 относятся к соответствующим граничащим средам. Для случая, когда одна из граничащих сред идеально проводящая, граничное условие записывается в виде

ЦпЁ1 ] = 0.

(32)

Отметим, что с использованием описанного выше подхода решается общая задача по определению напряженностей электрического Е и магнитного Н полей, которые включают ЭМВ левой и правой циркуляции и которые могут быть явно разделены при решении граничной задачи конкретной симметрии и свойств среды. Наиболее просто данная задача решается для однородной

непоглощающей среды. В этом случае ЭМВ левой и правой циркуляции разделятся следующей подстановкой:

E = El + ER , H = i(ед)12 [Er - El). (33)

Для сред с произвольными киральными свойствами задача разделения циркулярных компонент ЭМВ носит боле сложный, но математически преодолимый характер.

Таким образом, на основе модельных представлений о физической природе плотности тока, проводимости в киральных средах и применения новых нормирующих условий для вспомогательных векторных и скалярных потенциалов построен методический аппарат описания гармонических электромагнитных полей в произвольных неоднородных киральных средах. Данный методический аппарат позволяет проводить постановку и решение различных граничных задач электродинамики, точное решение которых для неоднородных сред ранее вызывало существенные математические трудности.

Литература

1. Федоров, Ф.И. Теория гиротропии [Текст] / Ф.И. Федоров. - Минск: Наука и техника. - 1976. - 352 с.

2. Пискунов, К. П. Метод векторных и скалярных потенциалов для негиротропных и гиротропных неоднородных сред [Текст] / К. П. Пискунов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2006. - Т. 11, № 11 - С. 27-31.

3. Стрэттон, Дж. Теория электромагнетизма [Текст] / Дж. Стрэттон. - М.: Гостехиздат. - 1948. - 296 с.

Государственный научно-исследовательский испытательный институт проблем технической защиты информации Федеральной службы по техническому и экспортному контролю России (г. Воронеж) Воронежский государственный технический университет

Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

THEORETICAL BASES FOR THE SOLUTION OF BOUNDARY TASKS OF ELECTRODYNAMICS IN THE KIRALNY ENVIRONMENTS

K.P. Piskunov, O.A. Sokolova, A.V. Tishukov, A.P. Yarygin

On basis of simulative representations about physical natures of the density of conduction current in the chiral mediums and assessment new normalizing conditions for auxiliary vector and scalar potential is offered methodical apparatus of the description harmonious fields in the random unhomogeneous chiral mediums

Key words: kiralny environment, dielectric and magnetic conductivity, giration parameter