Экстремумы вектор-функции индукции вращательно-симметричного магнитного поля стационарного контурного тока в "сферическом" многосредном пространстве Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 658.011.054 Ю. И. Лютахин

ЭКСТРЕМУМЫ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ИНДУКЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ СТАЦИОНАРНОГО КОНТУРНОГО ТОКА В «СФЕРИЧЕСКОМ» МНОГОСРЕДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Предлагается численно-аналитический метод расчёта экстремальных значений индукции магнитного поля стационарного кругового контурного тока в сферическом пространстве магнитно-разнородных сред. Для случая экваториального расположения витка с током условия экстремума вектор-функции индукции доведены до законченного аналитического решения в явных функциях.

Особенности функционирования, а также большое разнообразие конструкций электромагнитных систем со сферической геометрией, применяемых в электроприводах сканирующих, гироскопических, навигационных и робототехнических устройств; в установках, обеспечивающих электромагнитную совместимость режимов работы электрооборудования, требуют создания адекватных математических моделей, малозатратных методов проектирования и методик расчёта.

Существующие модели [1-13] дают полезную информацию для решения конкретных задач, однако они не учитывают возможности произвольного варьирования числа сред; накладывают ограничения на значения магнитных проницаемостей материалов сред; не позволяют определять экстремальные значения индукции магнитного поля, характеризующие магнитный режим работы магнитопровода электромагнитной системы. Нет опубликованных работ по методике инженерного расчёта и проектирования аналогичных систем.

Характер и поведение поля электромагнитной системы полностью определяет её качественные свойства и количественные характеристики, параметры. По этой причине одним из эффективных направлений исследований является математическое моделирование электромагнитных полей с доведением конечного результата до выражений в явных функциях и последующее создание САПР. При этом, в силу сложности электромагнитных процессов, целесообразным является использование при проектировании моделей магнитных полей стационарных токов с последующим уточнением на основе теоретической и экспериментальной коррекции методик расчёта.

С этой целью целесообразным является использование классического исследования вектор-функций, описывающих электромагнитное поле на максимум и минимум [14-17].

Для облегчения решения поставленной краевой задачи, представим реальную электромагнитную систему в виде модели: круговой, бесконечно тонкий виток со стационарным током осесимметрично расположен в одной из областей пространства, разделённого софокусными, сферическими поверхностями на произвольное количество областей, занятых магнитноразнородными изотропными средами (см. рис.). Поле же, созданное током реальной катушки с конечным поперечным сечением, определяется суперпозицией полей совокупности бесконечно тонких витков [12, 16, 18].

На основании теории классической электродинамики и решения краевой задачи, поле в любой точке области определяется суперпозицией полей возбуждения и искажения. Векторный магнитный потенциал — из выражения

Гр,р+1

Электромагнитная система

Индукция магнитного поля — из выражения

А(Р )=гс1 А[р).

А(Р) = А^Р У +

(1)

С учётом вращательно-симметричной геометрии имеем

Л(р } = А#%; Б^Л^ + їв Б(р),

(3)

где і, ід, і<р — ортогональные орты сферической системы координат; р — индекс среды.

Векторный потенциал поля возбуждения бесконечно-тонкого кругового витка в однородном и изотропном пространстве с учётом вращательно-симметричной геометрии определяется из выражения [1, 19]:

^ г Црїа2Г віпв ~ 2и і + і и+1 2і - 1

Л =і(р7"2 2 о л ^3/2 ^ 111 + і 11 2 і

(^ + г2 -2г0г совв + а2] п=0і=о1 +і і=і 2І

2аг віп в

^ + г2 -2г0гсовв + а2^

2п

(4)

где Цр — абсолютная магнитная проницаемость р-среды магнитной системы, Гн/м; а = гс — радиус окружности контура тока, м; I — величина тока в витке, А; zo — сдвиг плоскости витка вдоль оси в = 0; р = 0,1,N — индекс среды системы; п = 0,1,.те; г = 0, 2,..2п; ] = 1, 2,п +1 — немые индексы; г, в, ф — координаты сферической системы. Область определения функции (4) — все бесконечное пространство г & 0; 0 ^ в ^ п; 0 ^ ф ^ 2п, за исключением контура тока.

Компоненты вектора индукции В(р) неискажённого магнитного поля витка с током в р-среде пространства с учётом выражения (2) определяются следующим образом:

БврУ (г; в) =

2рр1а2(г сое в - z0)

оо 2п 1 + і

(^2 + г2 -2z0гсовв + а2)3/2 (г^ + г2 -2z0гсоев)1/2 п=оі=і 1 + і

п+1

*П

і=1

2 І -1 2 І

2аг віп в

^0 + г2 - 2^0г сов в + а2

2п

(п + 1), (5)

X

Бвр V; в) =

-p.pl а2 г віп в

<» 2п 2 + і

-----------У П- .

^2 + г2 - 2z0г сов в + а2)3/2 (г^ + г2 - 2z0г сов в)1/2 п=0г=1 1 + і 2(п + 1)а2 - + г2 - 2z0г сов в (2п +1) ^ 2і - 1

z0 + г2 - 2z0 г сов в + а2

ІЬ і

2аг віп в

^0 + г2 - 2z0r сов в + а2^

2п

(6)

Область определения функций (5) и (6) та же, что и для функции (4).

Согласно принципу наложения или суперпозиции неискажённого поля и поля искажения [1, 12, 16, 18], векторный потенциал поля искажения обусловленного, лишь неоднородностью пространства, является решением уравнения Лапласа

Ді(Р)" =0.

(7)

В сферической системе координат, во вращательно-симметричном случае, система трёх скалярных уравнений Лапласа, соответствующая векторному уравнению (7), эквивалентна одному скалярному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных относительно одной неизвестной (ф — компоненты векторного потенциала), а остальные его компонен-

ты АТ = Лір>) =0:

д

дг

(р)"

V

дг

1 д віп в дв

віп в-

дЛ

(р)"

V

дв

Л

(р)" ср

У

віп2 в

= 0.

(8)

С использованием метода разделения переменных, общее решение уравнения (8) представляется комбинацией его частных решений вида

ЛТ(г; в) = X (спР+\гп+1 + ^1 г-п-2)^+1 (совв).

п=0

(9)

+

Компоненты индукции магнитного поля искажения в р-среде определяются, с учётом формулы (2), из выражений

>(р)'

те . .

ВТ (г; в) = £ Ср\гп + пЩхг-п-3 [Р1п+1 (сое в) - Р1-1(ео8 в)], (10)

п=0V '

оо

В(врГ(г;в) = -£ [С(р+\гп (п + 2) - Пр)1г-п-3(п + 1)) Р1+1 (со»в), (11)

п=0' '

(р) (р)

где С п и Пп — постоянные коэффициенты интегрирования, определяемые для каждой среды системы из решения краевой задачи преломления магнитного поля; Р 1+1 (со»в) — присоединённые функции Лежандра первого рода. Из условия инвариантности тангенциальной составляющей напряжённости Н магнитного поля при переходе через границу раздела двух сред р и р+1 [17, 19] имеем

Нр) (гр,р+1; в) = н(р+1) (гр, р+1; в), (12)

где гр,р+1 — радиус граничной сферы. С учётом В(р) = ЦрН(р\ из выражений (2), (3), (6) и (11)

получается первая бесконечная подсистема алгебраических уравнений, содержащая п^ -1) уравнений:

Н-1 (с(р)1( п + 2)гр р+1 - п р)1( п +1)г-"р-3) = Н-+1 (С!гр+11)( п + 2)гр р+1 - п р+11)( п+1)г-"р-3). (13)

Из условия инвариантности модуля векторного потенциала при переходе через границу раздела сред

| А(р) (гр,р+1; в)| = |В(р+1) (гр,р+1; в)| (14)

с учётом выражений (1), (4), (9) получается вторая бесконечная подсистема, содержащая п N -1) алгебраических уравнений вида

(С (р+1) _ с (р) ) п+1 + (п (р+1) _ п (р) ) г-п-2 = (2п + 3) [н-р - Н-р+0 1а 2гр, р+1 те П 1 +г v

^ п+1 п+^ р, р+1 ^ п+1 п+^ р, р+1 2 (п + 2) (п + 1) £0 Ц1 + г

Y+2Іz1 (9 )2^________________81п2^+2вРп+1 (С08в) -в_

П 2у I агр’р+1 0 ц2 + г2,р+1 -2^гр,р+1С08в + а2)2^3^ ( )

Так как поле конечно при г = 0, и неограниченно мало при г ^ те, то подсистема (15) дополняется уравнениями: Пп+1 = 0 и С(^) = 0; здесь р = 1; р = N —индексы крайних внутренней и внешней сред магнитной системы.

Для случая расположения витка в экваториальной плоскости ^0 = 0 правая часть уравнений (15) примет следующий вид:

п(2п + 3) (Нр - Нр+0 1а -24 1 + г s++2i - 1 (2агр< р+И^1 ( 1

Ь =--^^ 2

4уП (п + 2) (п + 1)^/г^, р+1 + а2 5=0 г=0 1 +г i=1 2]

г2

р, р+1

,5 + 2

* ^^0(l+вs+3+x^)(l - в^++Ы(l+iв+Ы(l++-У•(16)

Таким образом, составляя систему уравнений из подсистемы (13) и подсистемы (15), получаем 2п уравнений: Пп+1 =0 и С^+1 =0. Принимая во внимание (16), можно определить постоянные С и П, а, следовательно, магнитную индукцию поля искажения. Модуль результирующей

индукции магнитного поля в любой точке магнитной системы определяется из выражения

|В(р) | = у! (в(р)' + В(р)'' )2 + (в (р)' + В(р)'' )2. (17)

Условие экстремума векторной функции записывается в виде [16, 17]:

-В

-р = 0, (18)

аг

где г — радиус-вектор. Направление дифференцирования функции В осуществляется вдоль единичного вектора Вгг для радиус-вектора. Производная по этому направлению определяется из выражения

-в ,

-7T = |iV vl В dir

(ir v),

(І9)

Так как в конкретном случае магнитное поле имеет вращательно-симметричную геометрию (3), с учётом [16] имеем

- 1

(ir v)H = 2

rot » x В j + grad В lr j - H |divi'r j + lr (divH) - H x |rot i'r j - lr x (rot В)

(20)

В силу соленоидальности магнитного поля div.B = 0, а так как, кроме того, divi'r = 0, то rot ir = 0.

В данном случае

В xi'r = -Bqip, Bir = Br. (21)

Тогда с учётом выражений (21) можно записать

— В 1 г Г ) і

— = 2 [rot (-Ввiv) + qradBr - ir x (rotВ)J.

В сферической системе координат с учётом выражения (З) и условия

дВв 1Вг

дф дф

= 0

(22)

(2З)

можно записать

-h в

dr 2

дВг 1(дВв

17 - r 1» +Вв ag<>

H (Вв дВв

+ ПТ + 17

(24)

Векторному уравнению (18) соответствует с учётом выражения (24) система двух скалярных алгебраических уравнений:

І віпв (гдБг - дБв)- Бв совв = 0 (25)

I Бв + гдв = 0 (25)

в которой частные производные от компонент вектора индукции магнитного поля для р-среды с учётом выражений (1), (2), (17) имеют вид:

дВ

(p)'

2ipIa

ж 2n 0,5+ i n+l2j - 1

У п п .

1г (z^ + r2 - 2z0r cos в)05 n=o i=0 t + i j=l 2j (zJ + r2 - 2z0 r cos в + a2)

(n +1) (2ar sin в)

2n

x cos в + (r cos в - z0)

zJ + r 2-

z0cosв - r

2n+1,5

2n (2n + l,5)(2z0cosв - 2r) + — +

zJ + r2 - 2z0r cos в r zJ + r2 - 2z0r cos в + a2

•, (26)

дВ

(p)''

1г

ж(

n=0

c(p)) nrn-1- D(p)

n+1

np+)l(n + 3)r n 4j (n + T)Pt+2(cosв) - (n + l)cosвР^ (cosв) (sinв) t, (2?)

дВ

(p)'

-IpIa2r sin в

E

(2ar sin в)

2n

2n 0,5+ i'n+l2 j -1

дв (z^ + r2 - 2z0r cos в) 05 n=o (zJ + r2 - 2z0r cos в + a2)2n+2’5

П

i=0 1 +i j=1

x (2n + l)2z0 r sin в +

2(n + l)a2 - ^ + r2 - 2z0r cosв|(2n +1)

2j

ctg в(1 + 2n) - z0r sin в x

1 (2n + 2,5)2

zJ + r2 - 2z0r cos в z2 + r2 - 2z0r cos в + a2

•, (2B)

r

X

X

X

дБ,

(р)"

дв

^ { \

■■ -(81пв)-1 £ [с^г12(п + 2) - Б^г-п-3(п+)) [(п +1)Р1+2(С08в) - (п + 2)008вР^ (008в)], (29)

п=0 ' '

дБ

(р)'

дг

-рр1а2г 81п в

л 0,5

2п 0,5+ г п+12] - 1

у .

(г2 + г2 -2г0г008в)и,ь п=0г=0 1 + г ]=1 2] (^0 + г2 -2г0г008в + а2)

(2аг 81п в)

2п

2п+2,5

| ^2z0 008в - 2г|(2п +1) + 2(п + 1)а2 - ^ + г2 - 2г0г 008в|(2п +1)

2п + 1

(г0008в - г) (2п + 2,5)(2г0008в -2г)

+

г ^0 + г2 -2г0г008в х^ + г2 -2г0г008в + а2

(30)

дБ

(Р)''

дг

[сп+)1гп-1(п + 2)п + Б^г-п-4(п + 3)(п + 1))Р1+1 (008в).

п=0 '

(31)

После подстановки (3) (6), (26)-(31) в (25) получим систему двух алгебраических уравнений с неизвестными г и в из которой определяются пары г и в, являющиеся координатами точек, в которых индукция магнитного поля Б имеет экстремумы.

Таким образом, для оценки состояния магнитной системы р-среды получена зависимость в виде (25), которая позволяет определить индукцию магнитного поля только в той точке, где она имеет экстремальное значение.

Для случая, когда контур витка с током лежит в экваториальной (20 = 0) плоскости магнитной системы (из физических соображений ясно, что точки максимума лежат в плоскости в = П), необходимо решить второе уравнение системы (25).

Для этого представим второе уравнение системы (25) в виде

, дБв

Бв + г= -дг

д_Щ[

дг

(32)

Подставляя в формулу (32) выражения (6), (30), (31), после преобразований для р-среды получим

, д_% рр1а2 ~ 2п

в + г дг (г2 + а2)^ п=0 г=0 1 +

~ 0,5+ г п+1 2] - 1( 2аг \2п , 2

ЕП7— П ЬЫ [2а2(п +1)(1 + 2п) -

п=0 г =0 1 + 1 ]=1 2 ] V г + а >

2 2г4(2п + 1)(2п + 2,5)-4а2 г2(п + 1)(2п + 2,5)

-г (2п +1)(3 + 2п) +---------------------^^----------------------

, (33)

д_К

дг

^ г = Е Р^+1(008в) С^ (п + 1) (п + 2)гп + сп+)1(п +1)(п + 2)г

п=0

п3

(34)

Согласно [19], правая часть выражения (34) представляет собой разложение в ряд по присоединенным функциям Лежандра левой части выражения (33). Такое разложение представляется в виде [19]:

/(г; в) = £ ап+1 ^+1(008в), п=0

где для коэффициентов разложения имеем

ап+1 = Сп+)1(п + 2)(п + 1)гп + Б [р)(п +1)(п + 2)г-п-3.

п+1

(35)

(36)

Из [19] известно, что любую регулярную функцию, определённую в интервале (0, п), можно разложить в ряд по присоединённым функциям Лежандра:

¥ (г; в) = £ Ап+1Р1+1(008 в).

(37)

п=0

X

X

X

X

Так как функция, записанная в виде выражения, стоящего в левой части формулы (33), на основании (4) определена в интервале (0, п), кроме точек, расположенных на контуре витка с током, разложим её в ряд (37). Согласно [19] коэффициенты разложения этой функции имеют вид

П

An+1 = 2(n + 1) + 1 f F (0)Pi+1 (cos в) sin в d в. (38)

2(n + 1)(n + 2)J n+^ v ’

0

Заменяя переменную x = cos в в выражениях (33), (38), немой индекс n на s в выражении (33) и подставляя правую часть выражения (33) вместо F(r; в) в формулу (38), получаем

An+1 = -

(l+2(n + 1))Upla2 “ 25 0,5+ i s±l 2j - 1

-УП П:

2(n + 2)(n + 1) (r2 + a2)2’5 s=0 і=0 г + i j=1 2j

2ar

p,p+1

r2 + a2

rp,p+1 + a

2s

2(о 1)(о о ) 2г4(2Х +1)(2Х + 2,5) 4а2г2(5 +1)(25 + 2,5) Г , 2)3+0,5 1 , /оп\

-г (2х + 1)(3 + 2х) +------------2---2--------------- (-1 -х ' Р«+1(х) ^х. (39)

-1

Замена в подынтегральной части выражения (39) р = 1, у = п+1, А = з +1,5 приводит этот интеграл к известному определённому интегралу [20]:

Г , 2)Л- 1 р п2рГ (А + Р) Г (А - Р)

_/(1 ^ ^ Г(А + } + 1)Г(А-X)Г(1 -р + йГ(2-р-2), <40'

где А, р, у — комплексные параметры, причём 2ИеА > |Иер|, что справедливо для решаемой задачи; Г(з) — гамма функция.

Согласно (40), определённый интеграл, присутствующий в (39), преобразуется к виду

2a2(s + l)(l + 2s) -l

2пГ (s + 2) Г (s +1)

Г (s + 2 + 3) Г (s +1 - 2 ) Г (1 + f) Г (-W

L = -;--------------------------- , ( , .------D- (41)

n n n n +1

Таким образом, если учесть выражения (35), (37), то левая и правая части формулы (32) являются разложением в ряд по присоединённым функциям Лежандра. Эти ряды будут равны в том случае, если соответствующие члены правого ряда будут равны членам левого ряда выражения (32). Применяя метод сравнения рядов и учитывая, что члены ряда (35) отличаются от членов ряда (37) только коэффициентами разложения, можно заключить, что ряд (35) будет равен ряду (37) в том случае, если соответствующие коэффициенты разложения (36) будут равны коэффициентам разложения (38). Условие равенства рядов имеет вид

ап+1 = Ап+1, (42)

где п = 0,1,..., те.

Поскольку для рассматриваемой модели геометрия электромагнитной системы, кроме осевой симметрии, приобретает ещё и симметрию относительно плоскости в = П, и Р 1+1 (008в) = 0, где п — нечётное число, то в приведённых выше выражениях (34)-(39), (41) для магнитного поля необходимо заменить индекс п+1 на 2 п+1 [20], оставив при этом индекс суммирования рядов без изменения. Приравнивая коэффициенты разложения согласно выражению (42) для всех членов ряда выражения (32), получим бесконечное число уравнений, содержащих только одно неизвестное г. Одинаковые корни для всех этих уравнений будут являться решением второго уравнения системы (25) и координатами точек, в которых вектор индукции магнитного поля имеет экстремальные значения.

Полученное аналитическое выражение в виде бесконечного числа уравнений с одним неизвестным может найти применение при автоматизированном проектировании аналогичных электромагнитных систем (в том числе, шаровых электродвигателей), так как позволяет с небольшими затратами времени на ЭВМ с высокой точностью определить координаты экстремумов вектора индукции магнитного поля в каждой из сред электромагнитной системы, если катушка обмотки представлена в виде системы софокусно расположенных в экваториальной плоскости круговых, бесконечно тонких витков с током, а также, если электромагнитная система

представлена такими катушками, повёрнутыми друг относительно друга на некоторый угол. Зная координаты точек экстремумов, по приведённой математической модели магнитного поля, можно определить в них значения индукции магнитного поля в каждой из сред электромагнитной системы, что, в свою очередь, позволит спроектировать электромагнитную систему, экстремальные значения индукции которой находятся в заданных пределах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дементьев, В. М. Вращательно-симметричное магнитное поле статического контурного тока в «сферическом» многосредном пространстве [Текст] / В. М. Дементьев, А. И. Скороспешкин / Электрические машины. Машинновентильные системы, коммутация коллекторных электрических машин: Межвузов. сб. научн. тр. — Куйбышев: КПтИ, 1978. — Вып. 4. — С. 65-72.

2. Фомин, А. А. Шар в поле витка с током [Текст] / А. А. Фомин // ЖТФ. — 1963. — Т. 33, Вып. 9. — С. 1021-1030.

3. Абламунец, И. Г. Вращающийся шар в поле витка с током [Текст] / И. Г. Абламунец, О. П. Прудников // ЖТФ. — 1990. —Т. 60, Вып. 6. —С. 1-12.

4. Гримальский, О. В. Метод расчёта трёхмерного электромагнитного поля тонких пластин и оболочек [Текст] / О. В Гримальский // Извест. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1990. — № 6. — С. 61-68.

5. Апполонский, С. М. Расчёт неоднородной экранирующей сферической оболочки [Текст] / С. М. Апполонский // Изв. вузов. Электромеханика. — 1986. — № 10. — С. 110-113.

6. Петленко, Б. И. Оптимизация комбинированного электромагнитного экрана по массе [Текст] / Б. И. Петленко, А. Е. Дергачев // Электричество. — 1990. —№ 11.—С. 62-65.

7. Лавров, В. Я. Применение принципа Гюгенса—Кирхгофа для идентификации электромагнитного поля в сферических координатах. [Текст] / В. Я. Лавров, А. В. Кирпанев, А. П. Пуханов // Техническая электродинамика.— 1990. —№ 6.—С. 18-22.

8. Замидра, А. И. Расчёт осесимметричного магнитного поля в системах со сферическим экраном [Текст] / А. И. За-мидра, А. И. Трохименко // Техническая электродинамика. — 1984. — № 4. — С. 21-26.

9. Граве, В. И. Намагничивание шарового ферромагнитного слоя и сплошного ферромагнитного шара в магнитном поле кругового контура с током [Текст] / В. И. Граве // Теоретическая электротехника (Львов) — 1987. — № 43. — С. 13-16.

10. Ивлиев, Е.А. О синтезе магнитных полей в слоистых средах [Текст] / Е.А. Ивлиев, Ю.Я. Иосиль, Л. А. Цейтлин // Электричество. — 1989. — № 2. — С. 88-89.

11. Калимов, А. Г. Применение интегро-дифференциального уравнения магнитостатики для расчёта тонкостенных ферромагнитных экранов [Текст] / А. Г. Калимов //Электричество. — 1999. — № 11. —С. 36-38.

12. Одилов, Г. Представление решения краевой задачи для уравнения электромагнитного поля электрической машины в свёрнутой форме [Текст] / Г.Одилов, Э. Хакимов // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. — 1985. —№ 5.— С. 16-21.

13. Петров, С. И. Электромагнитное поле в сферической полости с вращающимся шаром [Текст] / С. И. Петров // Изв. вузов. Электромеханика. — 1991. — № 3. —С. 20-26.

14. Лютахин, Ю.И. Алгоритм определения максимумов индукции магнитного поля электромагнитной системы шарового электродвигателя [Текст] / Ю. И. Лютахин, В. М. Дементьев / Специальные электрические машины: Межвузов. сб. научных тр. — Куйбышев: КПтИ, 1983. — С. 36-40.

15. Лютахин, Ю.И. Оптимальное проектирование электромагнитной системы шарового электродвигателя [Текст] / Ю. И. Лютахин / Электрические машины специального назначения: Межвузов. сб. научных тр. — Куйбышев: КПтИ, 1985. —С. 12-19.

16. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн.—М.: Наука, 1984. — 809 с.

17. Тамм, И.Е. Основы теории электричества [Текст] / И. Е. Тамм. — М.: Наука, 1976. — 616 с.

18. Штафль, М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах [Текст] / М. Штафль. — М.-Л: Энергия, 1966. — 200 с.

19. Шимони, К. Теоретическая электротехника [Текст] / К. Шимони. — М.: Мир, 1964. — 773 с.

20. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений. [Текст] / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик.— М.: Наука, 1971. — 638 с.

Самарский государственный технический университет, г. Самара

Поступила 13.05.2006