CC BY
10Труды МАИ. 2022. № 125 Trudy MAI, 2022, no. 125
Научная статья УДК 528.88
DOI: 10.34759/Ы-2022-125-19
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ КЛАСТЕРА МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Алексей Владимирович Кульвиц1, Тимофей Андреевич Житников2, Олег Юрьевич Михеев3
1,2,3Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского,
Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. В статье рассматриваются теоретические аспекты обоснования баллистической структуры кластера малых космических аппаратов (МКА). Сформулирована постановка задачи и обоснованы основные требования функционирования МКА в составе кластера, которые позволяют обеспечить решение целевой задачи. Проведен анализ параметров орбит МКА, формирующих кластер МКА и позволяющих обеспечить устойчивое относительное положение МКА в пространстве с требуемой периодичностью. Приведены результаты решения многопараметрической задачи поиска баллистической структуры и практические рекомендации.
Ключевые слова: малый космический аппарат, кластер МКА, баллистическая структура, пространственная конфигурация
Для цитирования. Кульвиц А.В., Житников Т.А., Михеев О.Ю. Теоретические аспекты формирования кластера малых космических аппаратов // Труды МАИ. 2022. № 125. DOI: 10.34759/trd-2022-125-19
Original article
THEORETICAL ASPECTS OF THE FORMATION OF A CLUSTER
OF SMALL SPACECRAFT
Alexey V. Kulvits1, Timofey A. Zhitnikov2, Oleg Yu. Mikheev3
1,2,3Mozhaisky Military Space Academy, Saint Petersburg, Russia 1,2,[email protected]
Abstract. The article discusses the theoretical aspects of the substantiation of the ballistic structure of the cluster of small satellites. For the ballistic justification of the small satellites cluster, it is necessary to solve several interrelated tasks. First, it is necessary to justify the parameters of the orbits, the functioning of which would allow the cluster to successfully solve the target task. Secondly, after launching the small satellites into orbit, it is necessary to provide the required configuration in space, which is determined by the ballistic structure. Thirdly, due to the influence of disturbing factors acting on the small satellites while moving in orbits, the configuration will collapse over time. Therefore, the stable relative position of the small satellites in the cluster can be provided by the justification of the ballistic structure in orbits of the same radius and inclination. For the three small satellites as part of the formation implementing the tasks of radio monitoring by the difference-rangefinder method
(DRM), acceptable performance indicators are achieved when the small satellites form an equilateral triangle during operation, since in this case the accuracy indicators of the DRM are optimal, while the on-board equipment also imposes restrictions on the formation in the form of minimum and maximum relative distances between satellites.
Over time, the triangle formed by three small satellites deforms, while the indicators of solving the target problem decrease.
Thus, the task is reduced to determining the set of parameters of the orbits of the small satellites cluster with a restriction on the relative position, which will ensure the maximum time functioning of three small satellites in the cluster of the required configuration.
The proposed approach to solving this problem is based on the decomposition of the problem of finding optimal parameters into two special cases, which make it possible to determine the range of acceptable variants of ballistic structures of the small satellites cluster and thereby significantly reduce the area of possible iteration when solving the optimization problem.
The analysis of the parameters of the small satellites orbits and the ballistic structures of the cluster makes it possible to ensure a stable relative position of the small satellites in space with the required periodicity. The results of solving the multiparametric problem of searching for a ballistic structure can be used at the stages of ballistic design of satellite systems consisting of clusters of small satellites.
Keywords: small spacecraft, cluster of small spacecraft, ballistic structure, spatial configuration
For citation: Kulvits A.V., Zhitnikov T.A., Miheev O.Y. Theoretical aspects of the formation of a cluster of small spacecraft. Trudy MAI, 2022, no. 125. DOI: 10.34759/trd-2022-125-19
Ведение
В настоящее время для решения задач дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) активно применяются спутниковые системы, состоящие из кластеров МКА [2,5,7]. Под кластером МКА понимается совокупность МКА различного целевого назначения, предназначенных для совместного выполнения общей целевой задачи и воспринимаемых потребителем как единое целое. Несмотря на широкое использование данного термина в научной литературе, иногда применяют и другие (например, в англоязычной терминологии «рой», «Formation Flying», в отечественной - «баллистически связанная группа КА», «формация» «космические аппараты группового полета») [1,3,4,6]. Способность приема информации с поверхности Земли одновременно всеми МКА кластера, позволяет существенно повысить характеристики наблюдения по сравнению с обычными спутниковыми системами. Это свойство активно применяется для целого спектра практических задач ДЗЗ. Кроме того, общая надежность спутниковой системы повышается, поскольку спутники могут частично заменять друг друга в случае поломок, так что неисправность одного спутника не влечёт утрату работоспособности всего кластера.
Постановка задачи Для баллистического обоснования кластера МКА необходимо решить несколько взаимосвязанных задач. Во-первых, необходимо обосновать параметры
орбиты, функционирование на которой позволило бы успешно решать целевую задачу. Во-вторых, после выведения МКА на орбиту необходимо обеспечить требуемую конфигурацию в пространстве, которая определяется баллистической структурой. В-третьих, из-за влияния возмущающих факторов, действующих на МКА во время движения по орбите, конфигурация будет разрушаться с течением времени. Поэтому устойчивое относительное положение МКА в составе кластера, может быть обеспечено обоснованием баллистической структуры на орбитах одинакового радиуса и наклонения [7,8,9,19].
В работе [11] установлено, что для тройки КА в составе формации реализующим задачи радиомониторинга разностно-дальномерным методом (РДМ) лучшим относительным положением является форма равностороннего треугольника, при этом бортовая аппаратура так же накладывает на формацию ограничения в виде минимального и максимального относительного расстояния между КА (dmin, ^тах).
Таким образом, необходимо определить баллистическую структуру, кластера МКА, т.е. множество следующего вида
Ок(П2,и2, Пз,из), (1)
где 0,2 ,0 з - прямое восхождение восходящего узла второго и третьего МКА;
и2 ,из - аргумент широты второго и третьего МКА, которая обеспечит реализацию разностно-дальномерного метода (РДМ) работы бортовой аппаратуры МКА.
Условием реализации РДМ, кроме того является ограничение на относительное положение в пространстве МКА в составе кластера, т.е.
dmin < djk () < dmax, (2)
где dmm, ^тах - минимальное и максимальное расстояния между МКА соответственно.
Анализ, проведенный в работах [11,14], показывает, что допустимые показатели решения целевой задачи кластером МКА достигаются в том случае, когда МКА в процессе функционирования образуют равносторонний треугольник, так как в этом случае точностные показатели РДМ оптимальные.
С течением времени треугольник, образованный тремя МКА, деформируется, при этом показатели решения целевой задачи понижаются.
Таким образом, задача сводится к определению множества (1) при ограничении вида (2), которое обеспечит максимальное по времени функционирование трех МКА в составе кластера требуемой конфигурации.
1. Определение граничных условий поиска баллистической структуры
кластера МКА
Рассмотрим случай произвольного расположения трех МКА в составе кластера для наклонных круговых орбит / = гшд < 90°, как представлено на рисунке 1. Обозначим баллистическую структуру кластера МКА и^П ], где j = 1,2,3 - номер МКА
соответственно. Рассмотрим сферический треугольник АВС, в вершинах которого разместим МКА-1-3. Обозначим ф12,ф13,ф23 стороны сферического треугольника,
Ч^Лз долготы подспутниковых точек, через широты подспутниковых
точек. ф12.
Рисунок 1 - Положение МКА в составе кластера для случая наклонных
круговых орбит
Тогда, используя теорему косинусов для сферического треугольника АВС, получим
cosф12 = sin^ sinу2 + cos^ cosу2 cos(X2 , cosф13 = sin^ sinу3 + cos^ cosу3 cos(X3 -Xj), cos ф 23 = sin у2 sin у3 + cos у 2 cos у3 cos (X3 - X2).
Для расчета тригонометрических функций координат подспутниковых точек можно использовать следующие формулы
sin у = sin u. sin i,
cos у. cos X. = cos Q; cos u ■ - sin Q; sin u. cos i, cos у. sin X. = sin Q cos u. + cos Q sin ui cos i.
где ] = 1,2,3 .
После несложных преобразований получим систему уравнений
cos Ф12 = sin u sin Щ sin2 i + ( cos fij cos Щ - sin fij sin u cos i )x( cos fi2 cos щ - sin fi2 sin u cos i) + (sin fi cos щ - cos fi sin щ cos i )x( sin fi cos щ + cos fi sin щ cos i)
cos ф13 = sin щ sin щ sin2 i + (cos fi cos щ - sin fi sin щ cos i )x( cos fi3 cos щ - sin fi3 sin щ cos i) + (3) (sin fi cos щ - cos fi sin щ cos i )x( sin fi cos щ + cos fi sin щ cos i),
cos Ф23 = sin щ sin щ sin2 i + (cos fi2 cos щ - sin fi2 sin щ cos i )x( cos fi cos щ - sin fi sin щ cos i) + (sin fi cos щ - cos fi sin щ cos i )x( sin fi3 cos щ + cos fi sin щ cos i)
Решая систему трансцендентных уравнений (3) при заданных значениях Ф12,Ф13 Ф23, можно рассчитать djk (t) и обеспечить требуемую конфигурацию кластера
МКА в фиксированный момент времени. Таким образом, между баллистической структурой кластера МКА и требуемой конфигурацией в пространстве существует зависимость, определяемая системой (3) и имеющая характер сложной многопараметрической функции времени. При этом, как показывает анализ работ [15,16,17,20], для поиска баллистической структуры кластера МКА, которая обеспечит длительное функционирование требуемой конфигурации в пространстве необходимо осуществить перебор вариантов баллистических структур и используя (3) выбрать оптимальную. Предлагаемый подход к решению данной задачи основывается на декомпозиции данной задачи на два частных случая, которые позволяют определить область допустимых вариантов баллистических структур кластера МКА и тем самым существенно снизить область возможного перебора при решения данной задачи.
2. Поиск баллистической структуры кластера МКА для случая расположения в двух плоскостях
Рассмотрим случай, когда МКА располагаются в двух плоскостях на круговых наклонных орбитах. В этом случае баллистическая структуру кластера МКА будет задаваться 5-ю кеплеровскими элементами орбиты.
Пусть МКА-1 располагается на экваторе, тогда и1 = 0,01 = 0. Множество баллистических структур кластера МКА будет принадлежать следующему диапазону:
1^ = 0°,^ - и -МКА-1, и2е(ид™ -МКА-2,
и еидоп, 03е0доп- МКА-3.
Динамика относительного движения МКА в составе кластера в случае, когда расстановка МКА, определяющая баллистическую структуру, происходит в окрестностях экватора, показывает, что максимальное расстояние между МКА будет на экваторе, а минимальное в окрестностях точек вертекса и апекса. Поэтому нет необходимости рассматривать баллистические структуры кластеров МКА, которые изначально не обладают относительным положением в виде равностороннего треугольника на экваторе. Далее эти структуры только деформируются (появляется тупой угол), но не становятся лучше.
Рассмотрим сферический треугольник АВС (Рисунок 2).
Рисунок 2 - Проекция подспутниковых точек МКА на сфере (слева); общий вид проекции кластера МКА на поверхность Земли (справа)
В сферическом треугольника АВС: ZA = ZВ = ZС = п /3 , тогда для сферического треугольника ЛСБ обозначим углы:
ZACD = ZE = п/3 ZADC=ZD= п-1 ZCAD = ZF =!-п/3
и стороны:
AD = e = Qc AC = d = uB CD = f = uc
Тогда по теореме синусов получим
sinf sinD = sindsinF
откуда
sin d sin F
f = arcsin
sinD
Воспользовавшись рисунком 2, получим
sinuB sin (i - к/3)^ sin (к-i)
Тогда
откуда
sin e sin D = sin d sin E
e = arcsin
sind sin E sinD
f .
Qc = arcsin
sinuB sin (к / 3)^
sin
(к-i)
Таким образом, для значений , ^тах из ограничения (2) можно получить баллистическую структуру кластера МКА, которая будет соответствовать граничным условиям и при этом обеспечивать равносторонний треугольник в пространстве. Далее необходимо для каждой баллистической структуры, которая принадлежит граничным условиям, смоделировать движение каждого МКА и оценить их по суммарному (интегральному) показателю качества функционирования на интервале прогноза.
3. Поиск баллистической структуры кластера МКА для случая расположения в трех плоскостях
Рассмотрим вариант, когда МКА располагаются в трех плоскостях, при этом
все плоскости имеют одинаковое наклонение ^ = ¿2 = ¿3 = I. Рассмотрим проекции МКА
на сфере (Рисунок 3).
uc = arcsin
Рисунок 3 - Проекция подспутниковых точек кластера МКА на сфере Обозначим буквами Б и Е пересечения плоскостей, соответствующих МКА с экватором. Также обозначим текущее (требуемое) относительное расстояние между КА через АйситгвЫ. На рисунке АйсжгеЫ = Admin.Тогда стороны
DB = ^^ = П = ^^ = П
Рассмотрим теперь подробнее треугольник ЛВБ на рисунке 4.
Рисунок 4 - Проекция сферического треугольника ABD на сферу Для сферического треугольника ABD:
ZA=i ZB = Ai ZD= Ж-i
По теореме синусов получим
) б1П(ж -X) = Б1П( Adcurrent) Б1П(1 - А1)
тогда
sin(Adcurrent) sin(i - А1) sin(ж-i)
и
) зт(ж - х) = sin(Adcurrent) б1П(А1)
= arcsin
sin( Adcurrent) sin( А X) sin(ж - X)
Таким образом, определили положение МКА-2, а именно параметры 02 и щ при
заданном относительном положении (А^иггвМ) и А/.
и2 = arcsin
Теперь рассмотрим подробнее треугольник ЛЕС на рисунке 5.
Рисунок 5 - Проекция сферического треугольника ЛЕС на сферу Для сферического треугольника ЛЕС:
ZA = х-Ах — п/3 ZE = 1
ZC = п — (п/3 + А1)
При этом стороны:
АЕ = П3 ЕС = и3
АС = Аёеиггеп
Тогда, по теореме синусов получим
з1п(и3) в1п(1) = б1п( Аёеиггеп1) з1п(1 — А1 — п /3)
откуда
г ■
и = агевт
81п(Аёеиггеп1) б1п(1 - А1 - п / 3) б1П(1)
б1п(П ) в1п(1) = з1п(Аёеиггеп1) б1п(п - (п /3 + А1))
и
Q3 = arcsin
' sin(Adcurrent) sin(rc - (л /3 + Ai))л
sin(i)
Таким образом, однозначно определили положение МКА-3, а именно параметры и u3 для заданных (Adcurrent) и Ai.
Таким образом, зная ^min, ^max, а также рассчитав граничные условия параметров МКА-2 [0,i], для каждого значения Adcurrent е [Admin, Ad max], можем найти все варианты баллистических структур с заданным шагом Ai е [0,i], образующих равносторонний треугольник и отвечающий заданным ограничениям по относительному положению (рисунок 6). Далее необходимо для каждой баллистической структуры, которая принадлежит граничным условиям, смоделировать движение каждого МКА кластера и оценить их по суммарному (интегральному) показателю качества функционирования на интервале прогноза.
Рисунок 6 - К расчету множества баллистических структур кластера МКА
Пример вариантов баллистических структур кластера МКА для случая круговых орбит радиусом 7000 км и наклонения 63 градуса представлен в табл. 1 и на рисунке 7.
Таблица 1 - Варианты баллистических структур кластера МКА и их характеристики
№ и2, 02, и3, 03, Лdl2, Лd13, Лd23, ZА ZВ ZС
град град град град км км км град град град
1 0.409 0 0.024 0.398 50 50 50 60 60 60
2 0.509 0 0.03 0.495 62.217 62.217 62.217 60 60 60
3 0.609 0 0.036 0.592 74.435 74.434 74.433 59.99 60 60.01
4 0.709 0 0.042 0.689 86.652 86.652 86.65 59.99 60 60.01
5 0.809 0 0.048 0.787 98.869 98.869 98.867 59.99 60 60.01
Ф1
т
ФЗ Ф4 Ф5
О!
0.6
0.4
0.2
/ А \ \
/ \ / \ / 4 \ \ \ \ \ * \ \
/ / \ : \ \ \ \
/ / / / / \ \ \ , \ А \
0.2 0.4 0.6
Л1,Л2,ЛЗ, Л4.Л5
0.8
Рисунок 7 - Геометрическая интерпретация вариантов баллистических структур
кластера МКА
Заключение
Предложенный подход позволяет определить оптимальные варианты баллистических структур кластера МКА требуемой конфигурации в пространстве, существенно снизив область поиска допустимых вариантов. Проведенный анализ параметров орбит МКА и баллистических структур кластера, позволяет обеспечить устойчивое относительное положение МКА в пространстве с требуемой периодичностью. Приведенные результаты решения многопараметрической задачи поиска баллистической структуры, могут быть использованы на этапах баллистического проектирования спутниковых систем состоящих из кластеров МКА.
Список источников
1. Макриденко Л.А., Минаев И.В., Потюпкин А.Ю. Концептуальные особенности повышения целевой эффективности малых космических аппаратов дистанционного зондирования Земли // Вопросы электромеханики. Труды ВНИИЭМ. 2014. Т. 141. № 4. С. 17-22.
2. Потюпкин А.Ю., Данилин Н.С., Селиванов А.С. Кластеры малоразмерных космических аппаратов как новый тип космических объектов // Ракетно-космическое приборостроение и информационные системы. 2017. Т. 4. № 4. С. 45-56. DOI 10.17238/issn2409-0239.2017.4.45.
3. Клименко Н.Н. Современные низкоорбитальные космические аппараты для геолокации и идентификации источников радиоизлучения // Воздушно-космическая сфера. 2018. № 2 (95). DOI: 10.30981/2587-7992-2018-95-2-48-57.
4. Аверкиев Н.Ф., Кульвиц А.В., Житников Т.А. Многоуровневая баллистическая структура кластерной орбитальной группировки дистанционного зондирования Земли // Известия Самарского научного центра РАН. 2021. Т. 21. № 3. С. 105-114.
5. Клюшников В.Ю. Построение кластеров малых космических аппаратов // Известия вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59. № 6. С. 423-428.
6. Палкин М.В. Концептуальные вопросы создания и применения космических аппаратов группового полета // Наука и образование. 2015. № 8. C. 100-115.
7. Guzman J.J., Edery A. Mission design for the MMS tetrahedron formation // IEEE Aerospace Conference Proceedings, 2004, vol. 1, pp. 540. DOI:10.1109/AERO.2004.1367637
8. Roscoe W.T. et al. Optimal Formation Design for Magnetospheric MultiscaleMission Using Differential Orbital Elements // Journal. Guidance, Control, and Dynamics, 2010, vol. 34, no. 4, pp. 1070-1080. DOI:10.2514/6.2010-7958
9. Маштаков Я.В., Шестаков С.А. Построение некоторых опорных относительных орбит для тетраэдральной конфигурацииспутников // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2017. № 84. 26 с. DOI: 10.20948/prepr-2017-84
10. Проценко П.А., Хуббиев Р.В. Методика ранжирования КА ДЗЗ с целью оперативного мониторинга ЧС // Труды МАИ. 2021. № 119. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=134557. DOI: 10.34759/trd-2021-119-18
11. Сайбель А.Г. Основы теории точности радиотехнических методов местоопрделения. - М.: Машиностроение, 1978. - 54 с.
12. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1977. - 872 с.
13. Власов С.А., Мамон П.А. Теория полета космических аппаратов. - СПб: ВКА им. А.Ф.Можайского, 2007. - 435 с.
14. Бахтин А.А., Омельянчук Е.В., Семенова А.Ю. Анализ современных возможностей организации сверхвысокоскоростных спутниковых радиолиний // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=85828
15. Емельянов А.А., Малышев В.В., Смольянинов Ю.А., Старков А.В. Формализация задачи оперативного планирования целевого функционирования разнотипных космических аппаратов дистанционного зондирования Земли // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: http ://trudymai.ru/published.php?ID=85921
16. Васильков Ю.В., Тимошенко А.В., Советов В.А., Кирмель А.С. Методика оценки функциональных характеристик систем радиомониторинга при ограниченных данных о параметрах надежности // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109557. DOI: 10.34759/trd-2019-108-16
17. Лохматкин В.В. Модели для оценки показателей интегральной производительности съемки космических аппаратов дистанционного зондирования Земли с учетом надежности на этапе электрических испытаний // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93348
18. Ваганов А.А., Неелова О.Н., Онуфрей А.Ю. Модель орбитальной группировки сверхмалых космических аппаратов для мониторинга чрезвычайных ситуаций // Труды Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского. 2019. № 666. С. 7-17.
19. Назаров А.Е. Обеспечение динамической устойчивости орбитальной структуры космической системы «Арктика-М» // Вестник «НПО им. С.А. Лавочкина». 2013. № 2(18). С. 58-64.
20. Волков В.Ф., Кульвиц А.В., Коваленко А.Ю., Салухов В.И. Прикладные аспекты оптимизации орбитальных структур спутниковых систем за счет уточнения параметров орбитального движения // Труды СПИИРАН. 2020. № 4(35). С. 719-745. DOI: 10.15622/sp.2020.19.4.1.
References
1. Makridenko L.A., Minaev I.V., Potyupkin A.Yu. Voprosy elektromekhaniki. Trudy VNIIEM, 2014, vol. 141, № 4, pp. 17-22.
2. Potyupkin A.Yu., Danilin N.S., Selivanov A.S. Raketno-kosmicheskoepriborostroenie i informatsionnye sistemy, 2017, vol. 4, no. 4, pp. 45-56. DOI 10.17238/issn2409-0239.2017.4.45.
3. Klimenko N.N. Vozdushno-kosmicheskaya sfera, 2018, no. 2 (95). DOI: 10.30981/25877992-2018-95-2-48-57.
4. Averkiev N.F., Kul'vits A.V., Zhitnikov T.A. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra RAN, 2021, vol. 21, no. 3, pp. 105-114.
5. Klyushnikov V.Yu. Izvestiya vuzov. Priborostroenie, 2016, vol. 59, no. 6, pp. 423-428.
6. Palkin M.V. Nauka i obrazovanie, 2015, no 8, C. 100-115.
7. Guzman J.J., Edery A. Mission design for the MMS tetrahedron formation, IEEE Aerospace Conference Proceedings, 2004, vol. 1, pp. 540. DQL10.1109/AERQ.2004.1367637
8. Roscoe W.T. et al. Optimal Formation Design for etospheric MultiscaleMission Using Differential Orbital Elements, Journal. Guidance, Control, and Dynamics, 2010, vol. 34, no. 4, pp. 1070-1080. DQL10.2514/6.2010-7958
9. Mashtakov Ya.V., Shestakov S.A. Preprinty IPM im. M. V.Keldysha, 2017, no. 84, 26 p. DOI: 10.20948/prepr-2017-84
10. Protsenko P.A., Khubbiev R.V. Trudy MAI, 2021, no. 119. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=134557. DOI: 10.34759/trd-2021-119-18
11. Saibel' A.G. Osnovy teorii tochnosti radiotekhnicheskikh metodov mestooprdeleniya (The accuracy theory fundamentals of radio engineering field methods), Moscow, Mashinostroenie, 1978, 54 p.
12. Vygodskii M.Ya. Spravochnikpo vysshei matematike (Higher mathematics handbook), Moscow, Nauka, 1977, 872 p.
13. Vlasov S.A., Mamon P.A. Teoriyapoleta kosmicheskikh apparatov (Spacecraft flight theory), Saint Prtersburg: VKA im. A.F.Mozhaiskogo, 2007, 435 p.
14. Bakhtin A.A., Omel'yanchuk E.V., Semenova A.Yu. Trudy MAI, 2017, no. 96. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=85828
15. Emel'yanov A.A., Malyshev V.V., Smol'yaninov Yu.A., Starkov A.V. Trudy MAI, 2017, no. 96. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=85921
16. Vasil'kov Yu.V., Timoshenko A.V., Sovetov V.A., Kirmel' A.S. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=109557. DOI: 10.34759/trd-2019-108-16
17. Lokhmatkin V.V. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93348
18. Vaganov A.A., Neelova O.N., Onufrei A.Yu. Trudy Voenno-kosmicheskoi akademii imeni A.F.Mozhaiskogo, 2019, no. 666, pp. 7-17.
19. Nazarov A.E. Vestnik «NPO im. S.A. Lavochkina», 2013, no. 2(18), pp. 58-64.
20. Volkov V.F., Kul'vits A.V., Kovalenko A.Yu., Salukhov V.I. Trudy SPIIRAN, 2020, no. 4(35), pp. 719-745. DOI: 10.15622/sp.2020.19.4.1.
Статья поступила в редакцию 05.06.2022 Статья после доработки 07.06.2022 Одобрена после рецензирования 01.07.2022 Принята к публикации 25.08.2022
The article was submitted on 05.06.2022; approved after reviewing on 01.07.2022; accepted for publication on 25.08.2022
