АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЛУННЫХ СРЕДСТВ ОБНАРУЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ОСЕЙ ВИЗИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

Труды МАИ. 2022. № 126 Trudy MAI, 2022, no. 126

Научная статья УДК 519.87

DOI: 10.34759/Ы-2022-126-24

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЛУННЫХ СРЕДСТВ ОБНАРУЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ОСЕЙ ВИЗИРОВАНИЯ

Евгений Петрович Минаков1, Максим Андреевич Александров2®, Андрей Владимирович Вербин3

1,2,3Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского,

Санкт-Петербург, Россия

2vka@mil.ru:

Аннотация. Ввиду особенностей орбитального движения астероидов, сближающихся с Землёй, значительная доля их либо в принципе не может быть обнаружена с помощью средств мониторинга, находящихся на поверхности Земли, либо обнаружение может произойти слишком поздно. Отсутствие влияния атмосферы на средства оптического наблюдения обуславливает преимущества расположения средств обнаружения астероидов на поверхности Луны. В данной статье проводится исследование по одному из возможных способов их стационарного расположения - равномерному распределению с касающимися зонами видимости. Предложен алгоритм, позволяющий на основе исходных данных об угле раствора и

предельной дальности обнаружения опасных космических объектов налунными средствами оценить их потребное количество.

Ключевые слова: Луна, астероид, средство обнаружения астероида, зона обзора, зона обнаружения, рубеж обнаружения астероидов, сферический треугольник Для цитирования: Минаков Е.П., Александров М.А., Вербин А.В. Алгоритмы оценивания количества лунных средств обнаружения астероидов с вертикальной ориентацией осей визирования // Труды МАИ. 2022. № 126. DOI: 10.34759/trd-2022-126-24

Original article

ALGORITHMS FOR ESTIMATING THE NUMBER OF LUNAR ASTEROID DETECTION TOOLS WITH A VERTICAL ORIENTATION

OF THE SIGHT AXES

Evgeniy P. Minakov1, Maksim A. Aleksandrov2:, Andrej V. Verbin3

1,2,3Military Space Academy named after A.F.Mozhaisky,

Saint Petersburg, Russia

2vka@mil.ru:

Abstract. Due to the peculiarities of the orbital movement of asteroids approaching the

Earth, a significant proportion of them either in principle cannot be detected using existing

monitoring tools located on the surface of the Earth, or detection can occur too late. The

lack of influence of the atmosphere on optical observation means leads to the advantages of

the location of asteroid detection means in space. In this article, a study is carried out on one

2

of the possible ways of their stationary location - uniform distribution with regard to visibility zones on the surface of the moon.

An algorithm is proposed, which allows on the basis of initial data on the angle of solution and the maximum range of detection of dangerous space objects by lunar means. The zone of near and long-range explosive detection, as well as the zone of continuous multiple detection of asteroids, their description and illustrations are given. Computational experiments were carried out using the developed algorithm for estimating the number of means for detecting asteroids when placing on the entire surface of the Moon or its part, dependencies of the angular distance between the standing points and the angular dimensions of the visibility zones of the means for detecting asteroids on the maximum range of detecting asteroids were obtained.

In addition, an algorithm was developed and the number of means for detecting asteroids with vertical orientation of the sighting axes was estimated with the exception of a part of the Lunar Surface for their placement, due to the closure of the outer space region by the Earth ("dead zone" of asteroid detection means), when placed on the entire surface of the Moon or its part, the dependence of the angular distance between the standing points and the angular dimensions of the visibility zones of the asteroid detection means on the maximum detection range of asteroids is also obtained.

The presented algorithms for estimating the angular distance between the points of standing on the surface of the Moon of the same type of asteroid detection means with vertical orientation of the sighting axes and their number for forming the asteroid detection line allow obtaining correct results and can be used for further research to determine the

parameters of the asteroid detection line zones, reduce the number of asteroid detection means and estimate the probability of asteroid detection.

Keywords: Moon, asteroid, asteroid detection means, scan zone, detection zone, asteroid detection boundary, spherical triangle

For citation: Minakov E.P., Aleksandrov M.A., Verbin A.V. Algorithms for estimating the number of lunar asteroid detection tools with a vertical orientation of the sight axes. Trudy MAI, 2022, no. 126. DOI: 10.34759/trd-2022-126-24

Введение

В концепции создания системы информационно-аналитического обеспечения

безопасности космической деятельности в околоземном космическом пространстве

«Млечный путь» подчёркнута актуальность проблемы астероидно-кометной

опасности. По современным оценкам в Солнечной системе находится не менее 16000

потенциально опасных космических объектов естественного происхождения

размером более 140 м и не менее 200000 таких объектов размером более 50 м.

Существует вероятность столкновения этих объектов с Землёй, в случае которого

произойдёт катастрофа от регионального до планетарного масштаба.

Поиск и оценивание перспектив использования Луны для определения

возможности оперативного обнаружения астероидов благодаря наблюдениям в более

широком диапазоне длин волн и исключения искажений вследствие отсутствия

земной атмосферы, уже в настоящее время делает актуальным разработку

математических моделей и построенных на их основе алгоритмов определения

углового расстояния между точками стояния на поверхности Луны однотипных

средств обнаружения астероидов (СОА) с вертикальной ориентацией осей визирования касающихся зон видимости (ЗВ) и их количества для формирования рубежа обнаружения астероидов (РОА) [1-13]. СОА в настоящее время являются телескопы, ЗВ которых могут аппроксимироваться шаровыми сегментами [14-17]. При этом в качестве основного способа размещения СОА на поверхности Луны или на ее части целесообразно исследовать их равномерное распределение для формирования РОА, под которым понимается область космического пространства (КП), образуемая ЗВ СОА на заданном интервале времени, т.е. пространственно-временная область, простирающаяся от поверхности Луны до максимальной высоты обнаружения астероидов соответствующими средствами.

Постановка задачи

РОА состоит из зон, которыми в случае СОА, обладающих одинаковыми техническими характеристиками, являются зоны ближнего разрывного обнаружения, расположенные между поверхностью Луны и сферой пересечения ЗВ СОА. Зона непрерывного многократного обнаружения простирается от верхней границы предыдущей зоны до сферической поверхности, образуемой пересекающимися ЗВ СОА. Зона дальнего разрывного обнаружения расположена выше предыдущей зоны и простирается до высоты предельной дальности обнаружения астероидов СОА (рис.1).

Рис. 1. Зоны обнаружения РОА, обладающих СОА с одинаковыми ТХ

Считается, что в пределах зон ближнего и дальнего разрывного обнаружения возможно только обнаружение астероидов, а в пределах зоны непрерывного многократного обнаружения - обнаружение и измерение параметров их движения методом космической триангуляции [18-19].

Допущения:

1) модель Луны - шар с радиусом ЯЛ = 1738 км [20];

2) Луна движется относительно Земли по круговой орбите с радиусом, равным среднему расстоянию между центрами Земли и Луны;

3) однотипные СОА, имеющие вертикальную ориентацию осей визирования, размещены равномерно на поверхности Луны или на ее части и точками их стояния являются вершины правильных равноплощадных сферических треугольников;

4) ЗВ СОА соприкасаются в центрах указанных треугольников.

Исходными данными по СОА являются:

- предельная дальность обнаружения астероидов - d = const;

- угол половины диаграммы направленности - у = const.

При принятых допущениях и исходных данных необходимо оценить количество СОА, равномерно располагаемых на всей поверхности Луны - N, и на ее части - N .

Решение поставленной задачи требует определения углового размера ЗВ СОА - ( = const и углового расстояния между точками СОА - (л, которые при принятых допущениях являются постоянными для всех СОА: ( = const, (Л = const.

Алгоритм оценивания количества средств обнаружения астероидов, равномерно размещаемых на всей поверхности Луны

Алгоритм решения поставленной задачи состоит из следующих этапов:

1) определение углового размера ЗВ СОА по теореме синусов для плоских треугольников [21] (рис.1):

d sin у d cos у + R

2) вычисление углового расстояния между вершинами правильных одноплощадных сферических треугольников (точками стояния СОА) - (Л = const по теореме косинусов для сферических треугольников [ 21] (рис.2):

Рис. 2. К задаче определения количества средств обнаружения астероидов,

равномерно размещаемых на всей поверхности Луны

2 • 2 cosy = cos у + sin ycos(—);

3) расчет величин углов сферического треугольника с вершинами - точками стояния СОА - A = const (рис.2):

cos A = cos^ - cos УЛ ;

— í •( iv^ Л _

sin2 У Л

4) вычисление площади сферического треугольника по формуле А.Жирара [22]

5 ст = R¡ (3 А -ж);

5) определение площади области поверхности Луны, в пределах которой должны размещаться СОА - S (если размещение СОА предполагается на всей

поверхности Луны, то S = SЛ = 4жRЛ) [23];

6) расчет числа сферических треугольников, обеспечивающих покрытие заданной области поверхности Луны:

M =

S

S.

+1,

СТ

где

символ операции выделения целой положительном части числа;

7) оценивание количества СОА, потребного для формирования РОА, прикрывающего заданной области поверхности Луны:

Ыл = 3 + (M -1) = 2 + M.

Результаты применения алгоритма оценивания числа средств обнаружения астероидов при размещении на всей поверхности Луны

Вычислительные эксперименты проводились для двух групп исходных данных, отличающиеся дальностью действия СОА - d (табл.1, 2).

Таблица 1

d Ф фЛ

км Y. c Y. c Y. c

60 70 80 60 70 80 60 70 80

10000 0,0141989 0,0165654 0,0189319 0,0245932 0,0286921 0,032791 159336167 115088865 88293817

15000 0,0149361 0,0174254 0,0199148 0,02587 0,0301817 0,0344934 141114046 105052480 79958719

20000 0,0153341 0,0178898 0,0204455 0,0265595 0,0309861 0,0354127 134984673 98836772 75787082

25000 0,0155833 0,0181805 0,0207778 0,0269911 0,0314896 0,0359881 130530686 96500890 73765762

30000 0,015754 0,0183797 0,0210053 0,0272867 0,0318345 0,0363823 127591818 93658696 72013034

35000 0,0158782 0,0185246 0,0211709 0,0275019 0,0320855 0,0366691 124983220 92918355 70770855

40000 0,0159727 0,0186348 0,0212969 0,0276654 0,0322764 0,0368873 125299195 91261977 69963541

Соответствующие таблице 1 графики зависимостей р ^ рЛ и Ыл от d

приведены на рис.3. Величины р и рЛ указаны в градусах.

а)

б)

в)

Рис.3. Графики и диаграмма зависимостей от предельной дальности обнаружения астероидов: а - углового размера ЗВ СОА; б - углового расстояния между точками СОА; в - количества СОА, равномерно располагаемых на части поверхности Луны

Результаты анализа приведённых данных показывают, что

1) с ростом d от 10000 до 40000 км величины р и (рЛ экспоненциально

возрастают, а величины Ыл - экспоненциально убывают;

2) большим значениям Y соответствуют большие значения р, рЛ и меньшие

значения Ыл;

3) при принятых исходных данных для всей поверхности Луны величины N

Л

являются неприемлемо большими.

Таблица 2

d Ф фЛ N

км Y. c Y. c Y. c

60 70 80 60 70 80 60 70 80

1000000 0,0166378 0,0194107 0,0221837 0,0288174 0,0336203 0,0384232 114878928 84260275 64651047

1500000 0,0166474 0,0194219 0,0221965 0,0288341 0,0336398 0,0384455 115279323 83923975 64591676

2000000 0,0166522 0,0194276 0,0222029 0,0288424 0,0336495 0,0384566 113891997 84069577 64420799

2500000 0,0166551 0,0194309 0,0222068 0,0288475 0,0336554 0,0384633 114010615 84156858 64487963

3000000 0,016657 0,0194332 0,0222094 0,0288508 0,0336593 0,0384677 114089625 84215672 64251289

3500000 0,0166584 0,0194348 0,0222112 0,0288532 0,033662 0,0384709 114147013 84257541 64283370

4000000 0,0166594 0,019436 0,0222126 0,028855 0,0336641 0,0384733 114188136 84289061 64307154

Соответствующие таблице 2 графики приведены на рис. 4.

а)

б)

в)

Рис. 4. Графики и диаграмма зависимостей от предельной дальности обнаружения астероидов: а - углового размера ЗВ СОА; б -углового расстояния между точками СОА; в -количество СОА, равномерно располагаемых на всей поверхности Луны

Из приведенных данных видно, что:

1) с ростом d от 1000000 до 4000000 км величины р , рЛ , N практически не изменяются и могут рассматриваться как предельные;

2) большим значениям у соответствуют большие значения р, рЛ и меньшие

значения N ;

3) при принятых исходных данных для всей поверхности Луны величины N являются неприемлемо большими.

Полученные результаты имеют вычислительные погрешности, не являются противоречивыми и соответствуют ранее полученным данным для аналогичных характеристик наземных оптических средств [24-25].

Существуют различные пути сокращения числа СОА, одним из которых является исключение для их размещения части Луны, постоянно развернутой в сторону Земли, откуда невозможно обнаруживать астероиды за поверхностью Земли.

Алгоритм оценивание числа средств обнаружения астероидов при

размещении на части Луны

Оценивание числа СОА с вертикальной ориентацией осей визирования при исключении для их размещения части Лунной поверхности из-за закрытия области КП Землей («мертвая зона» СОА) может быть осуществлено по следующему алгоритму (рис.5):

Рис. 5. К задаче оценивания числа средств обнаружения астероидов при размещении

на части Луны

1) определение угла с вершиной в центре Луны между радиусом ее орбиты и касательной к поверхности Земли (или к сфере радиуса, равного сумме радиуса Земли и заданной высоты):

• Rs sm у л =—,

ГЛ

где гл = 385000 км - среднее расстояние между центрами Земли и Луны [20];

2) определение площади шарового сегмента области поверхности Луны, где не целесообразно размещать СОА [20]:

S = ф2 + 2a2),

где a = Ял sin ул - радиус соответствующего шарового сегмента, h = Ял - Ял cosуЛ - его высота;

3) вычисление площади сферического треугольника, в вершинах которого располагаются СОА, - SCT по п.п. 1-4 алгоритма п.1.2;

4) определение площади поверхности Луны [23]:

Sл = 4жЯ2л,

5) расчет числа сферических треугольников, обеспечивающих покрытие части поверхности Луны ЗВ за исключением области поверхности Луны, где нецелесообразно размещать СОА с вертикальной ориентацией осей визирования:

(S л - S)

M =

S

S СТ

+1;

6) оценивание количества СОА, потребного для формирования РОА, - N¥ , по п.7 алгоритма п.1.2;

7) оценивание выигрыша:

- по количеству СОА: AN = Ыл - N4, AN

в процентах: АГ

N л

100%.

Результаты применения алгоритма оценивания числа средств обнаружения астероидов при размещении на части Луны

Вычислительные эксперименты проводились по данным для d, представленным в таблице 3. Их результаты сведены в эту же таблицу.

Таблица 3

d Ш N4 AN % Mi N4 AN % Mi N4 AN %

Y = 60 c Y = 70 c Y = 80 c

1000000 114878928 114863199 15729 0,0136918 84260275 84248738 11537 0,0136921 64651047 64642194 8853 0,0136935

1500000 115279323 115263538 15785 0,0136928 83923975 83912484 11491 0,0136922 64591676 64582831 8845 0,0136937

2000000 113891997 113876402 15595 0,0136928 84069577 84058066 11511 0,0136922 64420799 64411978 8821 0,0136928

2500000 114010615 113995004 15611 0,0136926 84156858 84145335 11523 0,0136923 64487963 64479133 8830 0,0136925

3000000 114089625 114074003 15622 0,0136927 84215672 84204141 11531 0,0136922 64251289 64242491 8798 0,0136931

3500000 114147013 114131384 15629 0,013692 84257541 84246004 11537 0,0136925 64283370 64274568 8802 0,0136925

4000000 114188136 114172501 15635 0,0136923 84289061 84277519 11542 0,0136934 64307154 64298349 8805 0,0136921

Результаты анализа приведённых данных показывают, что:

1) с ростом d от 1000000 до 4000000 км величины N4 и AN практически не изменяются и закономерности изменения N4 совпадают с закономерностями изменения N;

2) величины N4 и AN, соответствующие d = 4000000 практически могут рассматриваться как предельные;

3) большим значениям у соответствуют меньшие значения N¥ ;

4) выигрыш от неиспользования части Лунной поверхности для размещения СОА хотя и значителен, но в процентном соотношении с число СОА для всей поверхности Луны практически отсутствует;

5) при принятых исходных данных величины N4 остаются неприемлемо большими.

Заключение

Представленный алгоритм оценивания углового расстояния между точками стояния на поверхности Луны однотипных СОА с вертикальной ориентацией осей визирования и их количества для формирования РОА позволяет получать корректные результаты и может быть использован для дальнейших исследований по определению параметров зон РОА, сокращению числа СОА и оцениванию вероятности обнаружения астероидов.

В то же время установлено, что потребное число СОА является неприемлемо большим и необходимо искать другие способы их размещения и формирования РОА, одним из которых является равномерное размещение СОА с вертикальной ориентацией осей визирования на поверхности Луны или ее части с разрывами в РОА.

Список источников

1. Шустов Б.М., Рыхлова Л.В. Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра. - М.: Физматлит, 2010. - 384 с.

2. Лунная сенсация: Есть вода. URL: https://www.techinsider.ru/science/9538-lunnaya-sensatsiya-est-voda/

3. LCROSS Impact Data Indicates Water on Moon, NASA. URL: https://www.nasa.gov/mission_pages/LCROSS/main/prelim_water_results.html

4. Богачева М.Н. Оценка эффективности развития глобальной энергетики на базе использования лунных ресурсов «Гелий-3» // Труды МАИ. 2010. № 38. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=14527

5. Багров А.В., Дмитриев А.О., Леонов В.А., Москатиньев И.В., Сысоев В.К. Двухволновая оптическая лунная навигационная система // Труды МАИ. 2020. №2 112. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=116356. DOI: 10.34759/trd-2020-112-13

6. Строгонова Л.Б., Столярчук В.А., Макарова С.М., Васин Ю.А. Лунная база. проблемы обитаемости // Труды МАИ. 2013. № 67. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=41586

7. Окончательное доказательство: И снова о воде. URL: https://www.techinsider.ru/science/9683-okonchatelnoe-dokazatelstvo-i-snova-o-vode/

8. Asteroid Impact & Deflection Assessment (AIDA) collaboration. URL: https://www.esa.int/Space Safety/Hera/Asteroid Impact Deflection Assessment AIDA collaboration

9. Asteroid impact mission targets Didymos. URL: https://www.esa.int/Enabling Support/Preparing for the Future/Discovery and Preparati on/Asteroid impact mission targets Didymos

10. Константиновская Л.В. Прогноз и предотвращение кометно-астероидной опасности. URL: http://www.astronom2000.info/different/pipao/

11. Соколов Б.В., Минаков Е.П. Исследования характеристик размещения и вариантов применения моноблочных стационарных средств поражения астероидов // Труды СПИИРАН. 2016. № 5. С. 182-197.

12. Дегтярь В.Г., Волков В.А. Ракетная концепция системы противоастероидной защиты Земли. - М.: Машиностроение, 2014. - 334 с.

13. Иванов В.Л., Меньшиков В.А., Пчелинцев Л.А., Лебедев В.В. Космический мусор.

Проблемы и пути решения. - М.: Патриот, 1996. Т.1. - 360 с.

14. Freedman W.L., Madore B.F., Gibson B.K., Ferrarese L., Kelson D.D. et al. Final Results from the Hubble Space Telescope Key Project to Measure the Hubble Constant // The Astrophysical Journal, IOP Publishing, 2001, vol. 553, issue 1, pp. 47-72. DOI:10.1086/320638.

15. Nancy Grace Roman. Exploring the Universe: Space-Based Astronomy and Astrophysics, NASA SP-2001-4407: Exploring the Unknown: Selected Documents in the History of the US Civil Space Program, Washington, DC, 2001, vol. 5, pp. 501.

16. Jedrzejewski R.I., Hartig G., Jakobsen P., Crocker J.H., Ford H.C. In-orbit performance of the COSTAR-corrected Faint Object Camera // The Astrophysical Journal, 1994, vol. 435, no. 1, pp. L7-L10. DOI:10.1086/187581.

17. Spitzer Lyman Jr. History of the Space Telescope // Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, vol. 20, pp. 29-36.

18. Микиша А.М. Космические методы в геодезии. - М.: Знание, 1983. - 54 с.

19. Кустодов А.Ю., Павлов В.П. Определение траекторий космических объектов по оптическим измерениям в зонах двойного обзора с наземных пунктов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2017. № 6. DOI: 10.18698/2308-6033-2017-6-1659

20. Инженерный справочник по космической технике. - МО СССР, 1969. - 696 с.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1978. - 831 с.

22. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Сумма углов сферического многоугольника // Квант. 1988. № 2. URL: https://kvant.ras.ru/1988/02/summa_uglov_sfericheskogo_mnog.htm

23. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. - М.: ОГИЗ, 1948. - 556 с.

24. Минаков Е.П., Соколов Б.В., Шалдаев С.Е., Александров М.А. Расчет и исследование пространственно- временных характеристик рубежей атаки астероидов орбитальными средствами // Труды СПИИРАН. 2019. № 18. С. 1462-1490. D0I:10.15622/sp.2019.18.6.1462-1490

25. Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1975. - 232 с.

References

1. Shustov B.M., Rykhlova L.V. Asteroidno-kometnaya opasnost': vchera, segodnya, zavtra (Asteroid-comet danger: yesterday, today, tomorrow), Moscow, Fizmatlit, 2010, 384 p.

2. Lunnaya sensatsiya: Est' voda. URL: https://www.techinsider.ru/science/9538-lunnaya-sensatsiya-est-voda/

3. LCROSS Impact Data Indicates Water on Moon, NASA. URL: https://www.nasa.gov/mission_pages/LCROSS/main/prelim_water_results.html

4. Bogacheva M.N. Trudy MAI, 2010, no. 38. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=14527

5. Bagrov A.V., Dmitriev A.O., Leonov V.A., Moskatin'ev I.V., Sysoev V.K. Trudy MAI, 2020, no. 112. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=116356. DOI: 10.34759/trd-2020-112-13

6. Strogonova L.B., Stolyarchuk V.A., Makarova S.M., Vasin Yu.A. Trudy MAI, 2013, no.

67. URL: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=41586

7. Okonchatel'noe dokazatel'stvo: I snova o vode. URL: https://www.techinsider.ru/science/9683-okonchatelnoe-dokazatelstvo-i-snova-o-vode/

8. Asteroid Impact & Deflection Assessment (AIDA) collaboration. URL: https://www.esa.int/Space Safety/Hera/Asteroid Impact Deflection Assessment AIDA collaboration

9. Asteroid impact mission targets Didymos. URL: https://www.esa.int/Enabling Support/Preparing for the Future/Discovery and Preparati on/Asteroid impact mission targets Didymos

10. Konstantinovskaya L.V. Prognoz i predotvrashchenie kometno-asteroidnoi opasnosti. (Forecast and prevention of comet-asteroid danger). URL: http ://www.astronom2000.info/different/pipao/

11. Sokolov B.V., Minakov E.P. Trudy SPIIRAN, 2016, no 5, pp. 182-197.

12. Degtyar' V.G., Volkov V.A. Raketnaya kontseptsiya sistemy protivoasteroidnoi zashchity Zemli (Missile Concept of Earth Anti-Asteroid Protection System), Moscow, Mashinostroenie, 2014, 334 p.

13. Ivanov V.L., Men'shikov V.A., Pchelintsev L.A., Lebedev V.V. Kosmicheskii musor. Problemy i puti resheniya (Space debris. Problems and solutions), Moscow, Patriot, 1996, vol. 1, 360 p.

14. Freedman W.L., Madore B.F., Gibson B.K., Ferrarese L., Kelson D.D. et al. Final Results from the Hubble Space Telescope Key Project to Measure the Hubble Constant, The Astrophysical Journal, IOP Publishing, 2001, vol. 553, issue 1, pp. 47-72. D0I:10.1086/320638.

15. Nancy Grace Roman. Exploring the Universe: Space-Based Astronomy and Astrophysics, NASA SP-2001-4407: Exploring the Unknown: Selected Documents in the History of the US Civil Space Program, Washington, DC, 2001, vol. 5, pp. 501.

16. Jedrzejewski R.I., Hartig G., Jakobsen P., Crocker J.H., Ford H.C. In-orbit performance of the COSTAR-corrected Faint Object Camera, The Astrophysical Journal, 1994, vol. 435, no. 1, pp. L7-L10. D0I:10.1086/187581.

17. Spitzer Lyman Jr. History of the Space Telescope, Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, vol. 20, pp. 29-36.

18. Mikisha A.M. Kosmicheskie metody v geodezii (Space methods in geodesy), Moscow, Znanie, 1983, 54 p.

19. Kustodov A.Yu., Pavlov V.P. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii, 2017, no. 6. DOI: 10.18698/2308-6033-2017-6-1659

20. Inzhenernyi spravochnik po kosmicheskoi tekhnike (Engineering Guide to Space Engineering), - MO SSSR, 1969. - 696 s.

21. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov. (Mathematics Handbook for Scientists and Engineers), Moscow, Nauka, 1978, 831 p.

22. Vasil'ev N.B., Gutenmakher V.L. Kvant, 1988, no. 2. URL: https://kvant.ras.ru/1988/02/summa_uglov_sfericheskogo_mnog.htm

23. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike (Manual of mathematics for engineers and students of VTUZOV), Moscow, OGIZ, 1948, 556 p.

24. Minakov E.P., Sokolov B.V., Shaldaev S.E., Alexandrov M.A. Calculation and study of spatial and temporal characteristics of asteroid attack boundaries by orbital means,

Proceedings of SPIIRAN, 2019, vol. 18, pp. 1462-1490. D0I:10.15622/sp.2019.18.6.1462-1490

25. Barinov K.N., Burdaev M.N., Mamon P.A. Dinamika i printsipy postroeniya orbital'nykh sistem kosmicheskikh apparatov (Dynamics and principles of spacecraft orbital systems construction), Moscow, Mashinostroenie, 1975, 232 p.

Статья поступила в редакцию 10.06.2022 Статья после доработки 11.06.2022 Одобрена после рецензирования 16.06.2022 Принята к публикации 12.10.2022

The article was submitted on 22.06.2022; approved after reviewing on 16.06.2022; accepted for publication on 12.10.2022