Теоретическая оценка водопроницаемости противофильтрационной облицовки нарушенной сплошности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ

УДК 626.823.916.004.12

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВОДОПРОНИЦАЕМОСТИ ПРОТИВОФИЛЬТРАЦИОННОЙ ОБЛИЦОВКИ НАРУШЕННОЙ СПЛОШНОСТИ*

© 2014 г. Ю.М. Косиченко, О.А. Баев

Косиченко Юрий Михайлович - д-р техн. наук, профессор, Российский научно-исследовательский институт проблем мелиорации. Тел. (8635) 26-51-11. E-mail: rosniipm@ novoch.ru

Баев Олег Андреевич - младший науч. сотрудник, Российский научно-исследовательский институт проблем мелиорации». E-mail: Oleg-Baev1@yandex.ru

Kosichenko Yuriy Mikhailovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Russian Scientific-Research Institute of Land Improvement Problems. Ph. (8635) 26-51-11. E-mail: rosni-ipm@novoch.ru

Baev Oleg Andreyevich - junior researcher, Russian Scientific-Research Institute of Land Improvement Problems. E-mail: Oleg-Baev1@yandex.ru

Приведено решение задачи водопроницаемости противофильтрационной облицовки при наличии малых отверстий в полимерном экране в осесимметричной постановке с использованием метода конформных отображений и р-аналитических функций. Получены зависимости для расчета фильтрационного расхода через единичное отверстие и осредненного коэффициента фильтрации облицовки. Проведено сопоставление результатов расчета по полученным расчетным зависимостям с формулами других авторов.

Ключевые слова: противофильтрационная облицовка; водопроницаемость; метод конформных отображений; годограф скорости; повреждения экрана; малое отверстие.

The solution of the problem of permeability impervious lining the presence of small holes in the polymer screen axisymmetric formulation using the method of conformal mappings and p-analytic functions. Preparation according to the calculation offiltration flow rate through a .single hole and filtration coefficient averaged facing. A comparison of calculation results obtained with formulas calculated dependence of other authors.

Keywords: impervious lining; permeability; method of conformal mappings; hodograph speed; damage to the screen; small hole.

Изучение водопроницаемости противофильтра-ционных облицовок является важной задачей для оценки их эффективности и определения потерь на фильтрацию из каналов и водоемов [1 - 3]. При этом под нарушенной сплошностью облицовки будем понимать наличие в основном ее элементе - экране из геомембраны - сквозных повреждений в виде проколов или дефектов швов.

В работах [4, 5] приведены расчетные формулы ряда авторов для определения основных характеристик водопроницаемости - фильтрационного расхода и осредненного коэффициента фильтрации облицовок при наличии повреждений в противофильтрационном плёночном элементе в виде щелей и отверстий. Однако принятые ими схемы и методы решения основаны на упрощенных подходах, которые могут давать существенные погрешности при расчетах водопроницаемости.

*При решении задачи получены консультации и учтены замечания акад. П. Я. Полубариновой-Кочиной.

Кроме того, рассматриваемые повреждения для традиционных облицовок с применением полимерных пленок имеют значительные размеры, например, для щели - длина до 100 см, а для отверстия - диаметр до 10 см.

В современных облицовках с применением более надежных геосинтетических материалов - геомембран [6] количество повреждений и их размеры ввиду высокой прочности полимерного материала и значительной толщины (1 - 3 мм) снижаются практически на порядок. По этой причине в геомембранах возможны лишь незначительные повреждения в виде проколов (микроповреждения), которые можно отнести к малым отверстиям диаметром до 2 - 3 мм.

Учитывая вышеизложенное, для противофильт-рационной облицовки с экраном из геомембраны в качестве расчетной схемы задачи водопроницаемости примем единичное малое отверстие в геомембране, движение фильтрационного потока через которое носит осесимметричный характер.

Рассмотрим решение задачи фильтрации через малое отверстие в полимерном экране из геомембраны с защитным слоем в грунтовое основание неограниченной мощности (рис. 1).

Движение фильтрационного потока для данной расчетной схемы является осесимметричным, которое может быть представлено как частный случай пространственного течения относительно оси симметрии 0z. При этом в радиальных сечениях движение потока по существу будет плоским, для исследования которого в теории фильтрации широко используется метод конформных отображений [7].

Приближенное решение данной задачи состоит сначала в рассмотрении плоской задачи с последующим установлением связи с осесимметричной задачей с помощью /»-аналитических функций комплексного переменного, детально изученных в работе Г.Н. По-ложего [8].

Метод приведения осесимметричной фильтрации к плоской основан на применении интегральных преобразований:

Зф 1 Зф Зф 1 Эф

ф (^z ) = М^z)

d |

Vr7"-?

ф (rz )=z)

|d I

aFT2

(i)

(2)

Ф( Г' Z ^ d J Ф (I Z bA 2

ф(r, z ) = —J

2 \dф(|,z) |dI

dz

Vr^7'

Функция осесимметричного потока

СО ((^) = ф (г, 2 ) + /'([/ ( Г, 2 )

(3)

(4)

(5)

цс) = ф(1, z)+/ф (i, z)

(6)

является аналитической функцией комплексного переменного ^ = г + iz .

Функции осесимметричного потока (5) и плоского потока (6) связаны соответственно следующей системой дифференциальных уравнений:

Эг r dz

3z

r dr

Зф Зф Зф Зф

d| dz ' dz З|

(7)

(8)

где ф (г, 2), (г, 2) - функции потенциала скорости и расхода осесимметричного потока; ф(|, 2), 2) -

потенциальная функция и функция расхода плоского потока.

Обратные преобразования (1) и (2) согласно [8] записываются в виде:

Учитывая соотношения (7), преобразование (8) можно записать следующим образом:

2 d г(I,2)&|

ф( Г, 2 ) =---I-, 7 .

у ' nгdг 0 ^2 -I2

Согласно П.Я. Полубариновой-Кочиной [9], при решении плоской задачи граничные условия должны измениться. Используя интегральные преобразования (3) и (4) перевода функций осесимметричного течения в плоское, найдем граничные значения потенциальной функции и функции тока для нашей задачи (рис. 1):

I I 2

1) ф 1-0-1 ' =-к1Н1 , Ф 1-0-1 ' =— k\H\,

0 <ф| 1-0-1 ' <q0, 0 <ф| 1-0-1 '

2л л r0

2) Ср 11-4-5 = 0, ф| 1-4-5 = ^ ф| 1-2-3 = 0, ф| 1-2-3 = 0;

2

-k1H <ф 1-2-3 < 0, — k1H <ф 1-2-3 < 0; л

Ii I q0

3) Ф 3-0 '-3' = ^ Ф 3-0 '-3' = 0, 0 <ф 3-0 '-3'

2л

0 <ф| 3-0'-3 -

л r0

4) ф|0-0' = 70, ф|0-0' =-^т, -kH <Ф|0-0'<0,

2л л r0

—k1H1 <Ф 0-0' < 0. л

является /-аналитической функцией комплексного переменного ^ = г + iz с характеристикой р = г, которую поэтому называют г-аналитической, а функция плоского потока

71~>) У.»' ,

С| = r, + iz, ''1, '2

= r2 + tz2

Рис. 1. Физическая область фильтрации через отверстие в полимерном экране: I - 1-й фрагмент области фильтрации; II - 2-й фрагмент области фильтрации; 1 - полимерный экран; 2 - отверстие (прокол); 3 - защитный слой грунта

Ввиду сложности решения задачи для рассматриваемой расчетной схемы на рис. 1 разделяем всю область фильтрации на два фрагмента по плоскости полимерного экрана 6-0-6'. Тогда 1-й фрагмент будет относится к области фильтрации в пределах защитного слоя, а 2-й фрагмент - к области фильтрации в подэкрановом основании. Подобные задачи впервые решены Ю.М. Косиченко [10, 11], но для случая фильтрации через непрерывную щель, где движение потока является не пространственным, а плоским.

Рассмотрим вначале решение плоской задачи для 1-го фрагмента. С этой целью используем метод конформных отображений, позволяющий преобразовать физическую область фильтрации для 1-го фрагмента (рис. 2 а) в область комплексного потенциала (рис. 2 в) с помощью вспомогательной полуплоскости (рис. 2 б).

Напор на экране и в отверстии по отношению к сечению отверстия 1-1' принимаем И = к0 + 50 - к\, где кх - остаточный напор на границе раздела двух фрагментов в сечении 1-1'. Ширину цилиндрического фрагмента 2R назначаем равной двойному радиусу влияния одиночного отверстия на движение фильтрационного потока от плоскости поверхности защитного слоя 3-3' к плоскости круглого отверстия 1-1'. Границы фрагмента 3-6-1 и 3-6-1' представляют собой крайние линии тока, ограничивающие собой область фильтрации к отверстию.

Отображая область фильтрации С1 на вспомога-

тельную полуплоскость т > 0 (рис. 2 а, б) с помощью интеграла Кристоффеля - Шварца, получим

С, = А J (т -1)2 4 (т+1)2 - ' (т-ß)2 4 (т + р)2 d т + B =

0

= 4

d т

т2 - 1)(т2-ß2)

d т

B =

= AXf , "" + B| Х = -> 1

»V(1 -т2 )(1 ^2 т2) 1 р

(9)

Интеграл в уравнении (9) не выражается через элементарные функции и является эллиптическим [12]. Так как модуль интеграла Х> 1, произведем

'л 1Л

замену переменных, положив т = — , dт = — dt.

X X

Тогда запишем уравнение (9) в виде d т

С = г i

1С - г2)

. + B = AF (Г, Х: ) + B =

(10)

= AF (Хт, Х:) + B,

1

где Х1 = — = Р < 1 - модуль эллиптического интегра-X

ла; F (', Х1) - неполный эллиптический интеграл 1-го рода с аргументом ' = Хт и модулем Х1 = Р .

Рис. 2. Конформные отображения 1-го фрагмента: а - физическая область ^; б - вспомогательная плоскость т ; в - область комплексного потенциала м>

1

Комплексные постоянные А и В найдем из соответствия точек 6 и 6':

А = -

R

B = 0.

К (х, )

а из соответствия точки 3 получим

5П R Я _К(^)

А=

К (Х1) К (Х1)

или

50 K (Х1)

имеем

С1 =■

R

к (х,)

откуда обратная функция будет

F (Хх, Х1) ,

х = Х1 sn

fK (Х1) ^

—— С1, х1

R 1 1

Из соответствия точки 1' ((^ = г0, х = х 2) определим неизвестный параметр

Л

Х 2 = X1sn

К (Х1) R ''

\

Х1

Подставляя соотношения (12) в уравнение (11), получим выражение для комплексного потенциала:

2

л K1H1 / Ч 2 K (Х 2) 2 = -i ^TYF (х1, Х2 ) + i" - - ВД.(13)

K (Х2 )

л 1 1 K (Х 2) л

Уравнение для удельного фильтрационного расхода на участке 1-1' из (13) будет иметь вид:

2

2 KH

где К (Х1), К (Х1) - полные эллиптические интегралы 1-го рода соответственно при модуле х1 и

х1=V1 - х2.

Подставляя постоянные А и В в уравнение (10),

q=Кк){К (Х 2)-F (хl, Х2)}=

1 = — CT , СТ = Х^П (и1, Х1) .

(14)

X = —ст , ст

х 2

Фильтрационный расход через отверстие полимерного экрана найдем, полагая в уравнении (14)

с = -Х2, q = q0, тогда

F (X!, х2 ) = F (-1, х2 ) = -К (х2);

q0 = 4 лК1 r0 H1

где Х = Х1 sn

0 K (Х1) R '

Х

K (Х 2 ) k(Х2),

х 2 = yj 1 - х

Для малых отверстий (проколов) в геомембране при г0 ^ 0 с учетом приближенных формул

ж 4

К (а)*- , К (х 2 )* 1п—,

Затем, в результате отображения области комплексного потенциала ю на полуплоскость х > 0 (рис. 2 б, в), получим:

' = С J

d х

^(х2 - 1)(х2 -Х2 )

C т

=—J

Х

d х

2^ (1 -X2 )(1 -Х3Х2 )

+ D =

1

Л

+ Dl Х = — > 1

Х

2 V

Так как модуль х 2 > 1, сделаем замену х1

х = — = х^2 , dх = х2dх1,

тогда

ю = С J

d х1

^ (1 -х 2х2 )(1 -х2)

+ D = CF (х1, Х 2 ) + D =

= CF | —х, Х 2 Х

+ D.

(11)

и D:

22

-K1H1 -KH1 2

С = -i ^—г, D = i —- K (Х1)— K1H1 . (12) к (х 2 )' к (х 2) v и л 1 1

расход через отверстие будет равен

70 =

л2 K1r0 H1 ln ( 4/ Х 2 ):

(15)

r л r

где а = Х1К (Х 2 )-0 = Х^-0.

Я 2 Я

При г0 ^ 0 формулу (15) с учетом преобразования эллиптических функций в гиперболические можно записать в виде

70

л k1r0 H1

ln

4cth

лг0 25n

(16)

Если соблюдаются — < 0,125, то формула (16)

50

упрощается и получит окончательный вид для определения фильтрационного расхода через единичное отверстие при Я^-®:

70

л2k1r0 H1

rnr85^

(17)

Из соотношения точек 1 и 3 найдем постоянные С

где Н1 = ^ + 50 - h1 - напор на экране; 50 - толщина защитного слоя грунта; ^ - глубина в канале; к1 -коэффициент фильтрации грунта защитного слоя; г0 -радиус отверстия (прокола) в полимерном экране из геомембраны; ^ - пьезометрический напор в сечении 1-1' отверстия в экране.

ю

2

3

v71 r0 V

Для 2-го фрагмента используем способ годографа скорости, где движение потока наблюдается на бесконечность и ограничивается с боков кривой свободной поверхности. Область годографа скорости для правой половины области движения имеет вид, представленный на рис. 3 а.

Произведем инверсию этой области относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат по зависимости

1

- d С 2 ю =—2 d ю

Ux - iUv

Тогда получим в области обратной комплексной скорости ю полуполосу с разрезом 2-1 (рис. 3 б).

Применяя формулу Кристоффеля - Шварца и определяя комплексные постоянные, найдем уравнение для конформного отображения полуполосы области ю на вспомогательную полуплоскость Z > 0 (рис. 3 г):

_ 2i 1 ю =-arccos—;= .

На границе отверстия 0-1 (£ > 1) будем иметь зависимость:

_ 2/

ю =-arccos

Ж ■

На границе экрана 1-4-6 (0 < L < 1)

ю =

2

-Archi.

41

На кривой свободной поверхности 4-5

— 2 л и 1 i

ю =-Arch —== + — .

%к2 к 2

В результате отображения области комплексного потенциала (рис. 3 г) на полуплоскость £ и определения постоянных интеграла Кристоффеля - Шварца получим следующее выражение для комплексного потенциала;

iq0 . ТС-1 ю = —-^arcsm v

я r

л/о-Г '

(18)

Исходя из последнего уравнения (18) и из соответствия точки 4, получим зависимость для определения фильтрационного расхода через отверстие экрана

% 2 к 2 г0 И 2

qo

Arch

1

л/а—Г

(19)

где И2 = h1 + Ик — потеря напора при фильтрации через 2-й фрагмент.

Параметр а в формуле (19) найдем из уравнения:

^ =

(h + Hk)

я 2Arch

70—1

1 0 я arccos -= -J va i

dt

a . 4t—T

arcsm -—==

Va-1 tJt -1

(20)

которое можно будет представить в более удобном для вычисления виде в безразмерных величинах:

r =

h + Hk

= F (a),

(21)

Рис. 3. Конформные отображения области годографа скорости 2-го фрагмента: а - область годографа скорости ю ; б - область инверсии годографа скорости; в - вспомогательная полуплоскость С ; г - область комплексного потенциала

1

V

г

0

где

Fi (а) = -

1+ л/2

ln

л/а -1

1 2v af-1 .

arccos^= — J arcsin

л/а л 0 Va

S

dS

л/а—1 S2 +1

h -

л2ст (h0 + So) Arch ^^а1-! ] - Hk ln [

85г

л2стАгЛ \ . |+ ln чл/а -1

8S0

(22)

Кобл _

0обл$0

(h0 + S0 ) F0

^^обл _ 2 q0 .

В случае наличия в основании экрана сильнопроницаемого грунта с соотношением коэффициентов фильтрации к2 / к1 > 10 расчетная формула для определения осредненного коэффициента фильтрации (23) при h1 = 0 упрощается

Значение параметра а из уравнений (21) или (20) находим с помощью последовательных приближений. Для упрощения вычислений в работе [11] приведена таблица значений функций F(a) в зависимости от параметра а.

Для определения пьезометрического напора в отверстии экрана h1 на границе 1-0-1' по уравнению неразрывности потока приравниваем фильтрационные расходы в 1-м и 2-м фрагментах по (17) и (19), откуда получим

k обл -

л kjS0r0n F0 ln(8S0 / л^)

которая с учетом введения частоты распределения повреждений v0 = п / F0 запишется в виде:

k обл -

л k1S0r0v0 F0 ln(8S0 / ЛГ0)

Аналогично определению кобл при

к2 / к1

> 10

найдем формулу фильтрационного расхода через малое отверстие из выражения (17)

К

где ст = —.

к2

Найдем теперь осредненный коэффициент фильтрации облицовки с применением полимерной геомембраны при наличии отверстий (проколов), используя общую формулу [4]:

40 =

л2^^ +S0) ln(8S0 / лг0)

(24)

а при к2 / к1 < 10 по выражению (17) расчетная формула фильтрационного расхода будет учитывать напор в отверстии ^

40 -

л2^^ +S0 -кх) ln(8S0 / лг0)

(25)

Учитывая, что на общей площади облицовки Fo будет п повреждений (проколов) геомембраны, полу-

_ 2, S0 (h0 +S0 - h1 ) ПГ( Кобл - л k1

(h0 +S0 ) F0

ln

(23)

или

K -л2. 50 (h1 + Hk) nr0 Кобл ~n K1'

(h0 +S0 ) F0

Arch

л/а-1

h -

л2а(h0 +S0)-4Hk lnf^1 V лг0 J

л2ст + 4ln

8S0

где

h1 -

где п - количество повреждений на единице площади облицовки (1/м2); ^ - пьезометрический напор в месте повреждения (прокола), выражаемый по формуле (22).

Для ориентировочных или предварительных расчетов с целью упрощения вычислений пьезометрического напора может использоваться приближенная формула [4]

л2ст(h0 + S0) - 4Hк ln(8S0 / лг0) л2ст + 4ln(8S0 / лг0)

ст - kj / k2 .

С целью оценки погрешностей, которые возникают при определении фильтрационного расхода через единичное отверстие в полимерном экране, проведем сопоставление результатов расчета по формулам (24) и (25) с расчетами по формулам В.П. Недриги, В.Н. Жиленкова и А.В. Ищенко [5].

Исходные данные для расчета приняты следующими:

а) случай при k2 / k1 > 10: k1 = 0,3м/сут, d0 = 2,0мм = 0,002м, r0 = d0 /2 = 0,002/2 = 0,001м, h0 = 3,0 м, 50 = 0,5 м.

б) случай при k2 / k1 < 10: k1 = 0,3 м/сут.

k2 = 0,15 м/сут. r = 0,001 м, h0 = 3 м, 5о = 0,5 м, 5под=1 и 10 м, с = k1/k2 = 2.

Сопоставление результатов расчета представлены в таблице.

4

х

х

0

V71 r0 J

V71 r0 J

1

V™0 J

Результаты расчета фильтрационного расхода через единичное отверстие в экране из геомембраны

Расчетные случаи Фильтрационный расход, м3/сут. по формулам

V k2 > 10 Авторов (40) Недриги В.П. Отклонение, %

0,00144 0,00336 -133

kj/k2<10 Авторов (41) Жиленкова В.Н. Отклонение

0,0011 0,0018 0,0054 -62 -391

Авторов (41) Ищенко А.В. Отклонение, %

0,0011 0,00141 -28

Примечание: в числителе указаны значения при толщине подстилающего слоя под экраном 5под=1,0 м, в знаменателе - при 5под = 10 м.

Анализ результатов расчета показывает, что значения фильтрационных расходов q0 по формулам (24) и (25) по сравнению с известными формулами В.П. Недриги, В.Н. Жиленкова и А.В. Ищенко значительно отличаются. Отклонение результатов для первого расчетного случая при к1 / к2 > 10 составляет

более 130 %, а для второго случая при

к1 / к2

< 10 в

зависимости от толщины подстилающего слоя - от 28 до 390 %. Такие расхождения объясняются неполным учетом при получении формулы В.П. Недриги граничных условий и пространственности (осесиммет-ричности) течения на модели методом ЭГДА, а в формуле В.Н. Жиленкова - учетом подстилающего слоя под пленочным экраном ограниченной мощности в отличие от авторов настоящей статьи, где принято -основание неограниченной мощности. Наиболее близкие значения фильтрационного расхода получены по формуле А.В. Ищенко. Однако по этой формуле определение расхода требует достаточно трудоемких вычислений, поскольку параметр а находится путем последовательных приближений.

Выводы

1. На основе использования метода конформных отображений и р-аналитических функций получено достаточно строгое теоретическое решение осесим-метричной задачи водопроницаемости противофильт-рационной облицовки через малое отверстие в полимерном экране из геомембраны.

2. Для упрощения решения задачи также использован метод годографа скорости и метод фрагментов с разделением всей области фильтрации на две части: области защитного слоя с напорным движением фильтрационного потока и области основания экрана с напор-но-безнапорной фильтрацией на бесконечность.

3. В результате решения задачи получены теоретические формулы основных характеристик водопроницаемости противофильтрационной облицовки: фильтрационного расхода через единичное отверстие и осредненного коэффициента фильтрации облицовки для случаев к1 / к2 > 10 и к1 / к2 < 10 .

Поступила в редакцию

4. На основании проведенного сопоставления расчетов по формулам авторов статьи с известными формулами других авторов показано, что последние дают значительно завышенные значения фильтрационных расходов более чем на 60 - 130 %.

Литература

1. Косиченко Ю.М. Расчет противофильтрационной эффективности облицовок с пленочными экранами // Гидротехническое строительство. 1983. № 12. С. 33 - 38.

2. Косиченко Ю.М. Гидравлическая эффективность и экологическая надежность облицованных каналов // Гидротехническое строительство. 1992. № 12. С. 12 - 17.

3. Косиченко Ю.М. Исследование фильтрационных потерь из каналов оросительных систем // Мелиорация и водное хозяйство. 2006. № 6. С. 24 - 25.

4. Косиченко Ю.М., Бородин В.А., Ищенко А.В. Инструкция по расчету водопроницаемости и эффективности проти-вофильтрационных облицовок каналов. М., 99 с.

5. Ищенко А.В. Гидравлическая модель водопроницаемости и эффективности противофильтрационных облицовок крупных каналов // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2010. Т. 258. С. 51 - 64.

6. Косиченко Ю.М., Ломакин А.В. Гибкие конструкции противофильтрационных и берегоукрепительных материалов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2012, № 5, С. 73 - 79.

7. Фильчаков П.Ф. Теория фильтрации под гидротехническими сооружениями. Т. 1. Киев, 1959. 308 с.

8. Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (р, q)-аналитических функций. Киев, 1973. 422 с.

9. Полубаринова-Кочина П.Я. К вопросу о получении осе-симметричных иечений из плоскопараллельных // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1969. № 3. С. 133 - 136.

10. Косиченко Ю.М. Свободная фильтрация из щели пленочного экрана с защитным покрытием // Докл. ВАСХНИЛ. 1984. № 8. С. 35 - 36.

11. Алтунин В.С., Бородин В.А., Ганчиков В.Г., Косиченко Ю.М. Защитные покрытия оросительных каналов. М., 1988. 160 с.

12. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Киев, 1970. 25 с.

11 февраля 2014 г.