Теоремы типа Боля-Перрона для разностного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Tyurin V.M., Kuznetsova Т.В. On well-posedness of linear differential operators in the Besov spaces. There is derived a necessary and syfficient condition of the well-posedness of a linear differential operator in the Besov spaces. Application of the presented statements are considered.

Key words: linear differential operator; Besov spaces.

Кузнецова Татьяна Борисовна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

ТЕОРЕМЫ ТИПА ВОЛЯ-ПЕРРОНА ДЛЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ © А.Ю. Куликов

Ключевые слова: разностные уравнения; устойчивость; теоремы типа Боля-Перрона. Получены новые теоремы типа Боля-Перрона об устойчивости по правой части для разностного уравнения с несколькими переменными запаздываниями и переменными коэффициентами.

Пусть N —множество натуральных чисел, N0 = N и {0}, Дн = {(п,т) € N0 : п ^ т}, Сг — г-мерное комплексное пространство. Символом \ ■ \ будем обозначать норму г-мерного вектора и согласованную с ней норму г х г-матрицы. Обозначим 1Р (1 ^ р < ж) — пространство суммируемых со степенью р, а 1^, — пространство ограниченных вектор-функций, заданных на N0.

Рассмотрим разностное уравнение

N

х(п + 1) — х(п) + Е Лк(п)х(п — Нк(п)) = / (п), п € N0, (1)

к=0

где Лк : N0 ^ сгхг —матрицы-функции, а / : N0 ^ Сг —вектор-функция, Нк : N0 ^ N0.

Фундаментальным решением [1] уравнения (1) будем называть матрицу-функцию К : Дн ^ Сгхг, которая при каждом т € N0 является решением уравнения

N

К(п + 1,т) — К(п, т) = — ^^ Лк(п)К(п — Нк(п),т), п ^ т,

к=0

с начальными условиями К (т,т) = Е, К(п,т) = 0, п < т, где Еж 0 —соответствен-

г х г

Поставим начальную задачу для уравнения (1), доопределив функцию х при п ^ 0 нулевой начальной функцией. Решение этой задачи имеет представление х = К/, где

П— 1

(К/)(п) = ^ К(п,г + 1)/(г). Оператор К назовем оператором Коши уравнения (1).

г=0

Устойчивость по правой части — это непрерывная зависимость решения начальной задачи от внешних возмущений, задаваемых функцией /.Пуст ь S —линейное нормированное пространство функций, определенных на No.

Определение!.. Будем говорить, что уравнение (1) устойчиво по правой части из S, если для любого е > 0 существует 6 > 0, такое, что из неравенства ||/1|§ ^ 6 следует

неравенство sup \x(n)\ <е.

nGNo

Устойчивость по правой части означает непрерывность оператора K, действующего из пространства S в простран с тво 1^>, а с учетом линей ности K —его ограниченность. Если же правая часть уравнения (1) принадлежит пространству 1p, то имеет место более сильное утверждение.

Лемма. Уравнение (1) устойчиво по правой части из 1р (1 ^ p ^ то) тогда и только тогда, когда оператор K действует из пространства 1p в пространство 1^,.

Таким образом, устойчивость по правой части из пространства 1Р можно понимать именно как действие оператора Коши уравнения (1) из этого пространства в пространство 1^>. Подход к понятию устойчивости по правой части как к действию оператора Коши уравнения в паре некоторых пространств разработан Пермской школой ФДУ профессора Н.В. Азбелева [2].

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно известны теоремы, связывающие устойчивость по правой части со свойством экспоненциальной устойчивости уравнения [3, 4]. Они называются теоремами Боля-Перрона.

Известны такие теоремы и в теории функционально-дифференциальных уравнений. В частности, в работе [5] рассмотрено линейное функционально-дифференциальное уравнение, правая часть которого принадлежит пространству суммируемых со степенью p ^ 1 или ограниченных в существенном вектор-функций. Доказаны теоремы об эквивалентности устойчивости по правой части наличию некоторой оценки функции Коши заданного уравнения. На основе этих теорем нами получены аналогичные результаты для разностного уравнения (1).

Теорема!.. Оператор K действует из пространства 1\ в пространс тво 1^, тогда и только тогда, когда фундаментальное решение уравнения (1) равномерно ограничено, т. е. sup \K(n,m)\ < то.

(n,m)eAN

N

Положим a(n) = \Ak(n)\ при n £ No, a(n) = 0 при n £ N0, h(n) = max hk(n).

k=0 °^k^N

n

Теорема 2. Пуст ь sup a(i) < то. Тогда, для того чтобы оператор K

n€No i=n-h(n)

действовал из пространства 1p (р > 1) в пространс тво 1^,, необходимо и достаточно, чтобы фундаментальное решение уравнения (1) имело экспоненциальную оценку, т. е. чтобы существовали такие M,y > 0, что \K(n,m)\ ^ Mexp(—y(n — m)) при любых (n, m) £ An.

ЛИТЕРАТУРА

1. Elaydi S. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems // J. Math. Anal. Appl. 1994. № 181. P. 483-492.

2. Азбелев H.B., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными // Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 229 с.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости М.: Наука, 1967. 224 с.

4. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970. 536 с.

5. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Диф-ференц. уравнения. 1992. Т. 28. №10. С. 1716-1723.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Kulikov A. Ju. Some Bohl-Perron type theorems for difference equation. We obtain new Bohl-Perron type theorems for difference equation with several variable delays and variable coefficients.

Key words: difference equations; stability; Bohl-Perron type theorems.

Куликов Андрей Юрьевич, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

ON POSITIVE DEFINITENESS OF A QUADRATIC FUNCTIONAL

© S. Labovskiy, J.P. Munembe

Key words: functional differential equation; quadratic functional.

A necessary and sufficient condition of positivity of the quadratic functional

b

/ (v')2 dx + v(y)v(x) d£, v(a) = u(b) = 0.

a [a,b]2

is obtained. Here £ is a symmetrical charge defined on a system of sets in [a,b] x [a,b]. This condition can be expressed in terms of resolubility of a boundary value problem for a generalized functional differential equation.

It is known [lj that the quadratic functional

b

is positive definite, i. e. it is positive for any nonzero function u satisfying the boundary conditions

u(a) = u(b) = 0,

if p(x) > 0 in [a, b], and if and only if the solution of the Euler equation

d , i \

—— (pu)+qu = 0, dx

satisfying conditions u(a) = 0, v!(a) = 1, is positive for x <E (a, b].

The boundary value problem

b

—u" + J u(y)dy r(x,y) = /, u(a) = u(b) = 0,

a

a