CC BY
8Математика
УДК 517.518.2
ТЕОРЕМЫ ХАУСДОРФА ОБ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЯХ И НОВЫЙ КЛАСС
РАВНОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ
В. К. Захаров
Введение. Пусть Т — множество, F(Т) — семейство всех функций / : Т ^ М, Fь(T) — его подсемейство всех ограниченных функций, 1 : Т ^ {1} — единичная функция, 0 — открытая топология на Т, С (Т, 0) — семейство всех непрерывных функций и Сь (Т, 0) — его подсемейство всех непрерывных ограниченных функций.
Весьма давно было установлено, что семейство С(Т, 0) в F(Т) обладает следующими свойствами:
1) 1 е С(Т, 0);
2) С(Т, 0) замкнуто относительно умножения на М;
3) С(Т, 0) замкнуто относительно сложения, умножения, супремума и инфимума;
4) С (Т, 0) замкнуто относительно равномерной сходимости последовательностей из С (Т, 0);
5) С(Т, 0) замкнуто относительно разрешенного деления, т.е. для любой функции / е С(Т, 0), такой, что /(Ь) = 0 для любого Ь е Т, справедливо 1// е С(Т, 0).
Семейство Сь(Т, 0) обладает свойствами 1-4 и свойством
5') Сь(Т, 0) замкнуто относительно разрешенного деления, т.е. для любой функции / е Сь(Т, 0), такой, что /(Ь) = 0 для любого Ь е Т и 1// е Fь(Т), справедливо 1// е Сь(Т, 0).
В связи с наличием таких полезных свойств у семейств С(Т, 0) и Сь(Т, 0) возникли два естественных вопроса: 1) каковы все С(Т, 0)-подобные семейства А(Т) С F(Т), т.е. обладающие свойствами 1-5? и 2) каковы все Сь(Т, 0)-подобные сем,ейст,ва А(Т) С Fь(Т), т.е. обладающие свойствами 1-4 и 5'?
Ответ на первый вопрос связан с именами Бореля, Лебега и Хаусдорфа.
Любое семейство А(Т) в F(Т) со свойствами 1-5 было названо Хаусдорфом полным [1; 2, гл. IX, § 37]. Будем называть его нормальным. А любое семейство А(Т) в Fь(T) со свойствами 1-4 и 5' будем называть ограниченно нормальным.
Пусть V (Т) — множество всех подмножеств множества Т. Любое множество 5 С V (Т), содержащее 0 и Т, назовем ансамблем на Т. Борель и Лебег для любого ансамбля 5 ввели понятие 5-измеримой функции / : Т ^ М, т.е. такой, что /_1[С] е 5 для любого открытого множества С из М. Семейство всех 5-измеримых функций на Т обозначим через М(Т, 5). Ясно, что 0 С Р(Т) и С(Т, 0) = М(Т, 0).
Борелем и Лебегом было доказано, что если ансамбль 5 мультипликативен (т.е. замкнут относительно конечных пересечений) и а-аддитивен (т.е. замкнут относительно счетных объединений), то семейство М(Т, 5) является нормальным, а семейство Мь(Т, 5) = М(Т, 5) П Fь(T) — ограниченно нормальным.
Окончательный ответ на первый вопрос был дан Хаусдорфом (см. [1; 2, гл. IX, § 37, теорема VIII]). Им было доказано, что класс всех нормальных семейств на множестве Т в точности совпадает с классом всех семейств измеримых функций на Т. Доказательство Хаусдорфа существеннейшим образом опиралось на наличие у нормального семейства А(Т) сильного свойства делимости 5. Теорема Хаусдорфа показала естественность класса измеримых функций.
Ответ на второй вопрос задержался на многие годы. Причина состоит в том, что у ограниченно нормального семейства А(Т) С Fь(T) свойство делимости 5' является гораздо более слабым, чем свойство делимости 5 у нормального семейства А(Т) С F(Т). Поэтому метод доказательства Хаусдорфа оказался неприменимым в ограниченном случае.
Данная статья посвящена ответу на второй вопрос. Для этого вводится новый класс равномерных функций, обобщающий класс ограниченных измеримых функций, и доказывается, что класс всех ограниченно нормальных семейств на множестве Т в точности совпадает с классом всех семейств равномерных функций на Т (теорема 3). Тем самым показывается естественность класса равномерных функций.
С вопросами 1 и 2 тесно связаны вопросы: 3) какова нормальная оболочка произвольного семейства А(Т) С F(Т)? и 4) какова ограниченно нормальная оболочка произвольного ограниченного семейства А(Т) С Fь(T)? Ясно, что эти вопросы являются более сложными, чем соответствующие вопросы 1 и 2.
Ответ на вопрос о виде нормальной оболочки произвольного семейства А(Т) С F(Т) был также дан Хаусдорфом (см. [1; 2, гл. IX, § 37, теорема VII]) в терминах лебеговских множеств семейства А(Т).
В данной статье дается ответ на вопрос о виде ограниченно нормальной оболочки произвольного ограниченного семейства A(T) С Fb(T) (теорема 4). Для того чтобы сделать работу более замкнутой, в ней приводятся и теоремы Хаусдорфа, однако в новой формулировке и с другими доказательствами (теоремы 1 и 2).
Результаты статьи были анонсированы в [3].
В работе использованы понятия и обозначения, принятые в современной теории классов и множеств. Для удобства читателя приведем некоторые необходимые определения.
Переобозначение знакосочетания а знакосочетанием т будем записывать в виде а = т или т = а. Знакосочетание {t | t)} обозначает класс, состоящий из элементов x, таких, что 3y(x Е y) Л ^(x), т.е. состоящий из множеств, обладающих свойством ф. Наряду с {t | t Е X Л p(t)} пишут также {t Е X | ^(t)}. Через знакосочетание {t | ^>(t)} определяются все теоретико-множественные понятия: 0 = {t | t = t}, {x} = {t | t = x}, {x, y} = {t | t = x V t = y}, (x,y) = {{x}, {x,y}}, P(X) = {t | t С X}, X U Y, X П Y, X \ Y, X x Y = {t | 3x Е X 3y Е Y(t = (x,y))}. Натуральные числа определяются как следующие множества: 0 = 0, 1 = 0 U {0}, 2 = 1U {1},..., n + 1 = nU {n},... . При таком определении одновременно имеют место два свойства: m С n + 1 и m Е n + 1 для всех m < n (т.е. m С n). Множество всех ненулевых натуральных чисел обозначается через N.
Мы строго отличаем отображение u : X — Y из множества X в множество Y от его значения yx = u(x) Е Y на элементе x Е X. Для отображения u : X — Y используется также индексное обозначение u = (yx Е Y | x Е X), которое читается как семейство или коллекция элементов множества Y, индексированных элементами множества X. Множество членов {t | 3x Е X (t = yx)} коллекции u обозначается через {yx Е Y | x Е X}. Например, для трехчленной коллекции u = (ai Е N | i Е 3), такой, что ao = 5, ai = 4 и a2 = 5, множество ее членов является двухэлементным множеством {ai | i Е 3} = {4, 5}. Для коллекции подмножеств u = (Ai Е P(A) | i Е I) множества A определим операции объединения U(Ai | i Е I) = {t | 3i Е I (t Е Ai)}, пересечения n(Ai | i Е I) = {t | Vi Е I (t Е Ai)} и произведения H(Ai | i Е I) = {t | (t : I — U(Ai | i Е I)) Л Vi Е I (t(i) Е Ai)}.
Если на множестве A определена бинарная операция сложения + : A x A — A, то для коллекции (ai Е A | i Е n Е N \{1}) по индукции определяется операция сложения ^(ai Е A | i Е 2) = ao + ai и ^2(ai Е A | i Е n + 1) = (ai Е A | i Е n) + an. Если на множестве A определен порядок то на A определяются частичные бинарные операции супремума a V b Е {t Е A | (t > a) Л (t > b) ЛУв Е A ((c > a) Л (c > b) ^ c > t)} и инфимума a Л b е{ е A | (t < a) Л (t < b) ЛУв Е A ((c < a) Л (c < b) ^ c < t)}.
1. Измеримые функции и теоремы Хаусдорфа. Далее T обозначает фиксированное множество. Для функции f : T — R множество coz f = {t Е T | Ц(t)| > 0} называется конульмножеством функции f, а множество cozn f = {t Е T | f (t)| > 1/n} для n Е N называется ее n-м конульмножеством. Для семейства A(T) функций на множестве T семейство Coz A(T) = {ccoz f | f Е A(T)} называется семейством, конульмножеств семейства A(T).
Если S — произвольный ансамбль на множестве T, то через Sa обозначается ансамбль, состоящий из всех счетных объединений элементов из S, а через Sv — ансамбль, состоящий из всех конечных пересечений элементов из S. Ясно, что Sa является а-аддитивным, а Sv — мультипликативным. Следовательно, ансамбль Sw является мультипликативным и а-аддитивным. Далее мультипликативный и а-аддитивный ансамбль на T будем называть а-основой.
Предложение 1. Пусть A(T) — нормальное семейство функций на множестве T. Тогда A(T) = M(T, Coz A(T)).
Доказательство. Легко проверить, что S = Coz A(T) является а-основой. Поэтому B(T) = M(T, S) является нормальным семейством.
Пусть 0 < f Е B(T). Рассмотрим функцию g = u о f = f/(l + f |) Е B(T), где u : R H - 1,1[ обозначает отображение, такое, что u(x) = x/(1 + |x|). Ясно, что 0 < g(t) < 1 для каждого t Е T. Возьмем точки xni = i/n для всех i Е [-1,n + 1] П Z и n Е N и рассмотрим множества Sni = g-1\\xni-i,xni+i\\ Е S. Тогда Sni = coz ani для некоторых функций ani Е A(T)+. Так как (Sni | i Е n + 1) является покрытием T, мы можем рассмотреть функции gni = ani/Yl(ani | i Е n + 1) Е A(T)+. Пусть t Е T. Предположим, что gni(t) < 1/(n + 1) для каждого i Е n + 1. Тогда 1 = ^2(gni(t) | i Е n + 1) < n/(n + 1), что невозможно. Значит, gni(t) > 1/(n + 1) для некоторого i. Поэтому множества Rni = cozn+2 gni для i Е n + 1 образуют покрытие T.
Рассмотрим функции hni = (xni-1 (n + 2) gni) Л (xni-1 1) и hn = sup(hni | i Е n + 1) в A(T)+. Если t Е Sni, то hni(t) ^ xni-i ^ g(t). Если t Е Sni, то hni(t) = 0 ^ g(t). Значит, hni ^ g для всех индексов. Если t Е Rni, то hni(t) = xni— i. Поэтому 0 ^ g(t') hn(t) ^ g(t) hni (tt) < xni+i xni-i = 2/n для каждого t Е Rni. Это означает, что g является равномерным пределом последовательности (hn | n Е N). Следовательно,
g е A(T).
Применяя обратное отображение v = u 1 : ] — 1,R, такое, что v(y) = y/(1 — |y|), мы получаем f = v о g = g/(1 — g) e A(T). Если f e B(T), то f = f V 0 — (—f V 0) e A(T). Тем самым мы проверили, что B(T) С A(T).
Обратно, если f e A(T), то f -1[]x,y[] = coz((f — x 1) V 0) Л ((y 1 — f) V 0) e S для x < y. Поэтому f -1[G] e Sa = S для любого открытого множества G из R. Значит, f e B(T). Это доказывает, что B(T) = A(T). Доказательство закончено.
Для любого семейства A(T) С F(T) рассмотрим семейство A(T)* всех функций f : T ^ R, таких, что для f существуют функция u e A(T) и числа x < у из R, такие, что f = ((u — x 1) V 0) Л ((у 1 — u) V 0).
Лемма 1. Пусть семейство функций на множестве T обладает свойствами 1-3 из введения. Тогда A(T= Ab(T)+, где A6(T) = A(T) П Fb(T).
Доказательство. Из неравенств 0 < f < (y—x) 1 мы заключаем, что A(T)* С Ab(T) +. Обратно, пусть u e Ab(T) +. Возьмем x = 0 и y, такой, что y 1 > 2u. Рассмотрим функцию f = ((u—x 1)V0)Л((у 1—u)V0) e A(T)*. Так как (y 1 — u) V 0 > u, то f = u. Значит, u e A(T)*.
Следствие. Пусть A(T) — нормальное семейство функций на множестве T. Тогда A(T) = M(T, Coz A(T)*).
Доказательство. Согласно лемме 1, Coz A(T)* = Coz Ab(T)+ = Coz A(T). Теперь применяем предложение 1.
Теорема Хаусдорфа 1. Пусть T — множество и A(T) — подсемейство в F(T). Тогда следующие заключения равносильны:
1) семейство A(T) является нормальным;
2) A(T) = M(T, S) для некоторой а-основы S;
3) A(T) = M(T, {0, T} U (Coz A(T))va);
4) A(T) = M(T, {0, T} U (Coz A(T)*)w).
Доказательство. 1) b 3). Так как семейство A(T) нормально, то S = Coz A(T) является а-основой. Поэтому S = {0,T} USVa. Следовательно, из предложения 1 получаем A(T) = M(T, {0,T} USW).
3) b 2). Так как {0,T} U (Coz A(T))Va является а-основой, то дедукция очевидна.
2) b 1). Доказательство приведено в [2, гл. IX, § 37, теорема III].
1) b 4). Из леммы 1 следует равенство Coz A(T)* = Coz A(T). Теперь необходимая дедукция следует из доказанной дедукции 1) b 3).
4) b 2). Дедукция аналогична дедукции 3) b 2).
Теорема 1 дает возможность описать нормальную оболочку N(A(T)) произвольного семейства функций A(T) С F(T), т.е. наименьшее из всех нормальных семейств B(T), содержащих семейство A(T).
Теорема Хаусдорфа 2. Пусть T — множество и A(T) — подсемейство в F(T). Тогда семейство M(T, {0,T} U (Coz A(T)*)va) является нормальной оболочкой N(A(T)) семейства A(T).
Доказательство. Так как S = {0,T} U (Coz A(T)*)w является а-основой, то E(T) = M(T, S) — нормальное семейство.
Если f e A(T), то f-1[]x,y[] = coz g для g = ((f — x 1) V0) Л ((y 1 — f) V0) e A(T)*. Поэтому f-1[G] e S для любого открытого множества G из R. Значит, A(T) С E(T).
Пусть B(T) — нормальное семейство и A(T) С B(T). Тогда Coz A(T)* С Coz B(T)* влечет E(T) С M(T, {0,T} U (Coz B(T)*)va). Применяя теорему 1, мы получаем E(T) С B(T).
2. Равномерные функции относительно мультипликативного семейства покрытий. Семейство C конечных покрытий множества T назовем мультипликативным, если для каждой конечной коллекции (па eC I a e A) покрытий па = (Cai e P(T) | i e Ia) множества T мы имеем f\(na | a e A) eC, где Л(па I a e A) обозначает покрытие (Dj | j e J), такое, что J = П(Ia | a e A) и Dj = P|(Caj(a) | a e A) для каждого j e J. Ясно, что это свойство достаточно проверять для случая двух покрытий П1 = (C1i | i e I1) и П2 = (C2i | i e I2) из C. Тогда должно быть выполнено равенство П1Л П2 = (Dj | j e J) eC, где J = I1 x I2 и Dj = Cj(1) П C2j(2) для каждого j e J. Отметим, что во избежание увеличения этажей индексации мы здесь и далее считаем, что предшествующие индексы задают область изменения последующих.
Для семейства C покрытий множества T рассмотрим его п-оболочку Cv, состоящую из всех конечных коллекций п = (Pu С T | u e U), таких, что для п существует конечная коллекция (y e C | i e I) конечных покрытий Yi = (Cim | m e Mi) множества T, такая, что U = Y\(Mi | i e I) и Pu = P|(CiU(i) | i e I) для каждого u e U.
Лемма 2. Пусть T — множество и C — семейство конечных покрытий множества T. Тогда каждая коллекция п eCv является конечным покрытием T.
Доказательство. По свойству общей дистрибутивности объединения относительно пересечения мы
имеем и (Pu | u e U) = 11(0(^0 | i e I) | u e U) = {]({J(Cim | m e Mi) | i e I) = r\(T | i e I) = T.
Так как каждое множество Mi является конечным, их произведение U = Л (Mi | i e I) тоже конечно.
Лемма 3. Пусть Т — множество и С — семейство конечных покрытий множества Т. Тогда семейство С^ конечных покрытий Т мультипликативно.
Доказательство. Пусть (па ЕСц | а Е А) — конечная коллекция. По определению па = (Раи С Т | и Е иа) для а Е А, и для каждого па существует конечная коллекция (^аг ЕС I г Е 1а) покрытий, такая, что иа = П(Mаi I г Е 1а) и Раи = Г\(Саги(г) И Е 1а) для каждого и Е Ца.
Рассмотрим конечное множество 1 = иа(1а | а Е А) = У(1а х {а} | а Е А). По свойству общей ассоциативности произведения имеют место следующие биекции: Ш = П(иа | а Е А) ^ П(I~[(Маг | (г, а) Е 1а X {а}) | а Е А) ^ П(М) | 3 Е 1) = V, где М) = Маг для 3 = (г, а) Е За = 1а х {а}.
Рассмотрим конечную коллекцию (5у | з Е 1) конечных коллекций 5у = (Бут | т Е Му), таких, что = Сагт для з = (г, а) Е 1а и т Е Му = Маг. Так как 5(г,а) = (Сагт | т Е Маг), мы заключаем, что 5у Е С для каждого 3 Е 1.
Рассмотрим множества Qv = Р|| 3 Е 1) и коллекцию к = | V Е V) Е С^. Если V Е V получается в результате вышеуказанных биекций из и> Е Ш, то Р|(Раш(а) | а Е А) = П(П(Сагад(а)(г) | г Е 1а) | а Е А) = Г\(Г\(ПМЛ | 3 Е 1а) | а Е А) = ПР^О) I 3 Е 1) = Qv. Поэтому А(па | а Е А) = к. Следовательно, А(па | а Е А) ЕСц. Доказательство закончено.
Для функции / : Т ^ М, множества Р С Т и коллекции множеств п = (Рг С Т | г Е I) рассмотрим числа ш(/,Р) = Бир{|/(8) — / (¿)| | в,г Е Р} и ш(/,п) = 8ир{ш(/, Рг) | г Е I}, называемые колебанием, функции / на множестве Р и на коллекции п соответственно.
Пусть С — некоторое семейство конечных покрытий множества Т. Функцию / назовем равномерной относительно семейства С, если для любого е > 0 существует покрытие (Сг | г Е I) ЕС, такое, что ш(/,Сг) < е для любого г Е I. Семейство всех таких функций обозначим через и(Т, С).
Если Б — ансамбль на Т, то он порождает семейство Соу Б конечных покрытий (Бг Е 5 | г Е I) множества Т. Функция / называется равномерной относительно ансамбля Б, если она является равномерной относительно семейства Соу Б. Эти функции были введены автором в работе [4]. Далее вместо и (Т, Соу Б) будем писать просто и (Т, Б).
Ясно, что Мь(Т, Б) С и(Т, Б) С Мь(Т, Ба). Поэтому для ст-аддитивного ансамбля и(Т, Б) = Мь(Т, Б). Класс семейств и (Т, Б) равномерных функций относительно ансамблей Б оказался полезным при решении ряда классических задач в теории функций и теории меры [5]. Однако этот класс не давал ответа на вопрос 2. Более широкий класс семейств и(Т, С) равномерных функций относительно семейства конечных покрытий С позволяет дать ответ на этот вопрос.
Предложение 2. Если семейство конечных покрытий С мультипликативно и содержит одноэлементное покрытие (Тг = Т | г Е {г}), то семейство и(Т, С) является ограниченно нормальным.
Доказательство. Ясно, что 1 Е А(Т) = и(Т, С). Зафиксируем функции /,д Е А(Т) и число е > 0. Пусть /1 < а 1 и |g| < Ь1 для некоторых чисел а и Ь.
Пусть г Е М \ {0}. Для числа е1 = е/Г существует покрытие п = (Сг | г Е I) ЕС, такое, что ш(/,п) < еь Если в,г Е Сг, то Кг/)(в) — (г/)(г)| = |г| /(в) — /(г)| < |г| ш(/,п). Следовательно, ш(г/,п) < Г и(/,п) < е. Поэтому г/ Е А(Т).
Для чисел е1 = е/2 и е2 = е/2 существуют покрытия п = (Сг | г Е I) ЕС и к = (Б у | з Е 1) ЕС, такие, что ш(/,п) < е1 и ш(д, к) < е2. Если в, г Е Сг П Бу, то \(/ + д)(в) — (/ + д)(г) < /(в) — /(г)| + |д(в) — g(t)| < ш(/, п) + ш(д, к). Следовательно, ш(/ + д,п А к) < ш(/, п) + ш(д, к) < е. Так как семейство С мультипликативно, то п А к ЕС. Значит, / + д Е А(Т).
Аналогичным образом по неравенству Биркгофа К/ V д)(в) — (/ V g)(t)| < /(в) V д(в) — /(в) V g(t)| + /(в) V д(г) — /(г) V д(г) < ^(в) — д(г) + /(в) — /(г)| < ш(д, к) + ш(/, п). Следовательно, ш(/ V д,п А к) < ш(д, к) + ш(/, п) < е. Значит, / V д Е А(Т).
Точно так же проверяется, что / А д Е А(Т).
Рассмотрим числа е1 = е/2Ь и е2 = е/2а. Для них существуют покрытия п = (Сг | г Е I) ЕС и к = (Бу | з Е 1) ЕС, такие, что ш(/,п) < е1 и ш(д, к) < е2. Если в,г Е Сг П Бу, то К/д)(в) — (/д)(г) = /(в) д(в) — /(г) дШ + /(г) д(в) — /(г) д(Щ < |д(в)| /(в) — /т + /(Щ Ш — дШ < Ь^(/,п)+ аш(д, к). Следовательно, ш(/д,п А к) < Ьш(/,п) + аш(д, к) < е. Значит, /д Е А(Т).
Предположим, что /(г) = 0 для любого г Е Т и 1/|/1 < с 1 для некоторого числа с. Для числа е1 = е/с2 существует покрытие п = (Сг | г Е I) ЕС, такое, что ш(/,п) < е1. Если в,г Е Сг, то |(1 //)(в) — (1//)(t)| = /(в) — /т//(в)| /(г)| < с2и(/,п). Следовательно, и(1//,п) < с2и(/,п) < е. Поэтому 1// Е А(Т).
Стандартным рассуждением проверяем, что А(Т) замкнуто относительно равномерной сходимости последовательностей.
Следствие. Если ансамбль Б на множестве Т мультипликативен, то семейство и(Т, 5) является ограниченно нормальным. Если, кроме того, ансамбль Б аддитивен, то д// £ V(Т, 5) для любых / £ и(Т, Б) и т Е N.
Доказательство. Пусть ансамбль S мультипликативен и аддитивен. Возьмем число е > 0. Для числа ei = ет/4 существует конечное покрытие п = (Si Е S | i Е I), такое, что u(f,n) < е\. Разобьем интервал [0, a] точками Xk для к = 0,...,u так, что Хо = 0, xu = a и Xk+i — Xk = ei. Рассмотрим множества Xk = f-1[[xk ,Xk+i]], Ik = {i Е I I Si n Xk = 0} и Sk = U(Si I i Е Ik) Е S для к = 0,...,u — 1. Пусть s Е Sk. Тогда s Е Si для некоторого i, такого, что Si П Xk = 0. Возьмем некоторую точку t из этого пересечения. Тогда f(s) = f(s) — f(t) + f(t) < u(f,n) + Xk+1 и f(s) > —u(f,n) + Xk. Следовательно, для последовательности (ук Е М | к = — 1,... ,и + 1), такой, что \ = 0, yu+i = а + £i и ук = Xk для всех к = 0,..., и, справедливо неравенство ш( л/7) Sk) ^ 4/¡Jk+2 ~ "л/Ук-1 Для к = 0,..., и — 1. Так как функция п^у является выпуклой вверх, то самой большой из написанных разностей является разность ^/Уз — Ч^/Уо = \/ЗеТ < е. Поэтому V7> Р) < £ Для покрытия р = (Sk Е S | к = 0,..., и — 1). Значит, V7eU(T,S).
Для семейства A(T) С F^(T) рассмотрим семейство Cov A(T) всех конечных покрытий к = (Ci | i Е I) множества T, таких, что или к = (Ti = T | i Е {i}), или для к существуют конечная коллекция (fi Е A(T) I i Е I) и число l Е N, такие, что Ci = coz fi и (cozifi | i Е I) является покрытием T.
Предложение 3. Пусть T — множество и A(T) — ограниченно нормальное семейство ограниченных функций на T. Тогда A(T) = U(T, Cov A(T)).
Доказательство. Вначале проверим, что семейство C = Cov A(T) является мультипликативным. Пусть к = (Ci | i Е I), Ci = coz fi,\J(cozifi | i Е I) = T, p = (Dj | j Е J), Dj = cozgj,U(cozmgj | j Е J) = T.
Для K = I x J, к = (i,j) Е K, Ek = Ci П Dj и hk = fi Л gj Е A(T) справедливо равенство Ek = coz hk. Аналогично для n = max(l, m) справедливо равенство cozn hk = cozn fi n cozn gj D cozi fi n cozm gj. Следовательно, |J(cozn hk | к Е K) = T. Это означает, что к Л p = (Ek | к Е K) Е C. Отсюда получаем, что семейство C бинарно мультипликативно. По индукции доказывается, что оно (конечно) мультипликативно. Поэтому по предложению 2 мы можем рассмотреть ограниченно нормальное семейство B(T) = U (T, C).
Пусть u Е A(T) и u(t) Е [—£,£] для каждого t Е T. Возьмем е > 0 и n Е N, такие, что 1/n < е. Рассмотрим числа Xi = —z + 2zi/3n для i Е I = 3n + 1. Рассмотрим также функции fi = ((u — X—i 1) V 0) Л ((Xi+2 1 — u) V 0) Е A(T)* и коллекцию к = (Ci | i Е I), такую, что Ci = coz fi. Пусть t Е T. Тогда u(t) Е [Xi,Xi+i] для некоторого i. Поэтому ^(t) > (xí — Xi-i) Л (xí+2 — Xi+i) > 1/3n > 1/4n, т.е. t Е coz4n fi. Это означает, что (coz4n fi | i Е I) является покрытием T. Следовательно, к ЕC.
Пусть s,t Е Ci. Тогда ((u(s) — xi-i) V 0) Л ((xi+2 — u(s)) V 0) = fj,(s) > 0 влечет xi-i < u(s) < xi+2. Аналогично xi-i < u(t) < xi+2. Следовательно, ^(s) — u(t)| < xi+2 — xi-i = 1/n. Поэтому и (x, Ci) < 1/n < е. Значит, A(T) С B(T).
Обратно, пусть f Е B(T)+. Возьмем е > 0. По определению u(f, к) < е для некоторой конечной коллекции (fi Е A(T) | i Е I) и некоторого числа l Е N, таких, что к = (Ci | i Е I), Ci = coz fi и U(cozi fi | i Е I) = T. Рассмотрим числа Ti = inf(f (t) | t Е Ci) и функции gi = (rilfi) Л (ri 1) и g = sup(gi | i Е I) из A(T). Если t Е Di = cozl fi, то gi(t) = ri. Если t Е Ci, то gi,(t) < ri < f (t). Если t Е Ci, то gi(t) = 0 < f (t). Следовательно, gi < f. Поэтому 0 < f (t) — g(t) < f (t) — gi(t) = f (t) — n < е для каждого t Е Di. Из доказанного факта следует, что, используя аксиому выбора, мы можем построить последовательность функций (gn Е A(T) | n Е N), таких, что f = u — lim (gn | n Е N). Так как семейство A(T) является равномерно замкнутым, мы заключаем, что f Е A(T).
Если f — произвольная функция из B(T), то f = f+ + f-, где f+ = f V 0 Е B(T)+ и —f- = — (f Л 0) Е B(T) + . По доказанному выше f+ Е A(T) и —f- Е A(T). Поэтому f = f+ + f- Е A(T). Значит, B(T) С A(T).
Следствие. Пусть T — множество и A(T) — ограниченно нормальное семейство ограниченных функций на T. Тогда A(T) = M(T, Cov A(T)*).
Доказательство. Из леммы 1 следует, что Cov A(T)* = Cov Ab(T)+ = Cov A(T). Теперь мы применяем предложение 3.
Следующая теорема дает нам характеризацию ограниченно нормальных семейств A(T) С Fb(T).
Теорема 3. Пусть T — множество и A(T) — подсемейство в F^(T). Тогда следующие заключения равносильны:
1) семейство A(T) является ограниченно нормальным;
2) A(T) = U(T, C) для некоторого мультипликативного семейства конечных покрытий C, содержащего одноэлементное покрытие (Ti = T | i Е {i});
3) A(T) = U(T, (Cov A(T))v);
4) A(T) = U(T, (Cov A(T)t)r,).
Доказательство. 1) b 3). В доказательстве предложения 1 было установлено, что семейство C = Cov A(T) мультипликативно. Поэтому C = Cv. Следовательно, согласно предложению 3, A(T) = U(T, Cv).
3) b 2). Рассмотрим семейство C = Cov A(T). По лемме 3 семейство Cv мультипликативно.
2) Ь 1) следует из предложения 2.
1) Ь 4). Согласно лемме 1, (Cov A(T)*)v = (Cov Ab(T)+)v = (Cov A(T))V. Теперь необходимая дедукция следует из доказанной дедукции 1) Ь 3).
4) Ь 2). Так же, как и в доказательство дедукции 3) Ь 2), мы заключаем из леммы 3, что семейство C = (Cov A(Tмультипликативно.
Теорема 3 дает возможность описать ограниченно нормальную оболочку BN(A(T)) произвольного семейства функций A(T) С Fb(T), т.е. наименьшее из всех ограниченно нормальных семейств B(T), содержащих семейство A(T).
Теорема 4. Пусть T — множество и A(T) — подсемейство в Fb(T). Тогда семейство U(T, (Cov A(T)*)ц) является ограниченно нормальной оболочкой BN(A(T)) семейства A(T).
Доказательство. По лемме 3 семейство C = (Cov A(T)*)v мультипликативно. Поэтому E(T) = U(T, C) по предложению 3 является ограниченно нормальным семейством.
Кроме того, в доказательстве предложения 3 было установлено, что A(T) С U(T, Cov A(T)*). Поэтому A(T) С E(T).
Наконец, пусть B(T) — ограниченно нормальное семейство и A(T) С B(T). По теореме 3 имеем B(T) = U(T, (Cov B(T)*)V). Так как Cov A(T)# С Cov B(T)*, мы получаем E(T) С U(T, (Cov B(T)#)v) = B(T).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00286).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, 1914.
2. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
3. Захаров В.К. Теорема Хаусдорфа об измеримых функциях и новый класс равномерных функций // Междунар. конф. "Тихонов и современная математика" (19-25 июня 2006 г.): Тез. докл. М., 2006. 301-302.
4. Zaharov V.K. Alexandrovian cover and Sierpin'skian extension // Stud. sci. math. hung. 1989. 24. 93-117.
5. Захаров В.К. Новые классы функций, связанные с общими семействами множеств // Докл. РАН. 2006. 406, № 3. 301-305.
Поступила в редакцию 12.04.2006
УДК 515.12
ФУНКТОР МТ, ЛИПШИЦЕВЫ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Ю. В. Садовничий, В. В. Федорчук
Введение. Работа посвящена вопросам поднятия функтора МТ: ТуеЬ ^ ТуеЬ на категории метрических и равномерных пространств. В [1] аналогичные задачи были решены для функтора ит единичного шара т-аддитивных мер. Основное отличие функтора Мт от ит состоит в том, что пространство Мт(X) компактно только для X = 0. Более тонкое отличие выражает теорема 2, из которой следует, что функтор Мт не всегда сохраняет равномерную непрерывность отображений метрических пространств (даже в случае компактов). Тем не менее задача поднятия функтора Мт на категорию ИшГ оказывается разрешимой (теоремы 3 и 5).
1. Предварительные сведения. Метрика Мт(р) и ее свойства. Мерой на тихоновском пространстве X будем называть неотрицательную счетно-аддитивную функцию ¡л, определенную на ст-алгебре В(Х) всех борелевских подмножеств пространства X. Мы ограничимся рассмотрением только т-аддитив-ных мер.
Мера л называется т-аддитивной, если ц(Оо) = 8ир{л(С) : О Е Яо} для любого открытого множества Со и любого направленного вверх семейства Яо открытых подмножеств X, дающего в объединении множество Оо.
Множество всех т-аддитивных мер на X обозначается через Мт (X). Каждой регулярной мере л соответствует интегральный функционал
I : Cb(X) ^ R. ß
