CC BY
82) Ь 1) следует из предложения 2.
1) Ь 4). Согласно лемме 1, (Cov A(T)*)v = (Cov Ab(T)+)v = (Cov A(T))V. Теперь необходимая дедукция следует из доказанной дедукции 1) Ь 3).
4) Ь 2). Так же, как и в доказательство дедукции 3) Ь 2), мы заключаем из леммы 3, что семейство C = (Cov A(Tмультипликативно.
Теорема 3 дает возможность описать ограниченно нормальную оболочку BN(A(T)) произвольного семейства функций A(T) С Fb(T), т.е. наименьшее из всех ограниченно нормальных семейств B(T), содержащих семейство A(T).
Теорема 4. Пусть T — множество и A(T) — подсемейство в Fb(T). Тогда семейство U(T, (Cov A(T)*)ц) является ограниченно нормальной оболочкой BN(A(T)) семейства A(T).
Доказательство. По лемме 3 семейство C = (Cov A(T)*)v мультипликативно. Поэтому E(T) = U(T, C) по предложению 3 является ограниченно нормальным семейством.
Кроме того, в доказательстве предложения 3 было установлено, что A(T) С U(T, Cov A(T)*). Поэтому A(T) С E(T).
Наконец, пусть B(T) — ограниченно нормальное семейство и A(T) С B(T). По теореме 3 имеем B(T) = U(T, (Cov B(T)*)V). Так как Cov A(T)# С Cov B(T)*, мы получаем E(T) С U(T, (Cov B(T)#)v) = B(T).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00286).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, 1914.
2. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
3. Захаров В.К. Теорема Хаусдорфа об измеримых функциях и новый класс равномерных функций // Междунар. конф. "Тихонов и современная математика" (19-25 июня 2006 г.): Тез. докл. М., 2006. 301-302.
4. Zaharov V.K. Alexandrovian cover and Sierpin'skian extension // Stud. sci. math. hung. 1989. 24. 93-117.
5. Захаров В.К. Новые классы функций, связанные с общими семействами множеств // Докл. РАН. 2006. 406, № 3. 301-305.
Поступила в редакцию 12.04.2006
УДК 515.12
ФУНКТОР Мт, ЛИПШИЦЕВЫ И РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Ю. В. Садовничий, В. В. Федорчук
Введение. Работа посвящена вопросам поднятия функтора МТ: ТуеЬ ^ ТуеЬ на категории метрических и равномерных пространств. В [1] аналогичные задачи были решены для функтора ит единичного шара т-аддитивных мер. Основное отличие функтора Мт от ит состоит в том, что пространство Мт(X) компактно только для X = 0. Более тонкое отличие выражает теорема 2, из которой следует, что функтор Мт не всегда сохраняет равномерную непрерывность отображений метрических пространств (даже в случае компактов). Тем не менее задача поднятия функтора Мт на категорию ИшГ оказывается разрешимой (теоремы 3 и 5).
1. Предварительные сведения. Метрика Мт(р) и ее свойства. Мерой на тихоновском пространстве X будем называть неотрицательную счетно-аддитивную функцию определенную на ст-алгебре В(Х) всех борелевских подмножеств пространства X. Мы ограничимся рассмотрением только т-аддитив-ных мер.
Мера л называется т-аддитивной, если ¡(О о) = 8ир{л(О) : О € Яо} для любого открытого множества Со и любого направленного вверх семейства Яо открытых подмножеств X, дающего в объединении множество Оо.
Множество всех т-аддитивных мер на X обозначается через Мт (X). Каждой регулярной мере л соответствует интегральный функционал
I : Cb(X) ^ R. ß
Это инъективное соответствие позволяет отождествить множество Мт (X) с подмножеством тихоновской степени МСь(х) прямой М и тем самым определить на Мт(X) топологию, называемую ^-слабой топологией.
Операция Мт функториальна. Непрерывному отображению / : X — У соответствует непрерывное отображение Мт(/) : Мт(X) — Мт(У), определяемое равенством Мт(/)(/л)(В) = /л(/-!(В)).
Подфунктором функтора Мт является функтор Рт вероятностных т-аддитивных мер. При этом мера / на X называется вероятностной, если \\/\\ = /(X) = 1. Более подробную информацию о функторах Мт, Рт и промежуточном функторе ит единичного шара можно найти в [1]. Для £ Рт(X) положим
Л(/, V) = {Л £ Рт(X х X) : РГ!(Л) = /, рг2(Л) = V},
где рг : Рт (X х X) — Рт (X) — отображение, порожденное проектированием на г-й сомножитель.
Множество Л(/, V) не пусто; оно содержит тензорное произведение / ® V. Для ограниченной непрерывной псевдометрики р на X определим функию Рт (р) : Рт (X) х Рт (X) — М+:
Рт(р)(л^)=ы{ ! рйЛ : Л £ )) . (1)
иххх )
Лемма 1 [1]. Существует такая мера Л £ ), что Рт(р)(/^) = Л(р).
Определение (1) можно распространить на меры £ Мт(X). Следуя [1], положим
мт{р){= тт{|Ы|, И} • РЛр) й) + • Ни - и|;
Мт(р)(ц,Щ = й
(2)
Здесь через й обозначается диаметр ё1аш р ограниченной псевдометрики р.
Из определений (1) и (2) непосредственно вытекает
Предложение 1. Если р\, р2 — ограниченные непрерывные псевдометрики на X и р\ < р2, то Мт (р! ) < Мт (р2) ■
Доказательства следующих двух утверждений являются дословным повторением доказательств аналогичных утверждений из [1] для единичного шара ит (X).
Предложение 2. Для любой ограниченной непрерывной (псевдо-) метрики р на X функция Мт(р) является непрерывной (псевдо-) метрикой на Мт(X), причем Мт^^ = р■
Предложение 3. Если р — ограниченная совместимая метрика на X, то Мт(р) — совместимая метрика на Мт (X)■
Предложение 3 определяет функтор М^1: ВМе1г — Ме1г, действующий из категории ограниченных метрических пространств в категорию метрических пространств и являющийся поднятием функтора Мт: ТусЬ — ТусЬ.
Теорема 1. Функтор М^ сохраняет полноту метрических пространств■
Доказательство. Из определений (2) вытекает, что
Мт (р)(Ь/,&) = 1Мт (р)(л,и) (3)
для любых /л^ £ Мтр^) и Ь £ М+. Пусть (X, р) — полное ограниченное метрическое пространство и пусть {/к : к £ и} — фундаментальная последовательность мер из М^^). Поскольку всякая фундаментальная последовательность ограничена, существует такое число £ > 0, что \\/лк\\ для всех к. Положим /л'к = Тогда последовательность {/'к : к £ и}, согласно (3), также фундаментальна и лежит в единичном шаре и^). В [1] доказано, что этот шар полон. Следовательно, существует такая мера /л' £ и^1(X), что
Мт (р)(/к,/') — 0 при к — ж. (4)
Положим /л = Ь/. Из (3) и (4) вытекает, что Мт(р)(/к,/) — 0 при к — ж. Следовательно, /к — / при к — ж. Теорема 1 доказана.
Напомним, что через (X) (соответственно Ми(X)) обозначается множество всех регулярных мер с компактными носителями (соответственно радоновых мер) на пространстве X. Для всякого тихоновского пространства X имеем
Мв(X) с Мп^) с Мт(X), [МвЩМ(X) = Мт(X). (5)
В силу (5) из теоремы 1 получаем
Следствие 1. Если (Х,р) — ограниченное метрическое пространство, то пополнения пространств (Мр(Х),МТ(р)) и (Мд(Х), Мт(р)) совпадают с пространством (МТ(Х), Мт(р)) всех т-аддитивных мер на пополнении (Х,р) пространства (Х,р).
2. Липшицевы отображения. Напомним, что отображение / : (Х,Р1) — (У, р2) между метрическими пространствами называется липшицевым, если существует такое число Ь, что
Р2(/(хх), ¡(Х2)) < Ьрг(хг,х2). (6)
Наименьшее число Ь, для которого выполняется условие (6), называется константой Липшица отображения / и обозначается через Ь(/). Всякое липшицево отображение равномерно непрерывно. Обратное неверно даже для компактных метрических пространств.
Теорема 2. Для отображения / : (X, р\) — (У, р2) между ограниченными метрическими пространствами следующие условия равносильны:
(а) отображение / липшицево;
(б) отображение МТ(/) : (МТ(X),МТ(рх)) — (МТ(У),МТ(р2)) липшицево;
(в) отображение МТ(/) 'равномерно непрерывно.
Доказательство. Начнем с импликации (а) ^ (б). Пусть Ь — константа Липшица отображения /, А% = сЦатрг и К = тах{Ь, (ясно, что если / — эпиморфизм, то К = Ь). Введем следующие краткие
обозначения: р+ = МТр), щ = МТ(/)(^г). Нам потребуется вспомогательная
Лемма 2 [2, лемма 8]. Пусть £ РТ(X) и мера X £ Л(р\,^2) такова, что
р+()= р1(Х1,Х2)(1Х.
■¡ХкХ
Тогда
/ХхХ
р2(»1 ,у2) р2(/(Х\),/(Х2))(Х.
./ХхХ
Пусть теперь ^ £ МТ(X), \\p.Wi = ш^. Считаем для определенности, что 0 < Ш\ < Ш2. Положим ^'г = тЬ^ и и'г = ш-^' Поскольку отображение Мт(/) сохраняет нормы мер, имеем г/ = Рг(/)(/^). Для проверки импликации (а) ^ (б) достаточно показать, что
р+2(У\,^2) < Кр+(Ц,1,Ц.2). (7)
Проведем соответствующий подсчет: р+^х2) = (согласно (2)) = Ш\р2(и[ 2)+(2(Ш2 — Ш\) < (по определению числа К) < шхр2(и[, и'2) + К(х(ш2 — шх) < (по лемме 2) < шх /ХхХ р2(/(хх), /(х2))(Х + К(х(ш2 — шх) < (по определению числа Ь) < шхЬ /ххх р1(х1,х2)(1Х + К(х(ш2 — шх) = (по условию леммы 2)
= Ш1Ьр\(^1,^2) + К(х(Ш2 — Шх) < (Ь < К) < К(ш1р+(^'1,^2) + (х(Ш2 — Шх)) = (ввиду (2)) = Кр+(^1 2). Итак, неравенство (7) установлено.
Импликация (б) ^ (в) тривиальна. Проверим (в) ^ (а). Предположим, что отображение / не является липшицевым. Тогда существуют такие пары точек хП,хП £ X, что
р2(/(хП),/(хП)) >и2р1(хп1,хп^). (8)
Положим /х™ = где 6(х") — мера Дирака. Поскольку = \\/л2\\, имеем
= (9)
В то же время р^^х,^) = прф1>х%)Р2(Их1)> Я^Ю) > п (согласно (8)). Таким образом,
(10)
Но одновременное выполнение свойств (9) и (10) противоречит равномерной непрерывности отображения МТ (/). Теорема 2 доказана.
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. № 1
11
Обозначим через BMetrLip категорию ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений. Из теоремы 2 вытекает, что функтор MT поднимается до функтора MT: BMetrLip ^ MetrLip.
3. Категория равномерных пространств. Под равномерным пространством мы подразумеваем пару (X, U), где X — множество, а U — семейство окружений Е диагонали Ах С X х X, удовлетворяющее аксиомам равномерности (подробности можно найти, например, в [3, гл. 8]).
Псевдометрика р : X х X ^ R называется 'равномерно непрерывной по отношению к равномерности U, если для каждого е > 0 существует такое окружение диагонали E £U, что р(Е) С [0,е). Семейство R псевдометрик на X называется базисным для равномерности U, если семейство Br всех окружений диагонали вида
Е— = {(х, y) : р(х, y) < 2-n}, р £ R, n £ N, (11)
образует базу равномерности U.
Предложение 4 [3, предложение 8.1.18]. Семейство R непрерывных псевдометрик на топологическом пространстве X является базисным для некоторой совместимой равномерности U на X тогда и только тогда, когда R удовлетворяет следующим условиям: (UP1) R направлено вверх;
(UP2) R разделяет точки и замкнутые множества пространства X.
Пусть р — псевдометрика на X. Определим функцию р|1 : X х X ^ R равенством (р| 1)(xi ,Х2) = min{1,p(xi, Х2)}. Следующее утверждение очевидно.
Предложение 5. Если р — непрерывная псевдометрика на X, то р|1 также непрерывная псевдометрика на X.
Из определения (11) и предложений 4 и 5 вытекает
Предложение 6. Пусть U — совместимая равномерность на топологическом пространстве X. Тогда если семейство R непрерывных псевдометрик является базисным для U, то семейство R|1 = {р|1 : р £ R} также является базисным семейством псевдометрик для U.
Теорема 3. Пусть (X, U) — равномерное пространство и Ru — семейство всех ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик. Тогда семейство MT(Ru) = {MT(р) : р £ Ru} порождает равномерность на пространстве M (X).
Доказательство. В силу предложений 2 и 4 достаточно проверить, что семейство MT(Ru) удовлетворяет условиям (UP1) и (UP2). Условие (UP1) выполнено согласно предложению 1. Чтобы проверить условие (UP2), достаточно для каждой окрестности O^ меры p £ MT(X) найти такую псевдометрику р £ RU, что
Omt(р)(р,е) С Op (12)
для некоторого е > 0.
Можно считать, что окрестность Op является базисной окрестностью вида
O(p, щ ,...,Щ ,a) = {v : рЩ) - v (Щг )| <a, i = 1,...,k}.
Существует такое число t > 1, что j||/i|| < 1. Согласно аналогу теоремы 3 для функтора UT, доказанному в [1], существуют такая псевдометрика р £ Ru и такое е > 0, что
Оит{р)(\р,е) cO(±ii,t<pi,...,t<pk,a). (13)
Поскольку |||/i|| < 1, уменьшая е, можно считать, что
ОиАр) {\р, е) = 0Мт(р) {\р, е). (14)
Покажем, что псевдометрика р и число е искомые. Пусть v £ Omt(p)(p, е). Из определения псевдометрики Мг(р) вытекает, что Мт(р) (\р, \ь>) < | < е. Следовательно, ji> G Omt(p)(jP,£) = (согласно (14)) = 0Ur(p)(jiJ,,e) С (ввиду (13)) С 0(jp,típi,... ,tipk,a). Таким образом,
а > | \p{ttpi) - \v{tLpi) | = |p,(ipi) -v{tpi) |.
Итак, условие (12) проверено. Теорема 3 доказана.
Равномерность на MT(X), порожденную, согласно теореме 3, семейством псевдометрик MT(Ru), обозначим через M (U).
Анализ доказательства теоремы 3 показывает, что имеет место более общее утверждение.
Теорема 4. Пусть (X, U) — равномерное пространство и R — некоторое семейство ограниченных 'равномерно непрерывных псевдометрик, базисное для U. Тогда семейство MT(R) порождает равномерность MT(R)(U) на пространстве MT(X), причем MT(R)(U)\X = U.
Замечание. Согласно предложению 6, равномерность MT(U) является одной из равномерностей вида MT (R)(U). Но в отличие от функтора UT, когда UT(U) = UT (R)(U) для любого базисного семейства R ограниченных псевдометрик (см. [1]), разные базисные семейства R\ и R2 псевдометрик на (X,U) могут давать различные равномерности MT(R\)(U) и MT(R2)(U) на MT(X) даже в случае компактного X. В самом деле, из теоремы 2 вытекает, что если pi и р2 — липшицево неэквивалентные ограниченные метрики на X, то тождественное отображение id : (MT(X),MT(pi)) ^ (MT(X),MT(p2)) не является равномерным изоморфизмом метрических пространств. В то же время на любом бесконечном метризуемом компакте X имеются липшицево неэквивалентные метрики — любая метрика р и метрика Л/р.
Теорема 5. Если f : (X, U) ^ (Y, V) — равномерно непрерывное отображение, то отображение MT(f) : (MT(X),MT(U)) ^ (MT(Y),MT(V)) также равномерно непрерывно. Доказательство. Нам понадобится вспомогательное утверждение.
Предложение 7 [3, предложение 8.1.22]. Для равномерной непрерывности отображения f : (X, U) ^ (Y, V) необходимо и достаточно, чтобы для каждой равномерно непрерывной псевдометрики p из некоторого базисного для V семейства R псевдометрика а, определяемая равенством a(xi,x2) = p(f (xi), f(x2)), была равномерно непрерывна по отношению к U.
Согласно определению равномерности MT(V), семейство псевдометрик MT(Ry) является базисным. Поэтому ввиду предложения 7 достаточно показать, что для каждой псевдометрики p £ Ry псевдометрика r(p), определяемая равенством
r(p)(ßi ,ß2)= Mt (p)(Mt (f )(ßi),MT (f )(ß2)),
равномерно непрерывна по отношению к MT (U). Но в силу того же предложения 7 псевдометрика а(р), определяемая равенством a(p)(xi,x2) = p(f (xi),f(x2)), равномерно непрерывна по отношению к U. Значит, по теореме 3 псевдометрика MT(а(р)) равномерно непрерывна по отношению к MT(U). А согласно лемме 2, имеем r(p) < MT(а(р)). Следовательно, псевдометрика r(p) также равномерно непрерывна. Теорема 5 доказана.
Из теорем 3 и 5 вытекает, что функтор MT с категории Tych поднимается на категорию Unif равномерных пространств.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00764).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садовничий Ю.В. Поднятие функторов UT и Ur на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств // Матем. сб. 2000. 191, № 11. 79-104.
2. Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1990. 54, № 2. 394-418.
3. Engelking R. General Topology. Sigma Series in Pure Mathematics, 6. Berlin, 1989.
Поступила в редакцию 27.09.2006
УДК 517.52
О КЛАССАХ Пр(а,р) ДЛЯ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. П. Антонов
1. Введение. Статья посвящена изучению взаимосвязи поведения коэффициентов тригонометрических рядов двух переменных и гладкости сумм данных рядов в пространствах Ьр. Вначале введем некоторые обозначения.
