Теорема высоты треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

Control system of interaction of suppliers and cosumers

I.V. Gudova

The Considered problem to organizations of the functioning(working) the businessman with external ambience (the supplier and consumer) originally has a greater uncertainty, conditioned by big amount varied supplier and consumers on the market. For decision of the put(deliver)ed problem use the method solving matrixes, offered in due course G.S. Pospelovym for organization

of the complex expert operations. The Givenned method solving matrixes aplying on enterprise OOO "Elektropromkomplekt".

Гудова Ирина Валерьевна - аспирант кафедры «Недвижимость и строительный бизнес» Сибирской автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - система автоматизированного управления на предприятие. Имеет 9 публикаций. e-mail rezniko-vai@mail.ru.

Статья поступила15.07.2010 г.

УДК 621.828

ТЕОРЕМА ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина

Аннотация. В статье рассмотрены теоремы, связанные с решениями треугольников в геодезии, строительстве, машиностроении. Для определения высоты треугольника предложена теорема, которая по сравнению с известными формулами является наиболее простой. Простота теоремы обеспечена использованием параметров одной вершины треугольника.

Ключевые слова: теорема, треугольник, алгоритм, высота треугольника, вершина, геодезия строительство, машиностроение

Большая энциклопедия определяет понятие «теорема» как утверждение, истинность которого устанавливается с помощью бесспорных доказательств, аксиом, раннее доказанных теорем и т. п. [1].

Используя это определение попытаемся осмыслить, какие теоремы легли в основу доказательства первых теорем, заложивших фундамент современной науки.

Одной из таких теорем в геометрии является теорема Пифагора, которая не доказывается с помощью других теорем, а является некоторым геометрическим законом, который был открыт очень давно, но именно Пифагор придал этому закону статус теоремы и обратил внимание ученых на его важность не только для геометрии, но и всей науки [2].

Геометрическая сущность этой теоремы могла быть осмыслена и окончательно утвердилась в сознании людей в 6 веке до нашей эры только после установления единицы измерения площади поверхности и понятий площадей плоских фигур квадрата и прямоугольника.

Площадь фигуры квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух плоских фигур - квадратов, построенных на катетах этого треугольника. В те-

чение тысячелетий новые поколения людей убеждаются в правильности алгоритма этой теоремы.

Таким образом, истинность теоремы Пифагора доказана не математическими выводами, а прямым практическим результатом, не вызывающим сомнения. Дальнейшее развитие геометрии в течение последних тысячелетий увенчалось созданием фундаментальных теорем, многие из которых в той или иной мере использовали теорему Пифагора [3]. Эта теорема явилась толчком для развития алгебры.

Плоский треугольник является простейшей фигурой, с помощью которой создаются другие более сложные фигуры как плоские, так и пространственные.

Появление компьютеров и компьютерных технологий позволяет решать сложные задачи, которые предъявляют новые требования к существующему фундаменту современной науки.

Современные теоремы геометрии сформулированы для треугольников с постоянными размерами сторон а, Ь, с. Однако, наряду с этим классом задач для треугольников существует другая группа задач кинематики, в которых одна сторона треугольника является переменной функцией, а две другие - постоянные величины. Существуют

еще более сложные классы задач, связанных с треугольниками, в которых две или все три стороны треугольника являются переменными величинами. Для таких задач в математике отсутствуют какие-либо теоремы. Обращает на себя внимание отсутствие в справочниках по математике теорем, посвященных высоте вершины треугольника [2, 3].

Высоты hj треугольника являются важными

геометрическими характеристиками наряду с медианами, биссектрисами, радиусами R и г и т.д. В математике известны формулы для определения высоты треугольника через его стороны а, Ь, с, использующие функцию синуса и формулы полупериметра [3]. В геодезии для определения одной высоты треугольника с помощью теоремы Пифагора используются две формулы-близнецы, полученные из левого и правого прямоугольных треугольников, прилежащих к высоте [4, 5, 6]. Записи указанных формул в конечном виде не приводятся в указанных источниках по причине отсутствия единого простого алгоритма для их определения.

В современных машинах широкое применение получили рычажные механизмы с цилиндрами, в которых возникают кинематические треугольники с основанием в виде звена переменной длины с ведущим поршнем [7]. Авторами статьи получена теорема высоты вершин треугольника, позволяющая определять высоты любого треугольника через стороны а, Ь , с для всех вершин по алгоритму: квадрат высоты треугольника равен разности квадратов обобщенных гипотенузы и катета, при этом обобщенная гипотенуза есть произведение двух сторон, образующих вершину, поделенное на основание; обобщенный катет содержит сумму квадратов двух сторон, образующих ту же вершину, минус квадрат основания, поделенные на удвоенное основание.

Для вершины, имеющей, например, угол А, которому соответствует основание а треугольника, квадрат высоты Иа согласно алгоритму имеет вид (рис.1).

\

\

\

Г

\

К

\

\

\

\

\

Рис. 1. Расчетная схема высот треугольника

>'■-(Ьс)'-'

Ь 2 + с 2 - а

2 V

V

2а

. (1)

Сущность теоремы заключается в том, что для любого треугольника квадрат высоты вершины треугольника определяется как разность квадратов обобщенной гипотенузы и обобщенного катета. Для вершины с углом А можно записать

Г - ЬС

1 а

а ■

Ка -

Ь 2 + с 2 - а2 2а

(2)

где Га, Ка - соответственно обобщенные

гипотенуза и катет для вершины А.

Квадрат высоты треугольника для вершины А по теореме Пифагора имеет вид

h2 = г 2 — К 2

Г1а ~ 1 а Ка . (3)

На рис. показаны обобщенные гипотенузы и катеты для всех вершин треугольника.

Для сравнения теоремы (1) с известными формулами высоты треугольника отметим некоторые очевидные факты.

Запишем формулы высоты ha треугольника для правого и левого прямоугольных треугольников, используя рис. и теорему Пифагора

К = ь2 - ЧІ.

і 2 2 2 ha = с ра

(4)

(5)

где qa , ра - проекции сторон треугольника на основание.

Катет qa определяется по формуле

qa = ЬcosС

где

cos С =

а2 + Ь2 - с2 2а

(6)

(7)

Аналогично вычисляется катет ра .

Таким образом, из формул (4), (5) получаются известные формулы для определения высоты треугольника

П2а = Ь2 -

h2 = с2 — па с

( а 2 + Ь2 - с 2 ]

V 2а

( а 2 - Ь2 + с 21

V 2а )

(8)

(9)

Приведенные формулы (4), (5), (6), (7) являются алгоритмом для вывода известных формул (8), (9). Сложность алгоритма вычисления высоты заключается в использовании параметров трех вершин треугольника. Алгоритм получения известных формул (8), (9) начи-

h

нается с привязки высоты а к вершине треугольника, например, А (см. рис), которую образуют стороны Ь, с. При этом нужно выбрать или правую или левую гипотенузу, т.е. Ь или с.

Вторая часть формул (8), (9) связана с другими вершинами С или В, которые тоже нужно выбирать. Разные по внутреннему содержанию формулы (8), (9) по существу являются формулами-близнецами, т. к. определяют одну величину ^. Эти формулы используются для записи теоремы синусов.

Следует отметить, что запись формул (8), (9) происходит для принятой системы обозначения сторон и углов треугольника. В прикладных задачах обычно используют другие обозначения сторон треугольника, отличные

от обозначений на рис., поэтому пользователям теорем приходится всегда делать вывод этих формул заново и только после этого выполнять расчеты. В этой ситуации главную роль играют алгоритмы записи формул высоты треугольника и предпочтение отдается более простым алгоритмам, имеющим геометрическое смысловое содержание. В теореме

(1) гипотенуза и катет получили название «обобщенные», так как одна обобщенная гипотенуза Га в формуле (1) для вершины А заменяет две гипотенузы Ь и с, а обобщенный катет Ка заменяет катеты рс и qc в формулах (8), (9) (см. рис), при этом все операции алгоритма привязаны к одной вершине А. Выполним самое простое доказательство теоремы высоты треугольника. Используя рис. определим площадь треугольника как половину произведения высоты на основание треугольника

?Ьс

Л = — sin А . 2

(10)

Используя (10), для основания а определим высоту треугольника

7 Ьс .

п а = ---------sm А

а

(11)

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения (11) и заменим квадрат синуса, квадратом косинуса

па=(а)(і - с°^ а)

(12)

Выразим cosА из теоремы косинусов

cos А =

7 2,2 2

Ь + с — а 2Ьс

(13)

Подставляя (13) в (12) получаем окончательно теорему (1).

На основе рассмотренных результатов выполним обобщенный анализ рассматриваемой проблемы.

Используя понятие тригонометрических функций непосредственно из рис. запишем формулы площади треугольника, помещенные в первой строке таблицы. Из этих формул определим высоты треугольника для соответствующих вершин А, В, С, помещенные во второй строке таблицы.

В третьей и четвертой строках помещены формулы-близнецы для вычисления высот

2

2

треугольника. И, наконец, пятая строка содержит конечные формулы теоремы для вычисления высот треугольника, полученные из формул второй строки. Обращаем внимание на то, что нам не удалось обнаружить в спра-

вочниках по математике и прикладных источниках формулы пятой строки таблицы 1, которые являются более удобными для практического пользования и являются теоремой.

Таблица 1 - Сводная таблица формул для определения параметров треугольника

е be . S = — sin A 2 ?ae S = — sin B 2 ab S = — sin C 2

be h = —sin A a ae hb= —sin B ь b ab he= —sin C e e

ha = b sin C hb = a sin C he= a sin B

ha = e sin B hb = e sin A he= b sin A

n 2 = t be Л2 I b2 + e2 - a212 f \2 Г 2 2 ,2 Л2 2 Г ae Л a + e - b ,2 Г ab Л2 Г a2 + b2 - с2 Л2 ^ Ч с И 2с j

П t a J [ 2a j hb 1 b J t 2b

В таблице отсутствуют другие формулы для высоты треугольника, использующие формулы полупериметра, радиусы R и г и т.д., которые можно отнести к редко используемым формулам в прикладных науках.

После вычисления высот треугольника по формулам пятой строки таблицы строки три и четыре таблицы превращаются в формулы вычисления углов треугольника. Тупые углы удобно вычислять по теореме косинусов, используя формулы типа (7), (13).

Достоинством разработанной теоремы является простота алгоритма, позволяющего определять высоты вершин треугольника, не используя формулу полупериметра, не привлекая другие теоремы, например, синуса или косинуса для предварительного вычисления углов. Простота алгоритма теоремы обеспечивается использованием параметров одной вершины треугольника при вычислении высоты.

В результате использования теоремы повышается надежность вычислений, связанных с расчетами треугольников в космонавтике, геодезии, строительстве, машиностроении и других областях деятельности людей.

Вывод

При расчетах, связанных с треугольниками, теорема высоты треугольника является полезной наряду с теоремой Пифагора, теоремами синусов и косинусов.

Библиографический список

1. Большая энциклопедия в шестидесяти двух томах:Том 50.-М.: Терра, 2006.-592 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.- М.: Издательство «Наука», 1964.-420 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Издательство. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974.-832 с.

4. Полевой В.А. Математическая обработка результатов радиогеодезических измерений.- М.: Изд-во «Недра», 1971.-342 с.

5. Поклад Г.Г. Геодезия: учебное пособие для вузов.-М.: Академический Проект, 2008.-590 с.

6. Клюшин Е.Б. и др. Инженерная геодезия: учебник для студентов высших учебных заведений под ред. Д.Ш. Михелева.- М.: Издательский центр «Академия», 2006.-474 с.

7. Тарасов В.Н., Бояркина И.В., Коваленко М.В., Федорченко Н.П., Фисенко Н.И. Теоретическая механика.- М.: Изд-во ТрансЛит,2010.-560 с.

The theorem of height of a triangle

V.N. Tarasov, I.V. Boyarkina

The theorems connected with calculations of triangles in a geodesy, construction, mechanical engineering are considered. For definition of height of a triangle the theorem which in comparison with known formulas is most idle time is offered. Simplicity of the theorem is provided by use of parameters of one top of a triangle.

Тарасов Владимир Никитич - д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Теоретическая механика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - теоретическая механика, механика строительных машин. Имеет 158 опубликованных работ. E-mail: tarasov_vladimir@list.ru

Бояркина Ирина Владимировна - канд. техн. наук, доцент кафедры «Теоретическая механика» Сибирской государственной автомобильно-

дорожной академии. Основное направление научных исследований - аналитическое проектирование энергосберегающего рабочего оборудования стреловых погрузочно-транспортных машин. Имеет 45 опубликованных работ. E-mail: iri-boyarkina@yandex. ru.

Статья поступила 29.06.2010 г.