CC BY
53
CONSTRUCTION OF RULED MANIFOLDS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE WITH FORMING A STRAIGHT LINE
O.B. Ilyasova, V.Y. Volkov, A.M. Zavialov
The presented algorithm for the construction of ruled surfaces by methods of enumerative and dimensional geometry
Библиографический список
1. Шухов В.Г. - выдающийся инженер и ученый: Труды объединенной научной сессии Академии наук СССР, посвященной научному и инженерному творчеству почетного академика В.Г. Шухова. М.: Наука, 1984, 96 с.
2. Четверухин Н. Ф. Параметризация и ее применение в геометрии / Н. Ф. Четверухин, Л. А. Яцкевич // Математика в школе . - 1963. - №5.
3. Волков В. Я. Многомерная исчислительная геометрия: монография / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. - Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.
Ильясова Ольга Борисовна - кандидат технических наук, доцент кафедры "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика" СибАДИ. Основное направления научной деятельности: исчислительная геометрия. Общее количество опубликованных работ 13.
Волков Владимир Яковлевич - доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой "Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика" СибАДИ. Основные направления научной деятельности: многомерная исчислительная
геометрия. Общее количество опубликованных работ более 250.
E-mail: volkov_vy39@mail.ru
Завьялов Александр Михайлович - доктор техн. наук, профессор кафедры «Высшая математика» СибАДИ. Основное направление научных исследований: динамика рабочих процессов строительных и дорожных машин. Общее количество опубликованных работ - более 260.
УДК. 621.828
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛОЩАДЕЙ КВАДРАТОВ И ТРЕУГОЛЬНИКА
В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина
Аннотация. Рассматривается историческая последовательность геометрических теорем площадей квадратов и теорем треугольников. Предлагается новая трактовка первых теорем геометрии.
Ключевые слова: квадрат, треугольник, площадь, теоремы.
площадь примет П-образный вид. При совмещении
Современная наука имеет свое начало от геометрических теорем площадей квадратов и теорем треугольника. Первые теоремы геометрии относятся к созданию единиц изменения площадей и объемов геометрических тел.
Площадь прямоугольника равна а• Ь, площадь
квадрата a ■ a, т.е. a
2
центров тяжести площадей с2 и а2 избыточная площадь примет форму замкнутой кольцеобразной фигуры.
Единица измерения площади 1-1 м , единица
3
измерения объема 1-11 м .
Выполненные записи показывают, что первые теоремы геометрии имеют практическую направленность и связаны с возникновением и последующим одновременным развитием алгебры, тригонометрии и многих других современных наук.
Полагаем, что первой задачей на заре становления современной науки была задача сравнения площадей двух квадратов (рисунок 1).
Разность площадей двух квадратов представляется в виде
2 2
с - a . (1)
Формула (1) определяет в алгебраическом виде величину избыточной площади, которая на рис. 1 имеет Г-образный вид. Если внутренний квадрат
площадью a2 сместить влево, то избыточная
Рис. і. Схема площадей двух квадратов
22
избыточная площадь с - a мы и является постоянной величиной,
Прошли столетия до осознания того факта, что
не зависит от фор-которую
можно представить в виде третьего квадрата Ь2. Поэтому выражение (1) можно записать в виде теоремы
с2 - а2 = Ь2. (2)
Теорема 1. Разность площадей двух квадра-
2 2 ~ тов с - а является постоянной величиной и
всегда может быть представлена в виде площади третьего квадрата Ь2.
Выражение (2) можно рассматривать в науке как первое алгебраическое выражение, имеющее геометрический смысл.
Из рисунка 1 можно записать выражение суммы площадей
с2 = а2 + Ь2. (3)
Это вторая геометрическая теорема площадей трех квадратов, которая формулируется следующим образом.
Теорема 2. Площадь внешнего квадрата с2 равна сумме площадей двух внутренних квадратов. Формула (3) является вторым алгебраическим выражением в науке, имеющим геометрический смысл. С момента записи выражений (2) и (3) началось бурное развитие алгебры по своим законам, в которых геометрический смысл уходит на второй план, и практически потерял свое значение.
Теорема 2 площадей 3-х квадратов позволяет оценить относительную площадь трех квадратов
(4)
2
a b2
1 = — + —.
с2 с2
Выражение (4) позволяет оценить величину относительной площади внешнего квадрата через долевые относительные площади внутренних квадратов. Потребовались тысячелетия, чтобы теорема 2 и формула (3) в 6 веке до н.э. получила применение в теории прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора появилась из теоремы площадей 3-х квадратов.
Выполним доказательство теоремы Пифагора.
На рисунке 2 для произвольного прямоугольного треугольника АВС со сторонами а, Ь, с построены внешний квадрат, сторона которого с и площадь с2, и внутренний квадрат со стороной а и площадью а2. Заштрихованная площадь на рис. 2 - это и есть третья площадь квадрата ь2 , имеюще-
го сторону b.
Рис. 2. Схема площадей трех квадратов
Применим теорему площадей 3-х квадратов к рисунку 2.
Докажем, что заштрихованная площадь равна
Ь2:
Ь2 = (с - а)с + (с - а)а = с2 - а2.
Таким образом, теорема Пифагора доказана. Теорема 3. Площадь квадрата, имеющая размер гипотенузы, равна сумме площадей квадратов, стороны которых равны размерам катетов прямоугольного треугольника.
Таким образом, показано, что теорема Пифагора имеет геометрический смысл, который в прикладных исследованиях не имеет существенного значения и может рассматриваться как закон природы, устанавливающий связь квадратов сторон прямоугольного треугольника по формуле (3).
Простейшими фигурами в геометрии являются треугольники прямоугольные и произвольные. Причем, произвольные треугольники всегда могут быть составлены из двух прямоугольных треугольников. Именно поэтому дальнейшее развитие геометрии после теоремы Пифагора было связано с исследованиями прямоугольных треугольников, для которых были получены теоремы синусов, косинусов и многие другие.
В дальнейшем оказалось, что некоторые теоремы являются справедливыми и для произвольных треугольников. Это относится к теоремам синусов и косинусов и к некоторым другим.
Авторами настоящей статьи в 2010 г. была предложена теорема высот вершин треугольника для произвольного треугольника [3]. Отсутствие этой теоремы до настоящего времени в геометрии объясняется тем обстоятельством, что она не вытекает из теории прямоугольного треугольника. Поэтому теорема высот вершин треугольника не была записана древними авторами и отсутствует в современных справочниках по математике.
Библиографический список
1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Издательство «Наука», 1964.-420 с.
2. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ T. Корн. -М.: Издательство. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1974.-832 с.
3. Тарасов В.Н. Теорема квадрата высоты треугольника. Вестник СибАДИ: Научный рецензируемый журнал/ И.В. Бояркина. - Омск: СибАДИ.-№3 (17), 2010.-100 с.
MAIN AREA THEOREMS SQUARES AND TRIANGLES
V.N. Tarasov, I.V. Boyarkina
We consider the historical sequence of geometric theorems areas of squares and triangles of the theorems. We propose a new interpretation of the first theorems of geometry.
Тарасов Владимир Никитич - доктор техн. наук, профессор СибАДИ. Основное направление научных исследований - теоретическая механика, механика строительных машин. Имеет 181 опубликованную работу.
Бояркина Ирина Владимировна - кандидат техн. наук, доцент СибАДИ. Основное направление научных исследований - технологическая механика машин, аналитическое проектирование энергосберегающего рабочего оборудования стреловых погрузочно-транспортных машин. Имеет 54 опубликованные работы.
