Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. А. Халова

УДК 517.984

ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

В пространстве ¿2(0,1] рассмотрим интегральный оператор вида А/(х) = а1](х-1)Г№ + а2 \ (1-х-1)/№+£(Г,*к)8к(х), (1)

О О *=1

1

где ^(г)еС2[0,1], (х) еС2[0,1], системы функций

о

{я^"(х)}Г линейно независимые, р = а2 -а\ д:е[0,1|. Оператор (1) является одним из простейших операторов вида

А/(х)=]а(х,1)/(1)Л, х е [0,11, (2)

о

некоторая производная ядра которого имеет разрыв 1-го рода на линиях ¡ = х и 1 = 1-*. Основополагающие работы по исследованию спектральных разложений операторов такого вида принадлежат А. П. Хромову (см., напр., [1]). В работе [2] им совместно с В. В. Корневым для оператора

Л/(х) = * \А( 1 - *,<)/(')Л + а]л<>,0/(*)л о о

при некоторых условиях на ядро А(х,1) была получена теорема равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) и разложений в тригонометрические ряды Фурье.

В данной статье получена аналогичная теорема для оператора (1). Важным достоинством оператора (1) является то, что для него условия существования обратного оператора выписываются в явном виде [3]. Существование оператора А-1 является необходимым условием для получения теоремы равносходимости [1].

Пусть [3] Д = ск^рб^ где - символ Кронеке-

ра, Б = Т = а,£ - а25, Е - единичный оператор, Б/(х) = /(1 - х). То-¿х

гда оператор А 1 существует и имеет место представление

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и 1-ранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

л 'Х-О^М-х Е^ООО^у)Ад,

где А :к — алгебраические дополнения определителя Д ;

удовлетворяет условиям

Е[«,рУ(,)(0) + ЬтрУт)0)]=(У,Фр), />=1,2, (3)

1=0

а,=1, ст2=0, ФреС[0,1].

Считаем, что условия (3), представляющие собой условия из теоремы 2 из [3] после нормировки, регулярны по Биркгофу [4, с. 66 - 67]. Рассмотрим задачу

ги(х)-}.1)г(х) = ВГ(х),

X[pt^>(0) + QT2(,)(1)]=0, р= 1,2,

т=0

где z(x) = (zi(x),z2(x))', z1(x) = z2(\-x), F(x) = (f(x),f(l-x))', а, =1,

'с^ + а2 а, + а2^ .va,-a? а,-аь

fl

C-0.D-1

d2 = a1±o:1 В=Л_ aj-aj 2

Рх = ( 1 2> Рх Рх , а=н)т Го 0 ^ 1 2

[о 0, {Рх ~РхJ

г

Я. - спектральный параметр.

Положим Х = р2, 0<а^р<л. Разобьём 0<а^р<л на секторы у •_, <а^р<у;, у = 1,...,5 ,(0 = Уо < — < Т., = я) таким образом, что числа со1=-с)2 = 1, со3 =-со4 = б/ можно перенумеровать / = 1,...,4 так, чтобы при любых р из рассматриваемого сектора выполнялось Ие рй] < Яе р652 < 0 < Ие 53 < Яе ри4.

Обозначим S5(i = (JS5() y, где S^j - область, получающаяся из сек-

М

тора у < argp < у ■ удалением всех нулей многочлена

где ак • Ф 0, к = 0,...,4, вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 50.

Удалим из области Л'й() ещё точки р* , к =1,2,... вместе с круговыми окрестностями того же радиуса 50, для которых (а] + а2)р^ или (а[ -а2)р^ являются собственными значениями краевой задачи

у"{х)-\у{х) = О, у(;)(0) = /У>(1), ] = 1,2,

где _у(лс) - скалярная функция, и для оставшейся области сохраним обозначение Я* .

°0

Обозначим р¡к =р,у, / = 2—у", к,) =1,2.

ТЕОРЕМА. Пусть Д*0 и (рпР22)2 *(РпРг^)2, р,к *0, У,А: =1,2, и С*)}"1 - функции ограниченной вариации. Тогда для любой

/(лс) е ¿[0,1] и любого 5 е имеет место

Игл шах

г-> оо5<д:<1-й

1 1

•$,-(/,*) + Я,*) ~-Ог"

= 0,

где Бг(/,х) - частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел Лк, для которых \Лк |< г; аг(/,х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /(х) для тех номеров к, для которых (2кк)2<г\ ¿»(х)=/(1-лс), с1х = а! + а2, с12 = СЦ - а2 и г таково, что {р| | р |= л/г, 0 < aгgp < я} с: £5().

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромо в АЛ. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378 - 405.

2. Корпев ВВ., Хромов АЛ. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях //ДАН. 2001. Т. 379, № 6. С. 741 - 744.

3. Халова В.А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С.125 -127.

4. Нсишару М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.