О равносходимости разложений по собственным функциям оператора дифференцирования с интегральным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. П. Хромов

УДК 517.927.25

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ

ИО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ*

Обозначим через ¿ оператор

Ly = у\х) ,U(y) = ]p(t)y(t)dt = о, pit) е С[ОД] П V[0,1] - Р(0)р(1) * 0. (1) о

В статье [1] аналог теоремы Жордана из тригонометрических рядов Фурье перенесен на случай рядов Фурье но собственным и присоединённым функциям (с.п.ф.) оператора ¿, а в [2] установлена равносуммируемость по Риссу таких разложений. В настоящей статье исследуется вопрос о равносходимости разложений по с.п.ф. оператора ¿ив обычный тригонометрический ряд Фурье. Подобные результаты для другого весьма трудного для исследования вида функций p(t) получены в [3 - 5] (в них рассмотрены граничные условия £/(у) = j p(t) y(t)dt = 0, когда p(t) = ——.

-i (i-M)a

0 <а <1, k(t) £С[-1Д]П V[—1,1], A(-1)*(1)*0, и даже когда k(t) заменяется на ¿(i)fo(l— | i |), где b(t) - слабо колеблющаяся функция).

Введём ещё оператор L0:L0y = y\x), U0(y)-у(0) -= 0. Его собственные функции представляют тригонометрическую систему {e2i"'r} (к = 0,±1,±2,...). Обозначим через Rx и R0 ? резольвенты операторов ¿ и

¿(), т.е., Rx = (L -ХЕ)'1, Rox = (¿0 - XE)~l, E - единичный оператор и A. -

спектральный параметр.

ЛЕММА 1.Для любой f(x) е ¿[0,1]

«х/ " «о,xf = , т = Ще^).

Из всей комплексной X.-плоскости удалим собственные значения вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 6. Полученную область обозначим через S6.

ЛЕММА 2. Если окружность |А.|=г целиком лежит в Ss, то при хе[е,1-Е] (е > 0)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

где |/| = J] f(t) I dt и оценка О не зависит от х и /•.

о

ЛЕММА 3. Если }{х) абсолютно непрерывна, причём f0\x)eL2[ОД] и U0(f0) = 0, то при хе[е,1-Б]

где g(x) = fo'(x) - ц/oW и |i - фиксированное число, не являющееся собственным значением оператора ¿0.

Обозначим через А°и множество всех абсолютно непрерывных функций /(х), для которых f'(x)eL2[Q,l] и UQ(f) = U(f) = 0.

ЛЕММА 4. Замыкание Д^ множества Д" по норме ¿[0,1] есть множество всех функций из ¿[0,1], для которых U(/) = 0.

ТЕОРЕМА 1. Для всякой функции /(дс) е ¿[ОД], для которой

U(f) = 0,

lim max \Sr(f,x)-vr(f,x)\=0, (2)

где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора ¿ для тех собственных значений Хк , для которых |<г, or(f,x) — частичная сумма тригонометрического ряда Фурье для тех к , для которых | 2кп \< г. Доказательство. По леммам 1 и 2 имеем

' |X.|=r

для всякой /(■*) в ¿[ОД] и хе[е,1-Е]. Далее, если f0(x)e Д° , то по лемме 3

Sr(f,x)-Or(f0,x) »O^leli ]. (4)

Из (3) и (4) по теореме Банаха-Штейнгауза получаем, что (2) имеет место для /(дс) е Д„. Отсюда по лемме 4 получаем утверждение теоремы.

Замечание. Условие £/(/) = 0 отбросить, вообще говоря, нельзя. В

самом деле, пусть р(х) = 1. Тогда Д(А.) = -1]. Поэтому

А.

if ^ Л JA 1 г ^ Л

- Г -dX = 0 - +- ( -г-dX.

2ш{фгА(Х)(Х-[х) UJ 2тйщ=ге — 1

130

Последний интеграл при х = ~ принимает значения 1 или -1, причём при

возрастании г оба этих значения все время сменяют друг друга. Значит,

при х = ~ (2) не имеет место даже для любой абсолютно непрерывной

функции f(x), для которой /'(x)eZ,2[0,l], í/(/)*0, /(0)=/(1). Обычный же ряд Фурье такой функции всегда сходится, а по с.п.ф. оператора L расходится.

Приведём еще обобщение теоремы 1.

TROPHMA 2. Предположим, что р(х) т раз непрерывно дифференцируема на [0,1], причём /><m)(»eV[0,l] и p(s)(0) = p(s)(l) = 0

(s = 0,...,/я -1), p(m)(0)p(ffl)(l)*0. Тогда, если /(*) е/,[0,1] и 1

Jp(í)(0/(')Л = о (í = 0,...,ш), то имеет место (2). о

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Молодецкое В.Л., Хромов Л.Г1. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи для оператора дифференцирования // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов, 1972. Вып. 1. С. 17-26.

2. Молодеиков И.А. Равносуммируемость по М. Риссу разложений по некоторым системам показательных функций // Мат. заметки. 1974. Т. 15, №3. С. 381 - 386.

3. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // УМН. 1982. Т. 37, № 5. С. 51 -95.

4. Седлецкий A.M. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье // Тр. Мат. ип-га им. В. А. Стеклова АН СССР. 1991. Т. 200. С. 299 - 309.

5. Седлецкий A.M. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье// ИЛИ. Серия математическая. 2000. Т. 64, № 3. С.152- 168.

УДК 517.927.25

А. П. Хромов, Д. Г. Шалтыко

ОБ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ'

В данной статье исследуется вопрос о сходимости рядов по собственным и присоединенным функциям краевой задачи, определяемой дифференциальным уравнением

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).'