Теорема о среднем для неоднородной системы пористоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9+539.3

Теорема о среднем для неоднородной системы пористоупругости

Насриддин М.Жабборов*

Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,

Вузгородок, Ташкент, 100174,

Узбекистан

Холматжон Х.Имомназаров^

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

академика Лаврентьева 6, Новосибирск, 630090,

Россия

Получены соотношения о среднем для вектора смещений упругого пористого тела и порового давления для статики неоднородной пористоупругости в случае отсутствия диссипации энергии.

Ключевые слова: теорема о среднем, поровое давление.

Прямые и обратные теоремы о среднем для уравнений математической физики представляют не только теоретический [1], но и практический интерес. Соотношения о среднем весьма полезны и в вычислительной математике, поскольку они дают эффективный способ построения разностных схем. В методах Монте Карло теоремы о среднем играют особую роль, поскольку они являются основой для построения алгоритмов блуждания по сферам [2-4]. Для многих основных уравнений и систем уравнений такие теоремы доказаны (см. [1-12]). В [13, 14] получены соотношения о среднем для неоднородной системы уравнений Ламе.

Моделирование двухфазных потоков через гетерогенные пористые среды широко используется в нефтедобыче. Например, моделирование бассейна призвано восстановить геологическую историю осадочного бассейна и в особенности перемещение компонентов углеводорода в геологическом масштабе времени. Такое моделирование бассейна направлено на понимание и предсказание движения потоков в процессе нефтедобычи. С другой стороны, моделирование двухфазных потоков через пористые среды играет важную роль для прогноза землетрясений, так как процесс подготовки землетрясений является энергонасыщенным.

В данной работе, используя предложенный метод [13, 14], получено соотношение о среднем для уравнений статики упруго-пористого тела. А именно, получены соотношения для вектора смещений упругого пористого тела и порового давления. Знания этих величин достаточно, с одной стороны, для оценки резервуаров в нефтедобыче и, с другой стороны, для определения области дилатансии в задачах прогноза землетрясений.

Область дилатансии

В результате взаимодействия региональных и локальных тектонических сил в сейсмоактивных зонах могут возникать области высокой концентрации тектонических напряжений. В

* e-mail: [email protected] t e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

какой-либо из этих областей спустя определенное время произойдет разрушение среды, вызывающее землетрясение. Процесс подготовки землетрясений, хотя и растянут во времени на несколько лет, тем не менее является энергонасыщенным. Происходят крупные реологические изменения в среде и формируются аномальные зоны геофизических полей разной природы. Наиболее универсальным механизмом развития изменений в среде служит раскрытие трещин в зонах повышенных значений сдвиговых и растягивающих напряжений. Такие зоны образуются в окрестности очагов будущих землетрясений, если силы распределены в пространстве неравномерно. Начальную стадию раскрытия трещин и последующее состояние среды, при котором развиваются процессы разрушения, большинство сейсмологов связывают с состоянием дилатансии среды, описанным в [15, 16]. Дилатансия — это нелинейное разуплотнение среды за счет образования трещин сдвига вследствие превышения наибольших касательных напряжений некоторого порога. К области дилатансии относят множество точек упруго-пористой среды, для которых при заданном поле напряжений } в среде выполнено следующее условие:

Бт = т - а (Р + рдг) - У > 0, (1)

где р — плотность породы, д — ускорение свободного падения, г — глубина точки, Р — гидродинамическое давление, а — коэффициент внутреннего трения, У — сцепление породы, т — интенсивность касательных напряжений:

т =

2

(а 11 - СТ22)2 + (^22 - ^зз)2 + (о"11 - ^зз)2 + 6 (а212 + + о^)

1/2

Условие (1) совпадает с критерием Шлейхера-Надаи разрушения материала под действием скалывающих нагрузок. Критерий удовлетворительно описывает начало процесса разрушения горных пород. Критерий применим и в стадии "предразрушения" (при нагрузке до 60-90 % от критической) для качественного описания формы областей активизации раскрытия трещин [17].

Согласно формуле (1) для определения области дилатансии достаточно знания компонент тензора напряжений и давления. Поэтому актуально получение формул для вычисления этих величин. Ниже будет показано влияние такого важного параметра, как пористость, на область дилатансии. С другой стороны, знание давления позволяет на основе соотношения Дарси вычислить скорость жидкости.

Постановка задачи

Предположим, что ограниченная область П С Д3 заполнена однородной изотропной упруго-пористой средой. Упруго-пористое статическое состояние среды П в отсутствие диссипации

энергии описывается системой дифференциальных уравнений [18-20]:

з

р« дР ^ ЭНгк

+ > ."5— = Р« /ь

Р д^ дхк

Р1 дР . — д— = Р1 пр дХг

(2)

Здесь Н^к — тензор напряжений, Р — поровое давление, р = р; + ря , р; и ря — парциальные плотности жидкости и упругого пористого тела соответственно, / = (/1, /2, /3) — массовая

сила. Полный тензор напряжений упруго-пористого тела имеет вид

= -hik - PSik, (3)

hik = -и (Ui, k + Uk, i) - (а - Psk) Sik V • U + PKSik V • (4)

4P/ P

P = (K - (p2a + K/p) ps) V • U - (p2a + K/p) pt V • (5)

( 1, i = k, Sik = S

{ 0, i = k,

где U = (Ui, U2, U3) — вектор смещения упругого пористого тела, У = (Vi, V2, V3) — вектор

- dUi 2

смещения жидкости, V • U = Ui 1 + U2 2 + U3 3, Ui j = ——, K = А +— и, а, А, и — константы

dxj 3

из уравнения состояния [19].

Система дифференциальных уравнений относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления

Исключим из системы (2) термодинамические степени свободы, используя их выражения (4) и (5). Затем, используя второе уравнение системы (2), исключим из первого уравнения системы (2) смещение жидкости. Далее подействуем оператором дивергенции к обеим частям второго уравнения системы (2). В результате получим систему неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела U и порового давления P :

lu = - pa+K pu (6)

, AP = F. K

В (6) F = p V • f, А = А - --K, LU = и AU +(А + m)VV • f.

p3a + K

Таким образом, система (2) свелась к двум независимым уравнениям относительно вектора смещений упругого пористого тела Uf и порового давления P.

Теоремы о среднем для этих уравнений доказаны в [1, 13, 14, 21]. Из результатов этих работ следуют:

Теорема 1. Пусть П С R3 — конечная область, ограниченная достаточно гладкой поверхностью ОН, U G C2 (П) П C1 (Й) , Lf абсолютно интегрируема в П. Тогда справедливо представление

Uk(r) = ^ {rk(f - f) • Tn [U (f) - f (f) • Tn [Tk(f- f)]} dSq-

an f (7)

- rk(f- (f)LU(f)dVq для любого f G П, k = 1, 2, 3. n

з1

В формуле (7) гй(г) = £ и¿к(г) ег = -Т~а-Тл-\

¿=1 16П^ (1 - V)

3 д и

Тп( и) = у; <гг,- пге7- = 2 --+ Л п У •и + ^п х (Ухи)

дп

(3 - 4v) у + ^к

¿,¿=1

где = ЛУ • и¡¿у + ц (+ и,г) — тензор напряжений упругой среды, V =

Л

2(А + М)

Лемма 1. Для произвольной функции и € С2 (и_д) П С1 ( ?Тд) справедливо равенство

и(и)¿V, =-1-^ 1 / (ч2 - Д2)Ь+ 2Д

ид

4(2 - 3v) ^

ид

Ед

и (и) +

Д2

Теорема 2 (о среднем). Пусть П — произвольная область, и € С3(П), Р € С2(П) — решение системы (6). Тогда для любого шара и_д(г) С П справедливо равенство

и (г) = рК

3

16пД2(2 - 3V)

Ед(Г) 3 — 2 V

(1 - 4v)и(и)+5

и(р• и(и)) Д2

¿Й, -

р3а + К 32пД3^(1 - V)(2 - 3V)

У (Д2 - р2)/(и) ¿V,-

(8)

рК

р3а + К 16п ^(1 - V)

ид (г)

ид (г)

(3 - 4Ч Д-Ли) + ( д - и(и •/ ш

¿К.

Р (г) =

1

4 пД2

Р (и)^ +

Ед(Г)

4Т ] (Д - ;)у /'<«

ип(г)

(9)

где и = и - г.

Теорема 3 (обратная теорема о среднем). Пусть П С Д3 — произвольная область, и € С3(П), Р € С2(П), / € С1 (П) и для любого шара Цд(г) С П эти функции удовлетворяют соотношениям о средних (8), (9). Тогда функции и и Р являются решениями системы (6).

Доказательство. Следуя [13], утверждение теоремы 3 достаточно доказать для V в случае г = 0. Доказательство для порового давления Р проводится аналогично. Ясно, что в шаре ид С П для и(0) € С3( Од) справедливо представление (7):

ик (0) = У {Гк (и))-Тп[и (и)]-и (и) •Тп [Гк -I Гк (и) • Ь и (^, Уи € П, к = 1, 2, 3. (10)

Ед ик

Здесь Яд — граничная сфера для ид .

Преобразуя (10) с использованием леммы 1, аналогично [7, 13] получаем

и к (0)

3

16пД2(2 - 3v)

[(1 - 4^ик +5Хк(иди(и)) +

Ед

и д

Гк(и) - Гк(и) •ЬО(и) +-(3 - 2^(д2 - ч2) Ьил ¿V,,

^ 32пД3^(1 - v)(2 - 3V) 4

1

где

Г к(-) =

16 пр (1 — V)

(3 — 4V) Я + ЯХк

Подставляя в (11) соотношение среднего (8), получаем равенство

ип

Гк (и) — Г к (« • (ьи (« — д) +

К

32 пЯ3 р(1 — V )(2 — 3 V)

(ьик — дки ЗУЧ = 0,

(12)

(13)

где дк = —^-77 РI к, к =1, 2, 3. Используя определения функций Гк и Г к из (13), полу-

р3а + К

чим

ип

Л (3 — 2 V) /1 г2 (3 — 4 "И Я — -г) + Я — Я

(Ы!к — дк)+

+ (Я—Хл <и • <«'—

ж. = 0.

(14)

Так как равенство (14) справедливо для всех достаточно малых Я, разделив его на Я2 и переходя к пределу при Я — 0, с учетом равенств [13]

я П1—Я - Я К Я—Я3 у™ - »(о),

ип

ип

Яр/ (-3 — Яз) Хк (-г • д(г))(1Ут - ^ «к (0)' к = 1>2>3>

ип

имеем, что С [Ьик (0) — дк (0)] = 0, где

с = 21—^^—2 =0

2-3 V ^

для V — 1/2, следовательно, Ь«(0) — д(0) = 0. □

Как показано в [20], компоненты тензора напряжений насыщенной жидкостью пористой

среды вычисляются по формуле агк = А V • и 5гк + р (иг,к + СЦк , г) —

з,

р3а

р3а + К

5гк Р.

Зная поля напряжений и давления можно определить области дилатансии в пористой среде согласно формуле (1).

1

Список литературы

[1] Р.Курант, Уравнения с частными производными, М., Мир, 1964.

[2] Б.С.Елепов и др., Решение краевых задач методом Монте Карло, Новосибирск, Наука, 1980.

[3] С.М.Ермаков, В.В.Некруткин, А.С.Сипин, Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики, М., Наука, 1984.

[4] К.К.Сабельфельд, И.А.Шалимова, Векторная теорема о среднем для систем дифференциальных уравнений и векторные алгоритмы блуждания по сферам, Методы статического моделирования, Новосибирск, 1986, 78-85.

[5] К.К.Сабельфельд, И.А.Шалимова, Теорема о сферическом среднем для систем эллиптических уравнений и уравнения термоупругих колебаний, Численные методы статического моделирования, Новосибирск, 1987, 88-94.

[6] К.К.Сабельфельд, Методы Монте-Карло в краевых задачах, Новосибирск, Наука, 1989.

[7] K.K.Sabelfeld, I.A.Shalimova, Spherical means for PDEs, Utrecht, VSP, 1997.

[8] J.B.Diaz, L.E.Payne, On a mean value theorem, and its converse, for the displacements in the theory of elasticity, Portugaliae Mathematica, 17(1958), №4, 123-126.

[9] J.H.Bramble, L.E.Payne, Some converses of mean value theorems in the theory of elasticity, J. Math. Anal. Appl, 10(1965), №3, 553-567.

[10] А.В.Бицадзе, Некоторые классы уравнений в частных производных, М., Наука, 1981.

[11] В.В.Наумов, Теоремы о среднем для уравнения гармонических колебаний упругого тела, Динамика сплошной среды, СО АН СССР, Ин-т гидродинамики, (1987), Вып. 82, 147-153.

[12] Н.М.Жабборов, Х.Х.Имомназаров, Теорема о сферическом среднем для статической системы пористоупругости, Труды межд. конфер. "Новые направления в теории динамических систем и некорректных задач" , Самарканд, 2007, 261-263.

[13] Ю.М.Григорьев, Теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, Динамика сплошной среды, СО РАН, Ин-т гидродинамики, (1998), Вып. 113, 53-59.

[14] Ю.М.Григорьев, В.В.Наумов, К теоремам о среднем для уравнений Гельмгольца и Ламе, Докл. РАН, 362(1998), №1, 51-52.

[15] W.F.Brace, B.W.Pauling, C.Scholz, Dilatancy in the fracture of crystalline rocks, J. Geophys. Res., 71(1966), №16, 3939-3952.

[16] В.Н.Николаевский, Обзор: Земная кора, дилатансия и землетрясения, Успехи науки и техники, М., Мир, 1982, 133-215.

[17] А.С.Алексеев, Б.М.Глинский, Х.ХИмомназаров, В.В.Ковалевский, С.М.Хайретдинов, Г.М.Цибульчик и др., Мониторинг геометрии и физических свойств "поверхностной" и "очаговой" дилатансных зон методом вибросейсмического просвечивания сейсмоопас-ных участков земной коры, Изменение окружающей среды и климата, природные и связанные с ними техногенные катастрофы, T.1, Сейсмические процессы и катастрофы, М., ИФЗ РАН, 2008, 179-236.

[18] В.Н.Доровский, Ю.В.Перепечко, Е.И.Роменский, Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах, ФГВ, (1993), №1, 100-111.

[19] A.M.Blokhin, V.N.Dorovsky, Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum, Nova Science Publishers, Inc. 1995.

[20] Е.В.Грачев, Н.М.Жабборов, Х.Х.Имомназаров, Сосредоточенная сила в упруго-пористом полупространстве, Доклады РАН, 391(2003), №3, 331-333.

[21] Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости, под. ред. В.Д.Купрадзе, М., Наука, 1976.

Theorem on a Spherical Mean for Inhomogeneous Poroelastic System

Nasriddin M.Zhabborov Kholmatzhon Kh.Imomnazarov

Relations of the mean for a vector of displacement of an elastic porous body and a pore pressure for inhomogeneous poroelastic static system, when mass forces and energy dissipation are absent, are obtained.

Keywords: theorem about a spherical mean, a pore pressure.