Теорема о нормализации выводов для логики сетте и ее модификаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

примерами:

а) системой с функцией a(t) = 2 + sinln(t+1), обеспечивающей неравенство а° < а° в теореме 11;

б) системой из доказательства теоремы 8, удовлетворяющей неравенству p^(a) < a^(a);

в) системой, получающейся заменой в варианте I доказательства теоремы 12 [4] или в п. C доказательства теоремы 3 [5] двух первых положительных чисел £i,£2 нулями и обеспечивающей выполнение неравенства v°(a) < v•(a).

Теорема 4 доказана.

Автор приносит благодарность В.В. Быкову за ценные замечания, способствовавшие значительному улучшению текста работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы, задающей повороты плоскости // Дифференц. уравнения. 2017. 53, № 6. 853-855.

2. Сергеев И.Н. О непрерывности показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости систем, задающих повороты плоскости // Дифференц. уравнения. 2017. 54, № 6. 848-850.

3. Сергеев И.Н. Свойства показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости систем, задающих повороты плоскости // XVIII Междунар. научная конф. по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения - 2018): Мат-лы Междунар. научной конф. Гродно, 15-18 мая 2018 г. Часть 1. Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2018. 56-58.

4. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2016. 31. 177-219.

5. Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуждаемо-сти решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. 2015. 2 (46). 171-183.

6. Сергеев И.Н. Определение и свойства показателей плоской вращаемости решений дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2017. 53, № 6. 851-853.

7. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. 9. 111-166.

8. Сергеев И.Н. Колеблемость, вращаемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных систем // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематич. обзоры. 2017. 132. 117-121.

9. Sergeev I.N. Oscillation, rotation, and wandering of solutions to linear differential systems // J. Math. Sci. 2018. 230, N 5. 770-774.

Поступила в редакцию 27.08.2018

УДК 510.644

ТЕОРЕМА О НОРМАЛИЗАЦИИ ВЫВОДОВ ДЛЯ ЛОГИКИ СЕТТЕ И ЕЕ МОДИФИКАЦИЙ

Я. И. Петрухин1

Формулируются исчисления естественного вывода для трехзначной паранепротиворе-чивой логики Сетте P1 и некоторых родственных ей логик. Для предлагаемых исчислений доказываются теоремы о корректности, полноте и нормализации выводов.

Ключевые слова: нормализация, исчисление естественного вывода, трехзначная логика, четырехзначная логика, паранепротиворечивая логика, параполная логика.

In this paper we formulate natural deduction systems for Sette's three-valued paraconsistent logic P1 and some related logics. For presented calculi we prove soundness, completeness, and normalization theorems.

Key words: normalization, natural deduction system, three-valued logic, four-valued logic, paraconsistent logic, paracomplete logic.

Всякая рассматриваемая нами логика строится в пропозициональном языке L над алфавитом (P, —, V, Л, (,)), где P — множество {pi,p2, ■ ■ ■ } всех пропозициональных переменных языка L.

1 Петрухин Ярослав Игоревич — студ. каф. логики философ. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Множество всех формул F определяем стандартным образом. Множеством литералов называем {—kP | —0P = P, —kP = —(—k-1P),P € P} (см. [1]). Пусть L — логика, языком которой является L. Следуя Г. Присту [2], называем логику L паранепротиворечивой, если существуют A,B € F и A, —A =l B. Вслед за А.В. Сетте и В.А. Карниелли [3] называем логику L параполной, если найдется A € F и |=l A V — A. Используя терминологию А.С. Карпенко и Н.Е. Томовой [4, 5], называем логику L литеральной паралогикой, если она является паранепротиворечивой и/или параполной только на уровне литералов. В настоящей работе мы построим натуральные исчисления для некоторых представителей семейства литеральных паралогик, а именно трехзначных паране-противоречивых логик P1 (логика Сетте [6]) и P2 [7], трехзначных параполных логик I1 [3] и I2 [8, 9], а также четырехзначных паранепротиворечивых и параполных логик IP1, IP2, IP3 и IP4 [5]. Взаимосвязи некоторых из перечисленных логик с классической, а также с логикой Бочвара B3 [10] посвящена статья А.С. Карпенко [11]. С описанными нами и другими литеральными паралогиками можно ознакомиться в [1, 4, 5, 12, 13]. Гильбертовские исчисления для P1 и P2 представлены в [6, 1, 14] и [9, 1] соответственно, для I1 и I2 — в [7, 1, 15] и [8, 9, 1]. Кроме того, в [12] построены секвенциальные исчисления для P1 и I1, а в [8] — для I2.

Одно из преимуществ исчислений естественного вывода состоит в том, что они лучше соотносятся с обычными, естественными рассуждениями человека, в том числе и с математическими доказательствами. Именно это обстоятельство подтолкнуло Г. Генцена [16] и С. Яськовского [17] к созданию исчислений данного типа. При этом важную роль для систем естественного вывода играет теорема о нормализации выводов. Мы докажем ее для всех рассматриваемых нами логик, кроме IP3 и IP4. Насколько нам известно, первой публикацией, посвященной исчислениям естественного вывода для многозначных логик, является работа [18], где рассматривается трехзначная логика Лукасевича Lз [19] (первая многозначная логика). В настоящей статье развивается исследование систем натурального вывода для многозначных логик, начатое автором в [20-24]. Одна из особенностей рассматриваемых здесь логик — их сходство с классической, что отражается в том числе и в доказательствах теорем 2 и 3. Однако благодаря нестандартным свойствам отрицания изучаемые нами логики оказались паранепротиворечивыми и/или параполными. Более того, в работе [25] логика P1 отнесена к числу наиболее приспособленных для рассуждений в условиях противоречивой информации.

Логической матрицей (далее матрицей) логики IP1 является MIP1 = (V, D, f-, f^, fv, /л), где

2 1 2

есть множество истинностных значений {1, —, —, 0}; & — множество выделенных значений {1, —};

1333

/-,(ж) = 0, если х € {1, -}, /-,(ж) = 1 иначе; f^(x,y) = 1, если х ^ S> или у € S>, f^(x,y) = 0 иначе;

О

fv(x,y) = 1, если x € D или y € D, fv(x,y) = 0 иначе; /л(х,у) = 1, если x € D и y € D, /л(х,у) = 0 иначе. Оценку v множества F в MIP1 определяем следующим образом: v(P) € V для всех P € P, v(—A) = f-(v(A)), v(AvB) = fV(v(A),v(B)), где V € V, Л}, для всех A,B € F. Условимся, что

сЖ есть множество невыделенных значений {0, —} = "У \t2>. Матрица 9Jtpl логики Р1 — результат

3

2

ограничения 9JtIP1 на множестве {1, —,0}, а матрица 9Я11 логики I1 — результат ограничения 9JtIP1 13

на множестве {1,-,0}. Матрица 9Я1Р2 логики IP2 получается из 9JtIP1, если переопределить /_, 3

следующим образом: f-(x) = 1 — x при x € {1,0}, f-(x) = x иначе. Матрица MP2 логики P2

21

(9Jt12 логики I2) — результат ограничения 9JtIP2 на множестве {1,-,0} ({1,-,0}). Матрица 9Я1РЗ

3 3

логики IP3 (MIP4 логики IP4) получается из MIP1, если переопределить f- следующим образом:

2 112 2 1 f^(x) = 1 -х при х € {1,0}, /-.(-) = 1, /-.(-) = - (/-n(g) = д, /-п(д) = О). Заметим, что ограничение

2 1 2 9Я1РЗ на множестве {1, -,0} ({1, -,0}) есть 9Jtpl (9Я12), а ограничение 9Я1Р4 на множестве {1, -,0}

3 3 3

({1,-,0}) есть 50ТР2 (S0T11). Условимся, что здесь и далее L € {Р1, Р2, I1, I2, IP1, IP2, IP3, IP4}. 3

Из множества формул Г следует формула A в логике L (Г |=l A) тогда и только тогда, когда при всякой оценке v если v(G) € D (для всех G € Г), то v(A) € D.

Рассмотрим следующие правила вывода (где V € V, Л} и i € {1, 2}):

[А] [—А] [—А] [--А] [АуВ] [—(АуВ)]

В В В В С С , А {ЕМ) ---, (ЕМ-,) ---, (ЕМу) ---, (ЕМ^)

В ' у _ В ' у ▽ С ' у _' -А V -1-А.'

иА' у 7 А ' у 7 А ' А Л В' у А, '

[А] [В] [А] [А — В]

А,- А V ВСС В А В А А

га- (УЕ) —с—• ил ттв- (мр) —в—- {р) —^

Пусть М есть {(— — Е), (Л /), (Л Е,), (V/,), ^Е), (— /), (МР)}. Множеством всех правил вывода исчисления естественного вывода для логики Р1 является Ми {(ем), (EFQ_), (EFQ▽)}, для логики Р2 — множество Ми{(ем), (——/), (——Е), (EFQ▽)}, для логики I1 — множество МU{(efq), (ЕМ_), (ЕМ▽)}, для логики I2 — множество М и {(efq), (——/), (——Е), ^М▽)}, для логики 1Р1 — множество МU{(em_), ^М▽), (EFQ_), (EFQ▽)}, для логики 1Р2 — множество Ми{(——/), (——Е), (EFQ▽), (em▽)}, для логики 1Р3 — множество М и {(emа), (——Е), ^М▽), (EFQ_), (EFQ▽)}, для логики 1Р4 — множество М и {(em_), ^М ▽ ), (——/), (EFQа), (EFQ▽)}. Кроме того, легко проверить, что М и {^м), (EFQ)} — множество всех правил вывода исчисления естественного вывода для классической логики, а (М \ {(— —Е)}) и {(Р)} — для ее позитивного фрагмента, равно как и для позитивного фрагмента логики Ь (позитивные фрагменты классической логики и логики Ь совпадают). Во всех рассматриваемых исчислениях, следуя Г. Генцену [16], определяем вывод А € & из Г С & как дерево, отмеченное формулами. Если в исчислении для Ь существует вывод А € & из Г С &, то пишем Г А.

Используя (— /), легко показать, что (— /') В -L А — В. Используя (V/,), (^М), (^М _) и ^М▽), несложно доказать следующие формулы: (EM') АV—А, (^М-) —АV——А и ^м^) (АуВ) V —(АуВ). Вместе с (— /') они потребуются для доказательства теоремы о полноте (теорема 2). Кроме того, в каждом из изучаемых исчислений есть либо правило (^М), либо его частный случай (^М▽). С помощью этих правил и правила (—— Е) легко вывести правило Пирса (Р), которое нам понадобится для доказательства теоремы о нормализации выводов (теорема 3), поскольку в выбранном нами методе доказательства, разработанном Э. Циммерманном [26], необходимо наличие в системе этого правила.

Уточним, какие правила вывода являются правилами исключения связок (будем называть их E-правилами), а какие — правилами введения связок (I-правилами). К E-правилам относятся (——Е), (—— Е), (Л Е,), ^Е) и (ИГ). К I-правилам относятся (^М), (^М_), (^М▽), (——/), (Л /), (V/,) и (— /). Правила (Г), (EFQ), (EFQ_) и (EFQ▽) могут применяться в выводах как для введения связок, так и для их исключения. Согласно Э. Циммерманну [26], правило (Г) является правилом исключения импликации, но оно может использоваться для введения антецедента импликации, что отражается на разработанном им методе доказательства нормализационной теоремы. Правила (EFQ), (EFQ_) и (EFQ▽), с одной стороны, можно рассматривать как правила исключения отрицания, а с другой — как правила введения формулы В (в случае (EFQ) и (EFQ_)) или формулы С (в случае (EFQ▽)). Будем называть (Г), (EFQ), (EFQ_) и (EFQ▽) 1Е-правилами. Правила (EFQа) и ^м^) препятствуют доказательству теоремы о нормализации выводов для логик 1Р3 и 1Р4. Поэтому мы не включили их в приведенную выше классификацию. Вопрос об истинности нормализационной теоремы для 1Р3 и 1Р4 остается открытой проблемой.

В Е-правилах называем большей посылкой формулу, содержащую исключаемую формулу, остальные посылки — меньшими. Называем максимальной формулой вхождение формулы, такое, что оно является заключением 1-правила или 1Е-правила и большей посылкой Е-правила или 1Е-правила, кроме (Г). В случае правила (Г) исключаемое вхождение формулы не может быть заключением какого-либо правила, поскольку является допущением. Называем вывод нормальным, если он не содержит максимальных формул. Если в исчислении для Ь существует нормальный вывод А € & из Г С &, то пишем Г А.

Теорема 1 (корректность). Для всяких Г С & и А € & верна импликация: если Г -ь А, то Г |=ь А.

Доказательство. Индукция по длине вывода. □

Теорема 2 (полнота). Для всяких Г С & и А € & верна импликация: если Г |=ь А, то Г -ь А.

Доказательство. Модификация метода Хенкина для многозначных логик, описанная в [27]. Называем Г С & простой нетривиальной теорией, если для всяких А, В € & верны следующие утверждения: (Г1) Г = &, (Г2) Г А влечет А € Г, (Г3) А V В € Г влечет А € Г или В € Г. Пусть Г С & и А € &. Называем с(А, Г) канонической оценкой в случае, когда

' 1, если А € Г и -А € Г; 2

-, если А € Г и -.АеГ; с(А, Г) = ^ 1

-, если А <0 Г и 3

Ч 0, если А € г и -А € Г.

Докажем следующую лемму для всякой четырехзначной логики Ь4 € {1Р1, 1Р2, 1Р3, 1Р4}. Лемма 1. Для всякой простой нетривиальной теории Г и любых А, В € & верны утверждения :

(1) /-(с(А, Г))= с(-А, Г);

(2) А(С(А, Г), с(В, Г))= с(А — В, Г);

(3) /у(с(А, Г), с(В, Г)) = с(А V В, Г);

(4) /д(е(А, Г), с(В, Г)) = с(А Л В, Г).

Доказательство. (1) Пусть с(А, Г) = 1. Тогда А € Г, -А € Г. Пусть Ь4 = 1Р1. Используя (ЕМ—) и (Г3), получаем -А € Г или --А € Г. Так как -А € Г, имеем --А € Г. Итак, с(-А,Г) = 0 = /-(1) = /-(с(А,Г)). Пусть Ь4 € {1Р2,1Р4}. По правилу (--/) получаем --А € Г. Итак, с(-А,Г) = 0 = /-,(1) = /—(с(А,Г)). Пусть Ь4 = 1Р3. Доказательство аналогично случаю, когда

Ь4 = 1Р1, но вместо (ЕМ—) используется (ЕМ.

2 - -

Пусть с(ДГ) = -• Тогда А € Г, € Г. Пусть Ь4 € {1Р1, 1Р3}, и пусть -<-<А € Г. По правилу 3

(EFQ—) имеем В € Г, т.е. Г = &, что противоречит (Г1). Тогда --А € Г. Итак, с(-А,Г) = 1 = 2

/-,(-) = /-.(с(ДГ)). Пусть Ь4 € {1Р2,1Р4}. По правилу (-.-./) имеем € Г. Итак, с(^А,Т) = 3

22

3 =и-) = ША,Т)).

Пусть с(А,Т) = -. Тогда А ^ Г, -*А £ Г. Пусть Ь4 € {1Р1,1Р4}. Используя (ЕМ-) и (ГЗ), 3-

можно показать, что € Г. Итак, с(-.ДГ) = 0 = /-.(-) = /-.(с(А,Т)). Пусть Ь4 € {1Р2,1Р3}.

3

Если -л-А € Г, то по правилу (--Е) имеем А € Г. Противоречие. Тогда --А € Г. Итак, с(-А, Г) = | = А(|) = А(с(А,г)).

Пусть с(А, Г) = 0. Тогда А € Г, -А € Г и пусть Ь4 € {1Р1, 1Р3}. Пусть --А € Г. Используя правило (EFQ—), можно показать, что --А € Г. Итак, с(-А,Г) = 1 = /—(0) = /—(с(А,Г)). Пусть Ь4 = 1Р2, и пусть --А € Г. По правилу (--Е) имеем А € Г. Противоречие. Тогда --А € Г. Итак, с(-А,Г) = 1 = /—(0) = /—(с(А,Г)). Пусть Ь4 = 1Р4. Доказательство аналогично случаю, когда Ь4 € {1Р1,1Р3}, но вместо (EFQ—) используется (EFQ

Доказательство пп. (2)-(4) одинаково для всякой логики Ь4 € {1Р1, 1Р2, 1Р3, 1Р4}. (2) Пусть с(А, Г) = а € V и с(В, Г) = Ь € 0. Тогда В € Г. Используя (— /'), получаем А — В € Г. Пусть -(А — В) € Г. По правилу (EFQимеем С € Г, т.е. Г = &, что противоречит (Г1). Значит, -(А — В) € Г. Итак, с(А — В,Г) = 1 = /^(а,Ь) = /^(с(А,Г),с(В,Г)), где а € V и Ь € 0.

Пусть с(А, Г) = а € N и с(В, Г) = Ь € V. Тогда А € Г. Пусть -(А — В) € Г. По правилу (-— Е) имеем А € Г. Противоречие. Значит, -(А — В) € Г. Отсюда, используя ^М^) и (Г3), получаем А — В € Г. Итак, с(А — В,Г) = 1 = /^(а,Ь) = А(с(А,Г),с(В,Г)), где а € N и Ь € V.

Пусть с(А, Г) = а € 0 и с(В, Г) = Ь € N. Тогда А € Г и В € Г. Используя (МР), можно показать, что А — В € Г. Используя ^М^) и (Г3), можно показать, что -(А — В) € Г. Итак, с(А — В,Г) = 0 = А(а,Ь) = А(с(А,Г),с(В,Г)), где а € 0 и Ь € N.

Пункты (3) и (4) доказываются аналогично п. (2). □

Докажем следующую лемму для всякой трехзначной логики Ь3 € {I1, I2}.

Лемма 2. Для всякой простой нетривиальной теории Г и любых А, В € & верны утверждения:

(1)

(2) /-(с(А, Г))= с(-А,Г);

(3) /▽(с(А, Г), с(В, Г)) = С(АуВ, Г), где V € V, Л}.

Доказательство. Лемма доказывается аналогично лемме 1, для доказательства п. (1) используются правило (EFQ) и утверждение (Г1). □

.А ^ B]

Э

-1-1А

пА

А

(Р)

(--Е)

[А ^ В]

В

[--А]

пА ^ В Э

А

А

(--Е)

(МР)

И I)

4 С

(--Е)

AvB

[-(AvB) ^ С] -(AvB)

^(AvB)

Е

(Р)

AvB

AvB

Р ^ С]

С

[-(AvB)]

Е

(efq v)

^(AVB) ^ С -(AvB)

Н I)

(МР)

I)

Е

(Р)

(efq v)

Рис. 1. Импликативные сокращения на примере логики Р2

Докажем следующую лемму для всякой трехзначной логики € {Р1, Р2}.

Лемма 3. Для всякой простой нетривиальной теории Г и любых А, B € & верны утвержде-

ния :

(1) С(А, Г) =

(2) /_,(с(А,Г))= с(-А,Г);

(3) /v(c(A, Г), c(B, Г)) = c(AvB, Г), где V € V, Л}.

Доказательство. Лемма доказывается аналогично лемме 1, для доказательства п. (1) используются правило (ЕМ') и условие (Г3). □

Завершим доказательство теоремы 2 для всякой логики Ь.

Лемма 4. Для всякой простой нетривиальной теории Г и оценки Уг, такой, что Уг(Р) = с(Р, Г) для всех Р € Р, верно, что Уг(А) = с(А, Г) для всех А € &.

Доказательство. Индукция по построению формулы с использованием лемм 1-3. □

Лемма 5 (лемма Линденбаума). Для всяких Г С & и А € & верна импликация: если Г 1/ь А, то существует А С & и (1) Г С А, (2) А А, (3) А есть простая нетривиальная теория.

Доказательство. Стандартными методами (см., например, [20, 27]). □

Рассуждение по контрапозиции с использованием лемм 4 и 5 завершает доказательство теоремы 2. □

Для доказательства теоремы 3 о нормализации выводов для логики € {Р1, Р2, I1, I2, 1Р1, 1Р2} мы воспользуемся методом, разработанным Э. Циммерманном [26]. Доказательство для позитивного фрагмента классической логики, а значит, и для позитивного фрагмента осуществлено в [26]. Остается рассмотреть случаи, связанные с использованием правил для отрицания. На рис. 1 и 2 символами Э, Э1, Э2 и Эз обозначаются выводы. Если вывод Э1 преобразуется в вывод Э2, то пишем Э1 Э2.

Введем несколько определений, следуя [26, 28, 29]. Ранг формулы г (А) определяется таким образом: г(А) = 0, если А € Р; г(-А) = г(А) + 1; r(AvB) = тах(г(А), г^)) + 1, где V € V, Л}. Главная максимальная формула — максимальная формула, имеющая наибольший ранг. Путь в выводе — последовательность вхождений формул А1,..., Ап, где А1 — допущение, Ап — конечная формула вывода, а А^ — посылка, непосредственно предшествующая А^+1 (1 ^ г ^ п — 1). Трек —

а

исходная часть пути, заканчивающаяся на первой меньшей посылке или конечной формуле вывода, если путь не содержит посылок правила (УЕ) и не содержит его заключения; в противном случае — это последовательность формул, в которую входит большая посылка правила (УЕ), а также все формулы от одного из допущений правила (УЕ) и до конечной формулы вывода включительно. Максимальный сегмент — последовательность вхождений одной формулы в трек, такая, что первое вхождение — заключение I- или 1Е-правила, а последнее — посылка Е- или 1Е-правила. Ранг максимального сегмента — ранг входящей в него формулы. Главный максимальный сегмент — максимальный сегмент, содержащий главную максимальную формулу. След — часть трека, в которой первое вхождение формулы является заключением правила (Р), а остальные вхождения — заключения Е- и 1Е-правил.

[А] ®1

<В ^ С)

®1

-А

-1-1А

В\ Л Е>2 Вг

[—А] <В ^ С)

(еря-)

(ЛЕО

<В с) в

(ЕМ)

®1

А

2 А

(—^ Е)

Вг

(ЕРЯ-)

б

[А] ®1

С)

в

(—^ Е)

В

[-А] <В ^ С)

В

(ЕМ)

(—^ Е)

Ъз В

[А] [—А]

®1 ®2 ВВ

В

(ЕМ)

С

(ЕРЯ-)

Ъз В

[А]

В

С

(ЕРЯ-)

Ъз В

[-А] В

С

С

(ЕМ)

(ЕРЯ-)

Рис. 2. Конверсии на примере логики Р1

а

в

Лемма 6. Во всяком выводе Ъ устранимы все следы, возникающие при применении правила (Р).

Доказательство. Аналогично лемме 5 из работы [26] индукцией по рангу формулы, являющейся заключением правила (Р), с использованием импликативных сокращений. На рис. 1 для случая = Р2 рассматриваются примеры импликативных сокращений, устраняющих из выводов максимальные формулы, возникающие в результате применения 1Е-правила (Р). На рис. 1, а представлен вывод, в котором правило (Р) вводит двойное отрицание, а Е-правило (——Е) его исключает. В этом выводе максимальной формулой является вхождение формулы ——А. Данный вывод преобразуется в другой, в котором устранена максимальная формула и уменьшена длина следа. На рис. 1, б приведен вывод, в котором правило (Р) вводит формулу —(АуВ), а 1Е-правило (ЕРЯ▽) ее исключает. После преобразования этого вывода максимальная формула (вхождение —(АуВ)) устранена и длина следа уменьшена. □

Лемма 7. Всякий вывод Ъ17 заканчивающийся максимальным сегментом с рангом п, такой, что ранг его остальных максимальных сегментов меньше п, может быть преобразован в вывод Ъ2, такой, что у всех его максимальных сегментов ранг меньше п.

Доказательство. Лемма доказывается так же, как лемма 6 в [26] и лемма 6.3.4 в [28], индукцией по рангу максимального сегмента с использованием конверсий и леммы 6 настоящей работы, из которой следует, что максимальные формулы, возникающие при применении правила (Р), устранимы. На рис. 2 для случая = Р1 показаны примеры конверсий, устраняющих из выводов максимальные формулы, возникающие при применении правил, отличных от (Р). На рис. 2, а представлен вывод, в котором 1Е-правило (ЕРЯ-) применяется для введения конъюнкции, исключающейся затем с помощью Е-правила (Л Ег). На рис. 2, б приведен вывод, в котором I-правило (ЕМ) вводит отрицание импликации, а Е-правило (—^ Е) исключает его. На рис. 2, в — вывод, в котором I-правило (ЕМ) вводит двойное отрицание, а 1Е-правило (ЕРЯ-) исключает его. Для всех этих выводов показано, как устранить максимальные формулы. □

Лемма 8. Для всякого вывода Di если ранг его главной максимальной формулы больше нуля и число его главных максимальных сегментов больше нуля, то существует вывод S2, такой, что Si может быть преобразован в S2 за конечное число шагов и ранг главной максимальной формулы в S2, а также число главных максимальных сегментов в S2 меньше, чем в Si.

Доказательство. Аналогично доказательству леммы 7 из работы [26] и леммы 6.3.5 из работы [28]: двойная индукция по рангу главной максимальной формулы и по числу главных максимальных сегментов с использованием леммы 7. □

Теорема 3 (нормализация). Для всяких Г С F и A € F верна импликация: если Г Iln A, то Г If A.

LN

Доказательство. По лемме 8 ранг главной максимальной формулы может быть уменьшен до нуля и число главных максимальных сегментов также может быть уменьшено до нуля за конечное число шагов. Следовательно, все максимальные формулы устранимы из вывода. □

Теорема 4 (свойство подформульности). Для всякого нормального вывода A € F из Г С F в Ln любая формула B в этом выводе есть подформула формулы из Г U {A}, если B не является допущением, исключенным в результате применения одного из следующих правил: (P), (EM), (EM_,) и (EM▽).

Доказательство. Стандартными методами, описанными в [28, 29], с использованием теоремы 3. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lewin R.A., Mikenberg I.F. Literal-paraconsistent and literal-paracomplete matrices // Math. Log. Quart. 2006. 52, N 5. 478-493.

2. Priest G. Paraconsistent logic // Handbook of philosophical logic. 2nd ed. Vol. 6 / Ed. by D.M. Gabbay,

F. Guenthner, Kluwer Academic Publishers, 2002. 287-393.

3. Sette A.M., Carnielli W.A. Maximal weakly-intuitionistic logics // Stud. Log. 1995. 55, N 1. 181-203.

4. Karpenko A., Tomova N. Bochvar's three-valued logic and literal paralogics: Their lattice and functional equivalence // Log. and Log. Phil. 2017. 26, N 2. 207-235.

5. Карпенко А.С., Томова Н.Е. Трехзначная логика Бочвара и литеральные паралогики. М.: ИФ РАН, 2016.

6. Sette A.M. On propositional calculus Pi // Math. Jap. 1973. 18, N 3. 173-180.

7. Carnielli W.A., Marcos J. A Taxonomy of C-systems // Paraconsistency: The Logical Way to the Inconsistent / Ed. by W.A. Carnielli, M.E. Coniglio, I.M.L. D'Ottaviano, N.Y.: Marcel Dekker, 2002. 1-94.

8. Попов В.М. Об одной трехзначной параполной логике // Log. Invest. 2002. 9. 175-178.

9. Marcos J. On a problem of da Costa // Essays of the foundations of mathematics and logic. Vol. 2. / Ed. by

G. Sica. Monza: Polimetrica, 2005. 53-69.

10. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Матем. сб. 1938. 4, № 2. 287-308.

11. Karpenko A.S. A maximal paraconsistent logic: The combination of two three-valued isomorphs of classical logic // Frontiers of Paraconsistent Logic / Ed. by D. Batens, C. Mortensen, G. Priest, J.-P. van Bendegem. Baldock: Research Studies Press, 2002. 181-187.

12. Popov V.M. On the logics related to Arruda's system V1 // Log. and Log. Phil. 1999. 7. 87-90.

13. Carnielli W.A., Lima-Marquees M. Society semantics and multiple-valued logics // Adv. Contemp. Log. and Comput. Sci. 1999. 235. 33-52.

14. Ciuciura J. Paraconsistency and Sette's calculus P1 // Log. and Log. Phil. 2015. 24, N 2. 265-273.

15. Ciuciura J. A weakly-intuitionistic logic I1 // Log. Invest. 2015. 21, N 2. 53-60.

16. Gentzen G. Untersuchungen über das logische Schliessen I, II // Math. Z. 1935. 39, N 1. 176-210, 405-431.

17. Jaskowski S. On the rules of suppositions in formal logic // Stud. Log. 1934. 1. 5-32.

18. Becchio D., Pabion J-F. Gentzen's techniques in the three-valued logic of L ukasiewicz //J. Symb. Log. 1977. 42, N 2. 123-124.

19. Lukasiewicz J. O logice trojwartosciowej // Ruch Fil. 1920. 5. 170-171.

20. Petrukhin Y. Natural deduction for three-valued regular logics // Log. and Log. Phil. 2017. 26, N 2. 197-206.

21. Petrukhin Y. Natural deduction for four-valued both regular and monotonic logics // Log. and Log. Phil. 2018. 27, N 1. 53-66.

22. Petrukhin Y. Natural deduction for Fitting's four-valued generalizations of Kleene's logics // Logica Universalis. 2017. 11, N 4. 525-532.

23. Петрухин Я.И. Система натурального вывода для трехзначной логики Гейтинга // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 3. 63-66.

24. Петрухин Я.И. Натуральные исчисления для трехзначных логик бессмысленности Z и E // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 1. 60-63.

25. Arieli O., Avron A., Zamansky A. What is an ideal logic for reasoning with inconsistency? // Proc. IJCAI'11. Barcelona, 2011. 706-711.

26. Zimmermann E. Peirce's rule in natural deduction // Theor. Comput. Sci. 2002. 275, N 1-2. 561-574.

27. Kooi B., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Rev. Symb. Log. 2012. 5, N 4. 720-730.

28. van Dalen D. Logic and Structure. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

29. Prawitz D. Natural Deduction. A Proof-Theoretical Study. Stockholm: Almquist and Wiksell, 1965.

Поступила в редакцию 01.12.2017