Система натурального вывода для трехзначной логики Гейтинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.644

СИСТЕМА НАТУРАЛЬНОГО ВЫВОДА ДЛЯ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ГЕЙТИНГА

Я. И. Петрухин

1

В статье формулируется система натурального вывода типа Генцена для пропозиционального фрагмента трехзначной логики Гейтинга.

Ключевые слова: система натурального вывода, логика Гейтинга, трехзначная логика.

A Gentzen-style natural deduction system for the propositional fragment of three-valued Heyting's logic is presented in the paper.

Key words: natural deduction system, Heyting's logic, three-valued logic.

1. Введение. В работе Г. Генцена [1] рассматриваются так называемые исчисления натуральных выводов для классической и интуиционистской логик предикатов (обозначим их пропозициональные фрагменты через С2 и Int соответственно). Задача исчислений этого типа — формализация рассуждений, использующихся в математических доказательствах, как можно ближе к действительности. Настоящая статья развивает исследование систем натурального вывода для трехзначных логик, начатое в [2, 3].

В статье [4] А. Гейтинг впервые формулирует гильбертовское исчисление для интуиционистской логики предикатов, а также его трехзначное расширение, пропозициональный фрагмент которого известен сейчас как G3. Позже G3 появляется в проведенных К. Гёделем [5] доказательствах нетаб-личности Int и существования счетно-бесконечной последовательности логик G3, G4,... между Int и С2 • Кроме того, G3 используется С. Яськовским [6] при доказательстве финитной аппроксимируемости Int. В связи с последним результатом G3 порой называют первой матрицей Яськов-ского. Различные гильбертовские исчисления для G3 представлены в работах Я. Лукасевича [7], Я. С. Сметанича [8] и В. А. Янкова [9]. Заметим, что в русскоязычной литературе встречается еще одно название G3 — логика Сметанича.

Пропозициональный язык С логики G3 содержит множество переменных V = {pi,p2, • • •}, логические связки -1 (отрицание), —>■ (импликация), V (дизъюнкция) и А (конъюнкция), а также правую и левую круглые скобки. Понятие ^-формулы определяется стандартным образом. Множество всех £-формул обозначается через J-. Множеством истинностных значений является V = {1,1/2, 0}. Оценкой языка С в V называется любое отображение V в V. Оценка языка С в V расширяется до оценки языка С в J- с помощью функций /-,, /v, /д, таких, что /-,(1) = 0, /-,(1/2) = 0, /-,(0) = 1; f^(x,y) = 1 (здесь и далее х,у € V), если х ^ у, и f^(x,y) = у иначе; fv(x,y) = maх(ж,у); /л(ж, у) = тт(ж, у). Значение формулы А при оценке v языка С в F обозначается через v(Ä). Тогда

vbA) = ^Ш)), v(A В) = U(v(A),v(B)), v(AvB) = fv(v(A),v(B)) и v(AaB) = fA(v(A),v(B)).

Из множества формул Г следует формула А (Г |=g3 А) тогда и только тогда, когда если v(B) = 1 (для всех В € Г), то v(A) = 1 для всякой оценки и языка С в J-.

Заметим, что в G3, в отличие от С2, дизъюнкция и конъюнкция неопределимы через отрицание и импликацию. В то же время в отличие от Int отрицание, импликация, дизъюнкция и конъюнкция не являются независимыми, поскольку А\/ В = ((А —> В) —> В) А ((В —> А) —> А) [10].

2. Система натурального вывода для G3. Множеству всех схем фигур заключения (правил вывода) системы натурального вывода для G3 принадлежат только следующие элементы:

(EMW)

[А] [В]

{УЕ) АМВ С С , С

1 Петрухин Ярослав Игоревич — студ. каф. логики философ, ф-та МГУ, e-mail: yaroslav.petrukhinQmail.ru.

А^ В А ->В -.(А ->■ Б)

н/з) (А V -iB) V (А —> Б)' (МР) -Б-' -.Ам^А^ву Ь -пБ

Следуя Г. Генцену [1], мы определяем вывод формулы А из множества формул Г (Г I~g3 А) как дерево, отмеченное формулами.

Теорема. Для любых rcjuAgJ имеем Г I~g3 А, если м только если Г |=g3 А.

Доказательство. Доказательство теоремы сводится к обоснованию двух следующих утверждений: (I) для любых Г С Т и А € J- если Г I~g3 А, то Г |=g3 (II) для любых Г С7и если Г |=g3 А, то Г Ьс3 А.

Доказательство утверждения (I) начинается с проверки корректности всех правил вывода и проводится индукцией по длине вывода. В качестве примера докажем корректность правил (—>■ 1\) и (УЕ). Начнем с правила (—>■ 1\). Покажем, что если Г |=g3 Б, то Г |=g3 А —> В. Допустим, что Г |=g3 Б. Тогда при всякой оценке v языка С в J- если v(G) = 1 (для всех G € Г), то v(B) = 1. Из определения импликации следует, что при всякой оценке v языка С в J- если v(B) = 1, то v(A —>■ Б) = 1. Но тогда при всякой оценке v языка С в J- если v(G) = 1 (для всех G € Г), то v(A —>• Б) = 1. Следовательно, Г |=g3 А —>• Б. Итак, если Г |=g3 Б, то Г |=g3 А —>• Б.

Рассмотрим правило (VÜ7). Покажем, что если Г |=g3 А\/ Б, А U {А} |=g3 С и в U {Б} |=g3 С, то Г U А U в |=g3 С. Допустим, что Г |=g3 А V Б, А U {А} |=g3 С и в U {Б} |=g3 С. Тогда (1) при всякой оценке v языка С в J- если v(G) = 1 (для всех G € Г), то v{A\/ В) = 1; (2) при всякой оценке v языка С в J- если v(D) = 1 (для всех D € А) и v(A) = 1, то v(C) = 1; (3) при всякой оценке v языка С в J- если v(T) = 1 (для всех Т € В) и v(B) = 1, то v(C) = 1. По определению дизъюнкции (4) при всякой оценке v языка С в J- имеем v(A V Б) = 1 тогда и только тогда, когда v(A) = 1 или v(B) = 1. Из утверждений (1) и (4) следует утверждение (5) при всякой оценке v языка С в F если v(G) = 1 (для всех G € Г), то v(Ä) = 1 или v(B) = 1. Пусть (6) w — произвольная оценка языка С в J-. Допустим, что (7) w(G) = 1 (для всех G € Г), w(D) = 1 (для всех D € А) и w(T) = 1 (для всех Т € В). Из утверждений (5)^(7) получаем утверждение (8) w(A) = 1 или w(B) = 1. Допустим, что (9) w(A) = 1. Из утверждений (2), (6), (7) и (9) получаем, что w(C) = 1. Допустим, что (10) w(B) = 1. Из утверждений (3), (6), (7) и (10) получаем w(C) = 1. Из утверждений (8), (9) и (10) имеем w(C) = 1. Снимая допущение (7), получаем утверждение (11) если w(G) = 1 (для всех G € Г), w(D) = 1 (для всех Б> € А) и w(T) = 1 (для всех Т € В), то w(C) = 1. В свете утверждения (6) справедливо следующее обобщение утверждения (11): для всякой оценки языка С в J- если v(G) = 1 (для всех GeT), v(D) = 1 (для всех D € А) и v(T) = 1 (для всех Т € В), то v(C) = 1. Но тогда Г U А U В |=Сз С. Итак, если Г |=Сз А V Б, А U {А} |=Сз С, В U {Б} |=Сз С, то Г U А U В |=Сз С.

Доказательство утверждения (II) проводится модификацией метода Хенкина [11] для трехзначных логик, описанной в [2, 3]. Потребуются следующие определения 1 и 2, а также леммы 1-3.

Определение 1. Множество формул Г называем простой нетривиальной теорией, если выполняются следующие условия:

(Г1) Г ф Т (нетривиальность);

(Г2) Г Ьс3 А, если и только если А € Г (зам кнут ост ь относительно Ьс3);

(ГЗ) если АУ В (£Т, тоА^Г или Б € Г (простота,).

Определение 2. Пусть Г С F и А € Т. Тогда называем е(А, Г) канонической оценкой в случае, когда

{1, если А € Г и -лА ^ Г;

1/2, если А^Ти^А^Т 0, если 1^Ги-.1еГ 0, если А € Г и € Г.

Лемма 1. Пусть Г — простая нетривиальная теория, A,BgT, тогда

1) е(А, Г) ф 0;

2)/.(е(ДГ))=еЬ4,Г);

3) А(е(Д Г), е(Б, Г)) = е(А ^ Б, Г);

4) Ме(А,Т),е(В,Т))=е(АУВ,Т);

5) fA(e(A, Г), е(Б, Г)) = е(А А Б, Г).

Доказательство. 1. Допустим, что е(А, Г) = 0. Тогда А € Г и -1.А € Г. По правилу (—>■ /2) получаем, что А —> В € Г. Применяя правило (МР), получаем, что Б € Г. Таким образом, Т = J-, что противоречит условию (Г1). Итак, е(А, Г) ф 0.

2. Допустим, что е(Д Г) = 1. Тогда А £ Г, -iА ^ Г. Используя (EMW) и (ГЗ), получаем,

что -1А € Г или -1-1А € Г. Отсюда и из того, что ->А ^ Г, следует -1-1А € Г. Таким образом, /.(е(ДГ))=0 = /.(1)=еЬ4,Г).

Случай, когда е(А, Г) = 1/2, рассматривается аналогично (с использованием (ЕМ\¥) и (ГЗ)).

Допустим, что е(А, Г) = 0. Тогда А ^ Г, ->А € Г. Пусть -1-1А € Г. Тогда по правилу (—>■ Д) имеем -1А —>■ Применяя (МР), получаем 13 € Г, т.е. Г = 7-", что противоречит условию (Г1). Следовательно, -1-1А ^Г. Таким образом, /_,(е(Д Г)) = 1 = /-,(0) = е(—Г).

3. Допустим, что е(А, Г) = 1, е(Б,Г) = 1. Тогда А € Г, -пА ^ Г, Б € Г, -¡В ^ Г. По правилу (—>■ Д) из того, что Б € Г, получаем А —> В € Г. Пусть —'(А —>■ Б) € Г. Тогда по правилу (—>■ /2) имеем (А —>■ —>■ С € Г. Применяя (МР), получаем С € Г, т.е. Г = Е, что противоречит условию (Г1). Таким образом, ->(А Итак, /Д(е(Д Г), е(В, Г)) = 1 = _/Д(1,1) = е(А ->• Б, Г).

Допустим, что е(А, Г) = 1, е(Б, Г) = 1/2. Тогда А € Г, -.А ^ Г, Б ^ Г, -.Б ^ Г. Если А ->• Б € Г, то, используя (МР), получаем Б € Г. Противоречие. Следовательно, А —> В ^ Г. Предположим, что -1(7! —>■ Б) € Г. Тогда по правилу (-> —> Е) имеем -1Б € Г. Противоречие. Таким образом, -*(А Б) ^ Г. Итак, А(е(ДГ),е(Б,Г)) = 1/2 = А(1,1/2) =е(А^Б,Г).

Допустим, что е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 0. Тогда А € Г, -1А ^ Г, В ^ Г, -¡В € Г. Используя правило (-1 —>■ I), из того, что —¡В € Г, получаем ->А V —'(А —>■ Б) € Г. Отсюда и ввиду того, что -1.А ^ Г, используя (ГЗ), получаем —'(А —>■ Б) € Г. Пусть А —>■ Б € Г. Тогда по (МР) получаем С € Г. Иными словами, Г = Е, что противоречит условию (Г1). Значит, А —> В ^ Г. Таким образом, и(е(А, Г), е(Б, Г)) = 0 = 0) = е(А ^ Б, Г)/

Остальные случаи рассматриваются аналогично, перечислим, какие правила и условия при этом используются.

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) = 1: (->■ Д), (->■ Д), (МР) и (Г1).

Случай е(А,Т) = 1/2, е(Б,Г) = 1/2: (->■ Д), (->■ Д), (МР), (Г1) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) = 0: (-. ->■ I), (->■ Д), (МР), (Г1) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 0, е(Б,Г) € {1,1/2,0}: (->■ Д), (МР) и (Г1).

4. Аналогично п. 3. Перечислим, какие правила и условия при этом используются.

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) € {1,1/2,0}: (УД), Н Д), (МР) и (Г1).

Случаи е(А,Т) = 1/2, е(Б,Г) = 1 и е(ДГ) = 0, е(Б,Г) = 1: (УД), (->■ Д), (МР) и (Г1).

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) € {1/2,0}: (ЛЕг) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 0, е(Б,Г) = 1/2: (-. У Е), (АЕ2) и (ГЗ).

Случай е(А,Т) = 0, е(Б,Г) = 0: (Л/), (-. V I), а также (ГЗ) или (-> Д), (МР) и (Г1).

5. Аналогично пп. 3 и 4. Перечислим, какие правила и условия при этом используются.

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 1: (Л/), (->■ Д), (МР) и (Г1).

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 1/2: (АЕ2), (-> Л Е) и (ГЗ).

Случаи е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 0 и е(А,Т) = 1/2, е(Б,Г) = 0: (УД), (-> Л /), (->■ Д), (МР) и (Г1).

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) € {1,1/2}: (Л^), А Е) и (ГЗ).

Случай е(А,Т) =0, е(Б,Г) € {1,1/2,0}: (УД), (-■Л/), а также (Л£а) или (-> Д), (МР) и (Г1).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть Г — простая нетривиальная теория, в иг - такая функция, что Уг(р) = е(р,Т) для, всех р € Тогда = е(А, Г) для всеж А € Е.

Доказательство. Индукция по построению ^-формулы с использованием леммы 1.

Лемма 3 (лемма Линденбаума). Пусть Г С Е и А € Е. Если Г 1/с3 А, то существует Г* С Е и 1) Г С Г*; 2) Г* \/о3 А, 3) Г* — простая нетривиальная теория.

Доказательство. Допустим, что Г \/о3 А. Пусть В\,В2,... есть пересчет всех £-формул, а Го, Г1,... есть последовательность множеств формул, такая, что Го = Г и Гга+1 = Гга У}{Вп+{\, если Ггаи{Бга+1} \/ А, и Гга+1 = Гга иначе. Пусть Г* есть объединение всех Г^. Используя стандартные методы, нетрудно показать, что утверждения 1-3 выполняются (см., например, [2]). Лемма 3 доказана.

Пусть Г 1/с3 А. Тогда, согласно лемме 3, существует Г* С Е и 1) Г С Г*, 2) Г* \/с3 А, 3) Г* есть простая нетривиальная теория. В этом случае, согласно лемме 2, найдется такая оценка г>г*, что Уг*(В) = 1 (для всех Б € Г) и -иг*(Д) ф 1. Но тогда Г А. Итак, если Г \/с3 А, то Г А. Следовательно, если Г |=с3 А, то Г Ьс3 А. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967. 9-74.

2. Kooi В., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Rev. Symb. Log. 2012. 5, N 4. 720-730.

3. Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Логические исследования. 2014. 20. 255-268.

4. Heyting A. Die Formalen Regeln der intuitionistischen Logik // Sitzungsber. Preussischen Acad. Wiss. Berlin. 1930. 42-46.

5. Gödel K. Zum intuitionistischen Aussgenkalkül // Anz. Akad. Wiss. Wien. 1932. 69. 65-66.

6. Jaskowski S. Recherches sur le système de la logique intuitioniste // Actes Congr. Int. phil. sei. 1936. 6. 58-61.

7. Lukasiewicz J. Die Logik und das Grundlagenproblem // Entreti. Zürich fondements et méthode sei. math. 1941. 12. 6-9.

8. Сметпанич Я. С. О полноте исчисления высказываний с дополнительной операцией от одной переменной // Тр. Моск. матем. о-ва. 1960. 9. 357-371.

9. Янков В. А. Об исчислении слабого закона исключенного третьего // Изв. АН СССР Сер. матем. 1968. 32, № 5. 1044-1051.

10. Карпенко А. С. Развитие многозначной логики. М.: ЛКИ, 2010.

11. Henkin L. The completeness of the first-order functional calculus //J. Symb. Log. 1949. 14, N 3. 159-166.

Поступила в редакцию 02.11.2016

УДК 511

ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

А. Н. Емельянов1

Рассматривается постановка специальной краевой задачи, из решения которой находятся эффективные характеристики в линейной моментной теории упругости. Представлена процедура отыскания эффективных характеристик на примере волокнистого композита, матрица и включения которого изотропны. Также представлены краевые эффекты структурных функций.

Ключевые слова: осреднение, моментная теория упругости, эффективные характеристики, волокнистый композит, краевой эффект.

In this paper a special boundary value problem used to find the homogenized material functions in the linear moment theory of elasticity is considered. The procedure of finding the homogenized material functions is discussed by the example of a fibrous composite material whose matrix and inclusions are isotropic. Boundary effects of structural functions are also presented.

Key words: homogenization, moment theory of elasticity, homogenized material functions, fibrous composite, boundary effects.

1. Постановка исходной и сопутствующей задач. В моментной теории упругости кроме напряжений и деформаций присутствуют тензоры моментных напряжений и тензор искривлений [1]. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости включает: уравнения равновесия

Xi — 0 , H'jijj (-ijk&jk ^ — 0 ,

определяющие соотношения

= CijkiSki + Bijki>cki, /j,ji = В^ыеы + Dijki>cki;

1 Емельянов Александр Николаевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: emlaldrQgmail.com.