Натуральные исчисления для трехзначных логик бессмысленности z и e Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 510.644

НАТУРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЛОГИК БЕССМЫСЛЕННОСТИ Z И Е

Я. И. Петрухин1

В статье формулируются натуральные исчисления для трехзначных логик бессмысленности Z и Е.

Ключевые слова: натуральное исчисление, логика бессмысленности, трехзначная логика.

The natural deduction systems for the three-valued nonsense logics Z and E are presented in the paper.

Key words: natural deduction systems, nonsense logic, three-valued logic.

1. Введение. Одним из типов трехзначных логик являются так называемые логики бессмысленности. Третье истинностное значение в них трактуется как "бессмысленно". Это обстоятельство существенно влияет не только на философские интерпретации таких логик, но и на определения их логических связок. Первая трехзначная логика бессмысленности построена Д. А. Бочваром [1]. Первая монография, посвященная логикам бессмысленности, написана С. Холденом [2]. В настоящей работе мы построим натуральные исчисления типа Г. Генцена [3] для логик бессмысленности Z и Е. Первую из них сформулировала К. Халковска в [4], а вторую как логику бессмысленности изучали В. К. Финн и Р. Ш. Григолия [5], она является негативно-дизъюнктивно-конъюнктивным фрагментом логики X. Д. Эббингауза Ез [6].

Все рассматриваемые нами логики строятся в пропозициональном языке «5?, алфавиту которого принадлежат множество переменных 2? = {pi,p2, • • •}, правая и левая круглые скобки, логические связки: -1 (отрицание), V (дизъюнкция) и А (конъюнкция). Множество всех «jSf-формул & определяется стандартно. Множеством истинностных значений является "V = {1,1/2,0}. Оценкой языка 2£ в "V (далее — оценкой) называется любое отображение 2? в "V. В логике Z значение формулы А при оценке v определяется следующим образом: v(~> А) = f-,(v(A)) = 1 — v(A); v(AV В) = fv(v(A),v(B)), где /v(0,1/2) = 0, /v(l/2,0) = 0, fv(x,y) = maх(ж,у) (здесь и далее х,у € У) в остальных случаях; v(A А В) = fA(v(A),v(B)), где fA(v(A),v(B)) = min(х,у), если х,у € {1,0}, и fA(v(A),v(B)) = 1/2 иначе. В логике Е значение формулы А при оценке v определяется так же, как в логике Z, но /л(1,1/2) = 1, /л(1/2,1) = 1 и fA(v(A),v(B)) = min(х,у) в остальных случаях. В логике L € {Z,E} из множества формул Г следует формула А (Г |=l А) тогда и только тогда, когда если v(B) = 1 (для всех В € Г), то v(A) = 1 при всякой оценке v. Заметим, что отношение Г |=l А, где L € {Z, Е}, имеет смысл только для непустого Г, поскольку в логиках Z и Е функции /_,, /v и /Л сохраняют значение 1/2, когда все их аргументы принимают только это значение. Таким образом, в логиках Z и Е нет тавтологий, т.е. формул, принимающих значение 1 при любой оценке v.

2. Натуральное исчисление для логики Z. Множеству всех правил вывода натурального исчисления для Z принадлежат только следующие элементы:

(EFQ) —, (W) -Дг, Ь^Е) (V/i) ——, (V/2) ——,

В J -1-1Л 1 А АУ В к 1 АУ В'

[А] [В]

, AV В С С AB А А В А А В

(VS)-^-ЛМ)^, (Л^)—, (Л^2) —

("V/l) n(Av5)V5' bX/h) n(AvB)vA' bX/h) ^{АУВУ

1 Петрухин Ярослав Игоревич — студ. каф. логики философского факультета МГУ, e-mail: yaroslav.petrukhinQmail.ru.

--(АУВ) , . А Л -¡В . Л В

V Е) л,, р) Ь Л 71) ^ л т. Ь Л 2)

пАу^Б' у п(ллв)' у ; п(ллв)'

^АЛ^В -.(А Л Б) ^Л^ЛД) ^БЛ^(АЛБ)

ЬА1з)ЧАЩ' ЬАЕ1)^А^В> ЬАЕ2) ВУ^В ' А^А •

Следуя Г. Генцену [3], мы определяем вывод формулы А из множества формул Г (Г Ьг А) как дерево, отмеченное формулами. Заметим, что, поскольку в логике Z нет тавтологий, в построенном натуральном исчислении нет аксиом, а отношение Г А имеет смысл только для непустого Г. Однако в общем случае из отсутствия аксиом в некотором натуральном исчислении ,уУ еще не следует, что Т \~__y А имеет смысл только для непустого Г. Например, в построенном Г. Генценом [3] натуральном исчислении N,1 для интуиционистской логики нет аксиом, но тавтологии в интуиционистской логике есть и отношение Г \-pjj А имеет смысл и для пустого Г.

Теорема 1. Для любых ГС ^ « Ае^ имеем, Г А, если и только если Г \=х А.

Доказательство. Нам необходимо и достаточно доказать следующие утверждения 1 и 2.

Утверждение 1. Для любых Г С ^ и Ае^ верно, что если Г А, то Г \=х А.

Утверждение 2. Для любых Г С ^ и Ае^ верно, что если Г \=х А, то Г А.

Доказательство утверждения 1 начинается с проверки корректности всех правил вывода и завершается индукцией по длине вывода. В качестве примера покажем корректность правила (-> УД). Предположим, что Г —>А. Тогда при всякой оценке и если ь{0) = 1 (для всех О € Г), то г>(-1 А) = 1. Отсюда при всякой оценке и если ь{0) = 1 (для всех О € Г), то г>(А) = 0. Тогда для любой оценки и если ь(В) = 1, то г>(-1 (А V В) V В) = 1; если г>(Б) ф 1, то, учитывая, что г>(А) = 0, получаем г>(А У В) =0, но тогда г>(-1 (А V В)) = 1 и г>(-1 (А У В) У В) = 1. Итак, при всякой оценке и если г>(-1 А) = 1, то У В) У В) = 1. Следовательно, при всякой оценке и если г>(С) = 1 (для

всех С € Г), то г>(-1 (А V Б) V Б) = 1. Но тогда Г |=г У В) У В. Таким образом, если Г \=х ~'А, то Г |=2 -(А У В) У В.

Доказательство утверждения 2 проводится методом Хенкина [7], точнее говоря, его адаптацией для трехзначных логик, описанной в [8, 9]. Нам потребуются определения 1 и 2, а также леммы 1-3.

Определение 1. Множество формул Г называем простой нетривиальной теорией, если выполняются следующие условия:

(Г1) Г ф ¿Р (нетривиальность);

(Г2) Г А, если и только если А € Г {замкнутость относительно Ьг);

(ГЗ) если А V Б € Г, то А € Г или Б € Г {простота,).

Определение 2. Пусть Г С & и А € ¿Р. Называем е(А, Г) канонической оценкой, в случае, когда

1, если А € Г и -лА ^ Г;

(А Т\ — } если ^ ^ Г и ^ Г;

' ^ ~ * 0, если А ^ Г и -.А € Г;

0, если А € Г и -1А € Г.

Лемма 1. Пусть Г — простая нетривиальная теория, А, Б € тогда:

(1) е(А, Г) ф 0;

(2) /.(е(А,Г))=еЬ4,Г);

(3) /у(е(А,Г),е(5,Г))=е(АУВ,Г);

(4) /л(е(А, Г), е(Б, Г)) = е(А Л Б, Г).

Доказательство. 1. Допустим, что е(А, Г) = 0. Тогда А € Г и -1А € Г. По правилу (ЕЕС получаем, что Б € Г. Таким образом, Г = что противоречит условию (Г1). Итак, е(А, Г) ф 0.

2. Допустим, что е(А, Г) = 1. Тогда А € Г, ->А ^ Г. По правилу (_1_1/) получаем -1-1А € Г. Таким образом, /С(е(А, Г)) = 0 = /-.(1) = е(-.А,Г).

Допустим, что е(А, Г) = 1/2. Тогда А ^ Г, -1А ^ Г. Пусть -1-1А € Г. Тогда по правилу (-1-1Е) имеем А € Г. Противоречие. Значит, -¡-¡А ^ Г. Таким образом, /_,(е(А, Г)) = 1/2 = /-,(1/2) = е(-А,Г).

Случай, когда е(А, Г) = 0, рассматривается аналогично (с использованием (-1-1Е)).

3. Допустим, что е(А, Г) = 1, е(Б,Г) = х € Ж. Тогда А € Г, -1А ^ Г. По правилу {У1\) получаем А V Б € Г. Но тогда если -1 (А V Б) € Г, то по правилу (ЕЕС2) имеем Г = что противоречит (Г1). Итак, -н(А V Б) ^ Г, /у(е(А, Г), е(Б, Г)) = 1 = /у(1, ж) = е(А V Б, Г).

Случай, когда е(А, Г) = х € "V и е(Б,Г) = 1, разбирается аналогично предыдущему, но вместо правила (V/1) используется (У12)-

Допустим, что е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) = 1/2. Тогда А ^ Г, Г, Б ^ Г, -.Б ^ Г. Пусть

А\/В € Г. Используя (ГЗ), получаем, что А € Г или Б € Г. Противоречие. Значит, А\/ В ^ Г. Пусть -■(А V Б) € Г. Используя (-1 V Е) и (ГЗ), получаем, что —*А € Г или -iБ € Г. Противоречие. Значит, -(А V Б) ¿ Г. Итак, V Б) ^ Г, fv(e(A, Г), е(Б, Г)) = 1/2 = /v(l/2,1/2) = е(А У Б, Г).

Допустим, что е(А, Г) = 1/2, е(Б,Г) = 0. Тогда А ^ Г, -1.А ^ Г, Б ^ Г, -¡В € Г. Используя (ГЗ), можно показать, что допущение о том, что А У В € Г, приводит к противоречию. Таким образом, АУ В ^ Г. Из того, что —*В € Г, по правилу (-> V /2) получаем -i (А У В) У А € Г. Отсюда в силу того, что А ^ Г, используя (ГЗ), получаем (АУ В) € Г. Итак, fv(e(A, Г), е(Б, Г)) = 0 = /v(l/2, 0) = е(АУ5,Г).

Случай, когда е(Л, Г) = 0 и е(Б,Г) = 1/2, разбирается аналогично предыдущему, но вместо правила (-> V /2) используется (-1 V 1\).

Случай, когда е(А, Г) = 0 и е(Б,Г) = 0, разбирается аналогично предыдущему, но вместо правила (-> V 1\) используется (-1 V /3).

4. Принцип доказательства аналогичен п. 3. Перечислим правила и условия, которые при этом используются.

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 1: (Л/), (EFQ) и (Г1).

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 1/2: (АЕ2), Ь А Ег) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 0: (АЕ2), (Al) и (->Л Д).

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) =у € {1,1/2}: (АЕг), Ь А Ег) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 1/2, е(Б,Г) =0: (ЛЕг), (Al), (-. Л Е3) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 0, е(Б,Г) = 1: (ЛЕг), (Al) и (->Л/2).

Случай е(ДГ) = 0, е(Б,Г) = 1/2: (АЕг), (Al), (-.Л Е2) и (ГЗ).

Случай е(ДГ) = 0, е(Б,Г) = 0: (AEX), (Al) и (->Л/3).

Лемма 1 доказана.

Используя индукцию по построению «áf-формулы и лемму 1, можно доказать следующую лемму.

Лемма 2. Пусть Г — простая нетривиальная теория, a vr — такая функция, что vr(p) = е(р,Т) для всех р € . Тогда vr(A) = е(А, Г) для всех Ае^.

Используя стандартные методы (см., например, [9]), можно доказать следующую лемму.

Лемма 3 (лемма Линденбаума). Пусть Г С и А € . Если Г l/z А, то существует Г* С и 1) Г С Г*; 2) Г* l/z А, 3) Г* — простая нетривиальная теория.

Пусть Г l/z А. Тогда, согласно лемме 3, существует Г* С ^ и 1) Г С Г*, 2) Г* l/z А, 3) Г* есть простая нетривиальная теория. В этом случае, согласно лемме 2, найдется такая оценка г>г*, что vr*(B) = 1 (для всех Б € Г) и vr*(A) ф 1. Но тогда Г А. Таким образом, если Г l/z А, то Г У=ъ А. Итак, если Г |=z А, то Г l~z А. Утверждение 2 доказано. Теорема 1 доказана.

3. Натуральное исчисление для логики Е. Множеству всех правил вывода натурального исчисления для Е принадлежат только следующие элементы: (EFQ), (-1-11), (-1-1Е), (V/1), (У12), (VE), (AI), (-. V /1), (-. V /2), (-. V /3), (-. V E), (-■ A Ег) и

/г/ч ^ / w/N Б / T, S А А В . ->А У -пБ

(л/) (Ааб)у^' (л/) (aab)v^ (л^Х7б' (-л/4)Ч^Б)'

Как и в случае с логикой Z, мы определяем вывод формулы А из множества формул Г (Г Ье -А) как дерево, отмеченное формулами. При этом отношение Г Ье А имеет смысл только для непустого Г (вспомним, что логика Е не имеет тавтологий).

Теорема 2. Для любых Г С и А € имеем, Г Ье А, если и только если Г |=е А.

Доказательство. Нам необходимо и достаточно доказать следующие утверждения 3 и 4.

Утверждение 3. Для любых Г С и А € верно, что если Г Ье А, то Г |=е А.

Утверждение 4. Для любых Г С и А € верно, что если Г |=е А, то Г Ье А.

Доказательство утверждения 3 аналогично доказательству утверждения 1. Утверждение 4, как и утверждение 2, доказывается методом Хенкина. Используя определения 1 и 2, докажем следующую лемму.

Лемма 4. Пусть Г — простая нетривиальная теория, А, В € , тогда:

(1) е(А, Г) ф 0;

(2) ие(А,Т))=еЫ,Т);

(3) Ме(ДГ),е(Б,Г)) =e(AvБ,Г); (4 ) fA(e(A, Г), е(В, Г)) = е(А Л В, Г).

Доказательство. Доказательства ии. 1-3 лемм 1 и 4 совпадают. Рассмотрим правила и условия, использующиеся при доказательстве п. 4.

Случай е(ДГ) = 1, е(В,Г) = 1: (Л/), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1, е(В,Т) = 1/2: (AI'), (ГЗ), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 0: (V/2), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Случай е(А,Т) = 1/2, е(В,Т) = 1: (AI"), (ГЗ), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1/2, е(В,Т) = 1/2: (АЕ3), (-> А Ег) и (ГЗ). Случай е(ДГ) = 1/2, е(В,Т) =0: (V/2), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 0, е(В,Т) = х € "V: (V/i), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Лемма 4 доказана.

Оставшаяся часть доказательства теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Матем. сб. 1938. 4, № 2. 287-308.

2. Hallden S. The Logic of Nonsense. Uppsala: Lundequista Bokhandeln, 1949.

3. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода / Под. ред. А. В. Идельсона и Г. Е. Минца. М.: Наука, 1967. 9-74.

4. Halkowska К. A note on matrices for systems of nonsence-logic // Stud. Log. 1989. 48, N 4. 461-464.

5. Finn V.K., Grigolia R.S. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. 59. 207-273.

6. Ebbinghaus H.D. Über eine Prädikatenlogik mit partiell definierten Prädikaten und Funktionen // Arch. math. Logik. 1969. 12. 39-53.

7. Henkin L. The completeness of the first-order functional calculus //J. Symb. Log. 1949. 14, N 3. 159-166.

8. Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Логические исследования. 2014. 20. 255-268.

9. Kooi В., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Rev. Symb. Log. 2012. 5, N 4. 720-730.

Поступила в редакцию 01.03.2017

УДК 517.93

ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ МАЖОРАНТ И МИНОРАНТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА КАК ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА

А. Н. Ветохин1

Рассматриваются параметрические семейства линейных дифференциальных систем с ограниченными и непрерывными на полуоси коэффициентами, аналитически зависящими от комплексного параметра. Установлено, что мажоранта (миноранта) показателя Ляпунова, рассматриваемая как функция параметра, является всюду полунепрерывной сверху (снизу).

Ключевые слова: показатели Ляпунова.

A parametric family of linear differential systems with continuous coefficients bounded on the semi-axis and analytically dependent on a complex parameter is considered. It is established

1BerrwxuH Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anveto27®yandex.ru.