ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ АНОРМАЛЬНОЙ ТОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 3. С. 3-9 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal

УДК 517.988

А. В. Арутюнов1 , К. И. Салихова2

ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ АНОРМАЛЬНОЙ ТОЧКИ*

Исследуется существование неявной функции, заданной уравнением 0(х, а) = 0, в окрестности анормальной точки (хо, а0). Доказано, что если некоторое А-укорочение отображения Е(х) = 0(х, а0) регулярно по некоторому направлению, то искомая неявная функция существует.

Ключевые слова: неявная функция, анормальная точка, нелинейное уравнение, вещественное решение, укорочение, регулярность по направлению.

Б01: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-47-3-3-9

1. Введение. Пусть задано отображение С : Мга х £ ^ Мт, где £ — банахово пространство с нормой || ■ ||, и п ^ т. Пусть заданы точки хо € Кга, Го € £, для которых

Будем предполагать, что отображение С непрерывно в окрестности точки (хо,го). В этой окрестности рассмотрим уравнение

относительно неизвестного х € Rn и параметра а € £. Исследуем условия на отображение G, при которых это уравнение для всех а из некоторой окрестности точки ао имеет решение x = х(а), для которого х(а) — хо при а — ао. Решение этого уравнения называется неявной функцией, а условия, при которых рассматриваемое уравнение разрешимо, называется теоремой о неявной функции.

Напомним, точка £ называется нормальной для отображения F : Rn — Rm, если оператор первой производной F'(£) : Rn — Rm является сюръективным, т.е. im F'(£) = Rm, где im — это образ линейного оператора. Если этот оператор сюръективным не является, то точка £ называется анормальной.

Всюду в дальнейшем через const обозначим положительные константы, конкретное значение которых нас не интересует.

Классическая теорема о существовании неявной функции требует, чтобы точка хо была нормальной для отображения G (■, ао), а именно, гласит следующее.

Теорема 1 [1-3, с. 161]. Пусть отображение G достаточно гладко в окрестности точки (хо,ао) (например, G непрерывно в окрестности этой точки, дифференцируемо по переменной

х и его частная производная непрерывна по совокупности переменных в окрестности

(хо, ао)). Тогда, если точка хо является нормальной для отображения G(-, ао) : Rn — Rm, то существует окрестность точки ао и определенное на нем непрерывное отображение g со значениями в Rn , которое является неявной функцией, т.е. удовлетворяет тождеству G(g^), а) = 0, и оценке |д(а) — хо| ^ const |G^,а)| для всех а из окрестности точки ао.

1 Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, гл. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: [email protected]

2 Факультет ВМК МГУ, студ. магистратуры, ИПУ РАН, мл. науч. сотр., e-mail: [email protected] * Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 20-11-20131.

G (хо, ао) = 0.

(1)

G(^, а) = 0

(2)

Однако и в анормальном случае, но при более сильных предположениях гладкости О по переменной х в предположении существования 2-регулярного направления для отображения О (-,00) в точке хо, справедлива соответствующая теорема о неявной функции (см. обзор [4] и библиографию там). Указанное предположение 2-регулярности сформулировано в терминах первой и второй частных производных по х отображения О (-,0о) в точке хо. При этом, если, например, для отображения О (■, 0о) точка хо анормальна и его вторая частная производная в точке хо равна нулю, то предположение 2-регулярности автоматически нарушается и указанные результаты (см. [4]) не применимы.

Настоящая работа является логическим продолжением [5], однако в данной работе доказано не только существование неявной функции, но и найдено более подробное ее представление. Кроме того, настоящая работа является естественным развитием работы [6], в которой была рассмотрена обратная функция (т.е. когда £ = Мт и отображение О имеет вид О(х, 0) = Р(х) — 0) в случае вырождения производных гладкого отображения Р в точке хо. При этом уравнение (2) принимает вид Р(х) = 0.

Статья состоит из двух пунктов. В следующем пункте приведены основные конструкции, а последний содержит основные результаты, т.е. теорему о неявной функции.

2. Основные конструкции. Будем использовать конструкцию и методы, предложенные в [6]. Всюду далее будем обозначать скалярное произведение через (,). Обозначим через I множество ненулевых п-мерных векторов у которых все координаты йг неотрицательны: ^ = = ^ 0, ^ = 0. Через I С I обозначим подмножество целочисленных векторов

в = (в1,...,вп) из I, т.е. тех векторов, у которых координаты в, либо равны нулю, либо являются натуральными числами. Они обычно называются мультииндексами.

Пусть задан п-мерный вектор Л = (Л1,...,Лп) € Кп с положительными координатами Л, > > 0. Возьмем произвольный г € {1,..., т}, где г — это номер соответствующей координаты Р, отображения Р. Пусть задано непустое конечное множество Б, С I, для которого выполняется

За, > 0 : (Л, в) = аг Ув € Б,. (3)

Обозначим через 5 семейство множеств г € {1,...,т}. Пусть также для каждого г € € {1,..., т} заданы вещественные числа р,,«, где в € Множество этих чисел обозначим через Р.

Итак, для заданных и определенных выше Л, 5, Р определим отображение Р = (Р1,..., Рт) = = Р5: Мп ^ Мт следующим образом:

Рг(х)=^] . (4)

п

Здесь в = (в1,..., вп) — мультииндекс монома х« = П х&кк. При этом х = (х1,..., хп), причем в

к=1

отличие от х,, где г € {1, ...,п}, обозначение хо будет использоваться лишь для начальной точки хо € Мп

Определение 1. Отображение Р =

является Л-укорочением отображения Р : Мп ^ ^ Мт в окрестности точки хо, если для любого г € {1,...,т} существует конечное непустое множество I, С I, такое, что

(Л,й) >а, У^ € I, (5)

и для всех х из некоторой окрестности точки хо для Р справедливо представление

Р(х) = Р (хо) + Р (х — хо) + А (х — хо). (6)

Здесь вектор-функция А такова, что для всех х из некоторой окрестности хо выполняется следующая оценка для г-й координаты Аг вектор-функции А: |Аг(х)| ^ со^ ^ |х|^, где |х|^ =

= П .

k=1

Определение 2. Пусть задан вектор h € Rn. Будем говорить, что Л-укорочение PS>P регулярно по направлению h, если имеет место

P (h) = 0, imP'(h) = Rm. (7)

Следующий пример позволяет лучше понять приведенную конструкцию.

Пример 1. Пусть n = 2, m = 1, х = (х1,х2) € R2, хо = 0 € R2.

Возьмем F(х) = 2х"^х2 + sin^) + 2sin(xf)x2 + 3х1х2. Тогда отображение F представимо в виде

F (х) = F (0) + P1(x) +Д1(х).

Здесь F(0) = 0, P1(x) = 2xfx2 + х2, Д1(х) = (sin(x2) — х2) + 2sin(xf)x2 + 3х1х2. При этом S1 = {(2,1), (0, 2)}.

Раскладывая синус по степеням в некоторой окрестности нуля, несложно получаем, что в этой окрестности справедливо неравенство

|Д1(х)| ^ const(|x2|4 + |х 11|х21 + |х1||х2|).

При Л = (1, 2) и а1 = 4 получаем, что (Л, (2,1)) = (Л, (0,2)) = а1. Возьмем теперь D1 = = {(0, 4), (3, 2), (1, 2)}. Тогда (Л, d) > а1 Vd € D1. Поэтому отображение P1 является Л-укорочением F в окрестности нуля.

Решая уравнение P^h) = 0, имеем 2h2h2 + = 0. Из него вытекает, что либо h = (т, 0), либо h = (т, —2т2), т € R. Учитывая, что imP{(h) = R1, при т = 0 легко получаем, что отображение P1 регулярно по направлениям h = (±1, 0) и h = (±1, —2).

3. Основные результаты. Везде далее через В (а, е) будем обозначать замкнутый шар радиуса е с центром в точке а.

Теорема 2. Пусть отображение G : Rnх£ — Rm в некоторой окрестности точки (хо, ао) бесконечно дифференцируемо по совокупности переменных. Пусть задан целочисленный вектор Л > 0, и является Л-укорочением отображения G (-,ао) в окрестности точки хо, которое регулярно по некоторому направлению h € Rn.

Тогда существуют число ео € (0,1] и непрерывное отображение £ = £(£,а) : [—ео,ео] х хВ (ао, ео) — Rn, которое бесконечно дифференцируемо на внутренности своей области определения, для него £(0, 0) = 0 и выполнено следующее.

Для любого натурального а ^ 1 + max{а^} , где а^ взяты из соотношений (3), и для любого а € В (ао,еа) существует непрерывное 'решение уравнения (2) х = х(а), для которого при всех а = ао имеет место представление

Хг(а) = Ж0,г + ||<7 - СГ01| [hi + £г ^ II0" ~ °о|Ь ; g0 ц^ _ ^"ц^ 6 {1, • • -,п}. (8)

а а — do

|а — ао|

Здесь £j(i, а) — координаты отображения £(¿,а), а х^(а) и хо^ — координаты векторов х(а) и хо соответственно.

Доказательство. Зафиксируем натуральное число а ^ 1 + max{а^} . Для бесконечно дифференцируемого в некоторой окрестности точки (хо, ао) отображения G существуют такие константы С1 > 0, С2 > 0 и окрестность O (хо, ао), что имеет место

dG

d2G

(.х, а)

дада

< С1,

9а ^

^ С2 V(x, а) € O (хо, ао),

и в окрестности О (хо, Го) для отображения С выполнены все предположения теоремы 5.6.2 из [7, с. 84]. Из указанной теоремы вытекает справедливость следующего неравенства для всех (х, г) € € О (хо, Го):

dG

G (х, a) -G (х, (т0) - — (х, а0) (а - а0)

2

||а — ао||

Используя полученную выше оценку первой производной отображения О по а и выбирая константу сз > 0 соответствующим окрестности О (хо,0о) образом, получим следующую цепочку неравенств:

, > | 11 а — аоУ дО (ж, а) — & (х, его) | ^ с 1----Ь

2

12

|а — ао|| ^

(9)

^ ci а 2<7° ' + С2 I'0" ~ ао11 ^ Сз I'0" ~ ао11 6 С (ж0, сг0) •

Определим бесконечно дифференцируемые отображения F : Rn ^ Rm и 5 : Rn х £ ^ Rm соотношениями

F(ж) = G (ж, ао), 5(ж, а) = G (ж, ао) — а). Тогда, используя представление

G(x, а) = F (ж) — 5(ж, а),

приведем уравнение (2) к эквивалентному виду

F(ж) = 5(ж, а). (10)

При этом в силу (9) для всех (ж, а), близких к (жо,ао), выполняется неравенство

|5(ж,а)| ^ const ||а — а0|| . (11)

Не ограничивая общности будем считать, что жо = 0, F(0) =0 и ао = 0. Пусть P = PS— это А-укорочение отображения F. Тогда для F справедливо представление

F (ж) = P (ж) + Д(ж),

так как F(0) = G(0, 0) = G^o^o) = 0. Причем из определения А-укорочения (6) имеем

|Дг(ж)| < const |ж|* Vi €{1,...,m}. (12)

deDi

Возьмем ¿о € (0,1). Будем искать решение уравнения (10) в виде

ж(£, £) = (tAl (hi + 6),..., tAn (hn + £n)) (13)

при а = tan, где а выбрано в начале доказательства. Здесь п € £ : ||п|| ^ 1 и t — произвольное число, для которого |t| € [0, ¿о]. При этом £ = (£1,..., £n) € Rn, а h = (h1,..., hn) — регулярное для А-укорочения P направление из условия теоремы. В этих обозначениях уравнение (10) принимает вид

F(ж&£)) = 5 (ж(^£),Гп). (14)

Здесь £ — неизвестное, а t и п — параметры.

Преобразуем уравнение (14). Для любого i € {1,..., m} справедливо следующее:

Pi^(t, £)) = £ рмж& £)s = £ tAfc(hk + £k)sk

seSi seSi fc=i

n f n

(15)

E П tAfcSk Pi.sU (hk + £k )sk = tai Pi(h + £).

seSi k=1 V k=1 J

Положим

Дi(t,£) := ДДж(^£)) Vi €{1,...,m}. (16)

В силу представления (6) отображение А бесконечно дифференцируемо по совокупности переменных, так как отображение Р бесконечно дифференцируемо. Из представления (13) следует, что отображение х(Ь, £) аналитично и, как следствие, отображение Аг(Ь, £) является бесконечно дифференцируемым по совокупности переменных.

Учитывая представления (15) и (16), запишем уравнение (14) в следующем покоординатном виде:

Рг(Ь + £) + А г (¿, £) = ¿г (х(Ь, £), Ьап) Уг € {1,..., т},

где ¿г — это г-я координата функции ¿.

Умножая г-е уравнение на , получаем

где

Pi(h + £) + t-aivi(t, £, п) = 0 Vi € {1,..., m}, vi(t,£,n) = Дi(t,£) — 5i (ж(t, £), tan).

(17)

Оценим теперь |гг(Ь,£,п)|. Из определения Л-укорочения и (5) следует, что для всех г € € {1,..., т} существует конечное непустое множество I € I, такое, что

(Л, > аг У^ € А. Тогда существует такое достаточно малое 7 > 0, что

(Л, ^ аг + 7 У^ € I

и имеет место

а ^ аг + 7 Уг € {1,..., т}. Используя полученные неравенства, оценим Аг(¿,£) и ¿г (х(Ь, £),Ьап). Имеем

(12)

Дi(t, £) < const ^ ^(t,£)|d = const ^ Ц |жк(t,£)|

dk _

(18) (19)

deDi

deDi k=1

= СОП8^ П |Ь|Лк<*к |Ьк + £к< СОП8^ Ц |Ь|Лк<*к d€Di к=1 к=1

(18)

= соп8^ Е |Ь|<Л^> ^ Уг € {1,... ,т}

dеDi

для всех достаточно близких к нулю £ и ¿. Имеем также

(11)

(19)

|5i (ж(£,£),Гп)| < const ||tan| < const |t|a < const |t|ai+Y Vi €{1,...,m}

(20)

(21)

так как |Ь| ^ ¿о < 1 и ||п|| ^ 1.

Из соотношений (20), (21) следует, что при всех близких к нулю ¿, £, а также п € £ : ||п|| ^ 1, имеет место

£, п)| < А г (¿,£) + № (х(Ь, £ ),Ьа п) | < Уг €{1,...,т}.

При этом, уменьшая если надо ¿о > 0, будем считать, что для |Ь| € [0, ¿о] число Ь достаточно близко к нулю. Раскладывая функцию гг в ряд Тейлора по степеням Ь до порядка аг + 1 в точке (0,£,п), получаем, что функция Фг(Ь,£,п) := гг(Ь,£,п) бесконечно дифференцируема. Кроме того, Фг(0, £, п) = 0 и |Фг(Ь, £,п)| ^ сопв^Ьр при всех указанных ¿, £ и п.

Определим вектор-функцию Ф, положив Ф(Ь,£,п) = (Ф1(Ь, £, п),..., Фт(¿,£,п)), и вернемся к рассмотрению уравнения (17). Используя определение отображения Ф, перепишем это уравнение в следующем виде:

Р (Ь + £) + Ф(Ь,£,п) =0. (22)

Из приведенных выше соотношений для Ф^ следует, что Ф(0, 0, 0) = 0 и ^(0, 0, 0) = 0. Следовательно, в точке £ = 0, п = 0, £ = 0 для уравнения (22) выполнены все предположения классической теоремы о неявной функции. Действительно, в силу условия регулярности (7) верно, что имеет место

/др дф \ др

Р{К) = 0, Ш1 ^—(Ь) + ^-(0,0,0) = Ш1 ^—(Ь) = Мт.

d£ d£ / д£

Иными словами, P(h) =0 и точка £ = 0 является нормальной для отображения £ : P(h + £) + +Ф(0, q, 0) — Rm. В силу сказанного выше, существует е0 > 0 и бесконечно дифференцируемое во внутренности области определения по совокупности переменных отображение £ = £(t, п) : [—е0,е0] х B (0, е0) — Rn, которое удовлетворяет тождеству

p (h + q(i,n)) + $(t,q(t,n),n) = 0 (23)

и для которого £(0, 0) = 0. При этом, не теряя общности будем считать, что ео ^ ¿о-

При а = 0 положим ж(0) = 0. Возьмем произвольное а € Е, для которого ||а|| ^ £о+1 и а = 0. Положим t = ¿(а) := (||а||/е0)1/а и п = п(а) := е0а/||а||. Тогда ¿(а) € [0, е0] и ||п(а)|| = е0 для любого рассматриваемого а = 0. Из тождества (23) следует, что £ = £(t, п) является решением уравнения (22), а значит и уравнения (17). Следовательно, ж(а) := ж^(а), £^(а), п(а))) (см. (13)) является решением уравнения (2). Очевидно, что построенная функция ж(-) непрерывна. Подставляя указанные выше ¿(а), п(а) и £ = {(¿(а), п(а)) в (13), получим

Xi(a) = [hi (eö1/a|MI">£0|j^j|^ Vi € {1,... ,n}.

Замечание 1. Представление (8) дает асимптотическую оценку решения ж(а). Поскольку в представлении (8) £ непрерывно и {(0,0) = 0, то £ ||с — со||~ ,£о~^ 0 при а —> сто-

Поэтому при а, близких к а0, выражение в круглых скобках стремится к hi.

Замечание 2. Из представления (8) для всех а, близких к а0, вытекает оценка на решение ж(а), аналогичная полученной в [5]:

|жДа) — xi)0| ^ const ||а — а0|Аг/а Vi € {1,..., n}.

Замечание 3. Предположение теоремы о том, что вектор Л > 0 должен быть целочисленным, можно опустить в случае, когда вектор Л > 0 имеет рациональные координаты. Действительно, исходя из определения Л-укорочения, если PSявляется Л-укорочением для некоторого Л, то для любого c > 0 это же PSявляется также (сЛ)-укорочением отображения F. В частности, умножив вектор Л > 0 с рациональными координатами на достаточно большое натуральное число, получим целочисленный вектор Л = сЛ > 0.

Замечание 4. Положим G(x, а) = F (ж) — а, где F определено в примере. Для этого G в окрестности нуля рассмотрим уравнение G(x, а) = 0 относительно ж с условием ж(0) =0. В силу доказанной теоремы и замечания 2 к ней, при всех а близких к нулю это уравнение имеет решение ж(а), для которого справедливы оценки |ж1 (а)| ^ const |а|1/5 , |ж2(а)| ^ const |а|2/5 . Авторы благодарят профессора С.Е. Жуковского за полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. B a r 11 e R.G., Graves L.M. Mappings between function spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. 72. P. 400-413.

2. Dontchev A.L., Rockafellar R.T. Implicit Functions and Solution Mappings. 2nd ed. New York: Springer, 2014.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Арутюнов А.В. Гладкие анормальные задачи теории экстремума и анализа // Успехи математических наук. 2012. 67. №3(405). С. 3-62.

5. Арутюнов А.В., Салихова К.И. Теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки // Тр. МИАН. 2021. 315. С. 26-33.

6. Арутюнов А.В. Существование вещественных решений нелинейных уравнений без априорных предположений нормальности // Матем. заметки. 2021. 109. С. 3-18.

7. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

8. Арутюнов А.В., Ж уковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства / / Тр. МИАН. 2010. 271. С. 18-28.

Поступила в редакцию 23.05.23 Одобрена после рецензирования 30.05.23 Принята к публикации 30.05.23