3ТЕОРЕМА ГУРВИТЦ ДЛЯ A(z) - АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНЦИЙ
Мухайё Давлатали кизи Неъматиллаева
Базовый докторант Национальная Университет Узбекистана
muhayyo .rn@gmail .com
Аннотация: В тезисе приводятся для A(z) - принцип аргументы в аналитических функций. Приводится аналог теоремы Руша. теорема Гурвица дана для A(z) - аналитической функции.
Ключевые слова: A(z) - аналитическая функция, принцип аргумента, теорема Руше, теорема Гурвитц
A( z) - ANALITIK FUNKSIYA UCHUN GURVITS TEOREMASI
Annotatsiya: Tezizda A(z) - analitik funksiyalar uchun argument prinsipi keltirilgan. Rushe teoremasining analogi berilgan. A(z) - analitik funksiya uchun Gurvits teoremasi berilgan
Tayanch so'zlar: A(z) - analitik funksiya, argument prinspi, Rushe teoremasi, Gurvits teoremasi.
GURVITZ'S THEOREM FOR THE A (Z) -ANALYTIC FUNCTION
Abstract: In the thesis - the argument principle for analytical functions is given. An analogue of Rushe's theorem is given. The Gurvits theorem is given for the analytic function.
Keywords: A(z) - analytical function, argument principle, Rushe theorem, Gurvits theorem.
Настоящая работа посвящена аналитической теории решения уравнения Бельтрами
f (z) = А(z) fz (z),
(1)
имеющего непосредственное отношение к квазиконформным отображениям. Относительно функции A (z), в общем случае
предполагается, что она измерима и |A (z)|< C < 1 почти всюду в
рассматриваемой области /)сС. В литературе решения уравнения (1) принято говорить А-аналитическими функциями.
Пусть А -антианалитическая, дА = 0 в области Б а С такая, что А (г)|< С < 1, У г е Б. Положим
Бл = А_ А (2 )А, Ба = А_ А (г )!■ .
дг д г д 2 дг
Тогда согласно (1) класс А _ аналитических функций / е (Б) характеризуется тем, что БА/ = 0.
Пусть функция / е Оа (0 <|^(г,а)< Я), 0 < Я, и в некоторой
проколотой окрестности а и не обращается нулю. Мы назовем А (г) логарифмическим вычетом в точке а А (г) - аналитический функции / (г) вычет логарифмической производной
д/ (--)
dz
f (z)
( dz + A (z) dz) = dLnf (z)
(2)
в точке a. Можно показать, что
df dz + — dz \dz dz
f ( z )
1 (df , Adf^ —dz + A—dz \dz dz
f(z)
4 (Ьп/ ( г))
д/ (г)
= -^г ( & + А ( г) £).
Пусть <е С является нулем порядка п - аналитической
функции / (г). Тогда в некоторой окрестности А (г) - лемнискаты Ь (а, г)
имеем /(г) = ^(г,а)"И(г), где И(г)еО^,(Б), И(а)^0. Поэтому в А(г) -лемнискате Ь (а, г)
д/ (г) дИ (г)
(3)
dz _
n
+ ■
dz
f (z) y/(z, a) h (z)
Если Ье С полюс функции /(2) порядка т, то имеем
У (^) = —^ ( )—, где g (г) е 0А (Б), g(Ь) ф да. Поэтому в А (г) - лемнискате ¥п ( г, Ь )
Ь ( Ь, г )
У (г)
дг = дг т (4)
Теорема 1. [1] Пусть функция У (г) А (г) - мероморфна в области Б с и О сс Б - область, граница дG которой является непрерывной кривой, пусть еще дО не содержит ни нулей, ни полюсов А (г) - аналитической
функции У (г). Тогда имеет место равенство
* -р=+А(*и, (5)
где N и Р соответственно число нулей и число полюсов функции У (г) в области О и дО -ориентированная граница.
Теорема 2. [1] (аналог принципа аргумента). Пусть функция /(г) Л(г)~
мероморфна в области ])сС и Ссс!)-область, граница дО которой является непрерывной кривой, пусть еще дО не содержит ни нулей, ни полюсов А (г) - аналитической функции У (г). Тогда
N - Р = ^ ЬдсРгУ (,
дО -ориентированная граница.
Используя доказанный принцип аргумента аналогично классическому случае получается следующее утверждение.
Теорема 3.[6] (аналог теоремы Руше). Пусть функции У (г) и
g (г) голоморфны в замкнутой области О с непрерывной границей дО и пусть
(2)|>^(•*)| для всех гедО.
(6)
Тогда функции /(г) и /(г)ч^(г) имеют в в одинаковое число нулей.
Для простоты будем предполагать, что коэффициенты исследуемого многочлена
f (Z ) = a0 Z" + a Z"1 +... + an
(7)
(Здесь Z = z - a + J A(r)d(r) )
У ( a, z )
Действительные числа и что . Имеет место
Теорема 4 (аналог теоремы Гурвитц). Для того чтобы все корни многочлена (7) с действительные коэффициентами ак (а0 > имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств:
д = a > о,
Dn =
a
a.
an
a.,
D2 =
0 a
a ar
a3 a2
>0
D3 =
a a0 0
a a a
aaa
> 0,...,
a2n-1 a2n-2 a2n-3 ... an
> 0.
REFERENCES
1. Sadullayev A., Jabborov N. M. On a class of A-analytic functions. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., Volume 9. Issue 3. 2016, 374-383 p.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного, М. Физматгиз, 1958г.
3. Ahlfors L. Lectures on quasiconformal mappings, Toronto-New York-London, 1966, 133 pp.
4.Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции, М., «Наука», 1988, 512 с.
5. G.M.Goluzin.Geometricheskaya teoriya funksiy kompleksnogo premennogo, «Наука», 1996,426 c
6.Тишабоев Ж.К., Отабоев Т.У.,Хурсанов Ш. Вычет и принцип аргумента для A (z) - аналитической функции.
