ИНТЕГРАЛ ШНИРЕЛЬМАНА И АНАЛОГ ИНТЕГРАЛВНОЙ ТЕОРЕМЫ КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 3.

УДК 511 DOI 0.22405/2226-8383-2020-21-3-39-58

Интеграл Шнирельмана и аналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полей1

С. В. Востоков, Т. Ю. Шашков, С. С. Афанасьева

Сергей Владимирович Востоков — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: s.vostokov@spbu.ru

Тимофей Юрьевич Шашков — Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: 7197163@mail.ru

Софья Сергеевна Афанасьева — кандидат физико-математических наук, инженер-исследователь, Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: sonya.afan@gmail.com

Аннотация

Задача работы возникла из потребности исследования связей между теорией полей алгебраических чисел и теорией функций. Один из самых фундаментальных и классических результатов из комплексного анализа «Интегральная теорема Коши» имеет дискретный аналог для случая одномерных локальных полей. Следовательно, возникает естественный вопрос можно ли обобщить аналог Интегральной теоремы Коши на случай двумерных полей. Данная работа отвечает на поставленный вопрос, обобщая интеграла Шнирельмана и доказывая аналог интегральной теоремы Коши. Как следствие, получена связь между символом Гильберта и интегралом Шнирельмана.

Ключевые слова: Интеграл Шнирельмана, аналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полей.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

С. В. Востоков, Т. Ю. Шашков, С. С. Афанасьева. Интеграл Шнирельмана и аналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полей // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 39-58.

1 Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10200).

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.

UDC 511

DOI 0.22405/2226-8383-2020-21-3-39-58

Schnirelmann's integral and analogy of Cauchy integral theorem

for two-dimensional local fields

S. V. Vostokov, T. Yu. Shashkov, S. S. Afanas'eva

Sergey Vladimirovich Vostokov — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Saint Petersburg State University (Saint-Petersburg). e-mail: s.vostokov@sphu.ru

Timofei Yurievich Shashkov — Saint Petersburg State University (Saint-Petersburg). e-mail: 7197163@mail.ru

Sofya Sergeevna Afanas'eva — Saint Petersburg State University (Saint-Petersburg). e-mail: sonya.afan@gmail.com

The problem studied in the thesis arose from the need to find connections between algebraic field theory and theory of functions. The Cauchy integral theorem, which is one of the most basic and classical results of the complex analysis, has a discrete analog in the case of one-dimensional local fields. The natural question then arises whether it is possible to generalize the same result to two-dimensional local fields. The present paper contains the definition of Schnirelmann's integral and the proof of an analog of Cauchy's integral theorem for two-dimensional local fields. As a consequence, links between the Hilbert symbol and Schnirelmann's integral are established.

Keywords: Schnirelmann's integral, analog of Cauchy's integral theorem for two-dimensional local fields.

Bibliography: 15 titles. For citation:

S. V. Vostokov, T. Yu. Shashkov, S. S. Afanas'eva, 2020, "Schnirelmann's integral and analogy of Cauchy integral theorem for two-dimensional local fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 39-58.

1. Введение

Одной из центральных тем в алгебраической теории чисел является закон взаимности для локальных полей и его приложения. Первый результат в этом направлении был получен Л. Эйлером и К. Гауссом, известный как квадратичный закон взаимности, связывающий символы Лежандра нечетных простых чисел:

Для конечных расширений поля ^адических чисел (обозначим такое поле через Е) и сравнений произвольной степени, было получено обобщение квадратичного закона взаимности (начало 20-го века), связывающее произведение степенных вычетов с символами Гильберта:

Abstract

где p,q — нечетные простые числа, а

символы Лежандра.

(|) (= П (f).

где ( — ) — символ Гильб ерта, а а, Р — ненулевые элементы рассматриваемого поля.

V ^ / п

Первоначальное определение символа Гильберта было достаточно сложным и возникла потребность в нахождении альтернативного способа (явной формулы) для подсчета символа Гильберта. В 1950 г. в мультипликативной группе локального поля, содержащего все корни рп-ой степени из единицы, И. Р. Шафаревичем (см.[15]) был построен базис, который оказался удобным для вычисления символа Гильберта. Окончательная формула была получена в 1978 году С. В. Востоковым (см. [5]), что повлекло за собой массу различных приложений.

Нахождение явной формулы для символа Гильберта оказалось существенным этапом в развитии конструктивной теории полей классов для локальных полей (конечных расширений поля р-адических чисел).

Помимо этого, можно изучать теорию полей классов для формальных модулей (модулей, построенных на максимальном идеале локального поля с помощью формального группового закона). Важным объектом здесь выступают эллиптические кривые, на которых можно завести структуру абелевой группы. В свою очередь, эллиптические кривые сыграли ключевую роль в доказательстве Великой теоремы Ферма.

1.1. Связь между законом взаимности и интегральной теоремой Коши

Один из самых важных результатов теории комплексного анализа — Интегральная теорема Коши, связывающая контурный интеграл мероморфной функции с ее вычетами. Для одномерных локальных полей нулевой характеристики можно определить аналог контурного интеграла (интеграл Шнирельмана), для которого будет верна формулировка теоремы Коши. Аналог этой теоремы для одномерных локальных полей был доказан C.B. Востоковым и М. А. Ивановым в работе [8]. Это позволило, в свою очередь, найти связь между интегралом Шнирельмана и символом Гильберта и, как следствие, получить альтернативный вариант явной формулы для символа Гильберта.

Таким образом существует аналогия между объектами дискретной и непрерывной природы, что позволяет глубже понимать суть вещей и комбинировать методы разной природы для решения задач.

Возникает естественный вопрос о том возможно ли обобщение вышеперечисленных результатов, связанных с интегралом Шнирельмана, с одномерного случая на многомерный. Оказывается, для двумерных полей ответ положительный, и задача этой работы как раз заключается в исследовании интеграла Шнирельмана и его свойств для двумерных локальных полей характеристики 0.

Целью настоящей работы является обобщение результатов, связанных с интегралом Шни-

0

мерных локальных полей нулевой характеристики. В этой работе обобщено понятие интеграла Шнирельмана для полей указанного вида и доказан аналог интегральной теоремы Коши для двумерных полей. Как следствие интегральной теоремы Коши, была получена связь между интегралом Шнирельмана и символом Гильберта (рассматриваются поля вида К = Е{{£}})•

2. Обозначения и предварительные сведения

2.1. Многомерные локальные поля

Локальная теория полей классов развивается и для многомерных локальных полей (см. [12,

3, 4] и [14]).

Определение 1. Поле К будем называть n-мерным локальным полем,, если задана, цепочка, полей К = кп, кп-\,... ,к\,ко, где ki+i — полное дискретно нормированное поле с полем вычетов ki, а k0 ^ конечное поле.

Иногда предполагается, что ко — совершенное поле простой характеристики. В работе будем предполагать, что К — двумерное локальное поле характеристики 0, а Е — конечное расширение поля ^адических чисел Qp.

Введем основные обозначения, которые будут использоваться в работе дальше. Пусть ( — корень из единицы степени q = рт (для результатов, связанных с символом Гильберта, будем дополнительно требовать, чтобы ( был элементом поля К).

v = (yi,v2) : К * —> Z ® Z — дискретное нормирование ранга 2 (см. [10]). Будем считать, что на группе Z ® Z задан лексикографический порядок: (ii, 12) < (ji,]2) если и только если либо ii < ji либо ii = ji, i2 < ]2. Для упрощения записей в работе периодически двумерный

0 0 (0, 0) ь*е — дискретное нормирование на Е.

Ок — кольцо целых многомерного локального поля К, то есть множество {х £ К : v(х) > > 0}.

Ка19 — алгебраическое замыкание локального поля К. Ка1я — пополнение алгебраического замыкания локального поля К.

| • — ^адическая норма (а точнее одна из класса эквивалентности), а vp — р-адический показатель.

Пусть ko,ki,k2 — последовательность полей:

т ко — конечное поле,

• ki-i — поле вычетов для ki, ki — полное дискретно нормироваиное поле, г = 1, 2,

• к2 = К.

ti ,t2 — система локальных параметров к, т.е. t2 — простой элемент поля К, v(ti) = (0,1).

Иногда простой элемент поля К будем обозначать через ■к (традиционно он так обозначается в случае одномерных локальных полей).

2.2. Классификация многомерных локальных полей

Для полного дискретно нормированного поля Е положим

Г+те ■ 1

Е№}} = S У^ aiii|ai £ Е, inf иЕ(щ) > —ж, lim иЕ(ai) = > .

I

Для многомерных локальных полей известна следующая классификационная теорема (Паршин А.Н., [12]).

Теорема 1. Пусть п > 2. Тогда, любое n-мерное локальное поле либо изоморфно полю Fg((ti))((t2))...((tn)), либо изоморфно полю вида k((ti))..((tn-i)), либо является подполем в поле k{{ti}}...{{ti-i}}((ti+i))...((tn))^де k — конечное расширение поля р-адических чисел, а, q ............... степень простого числа, р.

Мы будем работать с двумерными локальными полями характеристики 0, поэтому нам достаточно будет рассматривать случаи К = Е{{£}} и К = E((t)), где Е — конечное расширение Qp а также их подполя. На самом деле достаточно рассматривать только первые 2 случая, поскольку топология подполя будет индуцированной и все утверждения про сходимость после сужения сохранятся.

Нормирование для полей вида К = Е{{i}} устроено следующим образом: пусть х = = ++=°—оо е тогда v(ж) равно двумерному вектору (v\(x),v2(x)) где v\(x) = = mmieZ(vE(ai)), v2(x) = min{^e(ai) = vi(x)}.

Для поля К = E((t)) нормирование устроено так: для х = ^ aitг выполнено

к=—т

v(х) = (v\(х),и2(х)), где v\(x) — минимальное г, для которого ai = 0 v2(x) = ve(aUl(x))-

2.3. Символ Гильберта

Для п-мерного локального поля К существует канонический гомоморфизм

ф : К™ (К) 0&\(КаЪ/К),

где К,^(К) — 1^-функтор Милнора (см.[13, 11]), КаЬ — максимальное абелево расширение поля X. Предположим, что поле К содержит группу ^ корней степени ц из единицы.

Символ Гильберта, играющий ключевую роль в локальной теории полей классов и связывающий последнюю с теорией Куммера, может быть определен следующим образом:

(■, ■), (К)/К?(КУ , ({аь...,ап),Р )я = ^ ^

[]

ном виде построено мультипликативное по всем аргументам, кососимметричное отображение Г : К * х ... х К * —> ^д, с помощью которого можно задать непрерывное и невырожденное спаривание

(•, -)р : (К )/К% (К) х К */К *« ц,д (х, у)Г = Г( ах,..., ап, у).

Спаривание (■, -)г совпадает с символом Гильберта, а значит задает его в явном виде.

Этот результат позволяет независимо строить теорию полей классов многомерного локально поля, а также будет использоваться в настоящей работе. Г

Г( аъ...,ап) = ,

где ^ — оператор следа в подполе инерции Т толя а ряды Ф и будут описаны ниже.

В настоящей работе мы будем рассматривать случай К = Е{{£}}• Опишем ряды Ф и в этом случае. Т изоморфно полю частных кольца векторов Витта Ш(ко). От — кольцо целых поля Т. Я = От {{Щ.

д _ автоморфизм Фробениуса.

Пусть к — простой элемент, разложим ( как ряд по к с коэффициентами из Я. Тогда можно определить соответствующий ряд г(Х) из Я((Х)). Для удобства будем обозначать элементы К * и соответствующие ряды с коэффициентами из Я одной буквой. В кольце Я{{Х}} оператор Д действует та переменные tl, Х как возведение в р-ю степень, а на коэффициенты как обычный автоморфизм Фробениуса в подполе инерции.

Обозначим через s(X) ряд s(X) = z(X)q — 1. Для любого а из R{{X}} корректно задан (см.[6]) ряд

1(a) = 1 log(ap-A) Р

со значениями в R{{X}}. Далее, для ряда а введем следующие обозначения:

да . „

Oi(a) = а ——, где г = 1,2

Oti

д

т(о>) = 5i(a) — Q^Ka), где i = 1,2.

Для элементов ai,a2, аз из К * ряд Ф определяется следующим образом

Ф(а\,а2, аз) = l(a\)Di — l(a2)D2 + 1(аз)Из,

где

Di =det №а2) ,D2 = det (Sl(ai\ ,Бз = det (5xl(ai) .

\Vi(®3) т(аз)) хт(®з) т(аз)) \0i(a2) д2(а2) J

3. Вспомогательные топологические свойства двумерных локальных полей

Прежде, чем формулировать и доказывать интегральную теорему Коши необходимо будет зафиксировать несколько важных топологических свойств К и определить интеграл Шни-рельмана для двумерных локальных полей.

3.1. Топология двумерных локальных полей и базовые окрестности 0 для полей Е{{¿}} и Е((i))

Прежде всего напомним, как устроена база окрестностей 0 тол я К.

Пусть Vi — база окрестностей 0 в поле Е (можно считать, что Vi = {х £ Е : (х) > ш{}), где mi — целое и ли —те (что соответствует случаю, когда окрестность совпадает со всем полем Е).

2

Случай 1. К = ^{{¿}}

База окрестностей нуля в рассматриваемом случае определяется так (m. [1], [7]): Пусть {Vi}i£Z — последовательность базовых окрестностей 0 в Е такая, что:

1. Существует число с £ Z такое, что множество {х £ Е : (х) > с} лежит в Vi для всех целых г.

2. Для любого целого I £ Z множество {х £ Е : vE(х) > 1} лежит в Vi для достаточно больших г.

Пусть Uvi = {X] bit1 : bi £ Vi}. Тогда все множества Uvi образуют базу окрестностей 0 в К.

Случай 2. К = E((t)) [ ] [ ]

Как и в случае К = Е{{i}} предполагаем, что Vi — база окрестностей нуля в поле Е, но на этот раз немного с другими условиями:

1. Vj-i С Vj для любого целого j.

2. Vj = Е для достаточно больших j .

Как и в первом случае, точки базовой окрестности будут иметь вид ^ где ai GVi. Топология для подполей — индуцированная топология.

Для двумерных локальных полей верны следующие утверждения (m. [1], например): Предложение 1. Пусть К — двумерное локальное поле. Тогда

1. К — полное топологическое пространство.

2. Умножение на ненулевую константу — гомеоморфизм.

3. Сложение — непрерывная операция, а умножение — секвенциально непрерывная, то есть если ап ^ а, а, Ьп ^ Ь, то тогда апЬп ^ ab и, кром,е того, если Ьп,Ь = 0; то

Ъп ^ ь-

On , а к ' к •

Лемма 1. Пусть К — двумерное локальное поле (вида, Е{{£}} или Е((Ь))), где Е — конечное расширение Qp, ап последовательность элементов из К, х € К. Тогда

1. если V(х) > 0, то последовательность хп стремится к нулю при п ^

2. если ап ^ 0 при п ^ а Ьп ограниченная последоват,ельност,ь элементов из Е, (то есть такая, что последоват,ельност,ь чисел VE(Ьп) ограничена снизу конечным, целым числом), то последовательность апЬп ^ 0 при п ^

3. Пусть ряд ап сходится и аi = ^ аiíktk ■ Тогда ^ ап = ^ (^ а^)

п=0 к=-<х п=0 к=—ж í=0

(в случае К = Е((Ъ)) считаем, ч,т,о почти все коэффициенты при отрицательных сте-0)

4- Если ап ^ 0 при п ^ то ряд ^ ап сходит,ся.

п=о

Доказательство. Первый случай: К = Е{Щ}. Докажем сначала первое утверждение леммы.

Пусть — базовая окрестность нуля. Нужно показать, что существует N > 0 такое, что хп € для любого п > N. Разберем 2 случая:

1. vl(х) > 0 (х = ^ а^г,где ш1п(VE(а¿)) > 0, v(х) = (vl(х), V2(х))).

г=—гх

Тогда Vl(хn) = пVI(х) > п. Поскольку по первому свойству существует п, что все коэффициенты лежат вУ^хп € для достаточно больших п, а это то, что нужно.

2. Vl(х) = 0 V2(х) > 0. Тогда элемент х можно представить в виде

0

х = ■ ^ + ё ^ ,

3=-Ж ¿=0

где г > 0, с0 = 0, ^ и с^ € Ое (т.е. VE(Ь^) > 0 и VE(с^) > ^ак - простой элемент.

По свойству 1 базы окрестности существует к € ^ такое, что для любого целого ] множество {х : VE (х) > к} лежит в ^-.Поскольку VE (а{) ^ при г ^ —ж, то существует целое число Мх, что VE(ат) > к для любого т < М^ Считаем для удобства, что Мх < 0.

х

Мх 0

^ а# = ^ а# + ^ а# + ^ а#.

г=-<х г=-<х г=Мх+1 г=1

Поскольку для любого целого числа г нормирование ь*е(&г) > 0, нетрудно понять, что после раскрытия скобок (при возведении в степень п суммы вида (а + Ь + с), где а соответствует первому ряду разбиения, Ь — второму и с — третьему) слагаемые, которые содержат множитель а будут, очевидно, лежать в множестве (так как их первая координата нормирования будет хотя бы к).

Значит из замкнутости относительно суммы достаточно проверять наше утверждение в предположении, что а = 0.

Таким образом можно считать, что

0

Е - ■

3=-т з=0

X = ■к > Ьу # + Сз V,

где г > 0, с0 = 0, Ъ^, с^ € Ое для любо го ^т целое неотрицательное число.

По второму свойству определения базовых окрестностей {х € Е : ь*е(х) > 0} С и^ для достаточно больших ] (больших, скажем, числа М').

Пусть М — натуральное число, боль шее, чем к(г+т)+м _

Возьмем п > М. После раскрытия скобок (Ь + с)п у нас получится сумма слагаемых вида Ь1 сп-1, где 0 < I < п. Покажем, что каждое слагаемое лежит в рассматриваемой базовой окрестности 0. Заметим, что если I > к, тогда это верно по выбору к. Значит достаточно доказывать это для I < к.

Пусть Ь1 сп-1 = Sj ^'.Покажем, что Sj = 0 для любо го в < М'. Ясно, что этого будет достаточно по выбору М'.

0

не меньше, чем —т1 + г(п — I). Оценим это число снизу:

—т1 + г(п — 1) = гп — 1(г + т) > гМ — к (г + т) > к (г + т) + М' — к (г + т) = М'.

Значит действительно = 0 для любо го ] < М'.

Отсюда действительно следует, что хп лежит в базовой окрестности 0 для любого п > М. Значит по определению предела хп ^ 0 при п ^ при V(х) > 0. Первое утверждение леммы для случая К = ^{{¿}} доказано. Докажем второе утверждение:

те

Пусть последовательность рядов ап = ^ сходится к 0. Также рассмотрим —

г=-<х

окрестность 0, где ^ = {х € Е : ь*е(х) > т^}. Попятно, что для достаточно больших п ап,г € {х : ь*е(х) > т,г — с}, где с такое целое число, что ь*е(Ьп) > с. Тогда уе(ап,гЬп) > Ш для больших п. Отсюда сразу следует, что апЬп попало в базовую окрестность, а значит есть 0

Докажем утверждение 3. Поскольку ряд сходится, то существует последовательность Ьг € Е, такая, что ^ ап = ^ Ькё.

п=0 к=—ж

Покажем, что Ьк = ^ аг,к для любого целого к.

г=0

Заметим, что из сходимости ряда следует, что для любой окрестности нуля и в поле Е

п

элемент Ьк — ^ аг,к лежит в и для достаточно больших п и любого к. Это значит, что Ьк — í=0

предел частичных сумм ряда а^ по i. Тогда по определению суммы ряда получаем требуемое, что и доказывает утверждение 3.

Наконец, докажем 4-е утверждение.

Поскольку К — полное топологическое пространство (см. предложение 1), достаточно проверить сходимость ряда в себе.

Фиксируем окрестность Uy¿. Поскольку ап ^ 0 сразу получаем, что ап € Uv,¿- Тогда из замкнутости базовых окрестностей относительно сложения тоже верно и для конечных сумм, то есть сходимость в себе есть, а, следовательно, и сходимость ряда. Таким образом в случае К = Е{{í}} лемма полностью доказана. Теперь второй случай: К = Е((t)). Докажем утверждение 1. Фиксируем базовую окрестность нуля Uví-

1. Пусть и\(х) > 0. Тогда х = tm ^ aktk, где т > 0, тогда ясно, что для любого натураль-

к=0

ного п первые п — 1 коэффициентов ряда от t для хп равны 0 (и, следовательно, лежат в Uj), тогда для больших п будет верна импликация: bi = 0 => Ui = Е (где хп = ^ bit1). Значит хп

п

2. Пусть и\(х) = 0. Значит х = а0 + tm a'ktk^p,e т > 0 и ue(а0) > 0.

к=0

Дальнейшие рассуждения проводятся как в первом случае. Пункты 2 — 4 утверждения доказываются абсолютно аналогично. □

3.2. Равномерная сходимость и ее свойства

Еще два естественных аналитических понятия пригодятся для осуществления предельных переходов в доказательстве теоремы Коши:

Определение 2. Будем говорить, что последовательность функций fm(X) равномерно сходится к f(X) на множесmee S, если для любой U — окрестности 0 существует число М е N такое, что для, любого элемента х € S (fm — f )(х) <Е U для любого целого т > М.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность функций fm(X) равномерно

S U

М е N такое, что для любого элемента х € S (fm — fп)(х) € U и для, любых целых чисел т,п > М.

Если последовательность функций fm(X) равномерно сходится к f(X), будем писать fm(X) ^ f(X).

Замечание 1. Равномерную сходимость достаточно проверять на базовых окрестностях.

Сформулируем еще одно несложное, но полезное утверждение, которое будет использоваться в доказательстве основной теоремы:

Утверждение 1. Пусть дана последовательность функций fm(X) и функция f(X); т,акие, что fm(X) ^ f (X) на множестве {х : и(х — х0) = v(r)},

и функция д(х) такая, что д(х) € Е для любого х и и(д(х)) — конечное число, не зависящее от, х, для, всех х из {х : и(х — х0) = v(г)}. Тогда fm(X)g(X) ^ f (X)g(X) на множестве {х : и(х — х0) = v(r)}.

Доказательство. Не умаляя общности можем считать, что V(д(х)) = 0 для всех х (иначе поделим на константу, которая никак не влияет на сходимость). Кроме того, для удобства будем считать, что Х0 = 0 и /(Х) = 0.

Первый случай: К = Е{{£}}•

Нужно показать, что для любой окрестности нуля существует целое М, что /т(X) д(Х) € для любого т > М. Такое свойство верно для последовательности /т(Х). Если VI = {х € Е : (х) > а,г}, где сц — какое-то целое число, а г^ — нормирование в Е, то тогда умножение на любой элемент д(х) не выводит /т(Х) д(Х) за пределы окрестности (поскольку для любого х — это элемент из Е с нормированием, равным 0). Отсюда получается, что требуемое свойство выполнены и для последовательности /т(Х) д(Х).

Случай, когда К = Е((£)) разбирается точно так же.

Значит домножение па функции такого вида сохраняют равномерную сходимость. □

Замечание 2. Условие утверждения можно ослабить, предполагая равномерную ограниченность д(х) на, множестве {ж|и(х — х0) = и(х)} и т^буя по-прежнему, чтобы д(х) € Е для, всех х.

Сформулируем еще одно интересное и важное свойство равномерной сходимости рядов.

Предложение 2. Пусть последовательность функций /т(Х) ^ /(Х) на множестве г{х € Е : иЕ(х) = 0} (все элементы домножаются на, г), где элементы г, а € К, причем и( а) = и(г).

Тогда,

/ т(Х) ^ /(Х)

(Х — а) (Х — а)'

Доказательство. Пусть К = Е{{£}}.

Во-первых можно считать, что г = 1 (иначе поделим на г). Тогда х € Е и и(х) = 0. Первый случай: V(а) > 0.

Рассмотрим базовую окрестность нуля Не умаляя общности можно считать, что Уг возрастающая последовательность.

Перепишем разность последовательностей:

(Х'—Г) — (ХгРй) = (хЪ) (иХ) — /(Х» = ^(иХ >— /(Х»

Первый множитель, очевидно, не влияет на равномерную сходимость, можно его дальше не рассматривать.

Нетрудно понять, что

1 ( а\ ^ О3!) = ^

Действительно, ^ ($) (1 — $) = 1 — ($ )т+1. Тогда из свойства 3 предложения 1 и утвержде-

т

, х ) (1 — х ) = 1 — ($

3=0

ния 1 леммы 1 следует нужное равенство.

Покажем, что _а ) (/т(Х) — /(Х)) стремится к 0 равномерно. Пусть

¿к „п

/т(Х) — /(Х) = £ /т,к(Хк, &ап = ап^к.

к=_<х к=_<х

Пусть х € Е, ь*е(х) = 0.

Перепишем а) ((¡т — /)(%)) следующим образом:

Е ^М (Е (%) ) = Е а- (*»' (ЕЕ От • >к I =

к=-гх ' \3=0 / \к=—ж ' \к=—<х ]=0

+<х I к \

= Е ( Е ^ Е^) *к

к=—ж j=0 1

Здесь мы воспользовались утверждением 3 из леммы 1.

Поскольку /т(X) ^ /(X) существует такое натуральное М, что для любого т > М, любого целого к и любого х (из рассматриваемого множества) ¡т,к (х) € Ук-

Докажем, что — € иу, для любо го х и целого т > М. Для этого достаточно

х к

к

Е (х) Е ^Х— €У

х]

3=0

Ясно, что достаточно показать, что (х) ^ ; € Ук, но это очевидно, поскольку

V Е (^Р) > 0 ' " '

Второй случай: и(а) < 0. Действуем так же, как и в первом случае:

/т(Х) /(X) 1 ^ 1 1

(ЫХ) — /(х)) = —--—(их) — /(х)).

(X — а) (X — а) (X — а (1 — £)

Далее, проводя рассуждения как в первом случае, можно доказать равномерную сходимость.

Пусть К = Е (^)), и (а) > 0.

Тогда а = ^ ак1к. к=0

Как и в первом случае распишем разность:

X) ДX) 1 ,, „„.. 1 1

(X — а) (X — а) (X — а)( ^) — ^ » = X (Г—*)(^) — ^)У

Опять же первый множитель не влияет на равномерную сходимость.

Разность а) (/т(х) — /(х)) можно переписать в виде

Е ^к(х)'к (Е(хУ) = Е ^к(х)гк (£(х)'

к=—<х ) \]=0 ) \к=—<х ) у.?=0

Е (х)1 к (ЕЕ^)^

к=—<х ) у=0 i=0

Заметим, что существует целое п и целое М, что для любого т > М любого х из рассматриваемого множества и любого N < п выполнен о /т,м (х) = 0. Действительно, пусть не так. Тогда диагональным методом можно построить базовую окрестность, в которую не попадет никакой элемент из последовательности (для некоторых элементов), что будет противоречить равномерной сходимости.

Таким образом можно было с самого начала считать, что для всех т,к < п и х имеет место /т,к(х) = 0.

Тогда ясно из равномерной сходимости, что для наперед заданного числа к существует М, что при т > М в разложении ряда а) (/т(х) — /(х)) все коэффициенты при всех степенях, 0

Случай V(а) < 0 разбирается аналогично.

□

Важным частным случаем равномерной сходимости, который нам пригодится в дальнейшем будет являться равномерная сходимость степенного ряда на множестве. В следующем подпункте будет доказано 2 важных результата, которые будут ключевыми в доказательстве интегральной теоремы Коши.

3.3. Равномерная сходимость рядов

Предложение 3. Пусть ряд ^ (ц, где (ц € К сходится. Тогда степенной ряд ^2 (цхг

3=0 3=0

сходится, равномерно на множестве {х € Е : иЕ(х) = 0}.

Доказательство. Будем, как обычно, считать, что К = Е{{£}} (случай К = Е((1)) разбирается аналогично)

Заметим, что такой степенной ряд сходится поточечно.

Пусть ап = ¿2

к=_<х

Согласно утверждению 1 предложения 1 К — полное топологическое пространство, значит достаточно проверять сходимость последовательности частичных сумм в себе. Как обычно, зафиксируем окрестность иу1- Заметим, что последовательность частичных сумм изначального ряда также сходится в себе, а значит ап ^ 0 при п ^ Таким образом, существует М,

*п -

к=_<х

п > т > М. Тогда имеем:

п п

такое, что ап = ^2 ап,к^к лежит в иу1 для любого п > М, то есть ап,к € У,. Пусть теперь

^2 аЗх3 Чг&)?

3=т г=_<х> з=т

Поскольку € V] для любого ] и г > М, и, кроме того, х3 € Е и иЕ(х) = 0 для любого

п

] € 2, получаем, что ^2 а^х3 € У^.

3=т

Значит ряд сходится в себе, и следовательно сходится поточечно.

Проверим равномерную сходимость ряда па рассматриваемом множестве (с теми же •) и М.

По утверждению 3 леммы 1 имеем:

х1) .

у^ щхг = о ^

п=0 к=_<х г=0

Докажем, что ^2 аг,кхг € для любого целого к и любого натурального п > М. Это сразу =0

видно для а^кхг. Раз это верно для каждого слагаемого, то, разумеется, и для суммы ряда.

Значит по определению равномерной сходимости наш ряд сходится равномерно на множестве {х : х € Е, иЕ(х) = 0} □

Следствие 1. Пусть ряд ^ (цхг сходится, для, какого-то х0 вида, гд0, где г € К и не

=0

равен 0, а, д0 € Е, причем иЕ(Я0) = 0. Тогда ^ (цхг сходит,ся, равномерно на множестве

=0

{х : х = гд,д € Е} (на, множестве представимых в таком виде элементов).

Доказательство. Пусть ^ = (цхг0- Тогда ряд ^ ^ сходится. Следовательно, по предложе-

=0

нию 3 ряд ^ Ь1Хг равномерно сходится на множестве {х € Е : иЕ(х) = 0}. Перепишем ряд =0

^ через Ь =0

+ ^ + ^ / \ i +оо

х \ I. I ч

— /

+ Ж / Kl S \1

^== SНi) ■

i=0 i=0 4 ' i=0

Отсюда ясно, что ^ aiX1 сходится равномерно на рассматриваемом множестве, что и тре-i=0

бовалось доказать. □

4. Определение интеграла Шнирельмана

Определение 4. Последовательность многочленов g\(X), ■■■,дп(Х),■■■■ € Z[X] называется допустимой, если

1. Для, любого j многочлен gj (X) не имеет кратных корней в Qplg.

2. gj(X) = Хп + cj)1Xni'1 + ... + Cj,ßXп> + со, где cjti и со € Z.

3. \rij\р = 1. I v(со) = 0.

5. nj — nj,\ ^ при j ^

6. nj,ß ^ при j ^ +ГО.

Определение 5. Интеграл Шнирельмана функции /(Х) : и ^ Ка1а (и — какое-то подмножество Ка1а) с центром в х0 € Ка1а и радиусом, г € Ка1а по определению равен

f(x)= lim — f(xo + г ai),

Jxn,r,g ,, „ nj

' * 9] (аг)=0

где сходимость понимается в смысле топологии двумерного локального поля,

а щ — корни многочлена д^ (их ровно п^ в силу того, что многочлен рассматривается

)

т.е. не зависят

)

руема на множестве {х : и(х — х0) = ь'(г)}, если интеграл в круге с центром в х0 и радиуса, от, выбора подходящей последовательности многочленов д^ (Х).

Замечания 1. 1. Это определение действительно обобщает, интеграл Шнирельмана, для одномерного случая (определение для одномерных локальных полей см. в [<§]).

2. Мы рассматриваем такой интеграл, только при условии, что многочлен ¡(X) задан, в соответствующих точках и предел, определен.

3. В этих определениях нигде, по существу, не использовался вид двумерного локального поля, поэтому определение годится для, произвольного двумерного локального поля. Более того, дословно так же можно определить интеграл Шнирельмана для произволь-

п

полученных ниже результатов для произвольных многомерных полей.

4- Из определения допустимой последовательности многочленов сразу следует,, что и(аг) =0 для всех г.

Действительно, если и(аг) > 0, то u(gj(щ)) = и(С0) = 0 что не верно.

Если же V(а^ < 0, то нетрудны проверка показывает,, что V(д^(щ)) = п^и(аг) < 0. Снова, приходим к противоречию.

Таким, образом, единственный вариант, это и(аг) = 0.

5. Простейшие свойства интеграла

Перед доказательством основной теоремы этой работы сформулируем и докажем несколько простых, но важных свойств интеграла.

Будем использовать те же обозначения, что и в предыдущем пункте. Будем считать, что К = Е{{i}} или К = E((t)).

Свойство 1. Интеграл линеен, то есть для любых функций f(x), g(x) и элемента поля с L IX0,г,9 (f(x)+9(x)) = fX0,r,a f(x) + L0,r,g 9(x)-2- L0,r,g C f (x^=CLo,r,g f(x)-

Доказательство. Следует из линейности предела. □

Свойство 2. Пусть fm(X) — последовательность интегрируемых на, множестве {x : u(x — x0) = v(r)} функций, и последовател ьность fm(X) сходит,ся равном,ер но на, {x : u(x — — x0) = v(r)} к функции f(X), которая тоже интегрируема на, этом множестве. Тогда,

/ frn(x) ^ / f(x).

Jxo,r,g Jx0,r,g

Доказательство. Прежде всего можно считать f(X) = 0 (линейность интеграла), а точку x0 = 0.

Пусть Uvi — базовая окрестность нуля. Нужно показать, что существует целое М такое, ЧТ0 Jorg frn(x) G Uv4 для любо ГО т > М.

fm(x) = lim V —fm(r ai).

Jo,r,g f—< Hj

' 9j(ai)=0

Множитель г не зависит от j и т и не влияет та сходимость к 0, поэтому его можно не учитывать. Пусть Vi = {x G Е : ve(x) > ai} где ai — какое-то целое число, а ve — нормирование в Е. Ясно, что и(^) = 0 и если fm(x) G Uvi для любого x G {x : u(x) = v(r)} (здесь пользуемся равномерной сходимостью функций), то Ylgj(ai)=o fm(rai) G Uv¡- Тогда и

интеграл J'org fm(x) тоже лежит в этой окрестности. Значит последовательность интегралов

□

тельно требовать. Она следует, из равномерной сходимости интегрируемы,х функций автоматически.

Доказательство. Считаем, как обычно, xo = 0. Заметим, что последовательность иптегра-лов fo rg fm(x) сходится. Действительно, фиксируем базовую окрестность нуля U и воспользуемся тем, что последовательность fm равномерно сходится в себе. Тогда ясно, что домножение

на П" и взятие суммы не нарушает это свойство. Отсюда несложно вывести, что последователь-nj

ность интегралов равномерно сходится в себе. Тогда из полноты рассматриваемой топологии последовательность интегралов сходится.

lim У — f( г ai) = lim fm(X),

t^ n nj n^+'xJo,r,g

g(ai)=0 □

Далее в работе будут сформулированы и доказаны 2 результата — аналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полей и связь между интегралом Шнирельмана и символом Гильберта.

6. Интегральная теорема Коши для двумерных локальных полей

Зафиксируем элементы Х0,г € К.

Теорема 2. Пусть Р(Х) € К[[Х]] сходится на множестве {х : V(х — х0) > ^(г)}, а многочлен Q(X) € К[Х] не имеет корней на множестве {х : и(х — х0) = ь'(г)}. Тогда:

1. /хо гд щХ) корректен не зависит, от, последовательности допустиммх многочленов д^.

2. IХ0 г д щХХ) Равен сумме вычетов функции щщ по всем, полюсам, внутри множества {х : и(х — х0) > и(г)}

3. Пусть Р(Х) как и выше, а Q(X) = Хт(1 — К(Х)), где Я(Х) € К[[Х]]; такой, что и(Я(х)) > 0 для любого х € {х : и(х — х0) > ь'(г)}. Кроме того, предположим, ч,т,о и(г) > 0.

Тогда, для, дроби /(Х) = ^^) верны утверждения 1 — 2 этой теоремы.

Таким образом из этих трех предложений получаем корректность определения и даже метод подсчета интеграла.

Следствие 2. Можно опускать индексы, и сч,ит,а,т,ь посл,едова,т,ел,ьност,ь многочленов ()

д^ = Хпз — 1 (nj, р) = 1 nj ^ +<х при ] ^

□

2

Доказательство. Сперва заметим, что можно считать, что Х0 = 0 (т.е. предполагая, что из этого случая легко выводится общий случай). Для удобства обозначим /(у) := /(х0 + у)-

Действительно, по определению

¡(х)= Иш V" — ¡(х0 + г аЦ = Иш V — ¡(гаг )= I ¡(х).

п п п п -'0,г,9

д] (а,)^=0 д] (а,)=0 ^ ' 'у

Далее, интеграл ^ г Щт) равен сумме вычетов по всем полюсам внутри множества

(((х) Я(х)

{х : и(х) > и (г)}. Заметим, что

ГС8,

Р(.х) ^ 1 (

'П— 1

Иш--— ---(г — а)п 1 /(х) =

г^а (п- 1)\(хп~ ^ ' К>

<Э(х) (п — 1)\(х

1 (Г-1 „ „чп- .л _ Р (х)

= *}Ш+х0 Щ—у йп=1(г — а — х)П' ^ +х° — х) = ^^О^х) ■

х0 = 0

Дальнейшее доказательство мы будем проводить в несколько этапов (случаев). 1. Пусть /(X) = Xк, где к €

¡(х)=^шУ\ (г а).

'0,г,д ^ п

' д, (а,)=0

Заметим, ЧТО Ед, а)=0 ^ ¡(г аА = П]^ (а,)=0(г агГ+-Разберем 3 случая:

к > 0

По теореме Виета коэффициенты многочлена д^ при степейях 1,...,к + 1 равны 0 при достаточно больших ] (так как п^ ^ Тогда ясно, что и сумма стремится

0

0

(b) к = — 1. Поскольку корн ей у д^ ровн о п^ получаем, ч то /0 гд х = 1-

(c) к < — 1. Пусть = а^- Тогда нетрудно понять, что рассматриваемая сумма _ эт0 многочлен от сумм р1 + ... + [Зп, р1р2 + ... + Рп- 1Рп и так далее от Р1@2..фк + ... + @п-к+1..фп — го условия п^ — пл ^ при ] ^ следуют,

0

Таким образом при к < —1 /0гд ^к = 0.

2. Пусть /(X) = ™ ,Р(X) € К[X], и (а) > и(г). Из теоремы Безу и первого пункта доказательства получаем, что достаточно доказывать для Р(X) = 1.

, / \ к 1 1 1 ( а \к 1

к 1 +<ж / \к

X-а X 1-а X £{XX) = X£ тж) .

к=0 к=0 \ Г /

Поскольку в определении интеграла подставляются только точки вида г ато по утвер-

/ \ к

ждению 4 леммы 1 ряд ^ I -ртт ) сходится поточечно для х = гаг, следовательно по

к=0 \г(т"V

предложению 3 этот ряд сходится на множестве {х : х = га^ где аг — корень многочлена (¡т., для некоторого ]} равномерно. Здесь стоит отметить, что корни аг вообще говоря не

обязаны лежать в Е, но утверждения, на которые здесь идут отсылки в данным случае остаются верными, поскольку од берутся из конечных алгебраических расширений одномерного локального поля

п ^

По предложению 2 получаем, что последовательность частичных сумм ^ схо-

к=0

дится равномерно к бесконечной сумме и тогда по свойству 2 интегралов получаем,

Г 1 £ = „Д+те [.. Х £

к=0

10 г п Х \Х/ га^+те /0гпХ \Х/

'0 1 ЧУ _п ^ 0 1 '^ч _п

Тогда из случаев 1Ь и 1с получаем, что этот предел равен 1. Аналогично, используя случаи 1а-1с разбираются случаи:

3. /(Х) = §§,Р(X) € К[Х], »(а) < Иг).

4. Случай Q(X) = (Х — а)п, и (а) = V (г).

5. Теперь разберем случай, когда Р (X) € К [[X ]], а Q(X) = (X — а)п и и (а) > и(г).

Р(X) сходится та множестве {х : и(х) > и(т)}, значит последовательность многочленов Рт(Х) сходится Р(X), где Рт — сумма первых т членов ряда Р(X). По предложению 3 получаем, что Рт(Х) сходится равномерно к Р(X) на множестве {х : х = гаг, а^ — корень д^ для некоторого и по предложению 2 получаем, что ^х'-а) ^ {х'-а) • свойству 2 интегралов Шнирельмана получаем, что /0 гд ^ /0 гд (х—а)п •

Примечание: строго говоря а^ могут не лежать в Е, но от перехода к алгебраическим Е

верными.

Заметим, что отсюда немедленно последует требуемое:

[ Рт(Х) 1 -Р(га~1)(а) ^Г^Р{п-1)(а) = гева/(X)

Л,г,9 (х — а)п (п — 1)! т ^ (п — 1)1-

(при т ^ Тогда ясно, что и /0гд ^—а)™ = гева/(X).

Из всего сказанного выше следует нужная сходимость.

( а) < ( )

только, что V(а) = и(г).

6. Общий случай. Пусть знаменатель Q(X) = (X — а1)а1 (X — а2)а2 ...(X — ап)ап (возможно, придется перейти к конечному расширению поля X, в котором Q(X) раскладывается на линейные множители, для дальнейших рассуждений это непринципиально), тогда по линейному разложению НОД существуют многочлены А(Х)(Х—а\)а1 +В(Х)(Х—а2)а2... (X — ап)ап = 1. Пользуясь этим можно свести подсчет исходного интеграла к подсчету интегралов от функций, у знаменателей которых количество различных корней на 1 меньше, чем было многочленов. В итоге получим интегралы из предыдущего случая и нетрудная аккуратная проверка показывает, что искомое равенство верно.

Утверждения 1-2 проверены.

Осталось утверждение 3.

^п(х) = ^ X)к (поскольку и(Я(Х)) > 0).

{ ) к=0

Тогда по секвенциальной непрерывности произведения получаем, что

Р ^) 1 ^Р (X )к.

Xm(1 — К^)) Xт к=о

Применяя случай 1 получаем, что после раскрытия скобок и приведения подобных все слагаемые ряда Р(X)R(X)к обнулятся (когда от них возьмем интеграл), кроме слагаемого —1 —1 ствовать вычету в 0. Кроме того, ясно, что на множестве {х : и(х) > и(г)} у функции /(X)

0

Таким образом, в этом случае действительно имеет место утверждение теоремы Коши. Утверждение 3 проверено. □

2. Результат теоремы 2 является дискретным аналогом интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полей.

7. Связь интеграла Шнирельмана с символом Гильберта

Из интегральной теоремы Коши получаем следствия, которые связывают интеграл Шнирельмана с символом Гильберта для двумерных локальных полей.

Будем здесь считать, что поле К имеет вид Е{{£}}, где Е — конечное расширение поля lQp.

Следствие 3.

[ Ф( а1,а2,аз) Ф(а1,а2,а3)

-= геях (-).

¿0,р 8 8

Доказательство. Ряд Ф(а1, а2, а3) сходится та множестве {х : и(х) > 0} (см. [1]).

Чтобы применить утверждение 3 теоремы 2 нужно убедиться, что Q(X) имеет вид, как в теореме (возможно, с ненулевым константным множителем).

Рассмотрим знаменатель ) = г^)я — 1. Пусть г^) = г0(X) + 1. Тогда ) = (г0(X) + 1) — 1 = г0(X)(г0(X)Я-1 + ... + д) (Бином Ньютона). Пусть ( = 1 + £0. Тогда имеем (1 + (0У = 1 и, очевидно, £0 = 0.

Раскроем по Биному Ньютона: (1 + (0)д = 1 + (л)^ + (2)(0 + ... + Св = 1- Учитывая, что (0 = 0 получаем, что (1) + (2) Со + ...+(0-1 = 0 Отсюда сразу следует, что V(С0) > 0 и, учитывая

пи(р) = (рп — 1)и(С0) > 0.

Тогда ясно, что г0 (X) имеет нужный вид. Осталось это проверить для второго множителя (в знаменателе дроби).

Поскольку р(р) > 1 получаем, что и(х0-1 + ... + г0(2)) > V(д).

Тогда можно отсюда вывести, что Q(X) = аXт(1 — К(X)), где а — ненулевой множитель, а К(X) удовлетворяет условиям теоремы.

Применяя утверждение 3 теоремы 3, получаем в точности требуемое, следствие доказано.

□

В силу явной формулы для символа Гильберта (см.[6]), получаем нужную связь:

, / г Ф(&1,&2,у)\

Следствие 4. ({а^_, а2}, у)я = ( ги0,р 5 ).

Доказательство.

({а1,а2}, у)д = Сг( 3 ) = С ио,р 3 ).

□

8. Заключение

Доказанный в работе аналог хорошо известной в анализе интегральной теоремы Коши явно

выражает связь между теорией алгебраических чисел и теорией алгебраических функций.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zhukov, I., Geometry & Topology Monographs Volume 3: Invitation to higher local fields Part I, section 1, pages 5-18

2. Hasse H., Bericht über i euere U t rsuchungen und Frobleme aus der Theorie der algebraische I Zahlkorper, II, Rezipro/itats; setz, Lip/ig^Berlin, 1930.

3. Kato K., A generalition of local class field theory by using K-groups.l J.Fac.Sci.Univ.Tokio, Sect 1 Math.26(1979), No2, 303-376

4. Kato K., A generalization of local class field theory by using K-groups. II, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 27 (1980), no. 3, 603-683. 4

5. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности.— Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т. 42, № 6, с. 1288—1321.

6. Востоков С. В., Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985, том 49, выпуск 2, 283-308

7. Востоков С. В., Жуков И. Б., Фесенко И. Б., К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции, Алгебра и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 91-118

8. Востоков С. В., Иванов М. А., Интегральная теорема Коши и классический закон взаимности, Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2012, том 154, книга 2, 73-82

9. Иванов М. А., Произведение символов рп-х степенных вычетов как абелев интеграл, Алгебра и анализ, 2012, том 24, выпуск 2, 120-129

10. Ломадзе В. Г., К теории ветвления двумерных локальных полей, Матем. сб., 1979, т. 109 (151), номер 3(7), 378-394

11. Милнор Дж. Введение в алгебраическую ^-теорию. М.: Мир, 1974, 196 с.

12. Паршин А. Н. Поля классов и алгебраическая ^-теория.— Успехи матем. паук, 1975, т. 30, № 1, с. 253 251.

13. Паршин А. Н. Локальная теория полей классов.— Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1984, т. 165, с. 113 171).

14. Фесенко И. Б., Теория локальных полей. Локальная теория полей классов. Многомерная локальная теория полей классов, Алгебра и анализ, 1992, том 4, выпуск 3, 1-41

15. Шафаревич И. Р., Общий закон взаимности, Матем. сб., 1950, том 26(68), номер 1, 113-146

REFERENCES

1. Fesenko I.B. 1993, "Theory of local fields. Local class field theory. Multidimensional local class field theory St. Petersburg Math. J. 4 (1993), no. 3, pp. 403-438.

2. Fesenko, I.B. Vostokov, S.V. & Zhukov, I.B. 1990, "On the theory of multidimensional local fields. Methods and constructions Algebra i Analiz 2 (1990), no. 4, 91-118; English transl. in Leningrad Math. J. 2 (1991).

3. Hasse, H. 1930, "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper Teil II: Reziprozitätsgesetz., vol.6 of Jahresber. DMV, Ergänzungsband. B. G. Teubner. IV + 204 pp.

4. Ivanov, M.A. 2013, "The product of symbols of pnth power residues as an Abelian integral St. Petersburg Mathematical Journal, vol. 24:2, pp. 275-281. doi/10.1090/S1061-0022-2013-01238-6

5. Kato, K. 1979, "A generalization of local class field theory bv using K-groups. I Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics 26, no. 2, pp. 303-376. doi/10.15083/00077072

6. Kato, K. 1980, "A generalization of local class field theory by using K-groups. II Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics 27, no. 3, pp. 603-683. doi/10.15083/00077073

7. Lomadze, V.G. 1980, "On the ramification theory of two-dimensional local fields Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 37:3, pp. 349-365. doi/10.1070/SM1980v037n03ABEH001957

8. Milnor J. 1971, "Introduction to algebraic K-theorvAnn. Math. Stud., no. 72, XIV, 184 pp.

K

pp.253-254.

10. Parshin A.N. 1985, "Local class field theory Proc. Steklov Inst. Math., 1985, no. 3.

11. Shafarevich I.R. 1950, "A general reciprocity law", Mat. Sb. (N.S.), 26(68):1 (1950), pp. 113-146

12. Vostokov, S.V. 1979, "Explicit form of the law of reciprocity Mathematics of the USSR-Izvestiva, vol. 13, no. 3, pp. 557-588. doi/10.1070/IM1979v013n03ABEH002077

13. Vostokov, S.V. 1986, "Explicit construction of class field theory for a multidimensional local field Mathematics of the USSR-Izvestiva, vol.26(2):263. doi/10.1070/IM1986v026n02 ABEH001141

14. Vostokov, S.V. & Ivanov, M.A. 2012, "Cauchv's integral theorem and classical reciprocity law",

Uch. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki 154 (2), pp. 73-82

&

pp. 5-18. doi: 10.2140/gtm.2000.3.5

Получено 25.06.2020 г. Принято в печать 22.10.2020 г.