CC BY
21
ГОРЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ
УДК 51-72:531.572
ТЕНЗОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКОРОСТИ ГОРЕНИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ. ВЫВОД И АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГОРЕНИЯ
Ю.М. МИЛЁХИН, Г. Г. МЕДВЕДЕВ, И.Г. ВОРОПАЕВА
ФЦДТ "СОЮЗ", Дзержинский, Россия E-mail: [email protected]
АННОТАЦИЯ. Развивается представление о поле скорости горения в общем случае для анизотропного неоднородно горящего конденсированного вещества как нелинейной тензорной функции вектора внешней нормали к горящей поверхности. Исходя из принципа минимального времени выгорания конденсированного вещества, выводится в самой общей форме пространственное уравнение горящей поверхности. Показано, что в общем случае вектор скорости горения направлен не по нормали к горящей поверхности.
ВВЕДЕНИЕ
В данной статье дается определение скорости горения топлива (конденсированной системы) в точке, т.е. локальной скорости горения и развивается представление о поле скорости горения в общем случае для анизотропного неоднородно горящего конденсированного вещества как нелинейной тензорной функции вектора внешней нормали к горящей поверхности. Исходя из вариационного принципа Ферма - принципа минимального времени выгорания конденсированного вещества, выводится в самой общей форме пространственное уравнение горящей поверхности (п.2.2). В задачах о распространении фронтов возбуждения в средах функционал Ферма является математическим выражением принципа причинно-следственной связи. Уравнение горящей поверхности, соответствующее функционалу Ферма, представляет собой гиперболическое уравнение в частных производных первого порядка - уравнение Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении. Проведен анализ полученного уравнения. Показано, что в общем случае вектор скорости горения направлен не по нормали к горящей поверхности, однако собственно перемещение горящей поверхности в процессе выгорания конденсированного вещества обусловлено нормальной компонентой скорости горения. Отсюда следует, что идентичное уравнение для горящей поверхности можно получить, предположив, что перемещение фронта горящей поверхности определяется нормальной компонент-
ной скорости горения. В этом смысле подтверждается постулат Гюйгенса - Вьеля о перемещении фронта пламени по нормали к поверхности горения.
Частные виды уравнения горящей поверхности приведены в п.2.3 для неоднородного изотропного поля скорости горения в декартовой системе координат и в п.2.4 для неоднородного линейно анизотропного поля скорости горения в произвольной ортогональной системе координат.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АНИЗОТРОПНОГО НЕОДНОРОДНОГО ПОЛЯ СКОРОСТИ ГОРЕНИЯ
1.1. Скорость горения топлива в точке (Локальная скорость горения)
Выделим на горящей поверхности точку М. Положение точки M в пространстве будем характеризовать радиус-вектором г (t), откладываемым от общего начала 0 (рис. 1.).
Вектор r(t) зависит от времени 1 В процессе горения топлива фронт горящей поверхности переместится из положения (p (х, у, z, t) в положение ср (х, у, z91 + At). При изменении t конец вектора r(t) опишет некоторую непрерывную кривую представляющую собой траекторию движения точки М.
Траектория, описываемая концом вектора г (t) называется годографом вектора
ï(t).
За время At выделенная точка горящей поверхности переместится из положения M [r(t)] в положение Mi [r(t + At)]. Вектор перемещения А г точки M определиться как
Ar = r(t + At) — r(t), (1.1)
а вектор средней скорости движения точки M за промежуточное время At составит
АГ
"ср — ■ (1.2)
траектория точки M
cp(x,y,z,t + At)
Ф (х, у, z, t)
f(t)
Г (t + At)
Рис. 1. Движение точки горящей поверхности
Устремляя Д1 —» 0 определим скорость горения в точке М как предел отношения: Д г /М:
а(1) = ^ = Цтг(1+д,)-ад. (1.3)
сИ Аг
Вектор и(1) будет характеризовать скорость горения топлива в точке М, т.е. локальную скорость горения топлива.
Если мы начертим годограф вектора г (1:) (см. рис. 1.) и отметим концы векторов г (1) и г (1 +Дг), то частное
гд + А1)-г(1) = мм1 .
м м 9
будет иметь то же направление, что и хорда годографа ММ!. При АХ —» 0 это направление будет стремиться совпасть с направлением касательной к годографу, поэтому направление производной с с1г/(И = й(1:) совпадает с направлением касательной к годографу вектора г (1:) в точке X при возрастании значений параметра
Представленное определение скорости горения полностью соответствует определению скорости движения произвольного объекта. Однако, в отличие от последней, скорость горения топлива является характеристикой среды и определяется только ее свойствами.
1.2. Скорость горения - материальный тензор второго ранга
В общем случае анизотропного поля скорости горения вектор скорости горения и не может рассматриваться независимо от ориентации фронта горящей поверхности ф(х, у, ъ, = 0 в точке М. Более того, сам фронт горящей поверхности ф (х, у, г, I) = О определяется положением точек горящей поверхности в момент времени X на траекториях их движения.
Ориентацию горящей поверхности в точке М будем характеризовать вектором внешней нормали к поверхности п, взятым со знаком « + », если процесс горения идет по направлению внешней нормали, и со знаком « - » если процесс горения идет в противоположном направлении.
Скорость горения и, таким образом, определится как векторная функция аргумента п: П = А(П). (1.5)
Вид оператора А определяется свойствами самой материальной среды, т.е. конденсированного вещества.
Рис.2. Случай внутреннего горения
Рис. 3. Случай внешнего горения
Выбором направления элементарной площадки горения п(м) мы воздействуем
на среду, получая в качестве отклика этой среды вектор скорости горения и, соответствующий данной точке горящей поверхности. Следовательно, свойства среды характеризуются оператором А (см. формулу (1.5)), а не вектором скорости горения и, представляющим уже результат внешнего воздействия на среду.
В простейшем случае векторная функция (1.5) является линейной, а оператор А - тензором второго ранга. В общем случае оператор А представляет собой нелинейную тензорную функцию.
Для линейной векторной функции справедливы равенства
Покажем, что тензор второго ранга представляет собой линейный оператор и в линейном приближении характеризует анизотропные свойства материальной среды. С этой целью проведем следующие рассуждения.
Будем поворачивать элементарную площадку ёБ в точке М (рис. 4.) так, чтобы нормаль к площадке п последовательно совпала с положительными направлениями прямолинейных осей координат.
А(сГ) = сА(Г) А(Г1+Г2) = А(Г1) + А(Г2)
(1.6)
п
Рис. 4. Анизотропия скорости горения
Получим три вектора скорости горения:
и, ,и2, и3 .
(1.7)
Проектируя эти три вектора скорости горения на координатные оси, получим следующую таблицу компонент скорости горения топлива в рассматриваемой точке:
А =
и" и'2 и13'
и21 и22 и23 > У (1.8)
и31 и32 и33
где для элемента 1г индекс « 1 » указывает номер вектора, а индекс « » - номер компоненты вектора.
По диагонали будут располагаться те компоненты скорости горения, направления которых совпадут с направлениями нормалей трех взаимно перпендикулярных площадок. Эти компоненты скорости горения назовем нормальными, так как они характеризуют скорость перемещения элементарной площадки горящей поверхности по нормали. Направления остальных компонент скорости горения будут располагаться в плоскости самих элементарных площадок, и поэтому эти компоненты скорости горения назовем касательными.
Касательные компоненты скорости горения характеризуют смещение элементарной площадки горящей поверхности в процессе горения в плоскости, перпендикулярной нормали.
Таким образом, вектор скорости горения и, отвечающий значению нормали п в точке М определится как скалярное произведение тензора А на вектор п справа, т.е.
и = А-п =иЧ +\х2и +и3ц,
где компоненты и1, и2, и3 даются формулами
(1.9)
Или
I II 12 13
и = и П, + и 112 +и п3 ,
7 91 79 24
и" = и п, +и п2 +и п3,
3 31 32 33
и = и П, +и"П2 4-и п3 ,
и' = ииП|5
(1.10)
(1.11)
где по повторяющимся индексам производиться суммирование от 1 до 3.
Из (1.10) и (1.11) нетрудно видеть, что для принятой векторной функции, как и
1 7 3
следовало ожидать, вычисленные значения векторов а ,П и и совпадают с (1.7).
Тензор второго ранга А является полярным, поскольку он обуславливает зависимость между двумя полярными векторами п и и, и симметричным, т.е. А = (А)симм .
Шесть компонент тензора (А)симм необходимо определять по экспериментальным данным. Для вычисления вектора скорости горения и, соответствующего данной элементарной площадке поверхности горения необходимо иметь формулу для вычисления вектора нормали п.
В случае задания горящей поверхности уравнением
ф(Х1,Х2,Хз,1) = 0, (1.12)
единичный вектор нормали п задается выражением
п =
5ф т дер т 5ф т
— • 1| + • 12 Н--• 13
ЗХ| дх2 дх3
(1.13)
Полученные выражения для тензора скорости горения, нормальной компоненты вектора скорости горения, компонент скорости горения и единичного вектора нормали будут использоваться при выводе различных видов уравнений горящей поверхности.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ВЫГОРАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
2,1. Вариационный метод расчета геометрии выгорающей к-системы. Общие положения
Постановка задачи. Пусть среда, в которой распространяется фронт горения, представляет собой трехмерное многообразие X, в котором введена некоторая система координат. Таким образом, каждая точка х из X определяется системой трех чисел (х^ Х2, х3). Выбрав в X некоторую фиксированную точку на фронте горения, рассмотрим совокупность всевозможных гладких кривых
х = х (э), (2.1)
проходящих через эту точку. Совокупность векторов, касательных к этим кривым в данной точке, т.е. векторов
х'-* (2.2)
сЬ
представляет собой трехмерное линейное пространство, называемое касательным пространством. Обозначим его Т (х).
Отметим, что при переходе в X к новым координатам по формулам
У = У (х), (2.3)
векторы х' касательного пространства Т (х) преобразуются по закону
= . (24)
(к дх-} Зэ
Пусть х (б) и х (б + (к) - две близкие точки, лежащие на некоторой кривой х =
хф .
В общем случае неоднородного анизотропного поля скорости горения по объему твердого топлива скорость горения в локальной точке фронта горящей поверхности зависит от точки и от направления, т.е. от х и х'.
Обозначим через f (х, х') величину, обратную этой скорости, тогда время за которое фронт горения пройдет из точки х (б) в точку х (з + (к), молено представить в виде
dt = f
с1х
Ч у
ёз, (2.5)
а время, за которое точка горящей поверхности переместится по некоторой дуге, соединяющей точки X] — х (Б]) и Х2 = х (эг) равно
^х,^. (2.6)
У
Сформулируем основное утверждение:
Из всех кривых х = х(э), соединяющих точки Х| и Х2 движение точки фронта горящей поверхности будет осуществляться по той кривой, для которой время движения будет минимальным и равным
. V/ сЬсУ
=Ш1П \{\ х,— (к. (2.7)
У
Действительно, если распространение фронта горящей поверхности из точки Х] по всевозможным направлениям уже дошло по какому-либо пути до точки Х2, то все другие, соединяющие эти точки пути, по которым фронт горения распространяется за большее время уже не играют роли.
Таким образом, процесс распространения фронта горящей поверхности всегда подчиняется известному принципу Ферма: возбуждение распространяется из одной точки в другую всегда вдоль того соединяющего эти точки пути, который оно проходит
за наименьшее время. Другие непротиворечивые утверждения, приводящие к правильному результату (например, принцип Гюйгенса) являются следствиями вариационного принципа Ферма.
Рассмотрим требования, которым должна удовлетворять ранее введенная функция f(x, х'), характеризующая быстроту перемещения фронта горящей поверхности или время прохождения единицы расстояния фронтом горящей поверхности.
Так как время движения точек фронта горящей поверхности вдоль любой кривой х (s) положительно, то
f (х, х1) > 0, если х! Ф 0. (2.8)
Условие (2.8) представляется очевидным. Следующее условие менее очевидно, но его совершенно необходимо учитывать при получении эмпирического выражения для скорости горения при наличии анизотропного поля скорости горения. Так как время движения точки фронта горящей поверхности по некоторой кривой, т.е. величина (2.6) должно зависеть только от этой кривой, а не от выбора её параметризации, то f (х, х') должна быть положительно однородной функцией первой степени относительно х', т.е.
f (х, kx') = kf (х, х') при к > 0. (2.9)
Поскольку при изменении направления на противоположное скорость движения точки фронта горящей поверхности не меняется, то должно выполняться условие
f(x,x') = f(x,-x'). (2.10)
Примечание к условию (2.10). Отдельные экспериментальные факты (влияние перегрузок на скорость горения, структурные особенности отдельных топливных композиций) свидетельствуют о незначительном искажении условия четности функции f(x, х') по х'. В этом случае допустимое предельное нарушение (2.10) должно согласовываться с условием (2.8).
Далее, функция f (х, х') удовлетворяет условию выпуклости
f(x,x'+ x:)<f(x,x'j+f(x, xl). (2.11)
Действительно, если функция х' зависит только от х1 (т.е. среда однородна), тогда для двух векторов х' и х'# фронт горящей поверхности распространяется вдоль х' за время f (xf) и за время f (x'J - вдоль х'„. Тогда вдоль х' + х[ фронт горения будет распространяться за время не превышающее f (х') + f (х'Д т.е.
f(x' + xl)<f(xV+f(x;). (2.1 Г)
Для неоднородного поля скорости горения, если существуют производные
^ (/ = 1,3) то те же рассуждения показывают, что условие выпуклости будет выпол-
дх1
няться для достаточно малых х' и х'ф, а следовательно, в силу однородности функции {
по х' оно будет выполняться и для всех х' и х'+.
Далее полагается, что в (2.11) выполняется условие строгой выпуклости. Из условий (2.8 - 2.11) следует, что f (х, х! ) обладает всеми свойствами нормы, т.е. в трехмерном линейном пространстве Т(х) можно ввести норму ||х'||, положив
Ц = :Г(х,х'), (2.12)
Рассмотрим наряду с нормированным пространством Т(х) пространство Т(х) линейных функционалов на нем. Т(х) представляет собой трехмерное пространство, элементами которого являются векторы р = (рь Р2, РзХ называемые контраградиентны-ми векторами из Т(х). Пространство Т(х) по определению является сопряженным по отношению к пространству Т(х).
В сопряженном пространстве норма вектора р определяется следующим образом:
H=sup%^, (2-13)
х
где sup (т.е. точная верхняя грань) берется по всем х'„ Ф 0 из Т(х), а (р, х') означает скалярное перемещения фронта горящей поверхности направлена по нормали к горящей поверхности произведение векторов р и х*.
Обозначим норму элемента ре Т (х) через Н (х, р), так что по определению
H(x,p)=supj^- (2.14)
х: f(x, xj
Заметим, что переход от функции f (х, х'„) к функции Н (х, р), определяемый формулой (2.14), представляет собой преобразование Лежандра, заданное в параметрической форме.
2.2. Уравнение горящей поверхности - уравнение Гамильтоиа-Якоби для функционала Ферма
Пусть ср(х, t) = 0 - уравнение фронта горящей поверхности в момент t. Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция ср (х, t). Для этого рассмотрим, как происходит распространение фронта горения за некоторый малый промежуток
времени (к. Фронт горения от каждой точки горящей поверхности ср (х, I) за время <И распространяется по сфере
Г(х, dx) < А.
(2.15)
Фронт горения в момент г + дХ представляет собой огибающую этих сфер. Представим огибающую сфер уравнением ср (х, I + дХ) = 0. Тогда, плоскость касательная к поверхности ср (х, I + (к), является касательной к некоторой сфере
А(х, ёх) < ск .
(2.15')
с центром в точке х, принадлежащей поверхности <р (х, 0 = 0. Уравнение каждой плоскости в пространстве Т(х) может быть записано в виде
J
(2.16)
1=1
где р = (р1, р2, р3) е Т(х). В частности, уравнение плоскости, касательной к поверхности (р (х, X + ск) = 0, имеет вид
У^-.сЦ = С .
(2.17)
Если плоскость (2.17) является в то же время касательной к сфере радиуса ск с центром в точке х, то постоянная С равна радиусу сферы, умноженному на норму век-
тора
^ 3(р 3(р 9ф ^ ' Зх7 ' дх.
/
, т.е. на Н
з /
X,
V
д(р
дК:
Таким образом, уравнение плоскости, касательной к фронту горения и к сфере радиуса проходящей через точку касания, имеет вид
У 5ф-с1х,=Н
х,
V
5ф дх:
<й
(2.18)
Из уравнения для фронта горения ф(х, 0 = 0 имеем:
^А + У =0.
сН. дх1
Из двух последних равенств окончательно получаем:
(2.19)
дер
+ Н
9ф 4 Х' л,
\
(2.20)
Полученное уравнение описывает изменение фронта поверхности горения со временем. Уравнение (2.20) представляет собой уравнение Гамильтона - Якоби для функционала Ферма.
Уравнения Эйлера - Лагранжа для траекторий движения точек фронта горящей поверхности являются характеристическими (или уравнениями характеристик для гиперболического уравнения в частных производных (2.20)) [1].
В канонической форме система уравнений Эйлера - Лагранжа имеет вид:
с1х; _ ЗН(х,р)
А ~~ др { ф; _ _ ЭН(х, р)
Ш дх{
(¡ = 1,з) (2.21)
Примечание. При выводе уравнения Гамильтона - Якоби принималось за направление движения частиц фронта горящей поверхности направление внешней нормали (т.е. предполагалось, что фронт горения расширяется), поэтому в уравнении (2.20) стоит знак «+».
В случае внешнего горения (движение фронта горения против внешней нормали) в уравнении (2.20) следует брать знак «-».
В общем случае поверхность горения заряда сложной формы является кусочно-гладкой. Уравнения Гамильтона - Якоби для отдельных кусков имеют вид:
±Н
а
V
= 0;] = 1,п . (2.22)
Здесь: п - общее число кусков горящей поверхности.
Знак «+» или «-» для каждого куска принимается в соответствии с направлением движения фронта горящей поверхности по отношению к внешней нормали.
В следующих двух параграфах рассматриваются два важных частных случая уравнения горящей поверхности. В первом случае поле скорости горения является неоднородным изотропным. Во втором случае неоднородное поле скорости горения характеризуется слабой анизотропией.
2.3- Уравнение горящей поверхности для неоднородного изотропного поля скорости горения в декартовой системе координат
Неоднородное изотропное поле скорости горения. Функционал минимального времени прохождения фронтом горящей поверхности участка дуги [80, 81] для неоднородного изотропного поля скорости горения запишем в виде
г
8,газ
= [--> гшп . (2.23)
Здесь: I - время прохождения участка дуги [Эо, 81]; аБ= (ах2 + <1у2 + ёг2)1/2 - элемент длины дуги;
и = и (х, у, т) - поле скорости горения топлива, неоднородное по объему заряда; [х(Э), у(8), г(Э)] - параметрическое задание траектории движения произвольной
точки М (х, у, т) фронта горящей поверхности из положения Мфо) в положение М^). Для наглядности дальнейшего изложения выберем координату х в качестве независимой переменной. Тогда функционал (2.23) запишется в виде
1 = Ш + У'2 + г'2 )1/2 ах тш ^, (2.24)
•'и [у(х),2(х)]
8о
где
ах ах
Лагранжиан выражения (2.24) имеет вид
р = -1(1 + у'2+2'2Г. (2.26)
и
Для перехода к каноническим переменным (р, q, Н) воспользуемся касательным преобразованием Лежандра
тт V „ (2.27)
Проводя с помощью (2.27) замену переменных у' и г' на р и q, соответственно, и подставляя их в выражение для Гамильтониана Н, получим дифференциальное уравнение Гамильтона - Якоби в виде
г + Н (х, у, г, р, я) = 0 , (2.28)
где под г, р и ц понимаются частные производные
д{ д\. д{
г = —, Р = —, Ч = — • (2-29)
дх ду оъ
С учетом представленных выкладок Гамильтониан Н примет вид
тт 1 Л 2 2 2 2 \/2 Н =±—11-и р -и Я ) .
и
с учетом (2.30) запишется
г±1(1-и2р2-иУ),/2=0,
(2.30)
и
а а а
г = ,р = —,4 = Эх ду дъ
(2.31)
Искомое уравнение горящей поверхности (уравнение Гамильтона - Якоби) в развернутом виде, разрешенное относительно переменной I = фс, у, г), примет вид
<91 _ 1 9
= -ь Л-1Г
дх и
'а*
ч^У,
- 11
(2.32)
После возведения (2.32) в квадрат и приведения членов, получим симметричную форму уравнения горящей поверхности
ГэО 2 2
— + - + - = и
[дк] [ду)
-2
(2.33)
Для общей зависимости, заданной в виде
ФО, х, у, т) = 0 , получим следующее выражение
— ± и ■ — = 0 > дХ дп
где
(2.34)
(2.35)
Эф = 2 + '9ф^ 2 + (
дп кдг)
(2.36)
п - направление внешней нормали к поверхности горения.
В случае внутреннего горения скорость горения направлена по внешней нормали и в формуле (2.35) берется верхний знак, при внешнем горении берется нижний знак.
Формула (2.35) впервые была получена Р.Е.Соркиным в [2] другим способом для неоднородного изотропного поля скорости горения. Способ, предложенный Р.Е.Соркиным для получения дифференциального уравнения горящей поверхности
является достаточно общим и может использоваться для любого вида задания поля скорости горения.
В данном параграфе лишь укажем на то обстоятельство, что выдвинутое Р.Е.Соркиным положение о движении произвольной точки горящей поверхности по нормали к этой поверхности с местной скоростью горения твердого топлива тождественно совпадает с условиями трансверсальности, вытекающими из вариационного принципа Ферма.
2.4. Уравнение горящей поверхности для неоднородного анизотропного поля скорости горения в произвольной ортогональной системе координат
Представим уравнение горящей поверхности для произвольной криволинейной ортого-
нальной системы координат. Обозначим
Чь 42» Чз - координаты точки в некоторой криволинейной ортогональной
системе координат; Нь Н2, Нз - коэффициенты Ламе в выражениях для элементов длины Б
произвольной линии, вдоль координатных осей.
Тогда
(2.37)
Коэффициенты Ламе определяются выражениями
(2.38)
где
Х) = Х](ЧьЧ2,Чз); ] = 1,3
(2.39)
- формулы перехода от криволинейных координат к декартовым. Для декартовой системы координат
х = (х,,х2,х3) : Н| = 1,Н2= 1,Н3= 1.
(2.40)
Для цилиндрической системы координат
(р, ф, г; р > 0) : XI = рсозср, х2 = рэтсрхз, хз = ъ.
(2.41)
Обозначив
= Р, 42 = ф, Чз = г,
(2.42)
имеем
Н, = 1,Н2 = р, Н3=1.
(2.43)
Для сферической системы координат (г, 9, ср; г > 0, 0 < 9 тс, -и < ф < п ) : Х| = г этЭ соэф, хг = г вт9 этф; хз = г соэф,
(2.44)
г =
¡=1
X
У хг ; 0 = агс соб —; tgф =
г
_ Х2
X
Обозначив
имеем
q{ = г, я2 = 6, Чз = Ф ,
н, = 1, н2 = г, н3 = г вье
(2.45)
(2.46)
(2.47)
Запишем уравнение горящей поверхности для изотропного неоднородного поля скорости горения в криволинейной ортогональной системе координат:
где
5 +^п(ип).и(я1,я2,ч3)-^ =
д\. дп
(2.48)
Зф дп
Н?
' Зф л
А у
+
н
( я V
Эф
+
Н:
/ 5ф ^
51Еп(и„) =
1, и„ > 9, -1, и„ < 9.
Здесь: п - вектор внешней нормали к поверхности горения;
и„ - проекция скорости горения на вектор внешней нормали. Для линейно анизотропного поля скорости горения скорость горения характеризуется симметричным контравариантным тензором второго ранга
А = {и»}, и*=и\ (и) = 1,3 .
(2.49)
Компоненты тензора ии являются функциями координат х = {х1?х2,х3} и параметров состояния а = |аг,г = 1,п - давления, начальной температуры топлива, скорости газового потока и т.д.
Вектор скорости горения и(х) в данной точке х, определяющий скорость и направление перемещения точки горящей поверхности по траектории ее движения, определяется формулой (1.9).
Скорость перемещения фронта горящей поверхности направлена по нормали к горящей поверхности и определяется нормальной компонентой вектора й, т.е.
un =u-n
(2.50)
Для тензорного поля (2.49) уравнение горящей поверхности в ортогональной системе координат имеет вид
и
5ф
а
+ sign(u„)
1 Эф
Н: дХ:
1 Эф Н, Зх, .
Ч J J /
/
1 дер
\
/
1 Эф
л
= о
(2.51)
VHi
Здесь по повторяющимся индексам производится суммирование, но это правило не распространяется на индексы внутри одной круглой скобки, т. е. суммирование производится только между скобками.
Выражение (2.51) обобщает уравнение горящей поверхности для неоднородного изотропного поля скорости горения, полученное Р.Е.Соркиным, на случай линейно-анизотропного поля скорости горения.
Численное решение пространственного уравнения поверхности горения весьма затруднительно в первую очередь из-за существенной нелинейности этого уравнения -наличие релейного переключателя в виде функции знака sign(un).
Кроме того, при решении уравнения необходимо учитывать возможное самопересечения границ заряда при его выгорании - образование отдельных кусков горящего топлива.
Вариационный принцип Ферма дает возможность разработать достаточно общий численный метод решения уравнения горящей поверхности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ерохин Б.Т., Липанов A.M. Нестационарные и квазистационарные режимы работы РДТТ. - М.: Машиностроение, 1977. - 200 с.
2. Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе: внутренняя баллистика. - М.: Наука, 1983. - 288 с.
SUMMARY. A conception about field of burning rate for anisotropic non uniform burning condensed system as nonlinear tensor function of vector of normal to burning surface is developed. On principle of minimum time of condensed system burnout a spatial equation of burning surface in general form is derived. It is shown, that in general case vector of burning rate is directed not to normal to burning surface.
