CC BY
20
УДК 514.743
ТЕНЗОРНАЯ ДРОБЬ КАК ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ
О.С. Садаков
Известно, что тензорная алгебра - это алгебра сложений и умножений. Однако в выкладках бывает удобно использовать символическое деление. Вместо «слепого» обозначения тензора можно использовать функциональное, в явном виде показывающее роль данного тензора как оператора некоторой линейной функции. Он может быть представлен в виде дроби, знаменатель которой обозначает область аргументов, а числитель - область функций [1]. В частности, похожее обозначение по умолчанию используют для градиента тензорной функции, однако оно не всегда однозначно. Ниже делается попытка обосновать более строгое обозначение, расширяющее, в частности, роль оператора дифференцирования Гамильтона.
1. Любой тензор T может рассматриваться как оператор однородной линейной функции
У = T*X, (1)
где X, У - тензор-аргумент и тензор-функция, символ «*» означает n-кратное скалярное произведение, если n - валентность тензора X - больше нуля, иначе «*» означает тензорное произведение (обычное умножение тензора на число).
Иногда удобно применить функциональное обозначение тензора T - в виде «дроби»
T = У/X (2)
что позволяет обратить основное внимание на роль этого тензора в преобразовании (1). Например, тензор напряжений 9 может быть записан в виде p/n, если вектор напряжения на площадке с нормалью n обозначается как р. Заметим, что существование тензора p/n следует доказать (существование такой линейной функции следует из условий равновесия части тела, находящейся в однородном напряженном состоянии). С другой стороны, для тензора так называемой инженерной деформации мы при использовании символической записи получаем относительно привычное для инженера выражение Al/l. Существование этого линейного оператора легко доказывается из анализа однородного деформированного состояния (а в более актуальном случае неоднородного состояния - из допущения о дифференцируемости поля смещений).
В приведенных частных примерах дробь - это двухвалентный тензор, определяющий вектор-функцию векторного аргумента и, соответственно, в выражении вида (1) символ «*» означает однократное скалярное произведение «•».
Удобство предлагаемого обозначения связано с его довольно очевидными и простыми свойствами. Например, для вектор-функции векторного аргумента справедливы выражения [2]:
x/x = I
(I - единичный тензор, или тензор тождественного преобразования),
(z/y)- (y/x) = z/x
(произведение операторов). Отсюда, в частности, следует, что y/x*x/y = I, эти тензоры взаимно обратны. Кроме того,
(z + y) /x = z/x + y/x; скаляры в числителе и в знаменателе сокращаются:
6y/(2x) = 3y/x;
справедливо и такое выражение (T - некоторый тензор):
T(y/x) = (T- y)/x.
2. Однородным линейным оператором является, в частности, градиент тензор-функции тензорного аргумента y=f(X). Если функция дифференцируема, то в малой окрестности любого аргумента X0 она может быть аппроксимирована в виде линейной
У=fXo) + F*(X - Xo) (3)
Садаков О. С.
Тензорная дробь как оператор дифференцирования
тензорной функции
(символ «*» имеет прежний смысл, зависящий от валентности аргумента X). Изменение ЛУ=f(X) - fX0) связано в выражении (3) с изменением аргумента ЛХ=Х-Х0 постоянным тензором F. Последний, следовательно, может быть обозначен как ЛУ/ЛХ. С уменьшением рассматриваемой окрестности (уменьшением ЛХ) гладкая функция все меньше отличается от аппроксимации (3). В пределе бесконечно малая разность (дифференциал dy=fX0 + dX) - fXo)) окажется связанной с дифференциалом dX также линейно; соответствующий аппроксимирующий тензор F обозначают ffyи называют правым градиентом:
dy=ff*dX. (4)
Смысл символа «*» остается прежним; валентность градиента ffyна n больше, чем валентность тензора У. Соответственно, валентность символического оператора Гамильтона fy равна валентности аргумента (n). Сам градиент, в соответствии с п. 1, может быть записан в форме (2):
ff= dy/dX. (5)
3. При вычислении градиента заданной функции можно воспользоваться координатной формой записи. Известно, что градиент функции векторного аргумента может быть определен в косоугольном базисе ek и взаимном ему базисе ё (напомним, что e» ek=8ik - символ Кронекера) из следующей цепочки выражений:
df=fY-dx = (дf/dx')dx' = (дf/dX ё)» (едД откуда, учитывая, что dx= ekdxk, получим
ff= (df/dX) ё. (6)
Валентность f произвольна.
Аналогичный путь прослеживается и для функции двухвалентного тензора df=ffydX = (дf/дХ) dXkl=(df/dX1) e1ek»dXj eej (точки означают двукратное скалярное произведение; при этом первыми перемножаются векторы e и ei, затем e1 и ej, что дает символы 8ki и 81j, превращающие dXj в dX1); в итоге получаем
ff= df/dX = (дf/дХ) e1ek. (7)
Обратим внимание на то, что порядок индексов в производной и в базисном сопровождении обратны. Возможно, с этим связано то, что в работе [3] для получения дифференциала скалярной функции двухвалентного тензора градиент функции умножается на транспонированный дифференциал аргумента dXT. Такая запись не ведет к ошибке, поскольку и градиент функции там определяется иначе, но в упомянутой работе рассматривается только случай двухвалентного аргумента. В нашей работе валентность произвольна.
Результат (7) с очевидностью обобщается на произвольную валентность аргумента (и, соответственно, валентность оператора Гамильтона):
df=ff*dX, (дf/дХJ 'k1) * e1ek. eei . (8)
Если валентность аргумента равна нулю, то градиент ffy превращается в обычную производную dY/dx. Например, скорость тела v = du/dt (u - смещение, t - время) можно рассматривать как оператор линейной связи между элементарными приращениями смещения и времени.
4. Пусть, например, f=X»X - скалярная функция (один из скалярных инвариантов тензора X), аргумент которой - двухвалентный тензор. В декартовом базисе (ei=ei)
f = Xa Xik = Х11 Хц+ Х12 X21+ X21X12+ .. .+X33 X33.
Частные производные находятся легко: дf УдXk1=2X1k, откуда
ff= 2Xlk e,ek=2X. (9)
Для функции f1=X»XT, из подобных выкладок, найдем, что ffy=2XT.
5. Кубический инвариант (p=X»X»X в декартовом базисе представляет сумму 27 слагаемых р = Xj Xjk Xki. Дифференцируя обычным образом, найдем
др ти =3Xii Xi , др тп =3Xii X2 и еще семь аналогичных выражений. По формуле (8) отсюда следует
др/äX = 3 XX. (10)
Для кубического инварианта pi= X TXT»XT найдем p1=Xji Xkj Xik =Xik Xkj Xji = p , и его градиент определяется тем же выражением (10).
Еще один вариант для кубического инварианта тензора: p2=X»XT»X = XikXjkXji = XjiXikXjk = = X»X»XT (а также, в чем нетрудно убедиться, р2 = X T»X »X T = X»X T»X T =X T »X T»X). Градиент этой функции оказывается отличным от рф:
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 6 123
Физика
д ф2 /X = XX + XX Т + X ТщХ. (11)
6. Вместо дифференцирования по координатам, можно использовать инвариантные выражения, например, дифференцирование произведения в виде суммы производных. В частности,
гр-^Т = 2 (xчxJ^). (12)
Для расшифровки этого выражения нужен градиент двухвалентной функции двухвалентного аргумента. Его находим по прежней схеме (8):
/ = X = Ху ее,,
/V = XV = (д//дху)ее = ееее (13)
Получившийся тензор представляет тензор тождественного преобразования для двукратного скалярного произведения:
Т**е1е]е]е1 Ттп...к1етеп...екеРяе1е]е]е1 Ттп...к1& к]е]е1 Ттп...]1етеп...е]е1 Т. (14)
Из выражения (12) находим: Г = 2Ж"» eieee^=2X, что, естественно, совпадает с прежним результатом (9).
7. В заключение напомним еще раз, что «операция деления» (например, дробь у/х) не представляет результата деления двух векторов; это лишь удобное функциональное обозначение тензора, если мы хотим подчеркнуть его роль в качестве линейного оператора (аргумент - функция). Удобство состоит в простоте и очевидности выкладок (см. п. 1), что может оказаться немаловажным, например, при проведении подготовительной работы в механике сплошной среды. В настоящей работе это качество дроби использовано для корректной записи производных тензорных (в частности, скалярных и векторных) функций тензорного аргумента. Подобная запись встречается в технической литературе в неопределенном виде (например, ду/дх~), не отличающем правый и левый градиент, что, на наш взгляд, не только вредит строгости языка, но и может приводить к ошибкам. В статье представлено естественное обобщение предложенного ранее обозначения «дробь» на операторы дифференцирования, исключающее неоднозначность.
Литература
1. Буслаева О.С., Садаков О.С., Шапиро А.А. Скаляр и тензор логарифмической деформации// Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2003. - № 3 (33). - С. 125-129.
2. Садаков О.С. Символическое «деление» векторов в механике сплошной среды// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып.5. - № 2(42). - С. 115-118.
3. Роговой А.А. Дифференцирование скалярных и тензорных функций тензорного аргумента/ Вестник ПГТУ «Динамика и прочность машин». - Пермь, 2001. - № 2. - С. 83-90.
Поступила в редакцию 9 сентября 2005 г.
