Тензор конгармонической кривизны нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Харитонова С.В.

Оренбургский государственный университет E-mail: hcb@yandex.ru

ТЕНЗОР КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ НОРМАЛЬНЫХ ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО ПОЧТИ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

В статье вычислены компоненты тензора конгармонической кривизны нормальных локально конформно почти косимплектических (далее lcACS-) многообразий. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых нормальное lcA^-многообразие является конгармонически плоским. Выделены классы почти контактных структур по свойствам симметрии тензора кон-гармонической кривизны.

Ключевые слова: почти контактные структуры, конформные преобразования, тензор кон-гармонической кривизны.

В последнее время изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий наделенных дополнительной структурой привлекает значительное внимание исследователей. В частности, локально конформно почти косимплектическим многообразиям посвящены работы [1]-[5].

Особый интерес представляет специальный тип конформных преобразований - кон-гармонические преобразования, т. е. конформные преобразования, сохраняющие свойство гармоничности гладких функций. Этот тип преобразований был введен в рассмотрение Иши [6] в 1957 году и в настоящее время изучается с различных точек зрения. Тензорным инвариантом таких преобразований является тензор конгармонической кривизны.

Цель работы

Определить конгармонические инварианты - элементы спектра тензора конгармо-нической кривизны нормальных 1еАСз-много-образий, а также дополнительные свойства симметрии тензора конгармонической кривизны. В частности выделить аналоги классов Грея.

Тензор конгармонической кривизны. Почти контактной метрической (короче, АС-) структурой [1], [2], [7] на многообразии М называется совокупность (ц,%, Ф, g) тензорных полей на этом многообразии, где П - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры; | - векторное поле, называемое характеристическим; Ф - поле тензора типа (1;1), называемое структурным эндоморфизмом модуля Х(м), g = (у) - риманова метрика. При этом

1) пв) = 1; 2) по ф = 0; 3) Ф($)= 0 ;

4) Ф2 =-id +п®в ;

5) (ФХ,ФУ) = (X,у)-п(х)n(Y), X,У е X(M).

Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим (AC-) многообразием.

Конформным преобразованием AC-структуры S = (п,в,Ф, g) на многообразии M называется переход от S к AC-структуре S = (ff,i, <5, ~), при этом п = в~°п , ~ , Ф = Ф, ~ = e~2° g

где о - определяющая функция соответствующего конформного преобразования [1], [7]. Если о =const, конформное преобразование называется тривиальным, или гомотетией.

AC-структура S на многообразии M называется локально конформно почти косимплек-тической, короче 1сАС3-структурой, если сужение этой структуры на некоторую окрестность U произвольной точки p е M допускает конформное преобразование в почти косимплекти-ческую структуру [2], [8]. Назовем это преобразование локально конформным. Многообразие, на котором фиксирована 1cACS -структура, называется lcACg-многообразием. Заметим, что при о = const получаем АС^многообразие.

Одним из подклассов конформных преобразований являются конгармонические преобразования, данные преобразования сохраняют гармоничность функций.

Тензор [9], [10] инвариантный относительно конгармонических преобразований имеет вид: K ( ,У, Z ,W ) = я(х ,У, Z ,W )-

-T^(g(X,W)S(У,Z)- g(X,Z)S(У,W)+

2n -1

+ g (У, Z )S (X ,W )+ g (У ,W ) (X, Z )),

где И - тензор римановой кривизны, S - тензор Риччи, g - риманова метрика, X,У,2,жє х(м).

Можно показать [9], что тензор конгармонической кривизны удовлетворяет свойствам симметрии:

к (х ,у , г )=—к (у , х, г ) к (х ,у , г )= —к (х ,у , г) к (х, у , г )+ к (у , г, х )+ к (х, х, у )= о, к (х ,у , г )= к (у , х ,у ) х ,у, г є х(м). Напомним [8], что для нормальных ісАСз-многообразий ненулевые компоненты тензора римановой кривизны имеют вид:

*ош = < — 8?8Г,

Я-ЬсЬ =—5>02 ,

Я-

.=-8ь (о2 + Роо),

(1)

где 8?а =8аХ — 88 .

Ненулевые компоненты тензора Риччи задаются следующими соотношениями [8]:

Б оо = 2п(гоо + Г'о),

Б-Ь = С — 2п$ъОо — 8ъгоо.

(2)

На пространстве присоединенной G-структуры компоненты метрического тензора имеют вид:

(8у )=

1 о оо о

(3)

где 1п - единичная матрица порядка п. Здесь и далее индексы і, ]', к пробегают значения от 0 до 2п, индексы а, Ь, с, ё - значения от 1 до п, а = а + п.

Из структуры матрицы метрического тензора вытекает правило поднятия и опускания индексов: га = га. ; га = га.

Таким образом, компоненты тензора конгармонической кривизны на пространстве присоединенной G-структуры можно вычислить следующим образом

кі]кІ Яі]кї

1

2п — 1

+ 8)ІБік ]к ё)кБИ ) (4)

Для нормальных ісАСз-многообразий в силу соотношений (1)-(4) имеем:

к.

1

2п — 1

1 1 2

п + 2 Ро + гоо

+ аЦ (2п — 1)— 8льАТе —8асАы

к.

1

2п —1

28Ь

п+

+ Ро,

— Аае АЬе

(5)

Почти контактное метрическое многообразие будем называть конгармонически плоским, если тензор конгармонической кривизны такого многообразия тождественно равен нулю.

Выясним условия, при которых компоненты (5) тензора конгармонической кривизны нормального ісАСз-многообразия обращаются в нуль.

1 к Ьь = о равносильно

28?

п + 2 ро2 + гоо

ь е ье

+ 8сАЬе 8 Ь Асе -

— 8ЬАа —8а АЬе = о

8ЬАсе 8с АЬе =

(6)

Свернем последнее соотношение по а и с.

о/ еа сЬ са сЬ

2\8а8Ь ~8ё8а

Ґ 1Л

п +—

2

V У

го + гоо

+8ЬАаЄ+

+8А—8ЬАаЄ—8аа АЬе = о,

28, (п — 1

1 1 2

п + 2 Г о + гоо

— 8^ — Аье (п — 2)= о.

(7)

Теперь свернем последнее соотношение по Ь и ё.

28Ь(п — 1)) п + 1 р

2п(п — 1

о +Гоо

+Г

—8Ьа::—аы (п—2)=о, —2 Аье (п—1)=о,

1 1 2

п + 2 г о +Гоо

(8)

С учетом (8) из (7) получим

28,Ь (п — 1

п + 2 Г<) +гоо

— 8Ьп

1 1 2

п + 2 ро + гоо

—Аье (п—2)=о,

к

1

2п —1

28“

1 1 2

п + 2 ро + Гоо

, еЬ *ае . + 8с А,е +

8ь (п — 2

1 1 2

п + 2 ро +гоо

—Аье (п—2)=о,

, ?а лЬе ?Ь лае ?а лЬе

+ Асе 8ЬАсе —8сАЬе

АЬе = 8Ь

АЬе 8

1 V 2

п + 2 ро +гоо чч / J

(9)

+

1

2

п

АЬе. = п

Ье

2. KSbcd = о 03нaчaет, что

20і0І

І I 2

n + 2 ао +аоо

+Aad (2n -1)- sdA- - 8a ah=о. (io)

Свернем это соотношение по a и c.

2n0l

І І 2

n + 2 R> +аоо

+ Abda(2n -1)-0dbAZ - nAbde = о

І І 2

n + 2 ао +аоо

О + Ооо + At (n - 1)- 5tAZ = 0 . (11)

Еще раз свернем последнее соотношение, теперь по b и d.

2n‘

І І 2

n + 2 ао +аоо

+ Aa (n -1)-nA™ = о

AO; = 2n'

І 1 2

n + 2 Iа +аоо

(12)

Подставив (12) в (11), будем иметь

2n0b

І I 2

n + 2 ао +аоо

+Kh(n - і)-

-0d 2n2

n + 2 7o +аоо

= о

- 2n(n - l)0j

n+

+ ао

+ At(n-1)= о ,

Ad: = 2n0ba

n+

+ 7o

(1З)

С учетом (12)и (12)из(10)получим

loaobd

11 І

n + 2 f + аоо + Abc (2n -1)-

-АОІОІп

І I 2

n + 2 ао +аоо

=о,

- 2(2n - 1)0ca 0d

І І 2

n + 2 ао +аоо

+ A°c (2n-1)= о,

Ac = 20ca 0d

1 1 2

n + 2 ао +аоо

(14)

З. Ksobo = о равносильно

І I 2

n + 2 ао +аоо

- ai;=о,

Aae = 20a Abe = 20b

І I 2

n + 2 ао +аоо

(1б)

При одновременном выполнении (9) и (15) получим

І I 2

n + 2 ао + аоо

=о.

Свернем это соотношение по a и b.

І I 2

n + 2 ао +аоо

= о

т.е.

аоо = -

n+2 ао2

(1У)

С учетом этого из (14) следует, что Aid = 0.

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 1. Нормальное lcACs-многообразие является конгармонически плоским многообразием тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Aid = 0

и аоо =-

n+

Напомним, что нормальное 1еАСз-многооб-разие является многообразием постоянной кривизны к тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры а{С = 0

и о00 = 0, при этом к = -ст02 [8].

С учетом последнего утверждения справедлива

Теорема 2. Конгармонически плоское нормальное 1еАСз-многообразие постоянной кривизны является плоским косимплектическим многообразием.

Классы почти контактных многообразий на основе симметрии тензора конгармонической кривизны. В работе [10] выделяются классы почти эрмитовых структур на основе свойств симметрии тензора конгармонической кривизны. Возможно рассмотреть их контактные аналоги.

Почти контактное метрическое многообразие будем называть многообразием класса СК. (1 = 1, 2, 3), если для компонент его тензора кон-гармонической кривизны верно соответствующее тождество:

1) g (Ф (ФХ ,ФY ф ,ФШ )= g ( (ф 2 X ,Ф 2У ), ФШ ),

2) g (к (ФX,ФY)l>z, фш)= g (к (ф2 X ,Ф2у) ,ФШ )+ + g (к (ф2 X, ФY ) 2г, ФШ )+ ^ (к (ф2 X, ФY ), ф) ),

3) gф (фх , ФY )ФZ, фш )= g (к (ф 2 х, ф2у )2х, ф1л^ )

для любых X,у,X,Же х(м).

е a 0b

+

n

1

2

і

2

20І

Напомним [1], [У], что в с~ ^^модуле X(M) гладких векторных полей на AC-многообразии внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора і = id-п®|=-Ф2 и m=f®| = id + Ф2 на распределения L = imФ = kerf и M = kerФ = Щ) размерностей 2n и 1, соответственно, причем X(M) = L ФM . L называется первым, a M - вторым фундаментальным распределением. Пара {L, g| L /определяет эрмитову структуру на распределении L, рассматриваемом как С-модуль.

Известно, что для почти эрмитовых структур справедлива

Теорема 3 [1]. Каждый тензор типа (r,1) на почти эрмитовом многообразии М, рассматриваемый как r-линейное отображение T: X(M)x...xX(M) ^ X(M)

r раз

естественно представляется в виде суммы 2r тензоров того же типа, с Ф c"(m )-линейных либо с Ф с°°М )-антилинейных по каждому аргументу.

Набор тензоров типа (r,1) линейных либо антилинейных по своим аргументам и в сумме составляющий тензор Т, называется спектром тензора Т, а сами эти тензоры называются элементами спектра. Таким образом, модуль тензоров типа (r,1) можно представить в виде прямой суммы соответствующих подмодулей

1

з1,(м)= ф зГ(м)

(k)

(19)

Элементы спектра тензора характеризуются десятичным числом, у которого единицы двоичной записи соответствуют номерам антили-нейных аргументов.

Тензор конгармонической кривизны можно рассматривать как тензор типа (3,1). Значит, он представим в виде суммы 23 элементов спектра. Например, запись К характеризует запись элемента спектра тензора антилинейно-го по второму и четвертому аргументам, т.к.

5 = 0 ■ 23 +1-22 + 0 ■ 21 +1-20 .

Напомним, что имеет место Предложение 1 [1]. Пусть Т - тензор типа (г,1) на почти эрмитовом многообразии, тогда

T

тензор *), к = 1,...,2Г — 1, в качестве ненулевых компонент может иметь только компоненты вида:

(k)

(k)

где а = Щ или а = а , в зависимости от того стоит ли на ]'-м месте в двоичном представлении числа к нуль либо единица, соответственно, ] = 1,...,г, а = а. При этом

Т а1...аг = Т а1...аг, Т а1...аг = Т а1...аг

(к) (к)

Можно доказать справедливость следующих утверждений.

Предложение 2. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием класса СК3 тогда и только тогда, когда К-аШ = 0.

Предложение 3. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием класса СК2 тогда и только тогда, когда

КаЬай = Kabcd = 0 .

Предложение 4. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием класса СК1 тогда и только тогда, когда

Kaьcd = Kaьcd = Ka.Ьcd = 0.

Докажем справедливость предложения 4. Предложения 2-3 доказываются аналогично.

Доказательство. Пусть М - АС-многообразие класса СК1. Поскольку L=ImФ, рассматривая векторные поля X,У,еL в силу (183)бу-дем иметь

g (к (X ,у ) ,ж )= g (к (ФX,ФY)z ,w),

что равносильно

к(х,y)z - к(фх^) = 0. (20)

По определению спектра тензора

К (X ,У ) = К (X ,У ) + К (X, У ) + К (X ,У ) +

(0) (1) (2)

+ К (X, У) + К (X ,У ) +

(3) (4)

+ к(х, у)х + к(х, у) + к(х,y)z. (21)

(5) (6) (7)

В силу определения элементов спектра тензора получим

к (фх , ФУ) = к (фх , ФУ) +

(0)

+ к (фх , ФУ )+к (фх , ФУ) +

(1) (2)

+ к (фх , ФУ )+к (фх , ФУ )+к (фх , ФУ ) +

(3) (4) (5)

+ к (фх , ФУ )+к (фх , ФУ ) =

(6) (7)

- К (х ,У ) - К (х ,У ) + к (х, У) +

(0) (1) (2)

+ К (х ,У ) + К (х ,У ) +

(3) (4)

к(х,у) - к(х,у) - к(х,у) (22)

(5) (6) (7)

Подставляя (21) и (22) в (20), с учетом (19) будем иметь

ГС1 rji Cl

а ...а. , T а ...а

что

К (X ,У ) = К (X ,У ) = К (X ,У ) = К (X ,У ) = 0

(0) (1) (6) (7)

(23)

Принимая во внимание предложение 1 и то,

8 (к ( ^ )= Кук1,

Получим соотношения, равносильные (23),

КаЬса = КаЬсй = К)Ь а1 = 0 •

Таким образом, в одну сторону предложение 4 доказано. Обратное очевидно.

Из предложений 2-4, следует

Предложение 5. Для почти контактных метрических многообразий справедливы включения: СК1 с СК2 с СК3.

Из предложений 2-4 и соотношений (5) следует справедливость утверждений.

Теорема 4. Нормальное 1еАС8-многообра-зие является многообразием классов СК2 и СК3.

Теорема 5. Нормальное кАСз-многообра-зие является многообразием класса СК1 тогда и только тогда, когда на пространстве присоеди-

ненной G-структуры Аае = ^

1

n + — 2

о +а00

Итак, в данной работе вычислены компоненты спектра тензора конгармонической кривизны нормальных 1еАС8-многообразий, получены необходимые и достаточные условия обращения этих компонент в нуль. Выделены классы СК1-СК3 почти контактных многообразий по дополнительным свойствам симметрии тензора конгармонической кривизны. Показано, что нормальное 1еАС8-многообразие всегда является многообразием классов СК2 и СК3. а СК1-многообразием является тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется (9).

18.10.2013

Список литературы:

1. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры па многообразиях [Текст] / В.Ф.Кириченко. - М.: МПГУ. - 2003. - 495с.

2. Olszak, Z. Locally conformal almost cosymplectic manifolds [Text] / Z.Olszak // Colloq. math. - 1989. - Vol.57. - N1. - P.73-87.

3. Yoon, D.W. Some inequalities for warped products in locally conformal almost cosymplectic manifolds [Text] / D.W.Yoon, K.S.Cho, S.G.Han // Note di Matematica. - 2004. - Vol.23. - n.1. - P.51-60.

4. Calapso, M.T. Pfaffian transformations [Text] / M.T.Calapso, F.Defever, R.Rosca // Studia Univ. «BABES.-BOLYAI». Mathematica. - 2006. - Vol. LI. - N.2. - P.29-38.

5. Matsumoto K, Mihai I and Rosca R, A certain locally conformal almost cosymplectic manifold and its submanifolds, Tensor (N. S.) 51 (1) (1992) 91-102.

6. Ishii, Y. On conharmonic transformations [Text] // Tensor. - 1957. - Vol. 7. no. 2. - P. 73—80.

7. Харитонова, С.В. Тензор кручения первой канонической связности локально копформпо почти косимплектических многообразий [Текст] / С.В.Харитонова // Вестник ОГУ. - 2010. - №9. - С.69-73.

8. Кириченко, В.Ф. О геометрии нормальных локально копформпо почти косимплектических многообразий [Текст] / В.Ф.Кириченко, С.В.Харитонова // Математические заметки. - 2012. - Т.91. - Вып.1. - С.40-53.

9. Шихаб, А.А. Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конгармонической кривизны [Текст] /

A.А.Шихаб // Вестник ОГУ. - 2012. - №1. - С.158-163.

10. Кириченко, В.Ф. О геометрии тепзора конгармонической кривизны приближённо келеровых многообразий [Текст] /

B.Ф.Кириченко, А.А.Шихаб // Фундаментальная и прикладная математика. - 2010. - Т.16. - Вып.2. - С. 43-54.

Сведения об авторе:

Харитонова Светлана Владимировна, старший преподаватель кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, e-mail: hcb@yandex.ru

UDC 514.76

Kharitonova S.V.

Orenburg state university, e-mail: hcb@yandex.ru

CURVATURE CONHARMONIC TENSOR OF NORMAL LOCALLY CONFORMAL ALMOST COSYMPLECTIC MANIFOLDS

We compute the components of the conharmonic curvature tensor of a normal locally conformally almost cosymplectic manifold (an lcACS-) structure. Necessary and sufficient conditions for a normal lcACS-manifold to coincide with the conharmonic plane are found. Allocated to the classes of almost contact structures on the properties of symmetry for tensor conharmonic curvature.

Key words: almost contact structures, conformal transformations, curvature tensor conharmonic.