Тождества на тензор конгармонической кривизны косимплектических многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОЖДЕСТВА НА ТЕНЗОР КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Ю. Ш. Муслимов, А. Р. Рустанов

Аннотация. В работе получены некоторые тождества на тензор конгармони-ческой кривизны косимплектического многообразия.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплекти-ческое многообразие, тензор конгармонической кривизны.

Summary. In this paper we obtain some identities for the conharmonioal curvature tensor of cosymplectic manifold.

Keywords: almost contact metric manifold, cosymplectic manifold, conharmonmal curvature tensor.

206

Даная статья является продолжением работы [1]. В статье используется терминология, принятая в работе [2]. Напомним необходимые сведения, приведенные в работе [1].

Пусть (М 2, Ф, § ) - косимплектическое многообразие.

Напомним, что ковариантный тензор конгармонической кривизны был введен Иши [3] как тензор типа (4,0) на п-мерном римановом многообразии, определенный формулой:

К(X,У,2, ж) = я(х,У,2, Ж)--У (X,Ж)5(у,2)- g(X,2)5(у, &)] +

1 П - 2 (1)

+-ткУ,2)5(X,Ж) - g(У, Ж)5(X,2)], УХ, У,2 е X(м),

п - 2

где Я - тензор римановой кривизны, - тензор Риччи. Этот тензор инвариантен при конгармонических преобразованиях, то есть при конформных преобразованиях пространства, сохраняющих гармоничность функций.

Тензор конгармонической кривизны удовлетворяет всем свойствам алгебраического тензора кривизны:

1 ) К(Х,У,2,Ж) = -К(УЛ Ж,2); 2) К(ХУЛЖ) = -К{XXЖ,2);

3 ) К(X, У,2, Ж) = К(2,X,У); (2)

4 ) К ^У,^) + К (У,2, X,W) + К (2, XX, Ж) = 0.

Напомним [1], что компоненты тензора конгармонической кривизны ко-симплектического многообразия М2+1 на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид:

1 К0а0Ъ К0аЪ0 Ка0Ъ0 Ка00Ъ К0Ъ0а

- К — К — - К — 1 а Ъс ■ ' 0Ъа0 _ Ъ0а0 _ ЛЪ0 0а " 2п - лЛас>

1 / 2п 1 (3)

2) *аъС — КЁаъ — -*Аьн -5+ 5^ -5

3) КаЪсс1 КаЪс1с КЪас1с КЪасс1 Аас 2п- \(аАсЬ +5 cAah),

а остальные компоненты нулевые. Введем обозначение:

Ла — Лас (4)

АЪ — АЪс . У '

Определим эндоморфизм А: Ь ^ Ь соотношением А(Х)= Л^Х^га + А^Х^ . Этот эндоморфизм обладает свойствами:

1) А(фХ) — Ф о А (X), 2) (А (X),У) — (X,Л(у)); X,У е X(м). (5)

Получим тождества на тензор конгармонической кривизны косимплекти-ческого многообразия М 2+1.

1. Применим процедуру восстановления тождества [2], [4] к равенствам

К00а — 0' К00а — -2Ц Аас' К00а — 0, то есть к равенству К0 0а — -^,

то есть к К (% ,£ а)% —--А (г а). Поскольку {£ а} является базисом подпро-

2п -1 а

странства Оф1 , а проектором на этот подмодуль является эндоморфизм

П —-2 (ф 2 + V- 1ф), то последнее равенство перепишем в виде 207

К(%,Ф2X + VГTфx)% —--— А(Ф^ + 4ZlФx)■ X е X(м). Выделяя дей-

2п -1

ствительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

1) К (%, Ф 2 X) % —А (Ф X;

А (

2п -1 (6)

2) К(%,ФX)% — --1— А^), X е X(м). 2п -1

Тождество (6:2) получается из тождества (6:1) заменой X ^ ФХ . Итак, тензор конгармонической кривизны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством:

К(%,Ф% —--—А(Ф; X е X(M). (7)

2п -1

2 / гон Преподаватель |_

Поскольку Ф2 = —й + П ® К(% = 0, и Л(£) = 0, то тождество (7) можно записать в виде:

К,X% = --Л(Х); X е X(М). (8)

2п -1

Назовем тождество (8) первым тождеством конгармонической кривизны косим-плектических многообразий.

Определение 1. Косимплектическое многообразие М2п+1 назовем косим-плектическим многообразием класса СК , если К, Х)В, = 0; X е X(М).

Из определения 1 непосредственно следует, что косимплектическое многообразие М п+1 является косимплектическим многообразием класса СК тогда и только тогда, когда А(Х)= 0; X е X(М). А, значит, тогда и только тогда, когда Ла = Ласс = 0, то есть тогда и только тогда, когда многообразие М2п+1 является риччи-плоским косимплектическим многообразием. А учитывая, что косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [5], получаем следующую теорему.

Теорема 1. Косимплектическое многообразие М2п+1 является косимплектическим многообразием класса СК тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским косимплектическим многообразием, то есть локально эквивалентно произведению риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую.

2. Аналогично применим процедуру восстановления тождества к равенствам

К0аЬ = К0аЬ = К0аЬ = 0 , то есть к равенству К'0аЬ = 0 , то есть к К(еа ,еЬ)% = 0 . Поскольку {е а} является базисом подпространства Оф"1 , а проектором на этот

208 подмодуль является эндоморфизм п =— -2 (ф2 + V—1Ф), то последнее равенство

перепишем в виде К (ф X + 4Z\ФX,Ф2У + лГ\ФУ)% = 0, X,У е X(М). Выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

1) К(Ф2X, Ф2У)% - К^, ФУ)% = 0;

2) К(Ф2X, ФУ)% + К^,Ф2У)% = 0; XX е X(М).

Итак, тензор конгармонической кривизны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством:

К(Ф2X,Ф2У)% - К(ФX, ФУ)% = 0; X,У е X(М). (9)

3. Аналогично применяя процедуру восстановления тождества к равенствам К° £ = 0, К ОС ^ = 0, К"0 ^ = 0, получим, что тензор конгармонической кривизны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством:

К(Ф2X, Ф2У)% + КФУ)% = 0; X, У е X(M). (10)

Из (9) и (10) получим:

К(Ф2X,Ф2У)% — К(ФX,ФУ)% — 0; X,Y е X(м). (11)

Поскольку Ф2 —-1й + п ®% и К(%,%)% — 0, то в силу (2), тождество

К(Ф^, Ф2У)% — 0; X,Y е X(м) перепишется в виде:

К(X, У)% — г| (% ,У) % -п (У)К(%, X) %■ VX, У е X(м). Согласно (8) последнее тождество примет вид:

К^,У) % —{т^Аф-п (X) А (у)}; VX,У е X(м). (12) 2п -1

4. Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам = 0, = 0' = 0, получим, что тензор конгармонической кривиз-

ны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством:

К(%, Ф2X) Ф2У - К(%, ФX)ФУ — 0; X, У е X(м). (13)

Поскольку АЪ — ^ А(е а), £ ъ), то из равенств

0 - ——%0АЪс — —%Л(еа),£Ъ), Кс - — —%с(л(еа),еА — 0,

а0Ъ 2п -1 2п - 1 \ Ъ/ а0Ъ 2п - 1 \ Ъ/

Кс - : а0Ъ 2п -

-% с/ А(е а), £ ъ) — 0, получим, что тензор конгармонической кривиз-

!-1 \ '

ны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством:

К(%, Ф 2X)Ф2Y + К(%, ФX)ФУ —-%(А (у), X); X, У е X(м). (14)

2п -1 2П9

Из тождеств (13) и (14) получим:

К (%, Ф ^)Ф2У — К(%, ФX)ФУ — %(Л(У), X); X ,У е X (м). (15)

2п -1

Тождество К(%,Ф^ Ф2У — —1—%(Л(у),X), согласно Ф2 — -^ + п ® %,

2п -1

К(%,%)X — 0 и (8), примет вид:

К(%,Л)У — {%<А(У),X) -п (Y)A(X)}■ X, У е X(м). (16)

Назовем тождество (16) вторым тождеством конгармонической кривизны ко-симплектических многообразий.

Определение 2. Косимплектическое многообразие М2+1 назовем косим-

плектическим многообразием класса СК2 , если К(%,X)Т = 0; X,У е

X (М ).

Из определения 2 следует, что косимплектическое многообразие М2+1 является косимплектическим многообразием класса С К2 тогда и только тогда,

2 / 20ц Преподаватель |_

ф

когда a(Y)), X) -п (Y)A(x) = 0; X,Y e X(M). Что равносильно равенству n (%)(A(y),X) -n (y)n(A(x))= 0; X,Y e X(M), то есть в силу п (A(X ))= 0, (A(Y ) X} = 0, то есть Ab = AbC = 0, то есть тогда и только тогда, когда многообразие M 2+1 является риччи-плоским косимплектическим многообразием. Таким образом, получили следующую теорему.

Теорема 2. Косимплектическое многообразие M2+1 является косимплектическим многообразием класса CK2 тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским косимплектическим многообразием, то есть локально эквивалентно произведению риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую.

Следствие. Косимплектические многообразия M2+1 класса CKj и класса C K2 совпадают.

5. Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам

K0, = 0 Kd, = 0 Kd, = 0, получим, что тензор конгармонической кривиз-abc ' abc ' abc ' 11 1

ны косимплектических многообразий обладает следующим тождеством: K(Ф2X, ФЬ)Ф2Z - K(Ф2X,ФУ)Ф1 -

- K($>X,Ф2Y)ФZ- K(t>X,ФY)Ф2Z = 0; X, Y e X(M). Поскольку Ф2 =-id + n ®K(È,%)X = 0 и K(%,%)% = 0, то отсюда после преобразований с использованием тождеств (5), (8), (11), (12) и (16), получим:

- K(X,Y)Z + K(X, ФY)ФZ + K(&x,Y) ФZ + K^X, ФY)Z =

1 (18)

210 = 2Й-1п (Z){п (X)A(Y) -п (Y)A(X)}; X, Y e X(M).

6. Теперь применим процедуру восстановления тождества к равенствам

K°, „ = A°ch +-L-(scaA?h + S?Aci)= 0, Kdh c = Adl +-L-(s+ S№),

abc ah 2n - hh h an/ ' ah c ah 2n - hh h an/'

Kd „ = Adh +fS hAdh + S dAhh \ = 0

аЪс = АаЪ + ^П^ТI°°Льк + °Ъ Лак ) = ТО еСТЬ К РаВСНСТВаМ Къг = АаЪ + ^+ 5[АО*), то есть

к(еъ,ег)еа = А(еа>еъ,ес^т-Ц-{еа,е£)а(еъ) + еъ(А(еа),ес)}. Посколь-

2п - Т _ _

ку {а }, {а } являются базисами подпространств оф— и оф— соответственно, а проекторами на эти подмодули являются эндоморфизмы П =— "2 (ф 2 ^л/-Тф) и П = "2 (—Ф 2 ^ V—Тф), то последнее равенство перепи-

шем в виде:

К (Ф ^ + V-TФX,- Ф 2У + л/-ГФ1)(Ф27+ VГTФz) — —а(ф27 + ^/-TФZ,Ф2X + лГTФX,- Ф2У+ л/-ТФУ) +

1~1 {{ф2Z^^/-TФZ,- Ф2У +Т=ТФУ)А(Ф2X+ Т-Г^)) {(фX+V=Tфx) (A(ф2Z+ л/-^), -Ф2У+7=ТФУ)}; X,У,Z е X(м).

В силу свойств тензоров К и А, последнее равенство перепишем в виде:

- К(Ф^,Ф2У) ФЬ- К(Ф^,ФУ)ФZ+К(ФX,Ф2Y)ФZ- К^,ФУ) Ф2Z —

— - А (Ф ^, Ф 2 X, Ф 2У)-А (Ф 2 Z, ФX, ФУ)-Аф, Ф 2 X, ФУ)+ А (ФZ, ФX, Ф 2У) + ^-^Ф 2 Z, Ф 2У^ А (ф 2^)- ^Ф 2Z, ФУ^Л^) ^ФZ, Ф 2^A(ФX)} +

+ 2п -

+ 2п -

1

+--

2п -1

+--

2п -1

,ФУ)А(ФX - Ф2X^Л(ф2Z),Ф2У^ - Ф2X(A(ФZ),ФУ)} -T{-ФX^A(Ф2Z),ФУ^ + ФX^A(ФZ),Ф2У)}; X,У,Z е X(м).

2п -1

В силу свойств (5), я (фX' фУ ) = я (X ,У ) - п (X)! (У ) и л^ у, г )= л(^ , фу , г )= - л(^ у, Фг), последнее тождество можно переписать в виде:

- К(Ф2X, Ф2у)ф2Z - К(Ф2X, ФY)ФZ + К(Ф¥, Ф2У^ - К(ФX, ФУ)Ф2z —

+ -

— 4A(z,X, У) +-{у,Z)A(X) -п (У)П ^А^)-(У,Ф^ФЛ(г)}+ (19)

2п -1

2

{(У, АЩ -п (X) % У, ЛЩ - ФX(У, ФА^)} X, У, Z е X (м).

2п-1

Согласно (8), (12), (16), тождество (19) после преобразований примет вид: К(X, У^ + К(X, Ф Y)ФZ - К^, У^ + К^, Ф У)Z — — 4 А^, X, У) + —Ц {2( У, Z)A(X) -п (У)пф A(x) - 2( У, ФZ)ФЛ(x)}+ (20)

2п -1

1

+ -

-^(У,A(z)-п(X)п(z)A(У)-2ФX(У,ФA(z))}■ ХУ,Z е X(м).

2п -1

Из (18) и (20) получим:

К(X, У^ - К^, У) ФZ — 2 А^, X, У) +

1 (21)

+ --- {У, Z) А^) - (У, ФZ)A(фX) + X{Y, АЩ - ФX(Y, A(ФZ))}■

2п -1

v х у, г е x(m).

Назовем тождество (21) третьим тождеством конгармонической кривизны ко-симплектических многообразий.

Определение 3. Косимплектическое многообразие М2+1 назовем косимплектическим многообразием класса С К3 , если

К (X, У^ — К ^, Y)ФZ ■ X, У, Z е X (м).

2 / 20ц Преподаватель

+

ф

Из определения 3 следует, что косимплектическое многообразие М 2+1 является косимплектическим многообразием класса С К3 тогда и только тогда, когда

А^, X, У) — ф^/- У' Z)A(X) + (У, ФZ)Л(ФX) - X{Y, АЩ + Ф^ У, А^))}.

Последнее равенство на пространстве присоединенной G-структуры равносильно равенству А^Ъ + ^-1 (аА^ц + ^Ъ АСЛг)— 0. Свернув это равенство по

индексам Ь и с, получим, что АЪ — А^Ь — 0, а, значит, А^ — 0, то есть многообразие является плоским многообразием.

ЪЛ

Обратно, для плоского косимплектического многообразия Аас — 0. Значит

КАи. — АЛс +

аЪс аЪ 2п -образием класса С К3 . Таким образом, имеем следующую теорему.

Теорема 3. Косимплектическое многообразие М2+1 является косимплектическим многообразием класса С К3 тогда и только тогда, когда оно является плоским косимплектическим многообразием, то есть локально эквивалентно произведению плоского келерова многообразия на вещественную прямую. 7. Аналогично, применяя к равенствам

■—i(aAfrfo + 5d A'^j))— О' То есть многообразие является много-

J_(50AchcA0h + 5cA0h -S0Ach)-

n -aAbh aAbh + °bAah °bAah)~

1 Ísí d ¡ch s; c dáh . ? c ¡dh ? d ¡ch\ —X\>aAbh -5aAbh + 5bAah -5b Aah)'

^d __ a - a + A - A

cab 2n — aJ~Lbh y~'a^lbh ^^b^ah ^b^ahj'

isd 1 fe d Ach s; c Adh , ? c it/h ? d Ach| A

K£ab = 2ПГГ i5a Abh - 5a Abh + 5b Aah - 5b AahJ = °>

212 то есть к равенству Kiab = 2П1—1(^ -5a^bh + ЧА1 -5bAOchí) привеДеннуЮ

выше процедуру восстановления тождества, мы получим следующее тождество:

- к(ф 2X, Ф 2 У)Ф 2Z - к(ф 2Х, ФУ- К(ФХ, Ф2У^ + K(ФХ, Ф у)ф 2Z =

- 2 -t{x(a (у), Z) -n (x)^ A (у), Z) - ФХ( ФА (у), z) - (X, z)a(y)}+

+

t {n (X) n (Z) А (у) -{X, Ф^ ФА (у) + (у, Z)A(X) -n (у) П (z)a(x)}+ 2п2ТТ{У,Ф^ФА(Х) - У(А(Х),Z) + n(У)А(Х),Z) + ФУ(ФА(х),ZX,У,Z е X(м).

+sfc

Согласно (5), (8), (12), (16), тождество (22) после преобразований примет вид:

к(х, y)z+к(х, ф y^z+к(фх, у)ФZ - к(фх, ф y)z -

{n(x)n(z) А (у) - n (y)n(z) А(Х) + 2 Х(А(у), Z) - 2ФХ( ФА(у), Z)}+

2п-1

+ 2пПтТ {- 2(Х, Ф^ФА(У) + 2 Y, Z)A(X)- 2{Х, Z)A(y)}+ (23)

—{2(Y, Ф^ФА(Х) - 2У( А(х), Z) + 2Ф У(ФА(х), Z}; X, У, Z е X(м). -1

+ 2п -

Из (1B) и (23) получим:

K (X, y)z—K (SX, ФY)z = [x(y , a(z)+Фx^J, a^z))}+

1 2n — 1 (24)

+-- {— {X, ФZ)A(ФY) + {Y, Z)A(X) — {X, Z)A(Y)}+

1

2n-1

+

2n-

1 {Y, ФZ)A(ФX) — Y{X, A(Z) — Ф Y(X, A^Z)} X, Y, Z e X(M).

Назовем тождество (24) четвертым тождеством конгармонической кривизны косимплектических многообразий.

Определение 4. Косимплектическое многообразие M2+1 назовем косим-плектическим многообразием класса СК4, если

К (X, У)г = К (ФХ, ; XX, 7 е X(м).

Пусть M2+1 - косимплектическое многообразие класса СК4, тогда

КёаЬ = 2 1 1 (аАъ1 - ЯаАъЬ + ЯЪАак - ^Ъ А<ак)= 0 Свернем полученное равенство по индексам d и а, тогда

(,„ 2) лЪс , я Ъ

сС

(n — 2) Abc + S Ucd = О. (25)

Свернем (25) по индексам a и b, тогда

4al

ab

{n — 1) Ad = О. (26)

Возможны два случая: 1) n = 1, то есть dimm = 3; 2) AaU = О, тогда равенство

hc с h

n — 2) Aa c = О, то есть многообразие является либо пятимерным косимплектическим, либо Aabcc = О, то есть является риччи-плоским. Таким образом, мы имеем следующую теорему.

Теорема 4. Косимплектическое многообразие M2+1 в размерности больше 3 является косимплектическим многообразием класса CK4 тогда и только тогда, когда оно является либо риччи-плоским косимплектическим многообразием, то есть локально эквивалентно произведению риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую, либо локально эквивалентно пятимерной сфере S5, снабженной канонической косимплектической структурой.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рустанов А. Р., Муслимое Ю. Ш. Геометрия тензора конгармонической кривизны косим-плектических многообразий // Приоритетные направления развития современной науки: Материалы Международной заочной научно-практической конференции. 3 июля 2Q1Q г. -Чебоксары, 2Q1Q. - С. 172-17S.

2. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2QQ3. - 495 с.

3. Ishii Y. On conharmonic transformations // Tensor. - 1957. - 7(2). - С. 73-SQ.

4. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. - Т. 193. - № S. - С. 71-1QQ.

5. Kiritchenko V. F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris. - Sér. I. Math. - 19S2. - V. 295. - P. 673-676. ■

2 / 20ii Преподаватель |_

213