С10-многообразия точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

УДК 514.76 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-35-39

С10 -МНОГООБРАЗИЯ ТОЧЕЧНО ПОСТОЯННОЙ ГОЛОМОРФНОЙ КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ

© 2018 г. А.Р. Рустанов1

1Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия

C10-MANIFOLDS OF A POINTWISE CONSTANT HOLOMORPHIC CONHARMONIC CURVATURE

A.R. Rustanov1

1National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia

Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико- Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathemat-математических наук, доцент, кафедра прикладной ма- ics, Associate Professor, Department of Applied Mathemat-тематики, Институт фундаментального образования, ics, Institute of Fundamental Education, National Research Национальный исследовательский Московский государ- Moscow State University of Civil Engineering, Yaro-ственный строительный университет, Ярославское slavskoye Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, е-mail: шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, е-mail: aligadzhi@yandex.ru aligadzhi@yandex.ru

Рассматриваются почти контактные метрические многообразия класса С10 в классификации Чинья - Гонзалеза точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Вводится в рассмотрение тензор голоморфной конгармо-нической кривизны. Получены условия на этот тензор, когда С10-многообразие является многообразием постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Доказано, что точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны С10 -многообразия в размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его голоморфной конгармонической кривизны. Доказано, что если С10-многообразие является точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны

c, тогда либо Мявляется косимплектическим многообразием, либо с = - - —9" +Sn, 1 , FÎ > 0.

r 5 3n(2n-1)(n+1) n

Ключевые слова: C10-многообразие, косимплектическое многообразие, тензор конгармонической кривизны, тензор голоморфной конгармонической кривизны, С10-пространственная конгармоническая форма.

In this paper we consider almost contact metric manifolds of class C10 in the Chiney-Gonzalez classification, pointwise constant holomorphic conharmonic curvature. A tensor of holomorphic conharmonic curvature is introduced. Conditions are obtained for this tensor when the C10-manifold is a manifold of constant holomorphic conharmonic curvature. It is proved that the pointwise constancy of the holomorphic conharmonic curvature of a C10-manifold in dimension greater than three is equivalent to the global constancy of its holomorphic conharmonic curvature. It is proved that if a C10 -manifold is a pointwise constant holomorphic conharmonic curvature c, then either M is a cosymplectic manifold or с = --• > 0.

Keywords: C10 -manifold, cosymplectic manifold, tensor of conharmonic curvature, tensor of holomorphic conharmonic curvature, C10-spatial conharmonic form.

Понятие голоморфной секционной кривизны яв- странственная форма локально изометрична евкли-

ляется одним из наиболее фундаментальных в диф- дову пространству Rn, или n-мерной сфере Sn, или

ференциальной геометрии почти контактных метри- n-мерному гиперболическому пространству Нп .

ческих многообразий. Наиболее хорошо известно Этот результат наталкивает нас на исследование почти

требование точечного постоянства секционной кри- контактных метрических многообразий класса Сю, об-визны. Римановы многообразия, обладающие этим ладающих требованием точечного постоянства го-

свойством, называются пространственными фор- ломорфной конгармонической кривизны. Интерес к

мами. Отметим, что классический результат диффе- данному классу многообразий объясняется тем фак-

ренциальной геометрии утверждает, что любая про- том, что они являются естественными обобщениями

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

косимплектических многообразий. Этот класс многообразий был введен в работе [1] и изучался в [2-7]. В данной статье продолжается изучение геометрии тензора конгармонической кривизны, начатое в [4].

Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (ЛС-многообразие) размерности 2п + 1 с почти контактной метрической структурой {Ф,-П,^,д} [8, 9]; Х(М) - С™-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты

Сот

± . . .

Определение 1 [2]. Почти контактная метрическая ЛС-структура, характеризуемая тождеством ЧХ(Ф)У = фг(г,)ФХ + Х,УЕ Х(М),

называется Сю-структурой. ЛС-многообразие, снабженное Сю-структурой, называется Сю-многообра-зием.

Тождество — РакРЪ[с)р1щС] = 0 называ-

ется первым фундаментальным тождеством Сю-многообразий; Ра[ъРсс] = 0 - вторым [4].

Пусть М2п+г -Сю-многообразие. Тензор конгар-монической кривизны почти контактной метрической структуры на пространстве расслоения всех реперов вычисляется по формуле [10]

Щк1 = (!)

= Цк I +4^1 (8к%1 — 81%к + д]1$1к — дjкS¡),

где Щки дjl - компоненты тензоров римановой кривизны, Риччи, метрического.

Легко показать из (1), что тензор конгармониче-ской кривизны обладает всеми классическими свойствами симметрии тензора Римана - Кристоффеля.

Напомним, что на пространстве присоединенной С-структуры тензор конгармонической кривизны Сю-многообразия имеет следующие ненулевые компоненты [4]:

^ Ксоь = Съ + 2Ш-1 (%аЬ + %008с) = = — РасрСЬ + ^ (АЬас — РасРСЬ — 2РссРСС8^У, 2) КъсС = Ксй + 2П-1 (Бъй8!а + Яь^ас) =

2п-1 1

(2)

Определение 2. Почти контактное метрическое многообразие М называется многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны с, если

УХ е £ = 1тФ = kerr] ^ ^ (Кт(Х, ФХ)ФХ,Х) = с\\Х\\*; (3)

Х е £ = 1тФ = kerr ; с е С™(М).

Если к тому же с = const, многообразие называется многообразием глобально постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Сю-многооб-разие точечно постоянной голоморфной конгармо-нической кривизны назовем Сю-пространственной конгармонической формой и будем обозначать через М( с).

Пусть М - почти контактное метрическое многообразие точечно постоянной голоморфной конгар-монической кривизны с. Расписывая соотношение (3) на пространстве присоединенной G-структуры, получим

(Кт(Х,ФХ)ФХ,Х) =

= 9цК^1т(ФХ)кХ1(ФХ)тХ1 =

_ 9<гта у ybycyd \ лпга у ybycy i

= -2.KbcdAaA Л Л + Ц:.Кь^ЛаЛ. Л Ad +

+2^bacdХaХbХcХd + 2Жас(1ХаХьХС^

^BcdXaXbXcXd

qra yaybycyd лbcdX X X X .

В силу свойств симметрии тензора конгармонической кривизны Кс^^Х^"1 =

_ qra у ybycy>

= bdcXaX X X

b d X b c d

a b c d

■KbcdXaX X X ,

c^d

3) КЬаса — 5Бс8а + 3*5ас — 8Ь5аа) =

= ^ШАь-—Р^Р™) — за(АЬц—РсНР™) + +ПЬь(АасЦ — РсНРНа) — 8Ь(А% — РыР1«1)};

4 КЬ>сС = &Ьсй = —раЬРсС.

К (2) добавляются соотношения, полученные с учетом вещественности и свойств симметрии этого тензора как алгебраического тензора кривизны. Остальные компоненты тензора конгармонической кривизны равны нулю.

т.е. каасй = 0. Аналогично = 0, КС^ы = 0, •■ВсВ = 0, Кьс? = 0 .С другой стороны, на пространстве присоединенной С-структуры с\\Х\\2 = 4сдаьдсаХЬХсХаХа = 4с8^8СсХъХсХаХс.

Таким образом, соотношение (3) на пространстве присоединенной С-структуры запишется в форме \К1саХаХъХсХа = 4СЗСЗ?ХЬХСХСХС1.

Поляризация этого соотношения приводит к теореме.

Теорема 1. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры

(4)

nriad) _ c Pad ^ (bc) = 20bc ,

где = 8^8? + 8*82.

Исследуем теперь С10-многообразие постоянной голоморфной конгармонической кривизны.

Поскольку Кьсс? =Ааайс+^-1 Ьъц8* + 8^) , с учетом кососимметричности структурного тензора

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

и теоремы

^bc + 7(7„_лЛ (ßbä^c + °bSâc +

+Scâ5b + Sbâ5c) = ^¿¡¡bCf. Введем в рассмотрение чистый тензор А типа (2 2) с компонентами А¡¡^ =

= А

ad

bc ' 2(2n-1)

+ {SbdSa + ^bSac + ScdSb + SbâSd),

ad _ c ëad 0bc .

л ad _ Äbc = 2

Рассмотрим 4-форму

H(X,Y,Z,W) = (A?c-c-0£)xbYcZaWd =

— {Äad + 2(2п_±) (Sbd0c' + 0bSac + Scd0b + c £ad\ vbvc

(5)

+Sbii0?)-c10adi}xbYcZaWd-,X,Y,Z,W G X(M).

X

+{Äbd(SbäOaa + о^с+Scäoa+Sbäod) -

Согласно (5), H(X,X,X,X) = 0. Более того, форма H (X, X, X, X) обладает свойствами:

1. H(Xn + X2, Y,Z, W) = {Äabd (SbdOa +

+odSâc+Scaoa+Sbäod) -coad} X (Xn + X2)bYcZaWd = {Äad +:(^)(Sbà0ca + +0ÎSâc + ScàOba + Sba0d) -c0acd}XnbYcZaWd + 1-(s, -,0a + 0d<

2(2n-1)

c0ad} Xb!YcZaWd = H(Xn, Y, Z, W) + H(X2, Y,Z, W).

2. H(X, Y,Z, W) = H (Y, X,Z, W) = H(X, Y, W, Z).

3. H(X,Y,Zn+Z2,W) = H(X,Y,Zn,W) + +H(X, Y,Z2,W).

4. H^X,Y,Z,W) = V-1H(X,Y,Z,W).

5. H(X,Y^Z,W) = -V-1H(X,Y,Z,W). Опираясь на приведенные свойства, можно легко

показать, что H(X, Y, Z, W) = 0. Таким образом, доказана

Теорема 2. С10-многообразие является многообразием постоянной голоморфной конгармонической кривизны c тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры '¿ad _ c ß;ad

Äbc =2 0bc . Введем обозначения:

Äb>=Äac;E^ = FacFcb. (6)

Продифференцировав внешним образом соотношения (6), с учетом полной группы структурных уравнений С10 -многообразий [2] получим следующие соотношения:

dÄb+Ä№

Äaec- *ad -c

a d c adc ÄbdcV + Äbd шо

dFa+Fcea-Fcaec = o. (7)

Продифференцируем внешним образом соотно-

шение Ä

ad _ c ß;ad

b

2

b

dÄad=\0bddc,

dÄabd +7(- FbhFhd)0a +

+(Äan-FchFha)od + (Ädz - FchFhd)oa + « --FbhFha)0cd} = noacddc, т.е.

{(dÄdb - dFd)oa + (dAa - dFca)0bd +

dÄbd +

симметричный по любой паре верхних и нижних индексов. Назовем его тензором голоморфной кон-гармонической кривизны. Тогда равенство (4) примет вид

2(2п-1)

+ (САас - йРса)8£ + (йАаь - СР§)8*} = 1^аьасйс. С учетом (7) и полной группы структурных уравнений С10-многообразий [2], последнее равенство перепишется в виде

/¡ad ..h I л

ÄhrhW + Ä

b ch

+Alieh +

a dh

bc Vh

1

2(2п-1)

h d a

Äb c eh

{(A%h*h + A*>h

ah d a d h

Äb c eh + Äh c eb +

Abed +

+Aheh + Fhed - Fdeh)oa} + ^ (Ac3h

bg Vh

1

2(2п-1) '

ag Vh +

+Aarghvh

g

Ahea + Ahehh + Fchea - Faeh)0d +

+

4(A

d g h

c

ndgh^

2(2n-1)^"cghM + Adg'^h - Ahed + Adehh +

c

d h

+Fched-Fdeh)oa +

2(2n-1)y bgh

a gh

bg Шh -

- Ab ea+Aaeh+Fhea - Faehx = ns^dc, т.е. {Ath +

-Adg 0a +

. 0C +

2

Aagst +

2(2n-n)Äbgh0c + 2(2n-n)Äcgh0b

+

1

i\dg

_ Adg xa I 1 Aag cd

2(2n-n)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c

+

a dh b c

1

+\ Aadh +

Aigh5a+-

2(2n-1) bg "c 1

Äa gh 0 d+

Adgh8a +

2(2n-1)Äcg 0b

___ ghfid},. -

2(2n-1)Äcg 0b + 2(2n-1)Äbg 0c}Wh

1 {(Ah - Fch)6ê + (Ah - Fh)5d}\ ea

[Ahbî +

[Abh +

a d

h c +

a d

2(2n-1) ' 1

2(2n-1) 1

2(2n-1) 1

2(2n-1)

{(Ahb-Ft)0a + (Ah-Fch)0a}]ed

b }

{(Ah - Fd)Sa + (Aa - -Fa^d}] eh +

+

+ [a

+ [Aah+4^{(Ah - Fa^d + (ac - Ft^}] eh =

= nSâidc, т.е.

2

b c

{AUh +

- Adg fia +. Ä 0 +

Aa°0d +

2(2n-1)Äbgh0c +2(2n-1)Äcgh0b

1

Adg ta I Ä 0 +

1

_A 0 +_Aag 0ь

2(2n-1)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c

1 .dgh c.n , 1

Äâb9gh8b}Шh+{Ähbbh +

_ Äd

2(2n-1) bg

1

Äa gh 0 d+

fia +_____

0c + 2(2n-1)Äcg 0b + 2(2n-1)Äcg 0b

Äd gh 0 a+

Aagh0d} Vh - Ahdea - Aahed+а^ +

2(2n-1) bg c

+Abdeh = nsâidc.

b c

Поскольку с Е Ст(М) , то форма Сс (точнее, С(п*с) = п*(Сс)) является горизонтальной. Следовательно, Сс = саша + саша + с0ш. Тогда, в силу (7), последнее равенство примет вид

{А

a d b ch

+

- Adg fia + Ä 0 +

Äa g 0 d + Ä 0 +

2(2n- -1)

1

2(2n- -1)

1

2(2n-1) bgh c + 2(2n-1) cgh b

Äbghôâ +

2(2n-1)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c

Äâghôb}œh + {Äâbh +

Aigh0aa+-

Äa gh 0 d+

1

■.(2n-1)Äcg 0b

Äd gh 0 a+

Aagh8d}<Oh

2(2n-1) bg c

h d a Äbc eh

ah d Äbc eh

2(2n-1)Äcg 0b

a d h

h c eb

eb + Äâiea +

l

1

1

1

1

1

1

1

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

+ Äfhe£ = lstf(caaa + саша + +с0ш).

Поскольку -С ~8™еа - С-KhcQh + СKhQb +

Свернем равенство (10) по индексам a и с. Тогда ÄhbFhh - ÄcahdFha = -FfrFhh. Так как Ä^a = 0,

+c-§ahe? = 0,

то

Г /iah I 1 »hg кал.

]Äbrh + ^Ähr,hur +

2(2n-1) b3h с

+ 1 Aa3 Öh I 1 Ah3 Öa + + 2(2n-1)Äcgh°b + 2(2n-1)Äcgh°b +

I

2(2n-1)

Л_Aa3 Öh} ,lth + {Aahh + Ah3hÖ

ÄbghÖc]"> +{Äbc + 2(2n-1)Äbg Ö'

2(2n-1) ba с

I

I

—Äafö?+^^*hgh

I

I

I

(2n-1)Äc3 Öb + 2(2n-1)Äc3 _ ¿aghxh')

Ährra +

то в полученном равенстве, переобозначив Ь на с, получим

АсРМ = —рс1рПС. (И)

Назовем (11) третьим фундаментальным тождеством.

Первое фундаментальное тождество с учетом (9) и второго фундаментального тождества можно за-

Äaföh}^ = \Saah(Caü>a + Ca^a + С0<0).

2(2n-1) b3 с .

Отсюда

писать в виде

С Sah р__

2 Öbc Fhh 2(2n-1)

1

{(Äh - Fh^a + (äc - fM +

i)Äbhh +

1

Ah3 öa +■ Ä Ö I

ACLsi +

2(2n-1)Äb3hÖc + 2(2n-1)ÄC3hÖb 1

+(Äh - Fch)sac + a - Fc^Fhh -C^hc +

Ah3 xa I

Ä Ö I

Äab3h8? = Уа£сн.

I

1

2(2n-1) c3h b ^ 2(2n-1) b3h c 2

2)Äahh +

2(2n-1)

Äh 3h Ö aI

2(2n-1) b3

ÄC3hsh +

2(2n-1) 3 b

:Äh3hSC+:

(8)

___ Aa3fLxh _ ZXChrh.

2(2n-1)Äc3 Öb +2(2n-1)Äb3 Öc 2 bc ;

3) C0 = 0.

Проальтернируем равенство (8:1) по индексам с и h. Тогда, поскольку AC^] = 0, получим

i\h3

{(Äh-Fhd)sc + (Ähh-FC)sd + (Ähh

-Fh)ÖC + (Ab - FCC)Ö^}Fhc + FahFhbFch = 0,

т.е. с учетом (11) C^SF^ + SCCFbh - S^C) =

1

2(2n-1)

{ACFbh + ÄÄbFch - ÄhFbc - ÄbFhc

{ Äh3 Öa + Äa3 Öd + Äh3 Öa +

{Äb3hÖc + Äc3hÖb + Äc3hÖb +

4(2n-1) t b3h c *C3 oh Ah3

3h Öb

a3 xd лh3 Xa ла3 xh\

+ ac3 Öh_Ah3 fia - Ac3 fih - Ah3 ÖC - Aa3 Rh} =

+Äb3hÖc Äb3CÖh Äh3CÖb Äh3CÖb Äb3CÖh} =

UÖCÖhcu-Ö^'1 венство свернем сначала по индексам a и b, а затем по индексам с и d. Тогда (Ä - Äh3c) =

- FcCFbh - - FbFch +

+ 2ÖhCFbFhc + FdFbc + 2Ö^F^Fhc + FbFhc} - FbFch.

Полученное равенство свернем по индексам a и b. Тогда получим С(П + 1)Fch =

1

2(2n-1)

{ÄhFhh-ÄhhFhc + 2ÄhhFch- (12)

= - (5^8?сс — 8С8ссс + 8с8Ссс — 8с8£сс) . Это ра- —2Р>СРсс — (2п + З^с? + (2п + 3)Р^РНс} — Р£Рсс.

С учетом третьего фундаментального тождества равенство (12) можно записать в форме

с(п + 1)Рсс =-^-{2(п + 2)(—РссРНс +

1,

= ~(п2 - 1)ch , т.е. ch(n2 - 1) = 0 . Отсюда либо п = 1, либо с h = 0. Аналогично из (8:2) получаем, что либо п = 1, либо ch = 0. То есть de = саша + +саша + с0ш = 0,а значит, с = const.

Таким образом, доказана

Теорема 3. Точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного С10 -многообразия размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его голоморфной конгар-монической кривизны.

Пусть M2n+1 - С10-многообразие точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны, т.е. является С10 -пространственной конгармониче-ской формой. Из (5)

2(2n-1) '

+F^Fhc) + 2(Ah- Fb)Fcd} - FhhFh (13)

Из (9)

Äb = C(n + l)5ac

1

2(2n-1)

{(n + 2)(Ab-FCC) +

+ (Ahh - Fhd)5a}. (14)

Свернем равенство (14) по индексам a и b. Полу-

чим

Ähl = C-(n + 1)(2n-1)+^Fhd. Подставив (15) в (13), получим равенство

(15)

Ach = -^^{(Ah - FfiÖC + (Äc - F^Öh +

+(Ah - Fch)Öa + (Ac - Fcc^h}.

с 'с ;8Ь

с — гс )8Ь + (Аъ — гъ )ис }. (9)

Рассмотрим первое фундаментальное тождество (А'^Сс — РсНРь[с)Р\ъ.\с] = 0. С учетом второго фундаментального тождества его можно записать в виде

\с(п + 1)Рсс =Пк(—рСрсс + РССРсс) — 3-П+ГР£РСС , которое в силу второго фундаментального тождества можно записать в виде

5

6

^(n + DFca--9-?^-1^

3n(2n-1)

FhFcä, т.е.

+ 9n +5п 1 Fhï F = 0. Тогда либо

3n(2n-1) h ) ch

ah ah a

ÄbcFhh ÄbhFhc = -Fb Fch.

(10)

[5c(n + 1)

Fch = 0, т.е. многообразие является косимплектиче-

-Fhh > 0. Если с = 0,

6 -n2+5n-1

Свернем это равенство по индексам a и b. Тогда

AhFhh -ÄhFhc = -FhFch = -Œab\FCb\2)Fch.

ским, либо с = - , .

' 5 3n(2n-1)(n+1)

то Fhh = 0, т.е. многообразие является косимплекти-ческим.

a

1

1

1

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Таким образом, доказана

Теорема 4. Пусть М - С10-многообразие точечно постоянной голоморфной конгармониче-ской кривизны с. Тогда либо М является косим-плектическим многообразием, либо

с = -

9n2+Sn~1 vc 0

___рь

S 3п(2п-1)(п+1) h

NATURAL SCIENCE.

References

201S. No. 4

Литература

1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed ap-plicata (IV). 1990. Vol. V, CLVI. P. 15-36.

2. Рустанов А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI век. 2010. № 4. С. 199-207.

3. Рустанов А.Р. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI век. 2014. № 2. С. 207-213.

4. Мелехина Т.Л., Рустанов А.Р. Конгармонические аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса С10 // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 4-1. С. 31-36.

5. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. Сю-многообразия класса // Slovac International Scientific J. 2017. № б (6). Р. У9-82.

6. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. Контактные аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса Сю // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 11-13.

7. Рустанов А.Р. Свойства изотропности Сю-много-образий // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 13-17.

8. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Изд. 2-е, доп. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.

9. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100.

10. Ishii Y. On conharmonic transformations // Tensor. 1957. Vol. 7 (2). Р. 73-80.

1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. Annali di Matematica pura ed appli-cata (IV). 1990, vol. V, CLVI, pp. 15-36.

2. Rustanov A.R. Tozhdestva krivizny pochti kon-taktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Curvature identities of almost contact metric varieties of class C10]. Prepodavatel'XXI vek. 2010, No. 4, pp. 199207.

3. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti tenzora krivizny pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Properties of isotropy of curvature tensor of almost contact metric varieties of class C10]. Prepodavatel' XXIvek. 2014, No. 2, pp. 207-213.

4. Melekhina T.L., Rustanov A.R. Kongarmonicheskie analogi tozhdestv Greya dlya pochti kontaktnykh metrich-eskikh mnogoobrazii klassa C10 [Congarmonic analogues of Gray identities for almost contact metric varieties of class Ci0]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2017, No. 4-1, pp. 31-36.

5. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. C10-mnogoobraziya klassa [C10-varieties of the international scientific class]. Slovac International Scientific J. 2017, No. 6 (6), pp. 7982.

6. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. Kontaktnye analogi tozhdestv Greya dlya pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Contact analogues of Gray's identities for almost contact metric manifolds of class C10]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 11-13.

7. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti C10-mnogoobrazii [Isotropy properties of C10-manifolds]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 13-17.

8. Kirichenko V.F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometric structures on manifolds]. Ed. 2nd, add. Odessa: Pechatnyi dom, 2013, 458 p.

9. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differentsial'naya geometriya kvazisasakievykh mnogoobrazii [Quasibanach differential geometry of manifolds]. Mat. sb. 2002, vol. 193, No. 8, pp. 71-100.

10. Ishii Y. On conharmonic transformations. Tensor. 1957, vol. 7 (2), pp. 73-80.

Поступила в редакцию / Received

9 июля 2G18 г. / July 9, 2G18