ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4
УДК 514.76 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-35-39
С10 -МНОГООБРАЗИЯ ТОЧЕЧНО ПОСТОЯННОЙ ГОЛОМОРФНОЙ КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ
© 2018 г. А.Р. Рустанов1
1Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия
C10-MANIFOLDS OF A POINTWISE CONSTANT HOLOMORPHIC CONHARMONIC CURVATURE
A.R. Rustanov1
1National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia
Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико- Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathemat-математических наук, доцент, кафедра прикладной ма- ics, Associate Professor, Department of Applied Mathemat-тематики, Институт фундаментального образования, ics, Institute of Fundamental Education, National Research Национальный исследовательский Московский государ- Moscow State University of Civil Engineering, Yaro-ственный строительный университет, Ярославское slavskoye Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, е-mail: шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, е-mail: [email protected] [email protected]
Рассматриваются почти контактные метрические многообразия класса С10 в классификации Чинья - Гонзалеза точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Вводится в рассмотрение тензор голоморфной конгармо-нической кривизны. Получены условия на этот тензор, когда С10-многообразие является многообразием постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Доказано, что точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны С10 -многообразия в размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его голоморфной конгармонической кривизны. Доказано, что если С10-многообразие является точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны
c, тогда либо Мявляется косимплектическим многообразием, либо с = - - —9" +Sn, 1 , FÎ > 0.
r 5 3n(2n-1)(n+1) n
Ключевые слова: C10-многообразие, косимплектическое многообразие, тензор конгармонической кривизны, тензор голоморфной конгармонической кривизны, С10-пространственная конгармоническая форма.
In this paper we consider almost contact metric manifolds of class C10 in the Chiney-Gonzalez classification, pointwise constant holomorphic conharmonic curvature. A tensor of holomorphic conharmonic curvature is introduced. Conditions are obtained for this tensor when the C10-manifold is a manifold of constant holomorphic conharmonic curvature. It is proved that the pointwise constancy of the holomorphic conharmonic curvature of a C10-manifold in dimension greater than three is equivalent to the global constancy of its holomorphic conharmonic curvature. It is proved that if a C10 -manifold is a pointwise constant holomorphic conharmonic curvature c, then either M is a cosymplectic manifold or с = --• > 0.
Keywords: C10 -manifold, cosymplectic manifold, tensor of conharmonic curvature, tensor of holomorphic conharmonic curvature, C10-spatial conharmonic form.
Понятие голоморфной секционной кривизны яв- странственная форма локально изометрична евкли-
ляется одним из наиболее фундаментальных в диф- дову пространству Rn, или n-мерной сфере Sn, или
ференциальной геометрии почти контактных метри- n-мерному гиперболическому пространству Нп .
ческих многообразий. Наиболее хорошо известно Этот результат наталкивает нас на исследование почти
требование точечного постоянства секционной кри- контактных метрических многообразий класса Сю, об-визны. Римановы многообразия, обладающие этим ладающих требованием точечного постоянства го-
свойством, называются пространственными фор- ломорфной конгармонической кривизны. Интерес к
мами. Отметим, что классический результат диффе- данному классу многообразий объясняется тем фак-
ренциальной геометрии утверждает, что любая про- том, что они являются естественными обобщениями
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
косимплектических многообразий. Этот класс многообразий был введен в работе [1] и изучался в [2-7]. В данной статье продолжается изучение геометрии тензора конгармонической кривизны, начатое в [4].
Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (ЛС-многообразие) размерности 2п + 1 с почти контактной метрической структурой {Ф,-П,^,д} [8, 9]; Х(М) - С™-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты
Сот
± . . .
Определение 1 [2]. Почти контактная метрическая ЛС-структура, характеризуемая тождеством ЧХ(Ф)У = фг(г,)ФХ + Х,УЕ Х(М),
называется Сю-структурой. ЛС-многообразие, снабженное Сю-структурой, называется Сю-многообра-зием.
Тождество — РакРЪ[с)р1щС] = 0 называ-
ется первым фундаментальным тождеством Сю-многообразий; Ра[ъРсс] = 0 - вторым [4].
Пусть М2п+г -Сю-многообразие. Тензор конгар-монической кривизны почти контактной метрической структуры на пространстве расслоения всех реперов вычисляется по формуле [10]
Щк1 = (!)
= Цк I +4^1 (8к%1 — 81%к + д]1$1к — дjкS¡),
где Щки дjl - компоненты тензоров римановой кривизны, Риччи, метрического.
Легко показать из (1), что тензор конгармониче-ской кривизны обладает всеми классическими свойствами симметрии тензора Римана - Кристоффеля.
Напомним, что на пространстве присоединенной С-структуры тензор конгармонической кривизны Сю-многообразия имеет следующие ненулевые компоненты [4]:
^ Ксоь = Съ + 2Ш-1 (%аЬ + %008с) = = — РасрСЬ + ^ (АЬас — РасРСЬ — 2РссРСС8^У, 2) КъсС = Ксй + 2П-1 (Бъй8!а + Яь^ас) =
2п-1 1
(2)
Определение 2. Почти контактное метрическое многообразие М называется многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны с, если
УХ е £ = 1тФ = kerr] ^ ^ (Кт(Х, ФХ)ФХ,Х) = с\\Х\\*; (3)
Х е £ = 1тФ = kerr ; с е С™(М).
Если к тому же с = const, многообразие называется многообразием глобально постоянной голоморфной конгармонической кривизны. Сю-многооб-разие точечно постоянной голоморфной конгармо-нической кривизны назовем Сю-пространственной конгармонической формой и будем обозначать через М( с).
Пусть М - почти контактное метрическое многообразие точечно постоянной голоморфной конгар-монической кривизны с. Расписывая соотношение (3) на пространстве присоединенной G-структуры, получим
(Кт(Х,ФХ)ФХ,Х) =
= 9цК^1т(ФХ)кХ1(ФХ)тХ1 =
_ 9<гта у ybycyd \ лпга у ybycy i
= -2.KbcdAaA Л Л + Ц:.Кь^ЛаЛ. Л Ad +
+2^bacdХaХbХcХd + 2Жас(1ХаХьХС^
^BcdXaXbXcXd
qra yaybycyd лbcdX X X X .
В силу свойств симметрии тензора конгармонической кривизны Кс^^Х^"1 =
_ qra у ybycy>
= bdcXaX X X
b d X b c d
a b c d
■KbcdXaX X X ,
c^d
3) КЬаса — 5Бс8а + 3*5ас — 8Ь5аа) =
= ^ШАь-—Р^Р™) — за(АЬц—РсНР™) + +ПЬь(АасЦ — РсНРНа) — 8Ь(А% — РыР1«1)};
4 КЬ>сС = &Ьсй = —раЬРсС.
К (2) добавляются соотношения, полученные с учетом вещественности и свойств симметрии этого тензора как алгебраического тензора кривизны. Остальные компоненты тензора конгармонической кривизны равны нулю.
т.е. каасй = 0. Аналогично = 0, КС^ы = 0, •■ВсВ = 0, Кьс? = 0 .С другой стороны, на пространстве присоединенной С-структуры с\\Х\\2 = 4сдаьдсаХЬХсХаХа = 4с8^8СсХъХсХаХс.
Таким образом, соотношение (3) на пространстве присоединенной С-структуры запишется в форме \К1саХаХъХсХа = 4СЗСЗ?ХЬХСХСХС1.
Поляризация этого соотношения приводит к теореме.
Теорема 1. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры
(4)
nriad) _ c Pad ^ (bc) = 20bc ,
где = 8^8? + 8*82.
Исследуем теперь С10-многообразие постоянной голоморфной конгармонической кривизны.
Поскольку Кьсс? =Ааайс+^-1 Ьъц8* + 8^) , с учетом кососимметричности структурного тензора
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
и теоремы
^bc + 7(7„_лЛ (ßbä^c + °bSâc +
+Scâ5b + Sbâ5c) = ^¿¡¡bCf. Введем в рассмотрение чистый тензор А типа (2 2) с компонентами А¡¡^ =
= А
ad
bc ' 2(2n-1)
+ {SbdSa + ^bSac + ScdSb + SbâSd),
ad _ c ëad 0bc .
л ad _ Äbc = 2
Рассмотрим 4-форму
H(X,Y,Z,W) = (A?c-c-0£)xbYcZaWd =
— {Äad + 2(2п_±) (Sbd0c' + 0bSac + Scd0b + c £ad\ vbvc
(5)
+Sbii0?)-c10adi}xbYcZaWd-,X,Y,Z,W G X(M).
X
+{Äbd(SbäOaa + о^с+Scäoa+Sbäod) -
Согласно (5), H(X,X,X,X) = 0. Более того, форма H (X, X, X, X) обладает свойствами:
1. H(Xn + X2, Y,Z, W) = {Äabd (SbdOa +
+odSâc+Scaoa+Sbäod) -coad} X (Xn + X2)bYcZaWd = {Äad +:(^)(Sbà0ca + +0ÎSâc + ScàOba + Sba0d) -c0acd}XnbYcZaWd + 1-(s, -,0a + 0d<
2(2n-1)
c0ad} Xb!YcZaWd = H(Xn, Y, Z, W) + H(X2, Y,Z, W).
2. H(X, Y,Z, W) = H (Y, X,Z, W) = H(X, Y, W, Z).
3. H(X,Y,Zn+Z2,W) = H(X,Y,Zn,W) + +H(X, Y,Z2,W).
4. H^X,Y,Z,W) = V-1H(X,Y,Z,W).
5. H(X,Y^Z,W) = -V-1H(X,Y,Z,W). Опираясь на приведенные свойства, можно легко
показать, что H(X, Y, Z, W) = 0. Таким образом, доказана
Теорема 2. С10-многообразие является многообразием постоянной голоморфной конгармонической кривизны c тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры '¿ad _ c ß;ad
Äbc =2 0bc . Введем обозначения:
Äb>=Äac;E^ = FacFcb. (6)
Продифференцировав внешним образом соотношения (6), с учетом полной группы структурных уравнений С10 -многообразий [2] получим следующие соотношения:
dÄb+Ä№
Äaec- *ad -c
a d c adc ÄbdcV + Äbd шо
dFa+Fcea-Fcaec = o. (7)
Продифференцируем внешним образом соотно-
шение Ä
ad _ c ß;ad
b
2
b
dÄad=\0bddc,
dÄabd +7(- FbhFhd)0a +
+(Äan-FchFha)od + (Ädz - FchFhd)oa + « --FbhFha)0cd} = noacddc, т.е.
{(dÄdb - dFd)oa + (dAa - dFca)0bd +
dÄbd +
симметричный по любой паре верхних и нижних индексов. Назовем его тензором голоморфной кон-гармонической кривизны. Тогда равенство (4) примет вид
2(2п-1)
+ (САас - йРса)8£ + (йАаь - СР§)8*} = 1^аьасйс. С учетом (7) и полной группы структурных уравнений С10-многообразий [2], последнее равенство перепишется в виде
/¡ad ..h I л
ÄhrhW + Ä
b ch
+Alieh +
a dh
bc Vh
1
2(2п-1)
h d a
Äb c eh
{(A%h*h + A*>h
ah d a d h
Äb c eh + Äh c eb +
Abed +
+Aheh + Fhed - Fdeh)oa} + ^ (Ac3h
bg Vh
1
2(2п-1) '
ag Vh +
+Aarghvh
g
Ahea + Ahehh + Fchea - Faeh)0d +
+
4(A
d g h
c
ndgh^
2(2n-1)^"cghM + Adg'^h - Ahed + Adehh +
c
d h
+Fched-Fdeh)oa +
2(2n-1)y bgh
a gh
bg Шh -
- Ab ea+Aaeh+Fhea - Faehx = ns^dc, т.е. {Ath +
-Adg 0a +
. 0C +
2
Aagst +
2(2n-n)Äbgh0c + 2(2n-n)Äcgh0b
+
1
i\dg
_ Adg xa I 1 Aag cd
2(2n-n)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c
+
a dh b c
1
+\ Aadh +
Aigh5a+-
2(2n-1) bg "c 1
Äa gh 0 d+
Adgh8a +
2(2n-1)Äcg 0b
___ ghfid},. -
2(2n-1)Äcg 0b + 2(2n-1)Äbg 0c}Wh
1 {(Ah - Fch)6ê + (Ah - Fh)5d}\ ea
[Ahbî +
[Abh +
a d
h c +
a d
2(2n-1) ' 1
2(2n-1) 1
2(2n-1) 1
2(2n-1)
{(Ahb-Ft)0a + (Ah-Fch)0a}]ed
b }
{(Ah - Fd)Sa + (Aa - -Fa^d}] eh +
+
+ [a
+ [Aah+4^{(Ah - Fa^d + (ac - Ft^}] eh =
= nSâidc, т.е.
2
b c
{AUh +
- Adg fia +. Ä 0 +
Aa°0d +
2(2n-1)Äbgh0c +2(2n-1)Äcgh0b
1
Adg ta I Ä 0 +
1
_A 0 +_Aag 0ь
2(2n-1)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c
1 .dgh c.n , 1
Äâb9gh8b}Шh+{Ähbbh +
_ Äd
2(2n-1) bg
1
Äa gh 0 d+
fia +_____
0c + 2(2n-1)Äcg 0b + 2(2n-1)Äcg 0b
Äd gh 0 a+
Aagh0d} Vh - Ahdea - Aahed+а^ +
2(2n-1) bg c
+Abdeh = nsâidc.
b c
Поскольку с Е Ст(М) , то форма Сс (точнее, С(п*с) = п*(Сс)) является горизонтальной. Следовательно, Сс = саша + саша + с0ш. Тогда, в силу (7), последнее равенство примет вид
{А
a d b ch
+
- Adg fia + Ä 0 +
Äa g 0 d + Ä 0 +
2(2n- -1)
1
2(2n- -1)
1
2(2n-1) bgh c + 2(2n-1) cgh b
Äbghôâ +
2(2n-1)Äcgh0b + 2(2n-1)Äbgh0c
Äâghôb}œh + {Äâbh +
Aigh0aa+-
Äa gh 0 d+
1
■.(2n-1)Äcg 0b
Äd gh 0 a+
Aagh8d}<Oh
2(2n-1) bg c
h d a Äbc eh
ah d Äbc eh
2(2n-1)Äcg 0b
a d h
h c eb
eb + Äâiea +
l
1
1
1
1
1
1
1
1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 4
+ Äfhe£ = lstf(caaa + саша + +с0ш).
Поскольку -С ~8™еа - С-KhcQh + СKhQb +
Свернем равенство (10) по индексам a и с. Тогда ÄhbFhh - ÄcahdFha = -FfrFhh. Так как Ä^a = 0,
+c-§ahe? = 0,
то
Г /iah I 1 »hg кал.
]Äbrh + ^Ähr,hur +
2(2n-1) b3h с
+ 1 Aa3 Öh I 1 Ah3 Öa + + 2(2n-1)Äcgh°b + 2(2n-1)Äcgh°b +
I
2(2n-1)
Л_Aa3 Öh} ,lth + {Aahh + Ah3hÖ
ÄbghÖc]"> +{Äbc + 2(2n-1)Äbg Ö'
2(2n-1) ba с
I
I
—Äafö?+^^*hgh
I
I
I
(2n-1)Äc3 Öb + 2(2n-1)Äc3 _ ¿aghxh')
Ährra +
то в полученном равенстве, переобозначив Ь на с, получим
АсРМ = —рс1рПС. (И)
Назовем (11) третьим фундаментальным тождеством.
Первое фундаментальное тождество с учетом (9) и второго фундаментального тождества можно за-
Äaföh}^ = \Saah(Caü>a + Ca^a + С0<0).
2(2n-1) b3 с .
Отсюда
писать в виде
С Sah р__
2 Öbc Fhh 2(2n-1)
1
{(Äh - Fh^a + (äc - fM +
i)Äbhh +
1
Ah3 öa +■ Ä Ö I
ACLsi +
2(2n-1)Äb3hÖc + 2(2n-1)ÄC3hÖb 1
+(Äh - Fch)sac + a - Fc^Fhh -C^hc +
Ah3 xa I
Ä Ö I
Äab3h8? = Уа£сн.
I
1
2(2n-1) c3h b ^ 2(2n-1) b3h c 2
2)Äahh +
2(2n-1)
Äh 3h Ö aI
2(2n-1) b3
ÄC3hsh +
2(2n-1) 3 b
:Äh3hSC+:
(8)
___ Aa3fLxh _ ZXChrh.
2(2n-1)Äc3 Öb +2(2n-1)Äb3 Öc 2 bc ;
3) C0 = 0.
Проальтернируем равенство (8:1) по индексам с и h. Тогда, поскольку AC^] = 0, получим
i\h3
{(Äh-Fhd)sc + (Ähh-FC)sd + (Ähh
-Fh)ÖC + (Ab - FCC)Ö^}Fhc + FahFhbFch = 0,
т.е. с учетом (11) C^SF^ + SCCFbh - S^C) =
1
2(2n-1)
{ACFbh + ÄÄbFch - ÄhFbc - ÄbFhc
{ Äh3 Öa + Äa3 Öd + Äh3 Öa +
{Äb3hÖc + Äc3hÖb + Äc3hÖb +
4(2n-1) t b3h c *C3 oh Ah3
3h Öb
a3 xd лh3 Xa ла3 xh\
+ ac3 Öh_Ah3 fia - Ac3 fih - Ah3 ÖC - Aa3 Rh} =
+Äb3hÖc Äb3CÖh Äh3CÖb Äh3CÖb Äb3CÖh} =
UÖCÖhcu-Ö^'1 венство свернем сначала по индексам a и b, а затем по индексам с и d. Тогда (Ä - Äh3c) =
- FcCFbh - - FbFch +
+ 2ÖhCFbFhc + FdFbc + 2Ö^F^Fhc + FbFhc} - FbFch.
Полученное равенство свернем по индексам a и b. Тогда получим С(П + 1)Fch =
1
2(2n-1)
{ÄhFhh-ÄhhFhc + 2ÄhhFch- (12)
= - (5^8?сс — 8С8ссс + 8с8Ссс — 8с8£сс) . Это ра- —2Р>СРсс — (2п + З^с? + (2п + 3)Р^РНс} — Р£Рсс.
С учетом третьего фундаментального тождества равенство (12) можно записать в форме
с(п + 1)Рсс =-^-{2(п + 2)(—РссРНс +
1,
= ~(п2 - 1)ch , т.е. ch(n2 - 1) = 0 . Отсюда либо п = 1, либо с h = 0. Аналогично из (8:2) получаем, что либо п = 1, либо ch = 0. То есть de = саша + +саша + с0ш = 0,а значит, с = const.
Таким образом, доказана
Теорема 3. Точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного С10 -многообразия размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его голоморфной конгар-монической кривизны.
Пусть M2n+1 - С10-многообразие точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны, т.е. является С10 -пространственной конгармониче-ской формой. Из (5)
2(2n-1) '
+F^Fhc) + 2(Ah- Fb)Fcd} - FhhFh (13)
Из (9)
Äb = C(n + l)5ac
1
2(2n-1)
{(n + 2)(Ab-FCC) +
+ (Ahh - Fhd)5a}. (14)
Свернем равенство (14) по индексам a и b. Полу-
чим
Ähl = C-(n + 1)(2n-1)+^Fhd. Подставив (15) в (13), получим равенство
(15)
Ach = -^^{(Ah - FfiÖC + (Äc - F^Öh +
+(Ah - Fch)Öa + (Ac - Fcc^h}.
с 'с ;8Ь
с — гс )8Ь + (Аъ — гъ )ис }. (9)
Рассмотрим первое фундаментальное тождество (А'^Сс — РсНРь[с)Р\ъ.\с] = 0. С учетом второго фундаментального тождества его можно записать в виде
\с(п + 1)Рсс =Пк(—рСрсс + РССРсс) — 3-П+ГР£РСС , которое в силу второго фундаментального тождества можно записать в виде
5
6
^(n + DFca--9-?^-1^
3n(2n-1)
FhFcä, т.е.
+ 9n +5п 1 Fhï F = 0. Тогда либо
3n(2n-1) h ) ch
ah ah a
ÄbcFhh ÄbhFhc = -Fb Fch.
(10)
[5c(n + 1)
Fch = 0, т.е. многообразие является косимплектиче-
-Fhh > 0. Если с = 0,
6 -n2+5n-1
Свернем это равенство по индексам a и b. Тогда
AhFhh -ÄhFhc = -FhFch = -Œab\FCb\2)Fch.
ским, либо с = - , .
' 5 3n(2n-1)(n+1)
то Fhh = 0, т.е. многообразие является косимплекти-ческим.
a
1
1
1
1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Таким образом, доказана
Теорема 4. Пусть М - С10-многообразие точечно постоянной голоморфной конгармониче-ской кривизны с. Тогда либо М является косим-плектическим многообразием, либо
с = -
9n2+Sn~1 vc 0
___рь
S 3п(2п-1)(п+1) h
NATURAL SCIENCE.
References
201S. No. 4
Литература
1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed ap-plicata (IV). 1990. Vol. V, CLVI. P. 15-36.
2. Рустанов А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI век. 2010. № 4. С. 199-207.
3. Рустанов А.Р. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI век. 2014. № 2. С. 207-213.
4. Мелехина Т.Л., Рустанов А.Р. Конгармонические аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса С10 // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 4-1. С. 31-36.
5. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. Сю-многообразия класса // Slovac International Scientific J. 2017. № б (6). Р. У9-82.
6. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. Контактные аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса Сю // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 11-13.
7. Рустанов А.Р. Свойства изотропности Сю-много-образий // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 13-17.
8. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Изд. 2-е, доп. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.
9. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100.
10. Ishii Y. On conharmonic transformations // Tensor. 1957. Vol. 7 (2). Р. 73-80.
1. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. Annali di Matematica pura ed appli-cata (IV). 1990, vol. V, CLVI, pp. 15-36.
2. Rustanov A.R. Tozhdestva krivizny pochti kon-taktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Curvature identities of almost contact metric varieties of class C10]. Prepodavatel'XXI vek. 2010, No. 4, pp. 199207.
3. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti tenzora krivizny pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Properties of isotropy of curvature tensor of almost contact metric varieties of class C10]. Prepodavatel' XXIvek. 2014, No. 2, pp. 207-213.
4. Melekhina T.L., Rustanov A.R. Kongarmonicheskie analogi tozhdestv Greya dlya pochti kontaktnykh metrich-eskikh mnogoobrazii klassa C10 [Congarmonic analogues of Gray identities for almost contact metric varieties of class Ci0]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2017, No. 4-1, pp. 31-36.
5. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. C10-mnogoobraziya klassa [C10-varieties of the international scientific class]. Slovac International Scientific J. 2017, No. 6 (6), pp. 7982.
6. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. Kontaktnye analogi tozhdestv Greya dlya pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa C10 [Contact analogues of Gray's identities for almost contact metric manifolds of class C10]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 11-13.
7. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti C10-mnogoobrazii [Isotropy properties of C10-manifolds]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 13-17.
8. Kirichenko V.F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometric structures on manifolds]. Ed. 2nd, add. Odessa: Pechatnyi dom, 2013, 458 p.
9. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differentsial'naya geometriya kvazisasakievykh mnogoobrazii [Quasibanach differential geometry of manifolds]. Mat. sb. 2002, vol. 193, No. 8, pp. 71-100.
10. Ishii Y. On conharmonic transformations. Tensor. 1957, vol. 7 (2), pp. 73-80.
Поступила в редакцию / Received
9 июля 2G18 г. / July 9, 2G18