CC BY
87
8. Чивилев А.А. Межличностная коммуникация как объект исследования культурологии. Вестник Челябинской государственной академии культуры и искусств. 2015; № 3 (43): 46-51.
9. Ксенофонтова А.Н. Основы профессиональной коммуникации педагога. Проблемы современного педагогического образования. 2020; № 69-4: 141-145.
10. Шевченко О.Н. Языковые барьеры: причины их возникновения и способы преодоления. Лингвистические и психологические особенности преподавания иностранных языков: сборник материалов межвузовской научно-методической конференции. Ростов-на-Дону: Ростовский государственный медицинский университет, 2018.
11. Maaß Ch., Rink I. Handbuch Barrierefreie Kommunikation Berlin: Frank & Timme GmbH Verlag für wissenschaftliche Literatur. 2020.
12. Маркова Е.И., Маркова И.Д. Коммуникативные барьеры в деловом общении и способы их преодоления. Наука и современность. 2012; № 16-2: 54-59.
13. Царева Л.М., Марченко С.Б. К вопросу о языковом барьере и путях его преодоления. Современные проблемы науки и образования. 2022; № 3: 58.
14. Гиппенрейтер Ю.Б. Общаться с ребенком. Как? Москва: АСТ. Астрель; ВКТ, 2011.
References
1. Rabkin V.S. Razvitie kommunikacionnyh processov v sovremennyh usloviyah informacionnogo obschestva. Pokolenie buduschego: sbornik izbrannyh statej Mezhdunarodnoj studencheskoj nauchnoj konferencii. Sankt-Peterburg, 2020.
2. Rubaeva V.P., Delieva L.M., Tedtov I.'E. O problemah formirovaniya kommunikativnoj kompetentnosti studentov vuzov. Sciences of Europe. 2018; № 28-4 (28): 50-52.
3. Korneenko T.O. Struktura kommunikativnoj kompetentnosti uchitelya. Mirpedagogiki ipsihologii. 2022; № 5 (70): 23-28.
4. Guseva D.I. «Kommunikaciya» i «obschenie»: sootnoshenie ponyatij. Vestniknaukiiobrazovaniya. 2019; № 20-2 (74): 84-87.
5. Panfilova A.P. Psihologiya obscheniya. Moskva: Izdatel'skij centr «Akademiya», 2020.
6. Mudrik A.V. Obschenie v processe vospitaniya. Moskva: Pedagogicheskoe obschestvo Rossii, 2001.
7. Korosteleva N.A., Galynskaya Yu.S. Pedagogicheskoe obschenie kak vid delovogo obscheniya i forma vzaimodejstviya sub'ektov obrazovatel'nogo processa. Aktual'nyeproblemy sovremennosti. 2022; № 3 (37): 99-103.
8. Chivilev A.A. Mezhlichnostnaya kommunikaciya kak ob'ekt issledovaniya kul'turologii. Vestnik Chelyabinskoj gosudarstvennoj akademii kultury i iskusstv. 2015; № 3 (43): 46-51.
9. Ksenofontova A.N. Osnovy professional'noj kommunikacii pedagoga. Problemy sovremennogopedagogicheskogo obrazovaniya. 2020; № 69-4: 141-145.
10. Shevchenko O.N. Yazykovye bar'ery: prichiny ih vozniknoveniya i sposoby preodoleniya. Lingvisticheskie ipsihologicheskie osobennosti prepodavaniya inostrannyh yazykov: sbornik materialov mezhvuzovskoj nauchno-metodicheskoj konferencii. Rostov-na-Donu: Rostovskij gosudarstvennyj medicinskij universitet, 2018.
11. Maaß Ch., Rink I. Handbuch Barrierefreie Kommunikation Berlin: Frank & Timme GmbH Verlag für wissenschaftliche Literatur. 2020.
12. Markova E.I., Markova I.D. Kommunikativnye bar'ery v delovom obschenii i sposoby ih preodoleniya. Nauka isovremennost'. 2012; № 16-2: 54-59.
13. Careva L.M., Marchenko S.B. K voprosu o yazykovom bar'ere i putyah ego preodoleniya. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. 2022; № 3: 58.
14. Gippenrejter Yu.B. Obschat'sya s rebenkom. Kak? Moskva: AST. Astrel'; VKT, 2011.
Статья поступила в редакцию 26.12.23
УДК 372.851
Almazova Т.А., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Kaluga State University n.a. K.E. Tsiolkovsky (Kaluga, Russia), E-mail: rector@kspu.kaluga.ru Zenkina I.A., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University (Kaluga, Russia), E-mail: bauman.kf@bmstu.ru
Nikanorkina N.V., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Kaluga Branch of Financial University under the Government of the Russian Federation (Kaluga, Russia), E-mail: fa-kaluga@fa.ru
THE TOPIC "VECTORS" IN THE UNIFIED STATE EXAM-2024 IN MATHEMATICS OF THE PROFILE LEVEL: METHODOLOGICAL ASPECT. The structure of the unified state examination in mathematics of the profile level periodically undergoes some changes. The need for such changes is justified by an increase in the level of requirements for the quality of mathematical training of schoolchildren. The introduced changes must be taken into account when studying the relevant topics of the school mathematics course and preparing secondary school students for the final state certification. The article analyzes the content of a new assignment on the topic "Vectors" included in the structure of the Unified State Exam-2024 in mathematics of the profile level. Based on this analysis, the types of tasks are identified, the features of each type are formulated, the content components necessary for their solution are listed, and the ways of solving these tasks are described. In addition, the content component of the school mathematics course on the topic under consideration is correlated with the built-up typing. The results of the conducted research allow to conclude that methodically competently structured work on solving the types of tasks will contribute to the successful mastering of the topic material by students, which in turn will allow schoolchildren to apply this material to solving geometric, physical and other problems. Key words: unified state exam, vectors in school mathematics course, teaching mathematics, profile level
Т.А. Алмазова, канд. пед. наук, доц., Калужский государственный университет имени К.Э. Циолковского», г. Калуга, E-mail: rector@kspu.kaluga.ru И.А. Зенкина, канд. физ.-мат. наук, доц., Калужский филиал Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (национального исследовательского университета), г. Калуга, E-mail: bauman.kf@bmstu.ru
Н.В. Никаноркина, канд. пед. наук, доц., Калужский филиал Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, г. Калуга, E-mail: fa-kaluga@fa.ru
ТЕМА «ВЕКТОРЫ» В ЕГЭ-2024 ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ: МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
В структуре единого государственного экзамена по математике на профильном уровне периодически происходят некоторые изменения. Необходимость таких изменений обосновывается повышением уровня требований к качеству математической подготовки школьников. Вводимые изменения необходимо учитывать при изучении соответствующих тем школьного курса математики и подготовки учащихся средней школы к итоговой государственной аттестации. В статье проведён анализ содержания нового задания по теме «Векторы», включенного в структуру ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня. На основе этого анализа выделены типы задач, сформулированы особенности каждого типа, перечислены компоненты содержания, необходимые для их решения, и описаны способы решения этих задач. Кроме того, соотнесен содержательный компонент школьного курса математики по рассматриваемой теме с выстроенной типизацией. Результаты проведенного исследования позволили авторам сделать вывод о том, что методически грамотно организованная работа по решению выделенных типов задач будет способствовать успешному освоению учащимися материала темы, что, в свою очередь, позволит школьникам применять этот материал к решению геометрических, физических и других задач.
Ключевые слова: единый государственный экзамен, векторы в школьном курсе математики, обучение математике, профильный уровень
В 2023-2024 учебном году задания единого государственного экзамена по математике (профильный уровень) претерпели определённые изменения: первая часть (задания с кратким ответом) была дополнена задачей по теме «Векторы». В связи с этим изменилась последовательность и нумерация заданий, и задача по этой теме стала задачей № 2 в системе заданий с краткой записью ответа.
Выступая на ежегодном вебинаре, посвященном анализу структуры ЕГЭ-2024 по математике, И.В. Ященко, директор Московского центра непрерывного математического образования и руководитель комиссии по разработке контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике [1], отмечал ряд факторов,
обосновывающих целесообразность включения темы «Векторы» в задания итоговой государственной аттестации в форме ЕГЭ. К таким факторам он отнёс следующие:
- расширение возможностей решения геометрических задач за счёт применения векторного метода;
- установление межпредметных связей, в частности, связь математики с физикой;
- обеспечение преемственности обучения в высших учебных заведениях, так как программа по высшей математике для многих направлений подготовки
содержит разделы, в основе успешного изучения которых лежит умение абитуриентов работать с векторами (векторная алгебра, аналитическая геометрия, тензорный анализ и т. д.)
Сказанное определяет актуальность постановки вопроса о соотнесении содержания темы «Векторы», представленного в учебниках федерального перечня на 2023-24 учебный год, и требований, которые предъявляются к результатам освоения образовательной программы среднего общего образования по предмету «Математика» (профильный уровень).
Цель исследования состоит в выявлении соответствия между типами задач по теме «Векторы», приемами решения которых должны владеть школьники при сдаче итоговой аттестации в форме единого государственного экзамена, и содержательным компонентом этой темы в школьном курсе математики.
Достижению цели исследования будет способствовать решение следующих задач:
- систематизировать задания по теме «Векторы» из официальной демонстрационной версии контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2024 по математике (профильный уровень) и сборников типовых вариантов экзаменационных заданий для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня по содержанию и способам решения;
- проанализировать содержание темы «Векторы» в различных учебниках по математике из федерального перечня на 2023-2024 учебный год на предмет соответствия выделенным типам заданий;
- выделить методические особенности работы по решению задач каждого типа для успешного усвоения учебного материала школьниками.
Научная новизна проведённого исследования заключается в выделении и анализе методических особенностей работы по решению различных типов задач по теме «Векторы» для формирования прочных базовых знаний и умений учащихся.
Практическая значимость результатов проделанной работы связана с тем, что построенная авторами типизация задач по теме «Векторы», описанные методические особенности и приемы решения задач могут быть полезны как учителям математики для организации продуманной методики изучения темы «Векторы» с целью успешного освоения обучаемыми учебного материала, так и школьникам при текущем изучении темы, а также при итоговом повторении учебного материала по теме и подготовке к экзаменационным испытаниям.
Материалами для исследования послужили задания, представленные в демонстрационной версии контрольно-измерительных материалов, типовые тренировочные варианты заданий из сборников, составленные в соответствии с особенностями и требованиями ЕГЭ по предмету «Математика» на профильном уровне 2024 года, а также содержание школьных учебников по геометрии.
Задание № 2 по теме «Векторы» находится в первой части контрольно-измерительных материалов и предназначено для определения математических компетенций выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего общего образования на базовом уровне. Это задание считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ, представленный в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Максимальная оценка за выполнение задания № 2 - 1 первичный балл, что составляет 3% от максимальной суммы первичных баллов.
Согласно «Кодификатору проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по математике», размещенному на официальном сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) [1], выполнение задания № 2 проверяет следующие требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования:
- умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное и векторное произведения векторов, угол между векторами;
- умение использовать векторный и координатный методы для решения геометрических задач и задач других учебных предметов.
К проверяемым при выполнении задания № 2 элементам содержания относится элемент «геометрия», который включает в себя следующие компоненты: фигуры на плоскости, координаты и векторы.
На основе официальной демоверсии контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня, представленного на официальном сайте ФИПИ [1], и сборников типовых вариантов экзаменационных заданий для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня [2; 3] авторами были выделены представленные ниже типы заданий на тему «Векторы», указаны особенности задач каждого типа и определены способы их решения, сформулированы методические рекомендации по работе с такими и аналогичными заданиями.
Тип 1. Нахождение координат вектора
К этому типу были отнесены задачи, в которых векторы заданы аналитически, т. е. своими координатами, или геометрически, т. е. изображены в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, и требуется найти координаты вектора, являющегося линейной комбинацией заданных векторов. К этой группе относятся и обратные задачи.
Задача 1.1. Даны векторы /(5; 7К и е(-1\2) ■ Найдите координаты вектора 4Ч = — 5/" + 6е ■ В ответ запишите сумму аоординат вектора
е
Задача 1.2. Даны векторы 2;3) и М( —3; М0К ■ Найдите М0, если |ь| = а,5|а|. Если твект зрачений нзсколько, в зтевт зааишитт меньшее из них
Задача 1.3. Даны векторы а(4; — 6) и М (-2,'3'К ■ Известно, что |с| = |С|, а вккторы с(хс;ус1 и — кротквопоолжно нааравпонные■ Найдите х + V -
с к с
Для выполнения заданий первого типа ученики должны иметь опыт выполнения в координатной или геометрической форме ооераций сложоения векторов, умножеиия вектоаа на число, иметь пpедстaвоернe о кпооипеaонвlх, ^направленных и противоположно направленных ватерах, а также о свсви менаду ктoодпзаттми такра векторов. Слмдует обдать в^мание школьников на то, что ени е)екиеиии задач эонго тага обучаемым ррр6ходидо танее рнаeие Надули нахж>жаения длих! рркторд иеоез его коооданeды, умение выоисоятв длины ьеlкьопов, составлять и решить ажгpбоаическке уравнения, кототые пожпчпются в реппльтате иeнплекпкдeuя зеданных в пслопки соoтношений.
Тип 2. Нахнждение дптны вектора
В задачхх аулго типе требуется иначвла найти кoоидаuаты вектора, который является линейной кoмбаeдцuей заданных векторои, а затем! его длине> При итям исходиые векторы могут быть зоданы в кoотдандтноь фторие или изоиоажеиы гтоммтокрoсии в прямоугольной декар^оовойй лкстеме координат на плоскости.
Задача 2.1. Даны- векторы а(6;—1)> ¿3(-5;-2) и се-Пг5e■ Найдите длину вектора а -М + с ■
Задача 2.2. На координатной плоскости изображены векторы а , Ми С (рис 1). Найдите длину вектора О + Ь + С .
Рил. 1. Иземрaжение векторов кнадаче 2.2
^обход дмым для решения такид задач являеияя зданьи (формулы донны вектора в коордк^^атной нонм!, а также умонке находив суммр и разностс ^^кторо д гео 1рггт|гич^ски. В задаче 2.2 для вычисления длины указанного оекто-
ра а -М М + с требуется снаидоа найта его коорд инаты. Згаматира, что эни можнс сделать разами огюсобаыи:
1) найти кооадинаты каждого вектора через коордиоаты его начала а конца, а потом вычисльнь коордичатнl вектора а + М + с ;
2) найта коодддинаты каждого вектора с помощью его кк^зложо^ния по ортог-нормированному баеису, а затем н айт и кооодииаты вектора а +М -+ ¿°;
3) на данпам |ктсунз^, т. е. геометрически, найти вектоо, равный сумме данных векторов, а з^тчм определить его координаты с помощью разложения
по оотоноомиpонeнпому базису (/^ у К.
При оfH^чeнип [жшению задач, дирл6гичных задаче 2^, целесообреино обращоть вниданче оН)пРчаемы;< на тот нфапт, что одно и то же требованис нада-чи может быть ныпелненн ^знымп способами с исполькoврзкем андоитиче-схих ртотношений или гепимертри'рбасзких г'1|:)иёт1тов, однако последгни^а сспоэсоэН4 я^ля^тся cн■к^иtа1гтl |гцциoнaJгьныp■ из аписркных.
Тип 3. ткалмраого ероизыедения векторов
В иту труту вдада зг^ачи ана н^хождени^ скаляртого поoиктеденпe нек-торав. При итом векторы могут аыть к^)^зcнl=l одднн.м из двух cааcoбaз -и анналити-чноскч (своими нйoодинатами) носи геометрически (изображены на рисунке в прамоуголтной дeчарттьтт кооодинат).Такж(е сиада можно отнести
задачи, в которых по заданному скалярному пттизведению иадо тайти коорди-даты одного из пертмножаемых векторов;
Задачз 35.1 Даны векторы да (6;-2), п(-1;4), к (-2;8) и р(1;4) ■ Найдитескалярнкепроизведение (т + й) • (к + р).
Задача а.2. На координатной плоскости изоб+апены век+оры а и Ь с целочисленными координатами (рис. 2). Найдите скалярное произведение
а •Ь.
У
\ t
S« п
\ )
/
0 X
1
Рис. 2. Изображение векторов к задаче 3.2
Задача 3.3. Даны векторы по(6;-2). Я(-1;Ж), ^"(x^ — 22^) ■
Найдитеx, если (ии + «) • к = 0.
Для ^1>1полнб!иид заданий "гоэегтьаего типа школьники должны знать формулу вычисления скдлнрного произведеидд ддвух векторов через их коордзначы, СЕ>ойстЕзга рnaлярнсгo прoиnиeдeния, а т^кже ометь понятие об 0итггг0ncгчllчняlx Езеюто|ьах и условии oртoгoналинoсви. При обуяхнии им2Oнию задач, апалогич-н1я1х иaдсчu 3.3, важно обратить внммание учащихся на то, что известию значение лкалярного юfвoЕй^веденвlд вектиров, равноо нрою, едет возможность еста-коьить вз^иуупое спсположение пuиeмнoжaeмых ймотoиoй, в частности их пер-
ЗИiHЗ^ЧЧуЛДИH0C"ГЬ.
Тин И Иснолпвованис свойств скалорноге нроизведеоро ЗЗло ннххжденио аораотеристиквеотора
К данному типу отнведтсд задави, в которых требуется найти дли в н вектора с икnoльзкванпем (двойств cкaнячиoгo произяеденвд вeктoкoе.
Задача 4.1. Длины веоторов a и b равны соответственно 4 и 30, а их соалорбое нроизведение равно 120. Найдите длину веотора с , если
к П 1 b
с = а+—Ъ ■ 6
При вяlпoлмении -того задания исвользуются таиие свoСстиа скалярного прпизведевяя, жак кoм-отaтивнoстч, свойство умножккоя числкь на скалярное крoмивeдeниel Е;вoСcтЕзo скаляртого квадрзта вектора. Особое внимакке при этом! следует уделить ИЕипoльзoваниlЬЕ свойства скклярноьо KЕJадр;ктa, которое юoьЕ^oлмl■^т в11>1|:зсвжать длину ^^лтор!^ через его скалярный кваорат Тин 0 Нахождение иссинуск жела между велторами ЕВ задачад зрринозго тепа требуется лдбо найти соскнус угла меж^у извест-ня1ми векторами либо твoeдeлито харалмрмстжи веотора (в частности, одну из его кooрдвкатГ, если ^aH уеол м^яад^ ними или косинус оккла м eo<ззy ними.
Задача 5.1. Найдите олсуеус угла между веоторами р и q , если из-
весmнa, что р(б;—Н) и g^^).
Задача (.2. Даны веоторы ;(4;y ) и Ъ (хъ;0), оосинусугла между ооторыми ¡иавео 2 . Найдит4 y . Если таоъч значений (еоoолоoо, в
2/5
отвот заиишите еолыш^о кз еич.
Для вяюолнения зддaниС пятона типа учащиеся должны знать и уметь применять апueдeлeник скалярного пuoизвeдoиия векторов, фoумуляl для вяlчислeния сккляиного пчoкивeдeния в ■координьткоС фоцме и длуны вeктoогп. Тин 6. Веоторы в нл-слсч фиоуаoи
В яадачах этой гuиапдl венто-ы гaдaндl «с привязкой» е плолким фигурам: треугольникат, па^лелон^доам, п|(Яlиlo|^к(ельникciм, квадратам. Требуется наВти рaиличеыe сaтaктeиистжи вeктoзoв.
О-дкча 6.К.Стороне рувннсхгнонноннннооо тьеоноолониоа АВ(К рувна 6-НЗ .
НаШтедлину суммы и-итонов AB и AC.
Задача (6.2. В pо(аоеав(онеом ономооовлоном треуоолониин ABC с нро-мьш уолом C инвестно, что AA = НуА. Найдите соалорное нроизведение
вестоаов AB и СА о
При обучении решению задач шестого типа целесообразно обратить внимание школьников на то, что при решении таких задач необходимо знать не только свойства векторов и операций над ними, но и свойства различных геометрических фигур.
Таким образом, для успешного выполнения задания № 2 по теме «Векторы» на ЕГЭ по предмету «Математика» (профильный уровень) учащиеся должны знать и уметь применять следующие определения и свойства векторов:
- понятие о векторе, о коллинеарных, сонаправленных и противоположно направленных векторах, о перпендикулярных векторах;
- понятие о координатах вектора, выражение координат вектора через координаты его начальной и конечной точек,
- понятие об ортонормированном базисе на плоскости, разложение вектора по ортонормированному базису и нахождение его координат с помощью этого разложения;
- правила сложения векторов (правило треугольника и правило параллелограмма), правило вычитания векторов;
- умножение вектора на число;
- свойства сложения векторов и умножения их на число;
- понятие о скалярном произведении векторов, его свойства, вычисление скалярного произведения по определению и в координатной форме в ортонорми-рованном базисе;
- свойства плоских геометрических фигур.
На основании построенной типизации и выделенных особенностей приёмов и способов решения задач по теме «Векторы» ЕГЭ по математике профильного уровня авторами проведён анализ федеральной рабочей программы по геометрии для 7-9 классов и учебно-методических комплектов по предмету «Математика» в части соответствия их содержания требованиям к подготовке к государственной итоговой аттестации [4] и наличия в них заданий, соответствующих выделенным выше типам.
Федеральная рабочая программа по геометрии для 7-9 классов содержит раздел, посвященный теме «Векторы», подлежащий изучению в 9 классе, в содержание которого включены следующие вопросы: вектор, длина (модуль) вектора, соноправленные векторы, противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство векторов, операции над векторами, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, координаты вектора, скалярное произведение векторов, применение векторов для нахождения длин и углов.
Тема «Декартовы координаты» тесно связана с темой «Векторы», поэтому она изучается сразу после неё. Основные вопросы для изучения: декартовы координаты на плоскости; уравнение прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и прямых; метод координат и его применение.
К предметным результатам освоения темы относятся:
- умения пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смыслы, применять их при решении геометрических и физических задач, использовать скалярное произведение для нахождения длин и углов;
- умения пользоваться методом координат на плоскости, применять его при решении геометрических и практических задач.
Согласно федеральному перечню учебников на 2023-2024 год, обучение геометрии в основной школе может осуществляться по двум учебно-методическим комплектам: «Математика. Геометрия» Л.С. Атанасян и др. и «Математика. Геометрия» Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Якир М.С. (под редакцией Подольского В.Е.).
В УМК «Математика. Геометрия» Л.С. Атанасяна и др. материал, связанный с векторами представлен в трех главах. Изучение сведений о векторах начинается в 8 классе [5]. В главе IX авторы дают информацию о векторах без использования координат. Глава начинается с рассуждения о векторных величинах, затем следует определение вектора как направленного отрезка, понятия нулевого вектора, длины (модуля) вектора, коллинеарных векторов (соноправленных и противоположно направленных) и соответствующие им обозначения, формулируется утверждение об откладывании от любой точки плоскости вектора, равного данному. Далее рассматриваются линейные операции над векторами. Отдельный параграф посвящен сумме векторов. Вводится конструктивное определение суммы двух векторов, правило треугольника, свойство сложения любого вектора с нулевым, а также векторное равенство, связывающее любые три точки. Затем в виде теоремы представлены переместительный и сочетательный законы сложения векторов, а также правило параллелограмма для сложения двух векторов и правило многоугольника для сложения нескольких векторов. После этого рассматриваются операции вычитания векторов и умножения вектора на число, а также их свойства. В конце главы есть материал, иллюстрирующий применение векторов к решению геометрических задач и доказательству теорем (в частности, теорема о средней линии трапеции). Важно отметить, что здесь применяется векторный метод в «чистом» виде, то есть без использования координат.
Следующая глава называется «Метод координат» и начинается с леммы о связи коллинеарных векторов, затем вводится понятие разложения вектора по выбранным векторам, коэффициенты разложения и теорема о единственности разложения данного вектора по заданным векторам. Далее авторы переходят к изложению материала, связанного с координатами векторов: вводится понятие координатных векторов и координат вектора как коэффициентов в разложении его по координатным векторам, утверждение о равенстве соответствующих коор-
динат у равных векторов. Затем следуют утверждения о нахождении координат вектора при сложении, вычитании и умножении вектора на число. Рассматривается связь координат вектора с координатами точек, являющихся началом и концом этого вектора, а также понятие радиус-вектора и доказательство утверждения о равенстве координат точки и координат соответствующего ей радиус-вектора. Глава заканчивается рассмотрением простейших задач в координатах. С использованием векторных равенств выводятся формулы вычисления координат середины отрезка, длины вектора и расстояния между двумя точками.
Скалярное произведение векторов авторами учебника рассматривается в конце следующей главы, после изложения материала, посвященного соотношению между сторонами и углами треугольника. Понятию «скалярное произведение векторов» предшествуют понятия угла между векторами и перпендикулярных векторов, затем следует определение скалярного произведения и условие ортогональности векторов. Далее вводится теорема о вычислении скалярного произведения векторов в координатной форме и следствия из нее (для перпендикулярных векторов и для нахождения угла между векторами). Глава завершается доказательством свойств скалярного произведения. Применение скалярного произведения к решению геометрических задач представлено в задачном материале.
Следует отметить, что все теоремы и большая часть утверждений, представленных в рассматриваемом УМК, доказываются, что позволяет продемонстрировать обучаемым важность логического обоснования тех или иных высказываний о геометрических объектах. Системы задач дополняются задачами на применение векторно-координатного метода.
В УМК «Математика. Геометрия», подготовленном группой авторов под руководством Мерзляка А.Г, в отличие от УМК «Математика. Геометрия» Л.С. Атанасяна и др., изучение векторов осуществляется в 9 классе [6; 7]. Этой теме посвящена четвертая глава, которая следует за главой «Декартовы координаты на плоскости», что означает совместное изучение векторов и их координат, и является существенным отличием в выстраивании логики изложения учебного материала. Глава начинается с рассуждения о скалярных и векторных величинах, здесь же вводятся понятия вектора (как направленного отрезка), нулевого вектора и модуля вектора. Далее следует определение коллинеарных векторов (сонаправленных и противоположно направленных) и равных векторов, утверждение о том, что от точки может быть отложен вектор, равный данному, и при том единственный.
В следующем параграфе сформулированы определение координат вектора и два утверждения (прямое и обратное) о равенстве векторов и равенстве их соответствующих координат, теорема о связи координат вектора с координатами точек, являющихся началом и концом данного вектора. Затем рассматриваются линейные операции над векторами. Вводится конструктивное определение суммы векторов, правило треугольника, утверждение о векторном равенстве суммы для любых трех точек плоскости, теорема о сложении соответствующих координат векторов при сложении векторов, свойства сложения векторов и правило параллелограмма сложения двух векторов. После этого рассматриваются понятие разности векторов, утверждение о векторном равенстве разности для любых трех точек, теорема о разности соответствующих координат векторов при вычитании векторов, определение противоположных векторов и теорема о связи разности векторов. Следующая линейная операция - умножение вектора на число. Дается определение умножения вектора на число, свойства, прямая и обратная теоремы о пропорциональности коллинеарных векторов и их соответствующих координат. Глава «Векторы» содержит дополнительный теоретический материал: теорема о делении отрезка в заданном отношении (в векторной форме) и теорема о связи с векторным равенством ортоцентра, центра описанной окруж-
Библиографический список
ности и вершин треугольника, демонстрируется применение векторов к решению геометрических задач.
Последний параграф главы посвящен изучению скалярного произведения векторов. Сначала вводятся такие понятия, как угол между векторами, перпендикулярные векторы, затем следует определение скалярного произведения векторов, скалярного квадрата, условие ортогональности векторов, теорема о вычислении скалярного произведения векторов через их координаты, а также формула для нахождения угла между векторами и свойства скалярного произведения векторов. Демонстрируется применение векторов к решению геометрических задач.
Следует обратить внимание, что практически все теоремы в этой главе доказываются, а система задач содержит практические задания на построение векторов, удовлетворяющих определенным условиям. Также в учебнике имеются тесты для самопроверки знаний и умений учащихся, что позволит школьникам оценить свой уровень овладения материалом темы.
В заключение отметим следующие важные аспекты проделанной работы.
Если сравнивать на содержательном уровне материал школьных учебников и типовые задания ЕГЭ-2024 по теме «Векторы», то можно сделать выводы:
- о достаточном объёме теоретического материала, содержащегося в учебно-методических комплектах по математике, для освоения основных компонентов содержания по данной теме,
- о большом числе примеров и иллюстраций, которыми сопровождается изложение теории,
- об обширной задачной базе, предназначенной для приобретения школьниками опыта применения векторов на практике.
Что касается задачного материала, то можно отнести к числу недостатков отсутствие систематизации задач, которая помогла бы и учителям, и учащимся структурировать задачи, разбив их на группы по содержанию и способам решения. Построенная авторами типизация заданий по теме «Векторы» является попыткой устранить этот недостаток.
Важно отметить, что успешное освоение материала темы «Векторы», приобретение опыта работы с таким ключевым математическим понятием, как вектор, вооружит школьников достаточно эффективным способом решения многих задач, причем не только геометрических. Кроме того, это позволит учащимся полноценно подготовиться к выполнению задания № 2 на государственных итоговых испытаниях.
Выстроенная авторами типизация задач по теме «Векторы» по содержанию и способам решения послужит основой, на которой учителя математики смогут строить систему задач по теме. Ориентируясь на выделенные в работе типы заданий по теме «Векторы» и описанные особенности приёмов и способов решения задач каждого типа, учителя математики смогут самостоятельно подбирать задачный материал для аудиторной работы на уроках математики и самостоятельной подготовки учащихся дома, а методически грамотно выстроенная и хорошо продуманная работа по решению задач каждого типа с акцентированием внимания на их особенностях и рациональных способах действий позволит школьникам освоить материал темы и успешно применять его впоследствии при решении геометрических, физических и других задач.
Особое внимание авторы обращают на тот факт, что для выполнения задания № 2 обучаемым необходимы только сведения о векторах на плоскости, которые рассматриваются в основной школе. Векторы в пространстве, изучаемые в старших классах, могут пригодиться для решения стереометрических задач, которые также входят в структуру контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Это определяет перспективы дальнейшей работы в выбранном направлении.
1. ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»: официальный сайт. Москва, 2023. Available at: https://fipi.ru
2. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. Москва: Издательство «Национальное образование», 2024.
3. Ященко И.В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Москва: Издательство «Экзамен», 2024.
4. Алмазова Т.А., Зенкина И.А., Никаноркина Н.В. Вероятностно-статистическая линия в школьном курсе математики в контексте диверсификации заданий единого государственного экзамена. Современные проблемы науки и образования. 2022; № 2: 39. Available at: https://science-education.ru/ru/article/view?id=31597
5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 классы. Базовый уровень. Учебник к новому ФП. УМК «Геометрия Атанасян Л.С.». Москва: Просвещение, 2023.
6. Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия. 9 класс. Учебник для изучения геометрии в 9 классе общеобразовательных организаций. Москва: Просвещение, 2022.
7. Мерзляк А.Г, Поляков В.М. Геометрия. 9класс:учебник для углубленного изучения геометрии. Москва: Просвещение, 2022.
References
1. FGBNU «Federal'nyj institutpedagogicheskih izmerenij»: oficial'nyj sajt. Moskva, 2023. Available at: https://fipi.ru
2. Yaschenko I.V. EG'E. Matematika. Profil'nyj uroven': tipovye 'ekzamenacionnye varianty: 36 variantov. Moskva: Izdatel'stvo «Nacional'noe obrazovanie», 2024.
3. Yaschenko I.V. EG'E. Matematika. Profil'nyj uroven'. 50 variantov. Moskva: Izdatel'stvo «'Ekzamen», 2024.
4. Almazova T.A., Zenkina I.A., Nikanorkina N.V. Veroyatnostno-statisticheskaya liniya v shkol'nom kurse matematiki v kontekste diversifikacii zadanij edinogo gosudarstvennogo 'ekzamena. Sovremennyeproblemy naukiiobrazovaniya. 2022; № 2: 39. Available at: https://science-education.ru/ru/article/view?id=31597
5. Atanasyan L.S., Butuzov V.F. Geometriya 7-9 klassy. Bazovyj uroven'. Uchebnikknovomu FP. UMK «Geometriya Atanasyan L.S.». Moskva: Prosveschenie, 2023.
6. Merzlyak A.G., Polonskij V.B., Yakir M.S. Geometriya. 9 klass. Uchebnik dlya izucheniya geometrii v 9 klasse obscheobrazovatel'nyh organizacij. Moskva: Prosveschenie, 2022.
7. Merzlyak A.G., Polyakov V.M. Geometriya. 9 klass: uchebnik dlya uglublennogo izucheniya geometrii. Moskva: Prosveschenie, 2022.
Статья поступила в редакцию 20.12.23
