CC BY
35
УДК-370.153.2:519.9
ТЕХНОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРЕННЕГО УРОВНЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В КЛАССЕ ЗАДАЧ «НА ПРОЦЕССЫ»
В.И. Горбачев, Т.В. Гетьман, А.Г. Маркина, С.Ф. Пехенько
В работе проектируется методика обучения учащихся решению арифметических задач алгебраическим методом. В полном составе операций формируются все уровни становления и развития действия. Ключевые слова: арифметические задачи, алгебраический метод, поэтапное формирование, технология обучения математике.
В классической работе Талызиной Н.Ф., Никола Г. [1] по формированию общих приемов решения арифметических задач проектируется становление «образа среды» и «образа действия» ориентировочной основы (Гальперин П.Я. [2]) арифметического метода решения задач «на процессы».
Становление «образа действия» в содержании не менее значимого в математической деятельности алгебраического метода решения задач, как и технология формирования его последовательных уровней, оказались вне исследования.
Методическая задача поэтапного формирования математической деятельности учащихся в обширном классе задач К (таблица 1) исследуется в условиях уточнения понятийного аппарата дея-тельностной теории учения (Леонтьев А.Н. [3], Талызина Н.Ф. [1], Гальперин П.Я. [2], Давыдов В.В.
[4]).
Таблица 1.
К - класс арифметических задач «на процессы»
К1 - класс арифметических задач «на движение» К2 - класс арифметических задач «на работу» К3 - класс арифметических задач «на сплавы и смеси»
К5 - класс арифметических задач «на куплю-продажу» К4 - класс арифметических задач «на числовые зависимости»
1. Образ среды - субъектная система характеристик среды деятельности в их иерархии, которая фиксируется субъектом как востребованная целями деятельности и условиями ее осуществ -ления в системе обобщенных действий.
2. Образ деятельности (действия) - упорядоченная последовательность образов ранее сформи-рованных обобщенных действий (операций), актуализируемых во внутреннем плане субъекта образом среды.
3. Ориентировочная основа деятельности - внутренний образ деятельности субъекта, интегрируемый системой внешних и личностных целей в содержании динамично формирующихся образа среды деятельности и опосредованных ими образов действий.
4. Взаимосвязь понятий действия и деятельности представлена субъекту деятельности в содержательном и внутреннем планах:
- в содержательном плане действие выступает структурным компонентом деятельности, цель действия включена в цель деятельности в качестве средства;
- во внутреннем плане каждый уровень (материализованный, внешнеречевой, внутренний) становления действия представлен субъекту в форме деятельности с дроблением цели на последовательность условий ее достижения, на этапе своей сформированное™ включается в новый вид (уровневый, структурный) деятельности, превращается в действие, операцию.
5. Теоретической основой и средством анализа уровня сформированности учебного действия субъекта выступает следующая система критериальных признаков [5]:
- цель действия субъекта в содержании целостной деятельности в данном классе задач;
- включенность задачи, определяющей действие, в класс задач, формирующий деятельность субъекта;
- содержание исполнительного компонента действия;
- форма представленности действия субъекту.
6. Критериальные признаки материализованного уровня сформированности действия у субъекта:
- целью действия выступает получение конкретного результата, требуемого содержанием задачи;
- задача, определяющая становление действия принимается субъектом изолированно, вне класса задач;
- содержанием действия выступает система исполнительских операций, направленных на реализацию требования задачи;
- действия представлено субъекту в форме материализованных операций под контролем сознания.
7. Критериальные признаки внешнеречевого уровня сформированное™ действия у субъекта:
- целью действия является выявление (интериоризация) общего способа решения задач данного
класса;
- становление действия определяется классом задач, конкретная задача направлена на обоснование общности действия субъекта;
- содержанием действия выступает формулировка обобщенного действия в классе задач и его конкретизация в данной задаче;
- действие представлено субъекту в системе обобщенных внешнеречевых операций, выступающих основным объектом контроля сознанием.
8. Критериальные признаки внутреннего уровня сформированное™ действия у субъекта:
- цель действия в условиях доминирования во внутреннем плане субъекта цели деятельности находится вне контроля сознанием;
- определяющая действие задача фиксируется субъектом как задача одного из классов задач, в содержании которых осуществляется формирование деятельности;
- содержание действия обосновано обобщением действия в системе классов задач и его внешнеречевой конкретизацией (экстериоризация) в данном классе;
- действие включено во внешнеречевую обобщенную деятельность в системе классов за -дач, в условиях сформированное™ сокращено, представлено субъекту во внутреннем плане.
Выделенная система понятий, критериальных признаков, закономерностей теории поэтапного формирования действий выступает в качестве методологии проектирования методической системы математической деятельности учащихся в классе арифметических задач.
Цели методической системы:
1. Сформировать математическую деятельность учащихся в классах арифметических задач К1 (движение), К2 (работа), К3 (сплавы), К4 (арифметические зависимости), К5 (купля-продажа) на материальном, внешнеречевом уровнях.
2. Сформировать математическую деятельность учащихся в классе арифметических задач К (процессы) на внутреннем уровне.
Алгебраический метод решения арифметических задач в классах объектов, обладающих тремя динамическими характеристиками со стандартной системой их взаимосвязи, выступает формируемым действием - объектом методической системы. Ее предмет - технология поэтапного формирования всех уровней действия, представленного субъекту деятельностью, действием, операцией.
Базовые методические закономерности управляемого процесса становления, развития действия на материализованном, внешнеречевом, внутреннем уровнях:
- полнота операционного состава материализованного, внешнеречевого уровней как ключевой принцип поэтапного формирования;
- аналогия как основное интеллектуальное действие становления метода решения на последовательных уровнях;
- функционирование общей схемы формирования действия:
а) материализованный уровень действия в полном операционном составе;
б) «уровень имен» действия как технологическое средство обобщения действия;
в) обобщенный способ деятельности в классе задач;
г) внешнеречевой уровень становления действия в классе задач;
д) система внешнеречевых уровней становления действия в аналоговых классах задач;
е) внутренний уровень развития действия - алгебраического метода решения арифметических задач.
Содержательной основой выстраивания аналогий материального и внешнеречевого уровней действия выступает система динамических характеристик объектов каждого из классов задач:
- в классе задач «на движение» в качестве объектов задачи выступают движущиеся тела с динами -ческими характеристиками - скоростью (V), временем (г), путем (5), с условием их взаимосвязи = V ■ г;
- в классе задач «на работу» в качестве объектов задачи выступают работающие механизмы с динамическими характеристиками - производительностью («V»), временем («г»), объемом работы («5»), с условием их взаимосвязи 5 = V ■ t;
- в классе задач «на сплавы и смеси» в качестве объектов задачи выступают вещества с динамическими характеристиками - концентрацией («V»), количеством смеси («г»), количеством вещества («5»), с условием их взаимосвязи 5 = V ■ t;
- в классе задач «на куплю-продажу» в качестве объектов задачи выступают товары с динамическими характеристиками - ценой («V»), количеством («г»), стоимостью («5»), с условием их взаимосвязи 5 = V • г;
- в классе задач «на числовые зависимости» в качестве объектов задачи выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками - цифрой («V»), разрядом («г»), слагаемым («5»), с условием их взаимосвязи 5 = V -10г.
Помимо аналоговых характеристик объектов, условий их взаимосвязи в структуре задач каждого из классов фиксируются ситуации равновесия динамических характеристик с рациональными уравнениями в качестве математических моделей (число ситуаций (уравнений) совпадает с числом объектов задачи). Закономерностью задачи выступает неизменяемость одной из динамических характеристик в каждой из ситуаций, вследствие этого система рациональных уравнений становится математической моделью задачи.
Система содержательных, структурных закономерностей классов арифметических задач -это компонент внутреннего уровня развития формируемого действия, результата целостной технологической схемы. Начальный их этап - становление материализованного уровня действия в классе К1 арифметических задач «на движение» со следующими характеристиками (образ среды):
1) в задачах участвуют 3 движущихся объекта с динамическими характеристиками (скорость, время, расстояние) и взаимосвязью 5 = V ■ г;
2) скорости объектов неизвестны, относительно независимы и постоянны;
3) в задачах рассматриваются 3 ситуации равновесия;
4) моделями динамических характеристик движущихся объектов выступают рациональные уравнения;
5) система трёх уравнений выступает моделью задачи;
6) интерпретация решений системы осуществляется на конкретных числовых множествах.
Материализованный уровень формирования деятельности представлен субъекту в форме конкретной задачи класса К1: Три пловца должны проплыть из пункта А в пункт В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд - второй, ещё через 5 секунд - третий. Некоторую точку С между А и В все пловцы миновали одновременно. Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил второго в 9 метрах от В, а первого - в 15 метрах от В. Найдите скорость третьего, еслирасстояние АВравно 55 метрам.
Анализ решения задачи позволяет по аналогии установить систему действий по возможному реше -нию всякой задачи класса К1 «на движение» - метод решения, общность которого пока не проверяется (Таблица 4).
Внешнеречевой уровень сформированное™ деятельности в классе задач К1 «на движение» характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его кон -кретизации в системе следующих задач:
I. Установить общий способ решения в классе задач К1 в системе последовательных действий.
II. Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи: Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта, а за полчаса до этого он догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?
В методическом плане обоснование общности каждого действия осуществляется только в процедуре конкретизации. По этой причине всякое внешнеречевое действие содержит как этап обобщения, так и этап конкретизации.
Описание класса К2 задач «на работу» осуществляется в следующей системе характеристик:
- объекты задач - работающие механизмы с динамическими характеристиками (производительность («V»), время («г1»), объем работы («5"»)), их взаимосвязью S = V ■ г;
- в задачах действует три механизма, их производительности постоянны, относительно независимы и неизвестны;
- в задачах фиксируется три ситуации равновесия динамических характеристик;
- математическими моделями ситуаций выступают рациональные уравнения с переменными - производительностями механизмов;
- математической моделью задачи выступает система рациональных уравнений;
- в процедуре интерпретации отбираются те наборы значений, которые характеризуют производительности механизмов.
Аналогия «образа среды» в классах К1 и К2 позволяет зафиксировать гипотезу о предпола-гаемом операционном составе действия по решению следующей задачи: «Бассейн имеет три трубы разного сечения для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при закрытой второй - за Ь мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой - за с мин. За какое время наполненный бассейн опорожняется через каждую трубу в отдельности?»
Аналоговое выполнение материализованного уровня действия позволяет учащемуся само -му выдвигать, формулировать гипотетический общий способ решения задач «на работу» (Таблица
4).
Фиксация в речи, мышлении общего способа решения осуществляется на внешнеречевом уровне формирования действия.
Содержание деятельности учащихся на внешнеречевом уровне представлено в системе за -
дач:
I. Установить обобщенный способ решения задач класса К2 «на работу»;
II. Конкретизировать обобщенный способ решения на следующей текстовой задаче: «Три каменщика могут совместно сложить стену за а часов. Первый из них, работая один, может сложить стену вдвое скорее третьего и на 1 час скорее второго. За сколько времени каждый из них, работая отдельно, может сложить стену?»
Технологические процедуры формирования внешнеречевого уровня действия в классах задач К1 и К2 выступает базой создания аналогового представления классов задач К3 («на сплавы и смеси») и К5 («на куплю-продажу») (Таблица 2).
Таблица 2.
Класс задач К3 («на сплавы и смеси») Класс задач К5 («на куплю-продажу»)
Объектами задач класса выступают вещества в сплаве, смеси. Объектами задач класса выступают товары, предлагаемые для купли, продажи.
Динамические характеристики вещества (объекта задачи) - концентрация («V»), количество смеси («1»), количество вещества в смеси («5»), их взаимосвязь - 5 = V ■ г. Динамические характеристики товара (объекта задачи) - цена («V»), количество товара («1»), стоимость товара («5»), их взаимосвязь - 5 = V ■ г.
В задаче анализируется сплав из трех веществ с их динамическими характеристиками. Концентрации веществ в сплаве относительно независимы, неизвестны, постоянны. В задаче анализируется процесс купли, продажи трех товаров с их динамическими характеристиками. Цены товаров относительно независимы, неизвестны, постоянны.
В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик веществ. В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик товаров.
Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений. Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений.
Общность характеристик классов К3 и К4 позволяет учащимся на уровне внешней речи сформулировать гипотезу об аналогии метода решения задач «на сплавы», «на куплю-продажу» и метода решения задач «на движение», «на работу».
Проверка общности метода и фиксация специфики задач классов К3 и К4 осуществляется на материализованном уровне действия в процедуре решения конкретных задач:
В классе К3: В первоначальном сплаве меди, олова и цинка концентрация цинка составляет
13
— концентрации меди и олова. В новом сплаве концентрация меди увеличена в 7 раз, олова - в 5
49
раз, цинка - в 10 раз и при этом концентрация меди составила —. Определите содержание меди
254в 2 кг первоначального сплава и олова - в 0,5 кг нового.
В классе К5: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 метров меньше чем черной и на 6 метров больше чем синей, стоимость кусков была одинакова. Стоимость 4,5 метров черной тканиравна стоимости 3 метров зеленой и 0,5 метров синей ткани вместе. Сколько стоит каждый кусок, если метровые отрезки каждого куска вместе стоят 600рублей?
Выполнение действий в полном операционном составе, осуществляемое в условиях рефлексии как исполнительских материализованных операций, так и интегрирующих их действий общего плана, позволяет сформировать «отрыв учащегося» (П.Я. Гальперин [2]) от процедуры конкретизации. Важнейшим технологическим средством становления обобщенного способа решения задач выступает «уровень имен» действия в системном виде, задающем последующий процесс становления (Таблица 3).
Таблица 3.
Базовые действия общего способа решения Операционный состав действия, «уровень имен»
Объекты задачи и их динамические характеристики 1. Характеристики объекта 1. 2. Характеристики объекта 2. 3. Характеристики объекта 3.
Анализ ситуаций задачи 4. Анализ ситуации I. 5. Анализ ситуации II. 6. Анализ ситуации III.
Анализ цели, фиксация переменных 7. Цель - поиск неизвестных «скоростей». 8. Выбор переменных в характеристиках 1, 2, 3.
Выделение математических моделей ситуаций 9. Ситуация I с переменными. 10. Ее модель - уравнение I. II. Ситуация II с переменными. 12. Ее модель - уравнение II. 13. Ситуация III с переменными. 14. Ее модель - уравнение III.
Выделение математической модели задачи 15. Значения переменных - решения уравнений I, II, III. 16. Система уравнений - модель задачи.
Решение системы уравнений в содержании общего метода 17. Задача - решение системы. 18. Общий метод решения систем рациональных уравнений. 19. Конкретизация общего метода для данной системы. 20. Решение системы.
Интерпретация решений системы 21. Интерпретация решений системы в задаче.
Рефлексия метода 22. Рефлексия способа решения.
Внешнеречевой уровень становления действия с ориентировочной основой в форме «уровня имен» действия автоматизируется, однако исполнительские операции, определенные конкретными условиями задачи, препятствуют сокращению, не приводят к проявлению динамического стереотипа. Именно внешний контроль точной выраженности обобщенного действия и его специфичного проявления в условиях учебной задачи выступает базовым методическим средством ста -новления внешнеречевого уровня в следующих видах деятельности учащихся в каждом из классов:
Задача (в классе К3): I. Установить обобщенный способ решения задач «на сплавы и смеси» (для случая трех веществ). II. Конкретизировать действия обобщенного способа в задаче: Имеется первый сплав определенной массы, содержащий медь; второй сплав массы на 5 кг меньше первого и содержащий олово; третий сплав массой на 5 кг меньше второго и содержащий железо. В каждом из них массы меди, олова и железа одинаковы. Из первого сплава взят кусок, содержащий 64 кг меди, из второго сплава - кусок, содержащий 46 кг олова, при этом масса второго куска оказалась меньше массы первого куска на 5 кг. Из первого сплава взят кусок, содержащий 70 кг меди, из третьего сплава - кусок, содержащий 40 кг железа; при этом масса куска из первого сплава на 10 кг больше массы куска из третьего сплава.
Задача (в классе К5): I. Установить обобщенный способ решения задач «на куплю-продажу» (для случая трех товаров). II. Конкретизировать действия обобщенного способа в зада -че: У фермера рыночная стоимость одного ящика клубники равна числу имеющихся у него ящи-
ков черешни. Стоимость ящика смородиныравна числу имеющихся ящиков клубники. Стоимость ящика черешни равна числу ящиков смородины. Стоимость клубники в 35 раз дороже стоимости ящика клубники и ящика смородины. Стоимость черешни в 70 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика клубники. Стоимость смородины в 105 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика смородины. Установить стоимость фермерских фруктов.
Класс задач К4 «на числовые зависимости» в содержательном плане обладает системой специфических характеристик, не позволяющей формировать действие с опорой на аналогию:
- содержанием задач класса являются действия с натуральными числами в систематической записи по фиксированному основанию системы счисления;
- объектами задач выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками - цифрой разряда («V»), разрядом («1»), слагаемым («5»), их взаимной связью 5 = V • 10г;
- цифры разряда задаются на конечном множестве {0, 1, ..., 9}, разряды - на конечном множестве {0, 1, 2, ..., п}, слагаемые составлены из цифры и нулей, что в решении задач позволяет в качестве метода использовать перебор.
Материализованному уровню становления действия предшествует формирование «образа среды» - понятия систематической записи натурального числа и ее компонентов, условий взаимосвязи слагаемого, разряда и цифры разряда. Лишь на этой основе происходит становление материализованного уровня в содержании деятельности по решению задачи: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении суммы удвоенных первой и третей цифр на вторую получается третья цифра. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297. Двузначное число, записанное первой и второй цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами. Найти натуральное число.
Внешнеречевой уровень сформированности деятельности в классе задач К4 на арифметические зависимости характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его конкретизации в системе следующих задач:
I. Выделить общий метод решения в классе задач К4 на арифметические зависимости (трёхзначные числа в десятичной системе счисления).
II. Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении числа на двузначное, записанное последними двумя цифрами, в частном получается 16 и в остатке 5. Разность квадрата первой цифры и суммы квадратов двух последних цифр равна 30. Разность двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами и двузначного числа, записанного последними двумя цифрамиравна 32. Найти натуральное число.
Поскольку уже на материализованном уровне становления действия выделена аналогия взаимной связи динамических характеристик объектов каждого из классов задач, аналогия реализации действий в задаче и в классе задач, то внешнеречевой уровень действия в классе К4 «на арифметические зависимости» формируется автомотизированно с контролем исполнительной части.
Проектирование деятельности, в которой действие - «решение арифметических задач алгебраическим способом» развивается на внутреннем уровне, осуществляется в системе его критериальных признаков: функционирование в деятельности внешнеречевого уровня, формирование обобщенной деятельности в системе классов задач как цель. Такая деятельность реализуется в задаче:
I. Установить систему действий алгебраического метода решения в классе арифметических задач «на процессы».
II. Указать закономерности и особенности алгебраического метода решения арифметических задач («на движение», «на работу», «на сплавы и смеси», «на куплю и продажу», «на числовые зависимости»).
Внутренний уровень действия развивается в целостной аналитико-синтетической деятельности:
- анализа характеристических признаков каждого класса задач;
- синтезирования признаков в виде описания характеристик класса арифметических задач «на процессы »;
- анализа общих и специфических черт общих методов решения в классах задач К1 - К5;
- фиксация общего метода решения арифметических задач «на процессы» в системе пересекающихся действий решения задач в каждом классе;
- описание метода решения арифметических задач класса К1 (К2, К3, К4, К5) на основе общего метода решения задач «на процессы» с учетом специфических характеристик класса;
- целостное представление классов задач и методов их решения (Таблица 4).
_Таблица 4._
Деятельность в классе К арифметических задач «на процессы» - внутренний уровень сформированности действия
Ki - класс задач на движение К2 - класс задач на работу К3 - класс задач на смеси, сплавы и растворы К4 - класс задач на числовые зависимости К5 - класс задач на куплю-продажу
Динамические характеристики объектов, их взаимные связи
скорость -V; время -t; расстояние - S. Взаимная связь: S = V ■ t производительность -«V»; время - «t»; объем работы - «S». Взаимная связь: S = V ■ t концентрация - «V»; количество сплава - «г»; количество вещества в сплаве - «5». Взаимная связь: 5 = V • г цифра разряда -« V»; разряд - «г»; числовое значение разряда - «5». Взаимная связь: 5 = V-10г цена - «V»; число единиц товара - «г»; стоимость - «5». Взаимная связь: 5 = V • г
Система условных соглашений в классах задач К| - К5 (уровень «С» - взаимодействие трех объектов)
скорости производительности концентрации цифры разряда цены
V
1. V - постоянны в задаче, относительно независимы, их значения неизвестны;
2. Участвуют три объекта, обладающие динамическими характеристиками;
3. Алгебраический метод выступает общим методом решения;
4. Фиксируются 3 изолированных ситуации взаимной связи динамических характеристик;
5. Рациональные уравнения выступают математическими моделями каждой ситуации;
6. Система рациональных уравнений выступает математической моделью задачи;
7. Интерпретация решений системы позволяет выделить решения задачи._
Общая схема действия их решения
A. Объекты задачи и их динамические характеристики; Б. Анализ ситуаций взаимодействия объектов в задаче;
B. Анализ цели, фиксация переменных;
Г. Математические модели ситуаций задачи; Д. Математическая модель задачи;
Е. Система уравнений в содержании общего метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
3. Рефлексия метода._
Операционный состав действия - «уровень имен»
A. 1) динамические характеристики объекта 1; 2) динамические характеристики объекта 2; 3) динамические характеристики объекта 3;
Б. 4) анализ ситуации I; 5) анализ ситуации II; 6) анализ ситуации III;
B. 7) цель - поиск неизвестных «скоростей»; 8) выбор «скоростей» в качестве переменных x, y, z;
Г. 9) ситуация I c переменными; 10) ее модель - уравнение I; 11) ситуация II c переменными; 12) ее модель -уравнение II; 13) ситуация III c переменными; 14) ее модель - уравнение III;
Д. 15) значения переменных - решение уравнений I, II, III; 16) система уравнений - модель задачи;
Е. 17) задача - решение системы; 18) общий метод решения; 19) конкретизация общего метода решения; 20)
решение системы;
Ж. 21) интерпретация решений системы в содержании задачи;
3. 22) соответствие операций и действий, действия А - Ж как метод решения._
Материализованный
уровень сформированности действия
Найти решение задачи: Три пловца должны проплыть из пунктаА впунктВи обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд - второй, ещё через 5 секунд - третий. Некоторую точку С междуА и В все пловцы миновали одновременно. Третий пловец доплыл до В и
повернув назад встретил второго в 9 метрах от В, а пер-
Найги решение задачи:
Бассейн имеет три тру-быразного сечения для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при .закрытой второй - .за Ь мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой - за с мин. За какое время наполнен-
Найти решение задачи: В первоначальном сплаве меди, олова и цинка концентрация цинка составляет 13/22 концентрации меди и олова. В новом сплаве концентрация меди увеличена в
7 раз, олова - в 5 раз, цинка - в 10 раз и при этом концентрация меди составила 49/254. Определите содержание меди в 2 кг первона-
Найти решение задачи: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении суммы удвоенных первой и третей цифр на вторую получается третья
цифра. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297. Двузначное число, записан-
Найти решение задачи: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 метров меньше
чем черной и на 6 метров больше чем синей, стоимость кусков была одинакова. Стоимость 4,5 метров черной ткани равна стоимости 3 метров зеленой и 0,5 метров синей ткани вместе.
вого - в 15 метрах от В. Найдите скорость третьего, если расстояние АВ равно 55
метрам. Решение (выполнение действий 1-22 в содержании задачи).
ный бассейн опорожняется через каждую трубу в отдельности? Решение (выполнение действий 1-22 в содержании задачи).
чального сплава и олова - в 0,5 кг нового.
Решение (выполнение действий 122 в содержании задачи).
ное первой и второй
цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами. Найти натуральное число. Решение (выполнение действий 1-22 в содержании задачи).
Сколько стоит каждый кусок, если метровые отрезки каждого куска вместе стоят 600рублей?
Решение (выполнение действий 1-22 в содержании задачи).
Обобщенный способ решения задач данного класса
1. Выде лим динамические характеристики (скорость V, время 1, путь 8) с их единицами измерения для 1 объекта
движения.
2. Выделим динамические характеристики (скорость V, время 1, путь 8) с их единицами измерения для 2 объекта
движения.
3. Выделим динамические характеристики (скорость V, время 1, путь 8) с их единицами измерения для 3 объекта
движения.
4. В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3
объектов. 5. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3
объектов. 6. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик
1, 2, 3 объектов. 7. Поставим цель -поиск неизвестных динамических характеристик (скоростей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных _ситуаций._
1. Выделим динамические характеристики (производительность «V», время «1», объем работы «8») с их единицами измерения для
1 объекта работы.
2. Выделим динамические характеристики (производительность «V», время «1», объем работы «8») с теми же единицами измерения для 2 объекта работы.
3. Выделим динамические характеристики (производительность «V», время «1», объем работы «8») с их единицами измерения для
3 объекта работы.
4. В относительно изолированном фрагменте
задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов работы.
5. В другом относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов работы.
6. В третьем относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов
работы. 7. Поставим цель - поиск неизвестных динамических характеристик (производительно-стей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трех выделенных ситуаций с фиксированными единицами измерения.
1. Выделим динамические характеристики (концентрация «V», объем
сплава «t», объем вещества «S») с их единицами измерения для 1 вещества.
2. Выделим динамические характеристики (концентрация «V», объем
сплава «t», объем вещества «S») с их единицами измерения для 2 вещества.
3. Выделим динамические характеристики (концентрация «V», объем
сплава «t», объем вещества «S») с их единицами измерения для 1 вещества.
4. В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 веществ.
5. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 веществ.
6. В третьем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи
динамических характеристик 1, 2 и 3 веществ.
7. Поставим цель -поиск неизвестных динамических характеристик (концентраций) на за-
1. Выделим динамические характеристики (цифру разряда «V», разряд «t», значение слагаемого «S») слагаемого из сотен. 2. Выделим динамические (цифру разряда «V», разряд «t», значение слагаемого «S») характеристики слагаемого из десятков.
3. Выделим динамические характеристики (цифру
разряда «V», разряд «t», значение слагаемого «S») слагаемого из единиц.
4. В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.
5. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических объектов
слагаемых из сотен, десятков, единиц. 6. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков,
единиц. 7. Поставим цель -поиск неизвестных динамических характеристик (цифр разрядов) на зафиксированном множе-
1. Выделим динамические характеристики (цена «V», количество товара
«t», стоимость товара «S») первого объекта торговли.
2. Выделим динамические характеристики (цена «V», количество товара
«t», стоимость товара «S») второго объекта торговли.
3. Выделим динамические характеристики (цена «V», количество товара
«t», стоимость товара «S») третьего объекта торговли.
4.В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик, первого, второго и третьего объектов торговли.
5.В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик, первого, второго и третьего объектов торговли.
6.В относительно изолированном
фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик первого, второго и третьего объекта торговли.
7. Поставим цель -поиск неизвестных динамических характеристик (цен)
8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов
с фиксированием единиц измерения их значений.
9. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем
взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
10. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I
математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
11. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем
взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
12. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью - рациональным уравнением с
тремя переменными.
13. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем
взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
14. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью - рациональным уравнением с
тремя переменными.
15. Характеризуем неизвестные наборы
значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.
8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.
9. В установленной ситуации I с помощью введенных переменных
фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
10. Взаимные связи динамических характеристик ситуации I
опишем математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
11. В установленной ситуации II с помощью введенных переменных
фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
12. Взаимные связи динамических характеристик ситуации II
опишем математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
13. В установленной ситуации III с помощью введенных переменных фиксируем
взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
14. Взаимные связи динамических характеристик ситуации III опишем математической моделью - рациональным уравнением с
тремя переменными.
15. Характеризуем неизвестные наборы значений как решения
каждого из уравнений и, значит, решения системы уравнений.
16. Строим математическую модель всех
ситуаций данной задачи - систему трех рациональных уравнений с тремя переменными. 17. Поставим задачу: решение системы трех рациональных уравне-
фиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трех выделенных ситуаций с фиксированными единицами измерения.
8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.
9. В установленной ситуации I с помощью введенных
переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
10. Взаимные связи динамических характеристик ситуации I опишем математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
11. В установленной ситуации II с помощью введенных
переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.
12. Взаимные связи динамических характеристик ситуации II опишем математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
13. В установленной ситуации III с помощью введенных переменных фиксируем взаимные связи динамических
характеристик 1, 2 и 3 объектов.
14. Взаимные связи динамических характеристик ситуации III опишем математической моделью - рациональ-
стве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.
8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики слагаемых из сотен, десятков,
единиц.
9. В установленной ситуации I с помощью введённых
переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.
10. Охарактеризуем взаимную связь
динамических характеристик ситуации I математической моделью -рациональным уравнением с тремя переменными.
11. В установленной ситуации II с помощью введённых
переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.
12. Охарактеризуем взаимную связь
динамических характеристик ситуации II математической моделью -рациональным уравнением с тремя переменными.
13. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических
характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.
14. Охарактеризуем взаимную связь
динамических характеристик ситуации III математической моделью -рациональным уравнением с тремя
каждого из объектов торговли, удовлетворяющей каждой из трех ситуаций.
8. В качестве переменной х выберем
цену первого объекта торговли, в качестве переменной у -цену второго объекта торговли, в качестве переменной z -цену третьего объекта торговли.
9. В установленной ситуации I, с помощью введенных переменных, фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов торговли
10. Охарактеризуем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик первого, второго и третьего объектов торговли математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
11. В установленной ситуации II, с помощью введенных переменных, фиксируем взаимные
связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов торговли.
12. Охарактеризуем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик первого, второго и третьего объектов торговли математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
13. В установленной ситуации III, с помощью введенных переменных, фиксируем взаимные
связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов торговли.
14. Охарактеризуем ситуацию III взаим-
16. Строим математическую модель
всех ситуаций данной задачи - систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.
17. Поставим задачу - решение системы трёх рациональных уравнений с тремя
переменными.
18. Актуализируем общий метод решения системы трёх
рациональных уравнений с тремя переменными.
19. Решаемпостро-енную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.
20. Интерпретируем все решения системы в содержании
данной задачи.
21. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые
удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.
22. В процессе решения задач на движение выделим основные этапы:
А. Объекты задачи и их динамические характеристики; Б. Анализ ситуаций взаимодействия объ -ектов в задаче; В. Анализ цели, фиксация переменных;
Г. Математические модели ситуаций
задачи; Д. Математическая
модель задачи; Е. Система уравнений в содержании общего метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
ний с тремя переменными.
18. Актуализируем общий метод решения системы трех рациональных уравнений с тремя переменными, в которых V- некоторая
константа. 19. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом.
20. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.
21. Фиксируем в качестве решения задачи те
наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения. 22. Проведем анализ деятельности по решению задачи.
A. Объекты задачи и их динамические характеристики;
Б. Анализ ситуаций взаимодействия объектов в задаче;
B. Анализ цели, фиксация переменных;
Г. Математические модели ситуаций задачи;
Д. Математическая модель задачи; Е. Система уравнений в содержании общего
метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
ным уравнением с тремя переменными.
15. Характеризуем неизвестные наборы значений как решения каждого
из уравнений и, значит, решения системы уравнений.
16. Строим математическую модель
всех ситуаций данной задачи - систему трех рациональных уравнений с тремя переменными.
17. Поставим задачу: решение системы трех рациональных уравнений с
тремя переменными.
18. Актуализируем общий метод решения системы
трех рациональных уравнений с тремя переменными.
19. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом.
20. Интерпретируем все решения
системы в содержании данной задачи.
21. Фиксируем в качестве решения задачи те наборы значений, которые
удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.
22. Проведем ана -лиз деятельности по решению задачи.
В процессе решения задач на работу основными этапами
являются: А. Объекты задачи и их динамические
характеристики; Б. Анализ ситуаций
взаимодействия объектов в задаче;
В. Анализ цели, фиксация перемен-
переменными.
15. Характеризуем неизвестные наборы
значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.
16. Строим математическую модель
всех ситуаций данной задачи - систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.
17. Поставим задачу - решение системы трёх рациональных уравнений с тремя
переменными.
18. Актуализируем общий метод решения системы трёх
рациональных уравнений с тремя переменными.
19. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом.
20. Интерпретируем все решения системы в содержании
данной задачи.
21. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые
удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.
22. В процессе решения задачи основными этапами являются:
А. Объекты задачи и их динамические
характеристики; Б. Анализ ситуаций
взаимодействия объектов в задаче;
В. Анализ цели, фиксация переменных;
Г. Математические модели ситуаций
задачи; Д. Математическая
модель задачи; Е. Система уравнений в содержании
ной связи динамических характеристик первого, второго и третьего объектов торговли математической моделью - рациональным уравнением с тремя переменными.
15. Охарактеризуем неизвестные наборы
значения переменных как решения каждого из трех уравнений, следовательно, как решение системы.
16. Строим математическую модель
всех ситуаций задачи - систему трех
рациональных уравнений с тремя переменными.
17. Поставим задачу - решение системы трех рациональных уравнений с тремя
переменными.
18. Актуализируем общие методы решения системы трех
рациональных уравнений с тремя переменными.
19. Решаем построенную систему в
соответствии с общим методом.
20. Интерпретируем все решения системы в содержании
данной задачи. 21. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые
удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения. 22. В процессе решения задачи основными этапами являются:
А. Объекты задачи и их динамические
характеристики; Б. Анализ ситуаций
взаимодействия объектов в задаче;
В. Анализ цели, фиксация переменных;
Г. Математические
ных;
Г. Математические модели ситуаций
задачи; Д. Математическая
модель задачи; Е. Система уравнений в содержании общего метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
общего метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
модели ситуации
задачи; Д. Математическая
модель задачи; Е. Система уравнений в содержании общего метода решения; Ж. Интерпретация решений системы;
Внешнеречевой уровень сформированности действия
I. Установить обобщенный способ решения. II. Конкретизировать обобщенный способ в задаче: Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого
шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист
впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта, а за полчаса до этого он догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый мо-
тоциклист
?
Решение: (о. формулировка обощен-ных действий в классе задач; к. конкретизация обобщенных действий в данной задаче).
I. Установить обобщенный способ решения.
II. Конкретизировать обобщенный способ в задаче: Три каменщика могут совместно сложить стену за а часов. Первый из них, работая один, может сложить стену вдвое скорее третьего и на 1 час скорее второго. За сколько времени каждый из них, работая отдельно, может
сложить стену? Решение: (о. формулировка обощенных действий в классе задач;
к. конкретизация обобщенных действий в данной задаче).
I. Установить обобщенный способ решения. II. Конкретизировать обобщенный способ в задаче: Имеется первый сплав определенной массы, содержащий медь; второй сплав массы на 5 кг меньше первого и содержащий олово; третий сплав
массой на 5 кг меньше второго и содержащий железо. В каждом из них массы меди, олова и железа одинаковы. Из первого сплава взят кусок, содержащий 64 кг меди, из второго сплава -кусок, содержащий 46 кг олова, при этом масса второго куска оказалась меньше массы первого куска на 5 кг. Из первого сплава взят кусок, содержащий 70 кг меди, из третьего сплава -кусок, содержащий 40 кг железа; при этом масса куска из первого сплава на 10 кг больше массы куска из третьего сплава. Решение: (о. формулировка обощенных действий в классе задач; к. конкретизация обобщенных действий в данной за_даче)._
I. Установить обобщенный способ решения. II. Конкретизировать обобщенный способ в задаче: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении числа на двузначное, записанное последними двумя цифрами, в частном получается 14 и в остатке 11. Разность квадрата первой цифры и суммы квадратов двух последних цифр равна 30. Разность двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами и двузначного числа, записанного последними двумя цифрами равна 32. Найти натуральное число. Решение: (о. формулировка обощенных действий в классе задач; к. конкретизация обобщенных действий в данной задаче).
I. Установить обобщенный способ решения. II. Конкретизировать обобщенный способ в задаче: У фермера рыночная стоимость одного
ящика клубники равна числу имеющихся у него ящиков смородины. Стоимость ящика смородиныравна числу имеющихся ящиков черешни. Стоимость ящика черешни равна числу ящиков клубники. Стоимость клубники в 35 раз дороже стоимости ящика клубники и ящика смородины. Стоимость черешни в 70 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика клубники. Стоимость смородины в 105 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика смородины. Установить стоимость фермерских фруктов
Решение: (о. формулировка обощенных действий в
классе задач; к. конкретизация обобщенных действий в данной задаче).
The article deals with the algebraic method technique of problem solving procedure in the course of Secondary School Mathematics. Performing all step-by-step operations makes possible to develop all levels of this activity. The key words: arithmetical problems, algebraic method, step-by-step development, technique of training mathematics
Список литературы.
1. Талызина Н.Ф. А. Формирование общих приемов решения арифметических задач// Талызина Н.Ф., Никола Г. Формирование приемов математического мышления. М., 1995. С. 68-120; Управление процессом усвоения знаний// М.: Изд-во МГУ, 1994. 167с.;Теория поэтапного формирования умственных действий// Теория учения. Хрестоматия. Часть 1. Отечественные теории учения. М.: Редакционно-издательский центр «Помощь», 1996. С. 98-137.
2. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность/ М.: Политиздат, 1971. 304с.
3. Гальперин П.Я. А. Психология как объективная наука/ Под ред. А.И. Подольского. М.: Изд-во «Институт практической психологии», 1998. 480с.; Типы ориентировки и типы формирования действий и понятий// Доклады АПН РСФСР. 1985. №2. С. 132-147.
4. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996. 544с.
5. Горбачев В.И. Закономерности поэтапного формирования умственных действий в математической деятельности учащихся// Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 8./ Под ред. Ю.А. Дробышева и И.В. Дробышевой. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2006. С. 83-101.
