Техника вычисления низкоэнергетического эффективного лагранжиана n=1 суперсимметричных полевых моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145:530.12; 537.8:

О. Д. Азоркина

техника вычисления низкоэнергетического эффективного лагранжиана n=1

суперсимметричных полевых моделей

Эффективное действие является центральным понятием при изучении многочисленных аспектов квантовых моделей теории поля. Точное определение эффективного лагранжиана теории гарантирует точное решение соответствующей модели квантовой теории и в общем случае невозможно. В связи с этим задача вычисления эффективного действия в настоящее время рассматривается как самостоятельное направление в рамках квантовой теории. Следовательно, возникает необходимость разрабатывать суперполевые методы построения эффективного действия и совершенствовать уже существующие. В данной работе предлагается метод построения однопетлевого эффективного действия N=1 суперсимметричных полевых теорий, позволяющий находить суперполевой эффективный лагранжиан в виде разложения по суперковариантным производным фоновых суперполей. В качестве примера применения общей техники проводится вычисление низкоэнергетического действия N=1 суперсимметричной модели Янга-Миллса.

Ключевые слова: суперсимметрия, эффективное действие, модель Янга-Миллса.

Введение. Понятие эффективного действия является центральным при исследовании многих аспектов моделей квантовой теории поля. Причем построение эффективного действия в различных полевых моделях для решения разнообразных физических задач основывается на использовании аналогичных приближенных схем вычисления. Точное определение эффективного лагранжиана гарантирует точное решение соответствующей квантовой модели теории и в общем случае невозможно. В связи с этим проблема нахождения эффективного действия сейчас рассматривается как самостоятельное направление в рамках квантовой теории [1-6]. Только в сравнительно недавнее время был развит суперполевой подход изучения эффективного действия, поскольку оказалось, что при непосредственном применении методов развитых для стандартной квантовой теории поля к суперсимметричным моделям возникают существенные трудности. Данные проблемы связаны с тем фактом, что в стандартной квантовой теории поля эффективные потенциалы исследуются при постоянных значениях скалярных полей и вычисления базируются на стандартных методах [7]. При попытке же рассматривать суперполевое эффективное действие на постоянных значениях киральных и антикиральных скалярных полей оказывается, что оно исчезает вследствие известных свойств интеграла Березина [8, 9]. Таким образом, необходимо рассматривать суперполевое эффективное действие для скалярных полей, постоянных в пространстве-времени, но сохраняющих произвольную зависимость от грассмановских антикоммути-рующих координат 0 и 0 . Это означает, что для определения эффективного лагранжиана нужно рассматривать пропагатор теории во внешних су-

перполях, нетривиально зависящих от 0 и 0 (как показано в работах [10, 11]).

Следовательно, существует необходимость разрабатывать суперполевые методы построения эффективного действия и совершенствовать их. Именно данному вопросу посвящена эта работа, а также изучению эффективного действия в одно-петлевом приближении для N=1 модели Янга-Миллса, на примере которой вследствие ее простоты можно проследить ряд закономерностей алгоритма вычисления.

Обобщенная техника вычисления. В общем случае в однопетлевом приближении эффективное действие определяется соотношением вида [10].

Г(1) = -Тг 1п Н.

(1)

Здесь Тг есть функциональный суперслед, определенный следующим образом:

ТгА = | d4 xd 40А (х, 0,0; х',0',0')

и А(х,0,0;х',0',0') - ядро оператора А; дифференциальный оператор Н, действующий на суперполя, обозначаем как

Н = Ж + AaDa+ АД + ВД2 + ВВ2 + X = Н (Dz), (2)

где г = () = (га, 0а, 0а) — координаты суперпространства, Д = (да, Да, Да) — суперпроизводные.

Явный вид оператора Н определяется структурой суперполевого действия рассматриваемой теории.

Представим эффективное действие Г(1) в виде интеграла по собственному времени

О. Д. Азоркина. Техника вычисления низкоэнергетического эффективного лагранжиана N=1.

г(1) = -Тг Г-вш 2 I 5

(3)

Здесь обозначим через и(х,9,9;х',&,&-

и (х,в,в; х ' ,в',в'| 5 )|( х_х,,

да

(и)"-2 Ап (х,в,в),

(11)

ядро оператора . Общая структура эффектив- где Ап - коэффициенты разложения. Тогда эффек-ного действия есть интеграл по суперпространству тивный лагранжиан определяется рядом вида

Г(1) =

? й8 т,

(4)

где эффективный лагранжиан записывается в форме

^ _ - £ Ап (х,в,в){ й ('5)('5)п-3.

2 "=0 А

(12)

Очевидно, что интеграл по собственному времени будет расходиться на нижнем пределе при (5) п = 0, 1, 2, что соответствует в квантовой теории поля ультрафиолетовой расходимости. Кроме этого Таким образом, задача сводится к приближен- данный интеграл расходится и на верхнем преде-ному вычислению ядра и. Будем рассматривать ле - инфракрасные особенности, шторьш носят

_ -1-и (х, в, в; х ,в',в| *)

( х '_х,в

выражение

Тге'5Н _ Г^- Гйв4в2 Гй4х32е~'рхеше'рх3у и используем тождество вида

е-'рхдае,рх = 5а+ 'ра,

(6)

(7)

искусственный характер и обусловлены тем, что ядро рассматривается как разложение в ряд и интегрируется почленно. Для придания смысла расходящимся интегралам вводим процедуру регуляризации.

Регуляризация расходимостей. Для регуляризации инфракрасных особенностей вводим сомно-

- . 2

житель е 'т 5 и будем рассматривать исходный ин-

где стрелка обозначает действие оператора на все функции справа от него. Применим то- теграл как предел при т£ ^ 0. До тех пор пока

ждество (7) к оператору е- и получим выражение

е-Рхе'Н (z, °г )е'рх _ е'5Н (z,дa+iPa, в )1

^дa+'Pa, в ^ в

тт '5Н (г,да+1р„в)

Не трудно показать, что е а а можно представить в форме произведения двух сомножителей

в) запишется в форме

здесь происходит замена

Ш(г,да + ра,0) _ е-'р е'Н

т ф 0, инфракрасных особенностей нет. Для устранения ультрафиолетовых расходимостей определяем эффективный лагранжиан (12) как предельное значение при е ^ +0 регуляризованного выражения

_ 2 и

X? и (х,в,в; х',в',в'| 5) 0 (м)1-в 1

(13)

( х ' _ х,в

и теперь оператор н (г, д

Н (г, д + 'р , В) _ - р2 + Н.

(8)

где / - произвольный параметр размерности массы, вводимый для того, чтобы размерность (13)

Следовательно, для эффективного действия по- совпадала с размершиью иеждаото эффекшвн°-

го лагранжиана (5).

Исследуем структуру регуляризованного лагранжиана Т-. Подставляем в (13) разложение ядра в ряд по 5 (11) и получаем соотношение

лучаем

г (1) _ - г г й4 р 2 ? 5 ? (2п)4

?ТЛе-* ?й4х?йв%3-еН6-2. (9)

Представим оператор е- в виде разложения в ряд по суперковариантным производным

Т(- _

да ('с)"

_£ (~т(Ж + Ърада+ Аа1)а+...)"

(10)

2 £/2-А" (х,в,в)? й ('5)('5)п-3+-е-т2-. (14)

2 п_0 0

Возникшие интегралы по собственному времени вычисляются явно

и будем рассматривать интересующий нас порядок п, учитывая, что интегралы по импульсу являются интегралами гауссова типа и только при четных значениях п не обращаются в нуль.

? й ('5)('5)

п-3+е е~гт 5

_ (т )( -) Г(п - 2 + е),

(15)

где Г(г) - гамма-функция. В результате для

При разложении ядра по собственному времени эффективного лагранжиана получаем выраже-

имеем

ние

1т

е

п_0

¿е = 2Е^Ч(х,в,в)(т2)2-п-еГ(п -2 + е). (16)

2 п=0

Как было отмечено выше, расходимости при е ^ 0 отвечают значениям п = 0, 1, 2. Обозначим

Це = 2 Ее[ Ао(т2)2-еГ(е-2) + +А1 (т2 )1-е Г(е -1) + 4 (т2 )-е Г(е) ].

До тех пор пока е ф 0 , никаких расходимостей не возникает. Выделяем в явном виде члены сингулярные при е ^ 0 . Для этого будем использовать свойство гамма-функции [12]

zГ{ z) = Г( z +1).

Теперь не трудно получить следующее (е- 2)Г(е - 2) = Г(е-1), (е-1) Г(е -1) = Г(е).

Значит, имеем Г(е)

Г(е -1) = Г(е - 2) =

е-1 Г(е -1)

Г(е)

¿е) =

е-2 (е-2)(е -1) Поэтому расходящаяся часть примет вид

(„2 V

т2

г

— X 2

Ас

т

- А

т

(2 - е)(1 -е) 11 -е

- + А2

Г(е).

Кроме того, из тождества (18) следует, что Г(е +1)

Г(е) =

Х(е) =

v у

т2 V'" У

2е

2е

т

А — - А1т2 + А

(22)

где учтено, что Г(1) = 1.

Для определения конечного эффективного лагранжиана необходимо к эффективному лаг-

(17) ранжиану (16) добавить контрчлен

¿у = [ ¿ё

(23)

Выражение (23) не содержит ультрафиолетовых расходимостей. Отметим, что для явного вычисления контрчлена (22) необходимо провести прямое

(18) вычисление коэффициентов А0, А1, А2 разложения

ядра в ряд по собственному времени для конкретной модели теории поля.

N=1 суперсимметричная модель Янга-Мил-лса. В данном пункте рассмотрим применение приведенной выше техники для вычисления эффективного лагранжиана N=1 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в однопетлевом приближении. Исходное действие для данной модели есть [13]

5 = -1 ¡г Г ё4 хё 2вW2,

(24)

где Wа - киральная напряженность поля.

Дифференциальный оператор Н, действующий на суперполя для модели Янга-Миллса, имеет вид [14])

Н = WгWаУ„ -гWaVa

(25)

(19)

(20)

Следовательно, выражение (19) можно представить в следующей форме

где Уа, Уа - стандартные ковариантные производные Янга-Миллса. Применяем тождество (7) и учитываем, что

^а^- Фа" )аРа , (26)

^ а = Уа + фва" )а ра. (27)

Получаем выражение для нового оператора Н :

Н = W + 2гр"д" -гWаУа -гWaVa +

^а(ва")аРа -гWa(ваа)ара. (28)

А0

т

т

(2 - е)(1 -е)

- А11-+ А

1 -е

и, устремив е ^ +0 во всех членах, кроме —.

е

Это позволяет выделить только расходящийся вклад, т. е.

Далее следуем схеме предложенного метода

л*Н

Г(е +1), (21) и рассматриваем оператор е в виде разложения по ковариантным производным суперполей при 1 п = 0, 1, 2, 3, 4. Благодаря известному равенству

4 т-,2 гл2 с4

^4,D2D2£142 = 16^2 при вычислении интеграла по

в от выражения между дельта-функциями остаются только слагаемые, в которых есть сомножитель

е

О. Д. Азоркина. Техника вычисления низкоэнергетического эффективного лагранжиана N=1...

D2D2, остальные же члены обращаются в нуль, а значит, при п = 0, 1, 2, 3 вкладов не наблюдается. Таким образом, будем определять вклады при п = 4:

(is)4 __

24 (W + Wда -iWaVa -iWaVa +

+iW()apa -iWa((aaГpa

' Л 4

L, = L ff__P_eisp2 (is)4 W2W2.

2 о (2n)4

2 (4n)2

Используем свойство дельта-функции (20) и записываем эффективный лагранжиан модели в форме

L R) =-

1

2(4п)2

И

W 2W2

(m)

2\(2+s)

2 + s

r(s +1)

-1

(29)

64n m4

-W 2W2.

(32)

После проведения необходимых преобразований эффективный лагранжиан принимает вид

(30)

Вычисляем интеграл по импульсам, и так как это интеграл гауссова типа, то его нетрудно вычислить явно. Аналогично схеме (13) - (23) проводим процедуру регуляризации и получаем для регуля-ризованного лагранжиана выражение

L(s) = L_i_ ,,2S/2W2i™2\(-2-s)

При возникновении расходимостей для их аннулирования в выражение (32) вводят контрчлен Ld¡v, устраняющий расходящиеся вклады. Но для данного случая введение контрчленов не требуется, так как в однопетлевом приближении N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса является конечной.

Таким образом, для N=1 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса получили в однопетлевом приближении низкоэнергетический эффективный лагранжиан по алгоритму предложенной техники.

M2sW2W (m )(-2-s)Г(2 + s). (31)

Список литературы

1. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля (в 2 т.). М.: Мир, 1984.

2. Buchbinder I. L., Odinntsov S. D., Shapiro I. L. Effective action in quantum gravity. IOP Publisching, Bristol and Philadelphia, 1992.

3. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of gauge systems. Prinston Univ. Press, 1992.

4. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press, Oxford, 1994.

5. Weinberg S. The quantum theory of fields // vol. 2: Modern applications, Cambridge Univ. Press. 1996.

6. Bertlmann R. A. Anomalies in quantum field theory. Clarendon Press, Oxford, 1996.

7. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking // Phys. Rev. D. 10 (973). vol.7. no.6. pp.18881910.

8. Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983. 208 с.

9. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986. 318 с.

10. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Yarevckaya J. V. Supersymmetric effective potential superfield approach // Nucl. Phys. B. 1994. vol. 411. no. 4. pp. 665-692.

11. Бухбиндер И. Л., Кузенко С. М., Яревская Ж. В. Суперсимметричный эффективный потенциал: суперполевой подход // Я. Ф. 1993. т. 56. вып. 5. с. 202-216.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

13. Введение в супергравитацию / под ред. С. Феррфры, Дж. Тейлора. М.: Мир, 1985. 69 с.

14. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998.

Азоркина О. Д., кандидат физико-математических наук, доцент. Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская 60, Томск, Россия, 634061. E-mail: [email protected]

Материал поступил в редакцию 05.05.2014.

BecmHUK Trm (TSPUBulletin). 2015. 2 (155)

O. D. Azorkina

technique of computing the low-energy effective lagrangian n = 1 of supersymmetric field models

The notion of effective action is central for research of many aspects of quantum field theory models. The exact definition of the effective Lagrangian guarantees the exact solution of the corresponding quantum theory model and in the general case it is not possible. Thereby, the problem of effective action finding is now considered as an independent direction within the framerwork of the quantum theory. Consequently, there is a need to develop superfield methods of constructing effective action and improve the already existing. This paper proposes the method for constructing of the one-loop effective action of N = 1 of supersymmetric field theories which allows to find superfield effective Lagrangian as an expansion in supercovariant derivative background superfields. As an example of the general technique application we calculate the low-energy action of N = 1 supersymmetric Yang-Mills theory.

Key words: effective action, supersymmetric field theory, Yang-Mills model.

References

1. Itsikson K., Zyuber Zh.-B. Kvantovaya teoriya polya [The quantum theory of a field]. Moscow, Mir Publ., 1984 (in Russian).

2. Buchbinder I. L., Odinntsov S. D., Shapiro I. L. Effective action in quantum gravity. IOP Publisching, Bristol and Philadelphia, 1992.

3. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of gauge systems. Prinston Univ. Press, 1992.

4. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press, Oxford, 1994.

5. Weinberg S. The quantum theory of fields. Vol.2: Modern applications, Cambridge Univ. Press. 1996.

6. Bertlmann R. A. Anomalies in quantum field theory. Clarendon Press, Oxford, 1996.

7. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. Phys. Rev. D, 10 (973), vol. 7, no. 6, pp.18881910 .

8. Berezin F. A. Vvedenie v algebru i analis s anticommutiruyushchimi ptremennymi [Introduction in algebra and the analysis with anticommuting variables]. Moscow, MGU Publ., 1983. 208 p. (in Russian).

9. Berezin F. A. Metod vtorichnogo kvantovaniya [Method of secondary quantization]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 318 p. (in Russian).

10. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Yarevckaya J. V. Supersymmetric effective potential superfield approach. Nucl. Phys. B, 1994, vol. 411, no.4, pp. 665-692.

11. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Yarevskaya J. V. Supersimmetrichnyy effectivnyypotentsial: superpolevoypodkhod [Supersymmetric effective potential superfield approach]. Ya. F., 1993, vol. 56, no. 5, pp. 202-216 (in Russian).

12. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadoviproizvedeniy [Tables of integrals, the sums, numbers and products]. Moscow, Nauka Publ., 1971 (in Russian).

13 . Vvedenie vsupergravitatsiyu [Introduction in supergravitation], gl. red., C. Ferrfry, Dz. Teylor. Moscow, Mir Publ., 1985. 69 p. (in Russian). 14. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, 60, Tomsk, Russia, 634061. E-mail: [email protected]