Классические и квантовые аспекты общей модели кирального-антикирального суперполей на деформированном суперпространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145: 530.12; 537.8: 530.145

О.Д. Азоркина

КЛАССИЧЕСКИЕ И КВАНТОВЫЕ АСПЕКТЫ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ КИРАЛЬНОГО-АНТИКИРАЛЬНОГО СУПЕРПОЛЕЙ НА ДЕФОРМИРОВАННОМ СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ

Томский государственный педагогический университет

Сравнительно недавно Зайбергом [1] было отмечено, что в низкоэнергетическом пределе теория суперструн в специальном фоновом поле[2, 3]ведет к Б = 4 суперсимметричной теории поля в деформированном суперпространстве, в котором нарушена строгая антикоммутативность грассмановых координат. Данная деформация имеет совершенно специфический характер в силу того, что четные пространственно-временные координаты оказываются некоммутирующими, но бозонные координаты в киральном секторе тем не менее коммутируют. Таким образом, введенная неантикоммутативная деформация нарушает половину всех суперсимметрий теории, и поэтому соответствующее суперпространство естественно называть N = 1/2 деформированным неантикоммутатив-ным суперпространством. Формулировка полевых теорий на таком суперпространстве приводит к необходимости замены обычного умножения суперполей на модифицированное *-произведение, являющееся фер-мионным вариантом произведения Мояла и содержащее в своем определении структуру введенной деформации. Это в конечном счете позволяет использовать стандартное N = 1 суперпространство при рассмотрении неантикоммутативной суперсимметрич-ной полевой теории.

Изучение различных свойств таких N = 1/2 су-персимметричных моделей рассматривалось многими авторами (см.: [4-10] для Б = 4 моделей, а также [11, 12] для Б = 2 моделей и [13-15] для расширенных суперсимметричных моделей в деформированном гармоническом суперпространстве). Для интер-притации N = 1/2 суперсимметричных теорий как стандартных полевых моделей и для выяснения особенностей их динамики необходимо иметь компонентную форму этих моделей. Нахождение компонентной структуры неантикоммутативной теории является достаточно трудной проблемой из-за более сложной структуры такой теории по сравнению с N = 1 случаем и, следовательно, требует специального анализа. Компонентное действие деформированной теории в дополнение к известному действию недеформиро-ванной теории будет обязательно содержать члены, зависящие от параметра дефомации суперпространства. В работе [1] была изучена компонентная структура Б = 4, N = 1/2 супесимметричной модели Вес-са-Зумино и теории Янга-Миллса. Однако общая Б = 4, N = 1/2 суперсимметричная кирально-анти-киральная теория, которая формулируется в терминах произвольного кэлерова потенциала К (Ф, Ф) и

произвольных кирального ЩФ) и антикирального ^ (Ф) суперпотенциалов в литературе не рассматривалось. Не исследовались и квантовые свойства такой модели. Причем общая киральная суперполевая модель возникает в низкоэнергетическом пределе теории суперструн и широко используется в феноменологии [16-19]. Таким образом, рассмотрение различных аспектов суперполевых моделей на деформированном N = 1/2 суперпространстве является актуальной проблемой, тесно связанной с низкоэнергетическим пределом теории струн и заслуживает специального изучения.

Согласно Зайбергу, координаты деформированного суперпространства определяются следующим способом. Нечетные спинорные координаты 0 удовлетворяют нетривиальной алгебре Клиффорда:

{0а, 0Р| = СаРФ 0, (1)

где Сав = Сва - постоянная симметричная матрица. Следует отметить, что спинорные координаты не являются комплексно сопряженными друг другу ((0а)* Ф 0е1), в силу чего бозонная часть деформированного суперпространства является эвклидовым пространством, а не пространством Минковского.

Деформация по странства требует переопределения произведения суперполей, зависящих от координат 0. Вводится модифицированное произведение суперполей или *-произведение. В структуру модифицированного произведения явно входят суперсимметричные генераторы Q±, отвечающие за ненарушенные симметрии. Модифицированное произведение задается оператором следующего вида, называемого *-оператором

* = ехр |-| саРад}, (2)

где Qа = ¿тте, коэффициент Сав - параметр дефор-00

мации. Форма *-произведения (2) является обобщенной фермионной версией произведения Мояла [20]. Применение *-оператора к произведению киральных полейр и к после разложения экспоненты в ряд имеет вид

р * к = р •к рСав —~^

2 Э0аЭ0р

і - det Ср

д2 д2

-к (3)

д00 д00

Общая модель кирального и антикирального суперполей на N = 1/2 суперпространстве задается су-перполевым действием следующего вида:

5, [Ф,Ф] = |а82К, (Ф,Ф) + |d6гЩ, (Ф) + (4)

+1 а6 щ.(ф),

где К, (Ф, Ф) - произвольный кэлеров потенциал, Ж, (Ф) - киральный и Ж, (Ф) - антикиральный суперпотенциалы. Символ * в этих потенциалах означает, что стандартное умножение суперполей в разложении потенциалов в ряд по суперполям заменено модифицированным *-произведением, отражающим структуру введенной деформации, т.е.

к, (ф, ф) = ^ кй- ф *ф* • • • *ф*ф*ф* • • •*ф,

п,п= 1

где коэффициенты разложения есть Кпп дППК (Ф, Ф) дФпдФп '

Аналогичные разложения имеют место для (анти)ки-рального потенциала. В результате действие рассматриваемой модели записывается в виде

5,[Ф,Ф] = ¿ Knn Jd8zФ*-- *Ф*Ф

n,ñ-l

+^Wn Jd6гФ*Ф*-- *Ф +

*... *Ф +

/2 = / * / = (0к - 02 Г) * (к - 02 Г) = -202 к2 + № 2 третий порядок

/3 = /*((*/) = /*(( -202к2) =

= / (0)АТ2 + 2^Г к2.

Аналогичным способом определяем последующие несколько порядков произведений суперполей. Далее рассуждая по индукции, получаем выражение для *-произведений суперполей/при любом п. При четном п = 2т имеем

/2т =(^2)т -2т02к2(№2)т-1. (10)

При нечетном п = 2т +1 имеем /2 т+1 = / (0)(2 )т + 2тк2 (тГ2т ^, (11)

здесь Я, = -1СаРСар. Подставим полученные выражения в киральный потенциал (9), производим интегрирование по спинорным координатам 0 и получим окончательную компонентную форму кирального суперпотенциала

^ 2 п-1

№- = I (Ф)к2 (г1) +

(5)

n = 1

где операция *-произведения присутствует в явной форме.

Поскольку явное *-произведение суперполей все-да начинается с обычного их умножения, то действие модели (4) можно переписать как сумму действия общей кирально-антикиральной суперполевой теории на обычном N = 1 суперпространстве (при C = 0) [5] и дополнительных членов, содержащих параметр деформации (при C Ф 0)

5, [Ф, Ф] = 5 [Ф, Ф]| с=0 +VS„ | сф0. (6)

Представим действия (4) в компонентной форме и исследуем его структуру. Для этой цели введем суперполе f определенное как f = Ф(у,0)-ф(у). (7)

Здесь ф(у) - скалярная компонента суперполя Ф, зависящая от киральной бозонной координаты ун. Отсюда следует, что суперполе f(0) содержит следующие компоненты:

f (0) = 0к + 02 F. (8)

Начнем с исследования кирального суперпотенциала, который мы запишем в виде ряда по степеням суперполя f

J d6 zW„ (Ф) = £ 1J d6 zWn (ф) fn, (9)

n=0 n!

где сомножитель f” является *-произведением n суперполей f*f* •••* f = f", а Wn(ф) - коэффициенты разложения функции W(Ф) в ряд поf точке ф . Вычислим в явном виде это прозведение для произвольного порядка . Второй порядок есть

1

W2B+1 (ф)алр2

I 14 1 2.+1 V 1 ' (12)

.=<,- (2. +1)!

Аналогично исследуется компонентная структура антикирального потенциала. После интегрирования по спинорным координатам получаем

| (Ф)= | аАх ( (ф)^ + Щ (ф)к2). (13)

Наибольшие технические сложности возникают при исследовании компонентной структуры кэлерова потенциала в деформированной теории [21]. Мы предполагаем, что кэлеров потенциал имеет такую структуру, что при его разложении в ряд по степеням суперполей /,/ , где / = Ф(, 0)-ф(^), все члены разложения полностью симметричны по /,/ . Тогда можно записать

K* (Ф,Ф) = I

1

0 m!

f— + f-І- I K(Ф,Ф) J ЭФ ЭФ 1 1 ’ '

Ф=Ф,- (14)

Из этого соотношения имеем

K * (Ф,Ф) = K(Ф,Ф) + Kif + K~f + TK2 (f*f) +

+1K1T (f*f + f*f )+ 1K2 ((*7 ) +

+-Kx (f*f*f) +

+3 K2T (f*f*f + f*f*f + f *f *f) +

+3 K12 (f *f *f + f *f *f + f*f *f) +

+ 3 K3 (f*f*f ) + •

m

Можно показать, что все слагаемые, где п > 2, обратятся в нуль. Перепишем данное разложение в символическом виде

к (ф, ф)=£ к/+£ к./:

п=0 п=0

+ £ к.. [/;*/; ],

(15)

/*/,2

(202 = 2пк2 (г2 )п-1 г + (2 )п Ф,

(16)

для нечетного п имеем

/*/,

2п+1

02 02л п 772п-1"

= (г2п+1) г - /кадаакаЯпг2п +

+2пк2 2п- 1ф. (17)

Теперь перейдем к анализу *- произведений, стоящих в качестве коэффициентов при К2п . Для четного набора имеем

/,2п*/,2

0202

п-1 —

г+^

+ (г2 )п даефдааФ,

для нечетного числа суперполей

(18)

/2п+1* /2

;2л п 772п+1

02 02 = 2к2Я Т

- 2І (2 )п какЄ (дааФ)

+ 2пк2Я пГ 2п-1даа фдаа ф. (19)

Таким образом, мы получили компонентные формы всех необходимых смешанных произведений суперполей и теперь можем составить из них компонентный лагранжиан Ь общей кирально-антикираль-ной неантикоммутативной модели. Представляем его в виде разложения в ряд по деформационным параметрам:

и = к ( Ф)І02 02 +т (Ф)02 + т (Ф)52 =

=I

Япг2п г { к

0(2« +1)! 1 (2 п+2)

к + КТ(2п+1)г} +

^ 2п-1 даа даа фТ^*

п=о (2п) • У яп^2п

+п^0(2п +1)!

п 772п-1

2п +1 * (2 п+1)к + К 1(2п)'р} +

(2п)!

2п+Х К2(2п+1)к2 + К2(2п)^) 19““ФдааФ +

где [/” * /” ] - симметризованное *-произведение,

содержащее в себе все возможные перестановки суперполей/ т.е.

[/* /*1 ]=/*/*7+/*/*/+7*/*/=[12* 7 ]

и аналогично для любого порядка.

Из полученных соотношений вытекает, что несмешанные *-произведения суперполей /* любого порядка не дают вкладов в кэлеров потенциал, поскольку они не содержат в себе произведений 0 во второй степени необходимых для последующего интегрирования по полному суперпространству. Чистые анти-

киральные произведения полей /«п как только п > 3 обращаются в нуль и также не вносят вкладов в действие. Поэтому следует рассматривать только смешанные произведения [/” * /*п ] с произвольным числом степени т, но при п = 1,2.

Для четного п получается следующее общее выражение:

го л п гг 2 п+1

+у * (,

п=0<

!(2п +1)! 2(2п+1)

к2 +

+1

п=0

2пк2 к2 (2 )п

(2п)! 2(2п)

%п.,){(2 ) к"(д:

Япр 2п

+X ТТ7 Т+2>к2 + Ж(2п+х)^} + }} + , (20)

п=0 2п + 1

где все коэффициенты разложения определены в точках ф, ф, (т.е. Жп = Жп (ф) ) и отброшены все компонентные вклады в кэлеров потенциал, которые обращаются в нуль при интегрировании по полному суперпространству.

Перейдем к исследованию квантового эффективного действия в рассматриваемой модели. Наша цель состоит в вычислении однопетлевого эффективного действия в низкоэнергетическом приближении.

Первым этапом построения эффективного действия является фоново-квантовое расщепление суперполей

Ф^Ф + Ф, Ф^Ф + Ф _

где ф, ф - квантовые поля на заданном фоне Ф, Ф . Однопетлевая поправка к действию определяется обычным образом:

Г(1) = Тг 1п, 5Г(Ф) = Тг 1п, Я., (21)

где 5*(Ф) означает вторую функциональную производную классического действия по квантовым суперполям, зависящим от фоновых суперполей.

Дифференциальный оператор Я* формулируется полностью в терминах *-произведения суперполей и определяет спектр квантовых флуктуаций на заданном фоне. Индекс * у оператора представляет естественное обобщение обычного оператора Н = S" на случай неантикоммутативного суперпространства. Прямое вычисление функциональных производных ведет к следующему выражению для оператора Н :

Н * =

—К^В2 В2 16 11

1 -2 —т в 2

4 2

1 - 2

—тв2

Л

—к1,в2 в 2 16 11

(22)

Здесь следует отметить некоторые особенности, обусловленные неантикоммутативным суперпространством. Все функции, входящие в Н (22), понимают-

п=0

п

ся как разложения, содержащие *-произведения суперполей. Для деформированной теории можно ожидать в эффективном действии как *-локальные, так и *-нелокальные вклады. В низкоэнергетическом эффективном действии на постоянном фоне ведущие вклады всегда *-локальны, и далее ограничимся рассмотрением только таких вкладов.

Наша цель в этой работе состоит в нахождении ведущих низкоэнергетических квантовых поправок. В общем случае однопетлевое эффективное действие можно представить в виде суммы двух слагаемых, из которых первое содержит поправки к кэлерову потенциалу, а второе - поправки к (анти)киральному суперпотенциалу, отвечающие за разные типы вкладов

() () (23)

г!1) _ Г1) + г!1)

1 _ 1 K* ~г 1 w* •

г(') _ Tr ln

K±l

16

Л

-D D

0

+ Tr ln„

16

-D2 D

У

1+

1 1

4 K

---------* W -

D

w

3ati 3

1 1

4K

---------* W

D2

3ad 3

(24)

Разложим логарифмическую функцию в ряд и

В1 В2

выделим общий фактор вида даа д , а затем пере” ® аа

пишем остальные члены ряда снова через логарифм. Тогда получим

Г(1*)_ Tr ln*-1 (K-1)

16

3aa з

1

-Tr ln*

1

1-----— * W2 * — * W

KT 2 KT, 2 3aa3a

2-2 (25)

1 D D

'16 3““3aa

где взят матричный след. В данном сотношении структура второго слагаемого определяется вторым поряд-

ком разложения в ряд, так как матричный след в первом порядке разложения не дает вклад. Первое же слагаемое имеет форму, соответствующую однопетлевому вкладу при отсутствии деформации, и, например, равен нулю в рамках размерной регуляризации. Поэтому его можно опустить и рассматривать только второй член, содержащий конечную и расходящуюся части.

Следующий этап нашего рассмотрения - это анализ расходимостей.

Перейдем к импульсному представлению и полу-

і—'(1)

чим выражение для Г к в виде

Г'|_ \dJL_Lln* ' (2п)4 p- ’

1+-k * W *—*w--1

V Kn 2 K- p2 у

(26)

Нас будет интересовать только вычисление Г^ . При вычислении ведущих низкоэнергетических вкладов достаточно рассмотреть дифференциальный

оператор (22) только для постоянных фоновых суперполей

W2 _ const, W- _ const.

Данный фон является наиболее простым и поэтому позволяет произвести точное вычисление однопетлевого вклада в эффективное действие.

Заметим, что на рассматриваемом фоне диагональные и недиагональные блоки матричного оператора коммутируют между собой. Следовательно, под знаком логарифма матричный оператор (21) можно

тЧ1)

разделить на две части и записать Г... в виде

Дальнейшее рассмотрение производится в рамках размерной регуляризации. В интеграле (26) совершим переход к d-мерному импульсному пространству

(1) _ ,.4-d f ' Р 1

тл1; _

1 ¡Г

ф4-' J;

(2п)" Р1

ln.

Ґ 1 - 1 1 ^

1 +------*W2*------------*W2 —

Кц 2 к-11 2 p2

(27)

где для сохранения размерности исходного выражения введен параметр ц, имеющий размерность массы. Получившийся интеграл можно переписать в виде (см. детали в [22])

г(1) _ 1 к* _

1

(4п)

-(4V)

2г

d + 2

J'Р2(Р2 )

X

х ln *

1 + -k * W2 * — * W2 Д-

K11 2 Kn 2 p2

\

(28)

У

Для выделения расходящейся части полагаем как обычно, что а = 4 - е и устремляя а ^ 4 (или 0). В итоге получаем

г« _—id8 z— K* 2(4n)2 J K

- * W * —

- K-

*W

A 1 1 - 1 ^_2

----- ----*W_*----------*W

4пф- K- 2 K- 2

(29)

V

У

Далее используем схему минимальных вычитаний [22] и окончательно получаем расходящуюся часть

rtL _-k- id8z—* w2 *—* w2

w2e J K1T 2 K_ 2

K*div

K1

16лґх

и конечную часть эффективного действия

(30)

г(1) _ _

K*fin f / ln*

V

32л2є 1 1

V Jd8z-

тг c J TT

Ф2 K11

* W2 *

1 tT? 1

* W2

K11 2

1 ^ — *W2

+ Y

K11 У

* W2 *

+

где у - постоянная Эйлера. В случае равенства нулю деформационного параметра С = 0, полученные результаты полностью совпадают с вычислениями в не-деформированных теориях [23]. Следует заметить, что однопетлевой конечный вклад в эффективный кэле-

ров потенциал деформированной теории содержит зависимость от параметров неантикоммутативности только за счет *-произведения.

Автор признателен доктору физ.-мат. наук, профессору И.Л. Бухбиндеру за постановку задачи и неоценимую помощь в работе.

Литература

1. Seiberg N. Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0306.

2. Ooguri H., Vafa C. The C-Deformation of Gluino and Non-planar Diagrams // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2003. Vol. 7.

3. Boer J.de, Grassi P.A., van Nieuwenhuizen P. Non-commutative superspace from string theory // Phys. Lett. B. 2003. Vol. 574.

4. Klemm D. et al. Non(anti)commutative superspace // Classic and Quantum Gravity. 2003. Vol. 20.

5. Grisary M. et al. Two-loop Renormalization for Non-anticommutative N=1/2 Supersymmetric WZ Model // J. of High Energy Physics. 2003. Vol. 0308.

6. Romagnoni A. Renormalizability of N=1/2 Wess-Zumino model in superspace // J. of High Energy Physics. 2003. Vol. 0310.

7. Berenstein D., Rey S.J. Wilsonian Proof for Renormalizability of N=1/2 Supersymmetric Field Theories // Phys. Rev. D. 2003. Vol. 68.

8. Britto R. et al. Deformed Superspace, N=1/2 Supersymmetry and (Non)Renormalization Theorems // J. of High Energy Physics. 2003. Vol. 0307.

9. Banin A. et al. Chiral effective potential in N=1/2 non-commutative Wess-Zumino model // J. of High Energy Physics. 2004. Vol. 0407.

10. Penati S., Romagnoni A. Covariant quantization of N=1/2 SYM theories and supergauge invariance // J. of High Energy Physics. 2005. Vol. 0502.

11. Chandrasekhar B., Kumar A. D=2, N=2 Supersymmetric theories on Non(anti)commutative Superspace // J. of High Energy Physics. 2004. Vol. 0403.

12. Alvarar-Gaume L., Vazquer-Mozo M.A. On nonanticommutative N=2 sigma-model in two dimensions // J. of High Energy Physics. 2005. Vol. 0504.

13. Ivanov E. et al. Nilpotent deformations of N=2 superspace // J. of High Energy Physics. 2004. Vol. 0402.

14. Ferrara S., Ivanov E., Lechtenfeld O. et al. Non-anticommutative chiral singlet deformation of N=(1,1) gauge theory // Nucl. Phys. B. 2005. Vol. 704.

15. Araki T. et al. N=2 Supersymmetric U(1) Gauge Theory in Non-commutative Harmonic Superspace // J. of High Energy Physics. 2004. Vol. 0401. 16 Clever G., Cvetic M., Espinosa J.R. et al. Classification of flat directions in perturbative heterotic superstring vacua with anomalous U(1) //

Nucl. Phys. B. 1998. Vol. 525.

17. Cvetic M. et al. Effects of heavy states on the effective N=1 supersymmetric action // Nucl. Phys. B. 1999. Vol. 538.

18. Buchbinder I.L. et al. One-loop effective potential in N=1 supersymmetric theories and decoupling effects // Nucl. Phys. 2000. Vol. 571.

19. Buchbinder I.L. et al. Implications of decoupling effects for one-loop corrected effective actions from superstring theory // Modern Phys. Lett. A. 2000. Vol. 15.

20. Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory // Proceedings of the Cambr. Philosoph.l Soc. 1949. Vol. 45.

21. Hatanaka T. et al. Summing up Non- anticommutative Kflchler potential // Phys. Lett. B. 2005. Vol. 619.

22. Райдер Л. Квантовая теория поля. М. 1987.

23. Buchbinder I.L. et al. Supersymmetric effective potential: superfield approach // Nucl. Phys. B. 1994. Vol. 411.

УДК 539.182/.184

B.M. Зеличенко

КУЛОНОВСКАЯ АВТОИОНИЗАЦИЯ КВАРТЕТНЫХ СОСТОЯНИИ 1s2pnl В АТОМЕ Li И ИОНЕ Be+

Томский государственный педагогический университет

Особенностью структуры квартетных состояний 1э21п14Ь в трехэлектронных атомах и ионах является наличие двух границ сходимости 1^2^ 3£ и 1^2р 3Р. Для всех термов, лежащих ниже 1^2^ 3£ границы, ку-лоновская автоионизация в дублетный континуум ^е/

2Ь запрещена. Автоионизационный распад этих состояний возможен лишь через более слабые релятивистские взаимодействия. Поэтому преобладающим каналом распада таких состояний является радиационный [1]. Однако в сериях термов, сходящихся к Ъ2р 3Р границе, часть уровней попадает в область квартетного континуума 1^2^е/ 4Ь и для этих уровней, если они имеют необходимую симметрию, кулоновская автоионизация оказывается возможной.

В работе [2] при изучении электронных спектров атома Ьі методом электронной спектроскопии малых энергий были обнаружены четыре пика, три из которых с энергиями ~ 1 эВ были идентифицированы как относящиеся к Ъ2р3а 4Р°, 1^2р3р 45е, 1^2р3р 4Ве состояниям. В этой же работе проведен расчет автоио-низационных ширин (Г) этих уровней. Четвертый пик при энергии 1.22 эВ, наблюдавшийся в этом эксперименте, был отнесен авторами [2] также к квартетному спектру, но не идентифицирован.

Ранее [1, 3] нами в расчетах квартетных термов в трехэлектронных атомах было показано, что ряд термов, таких как 182рш 4Р0 (п = 4,5), ^2рпр 4Бе, 4Бе (п = 3,4,5), ^2рпё 4Р0,4Б0 (п = 3,4,5) в атоме Ьі