CC BY
32
Вестник ТГПУ (TSPUВи!Шт). 2015. 2 (155)
удк 530.145:530.12; 537.8:
О. Д. Азоркина
МОДИФИКАЦИЯ КОМПОНЕНТНОГО ЛАГРАНЖИАНА ОБЩЕЙ ДЕФОРМИРОВАННОЙ КИРАЛЬНО-АНТИКИРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Для наглядной интерпретации деформированных неантикоммутатичных N = 1 суперсимметричных теорий как стандартных полевых моделей и исследования особенностей их динамики необходимо вывести компонентную форму лагранжиана действия данной теории. Определение компонентной структуры неантиком-
мутативной теории является достаточно нетривиальной технической проблемой из-за N = 1 неантикоммута-
тивной деформации самого суперпространства и, следовательно, требует специального анализа. Изучим форму лагранжиана неантикоммутативной общей суперполевой модели киральных и антикиральных суперполей
на деформированном N = 1 неантикоммутативном суперпространстве. Модель формулируется в терминах
произвольного кэлерова потенциала и кирального и антикирального суперпотенциалов, разложенных в ряды по суперполям с учетом введенной деформации. Производится анализ компонентной структуры деформированного лагранжиана данной модели и находится достаточно простая и компактная форма записи функции Лагранжа теории.
Ключевые слова: суперсимметрия, компонентное действие, кирально-антикиральная модель.
Введение деформации
Идея введения суперпространства берет свои истоки в теории суперструн [1—3]. Значительный интерес представляет собой реализация данной идеи в терминах N = 1 суперпространства [4], а именно данная деформация сохраняет антикоммутативность грассмановых координат в кираль-ном подпространстве, но нарушает ее в антики-ральном секторе - нечетные антикоммутирующие координаты в удовлетворяют нетривиальной алгебре Клиффорда
[ва,вр} = Сав ф 0:
:=ехр ^ савйай?
и эффективного действия теории может быть исследована на основе суперполевых подходов, адаптированных с учетом * -произведения суперполей [8].
Общая модель
Рассмотрим действие общей модели киральных и антикиральных суперполей на неантикоммута-тивном суперпространстве
(1)
5*[ф, Ф] = | d8 гК*(ф, Ф) + +1d6г №* (Ф) +1d6т, (Ф)
(3)
где С = С - постоянная симметричная матрица, элементы которой являются параметрами деформации. В результате половина исходных супер-симметрий теории становятся нарушенными, т. е. дг 1 дг 1 имеем N =— суперсимметрию и N =— неанти-
коммутативное суперпространство. Следовательно, неантикоммутативная суперсимметричная модель теории поля может быть сформулирована в терминах N = 1 суперпространстве, а все аспекты, связанные с деформацией суперсимметрии, включаются в специальный экспоненциальный оператор - « * -произведение» суперполей
(2)
где Qа = ¿^та . Данная форма * -произведения
дв
(2) является обобщенной фермионной версией обычного произведения Мойяла [5-7]. Это означает, что в принципе структура классического
в терминах произвольного кэлерова потенциала К*(Ф, Ф) и кирального №*(Ф) и антикирального №*(Ф) суперпотенциалов. Индекс * в (3) означает, что при разложении данных функций в ряды по своим аргументам все произведения суперполей понимаются в смысле * -произведения определенного (2). С учетом разложения в ряд получаем действие в виде
да
5*[Ф, ф] = + Ф*Ф*...*Ф*Ф*Ф*...*Ф +
п ,п=1 п п
да да
++№п|(бг Ф*Ф*...*Ф + + №п|(6:1 Ф*Ф*...*Ф,
п=1 1-*-' п=1 п
П (4)
где коэффициенты разложения соответствующих функций есть
к = дпп К* (Ф, Ф)
п" дФп дФ"
О. Д. Азоркина. Модификация компонентного лагранжиана общей деформированной.
W =
д "Ж* (Ф)
Щ=д(ф)
дФ" ^ " дФ" ,ф=и
Исходя из структуры экспоненциального оператора * -произведения, предполагаем, что действие (3) можно представить в виде суммы
5* [Ф, Ф ] = 5[Ф, Ф]|с=0 +Д5*|С, 0
(6)
действия общей киральной-антикиральной суперполевой теории на стандартном N = 1 суперпространстве (в случае равенства нулю параметра деформации Сав = 0 [9]) и некоторого числа вкладов более высокого порядка по степеням Сав , обусловленных введенной деформацией суперсимметрии (при Сав ф 0). При этом действие, очевидно, сохраняет локальность.
Тонкости алгоритма вычисления компонентной структуры действия данной модели подробно рассмотрены в работах [8], [10] и здесь опускаются. Получен полный лагранжиан модели в компонен- ^
тной форме в виде бесконечного разложения в ряд р =--(щг1 + К12 к2).
по параметрам деформации
где L - лагранжиан недеформированной части теории, а ДЬ(А) - слагаемое, обусловленное введенной деформацией суперпространства. Теперь для недеформированной части L введем кэлерову метрику в форме
g = к^ф)
11КУ,У' дфдф
и лагранжиан перепишется как
L = igкaд:кa - 2gдaaфдaaф - гК^К-даФ +
+gFF + К^к2 Р + (9)
+К12К2 Р + W1Р + WТ Р + W2к2 + Щк2 + К22к2К2.
Уравнения движения для вспомогательных полей Р и Р , входящих в (9), имеют решения:
Р = -1 (Щ + К2^2 ) ,
(10)
и = К* (Ф, Ф) ^ + Щ (Ф) ^ + Щ (Ф)
К2 + К1(2"+1)Р}
да Л " 77 2"
= Р {к
"=0(2" +1)! 1
1(2"+2)
2"-1 -Г 2" 2 ^ с,, Т ч, -КТп._.К + КТт Р ¡> +
"=0 (2")! ' 12" +1 1(2"+1) да А" р
1(2")
При помощи данных решений устраняем вспо-(7) могательные поля из недеформированной части лагранжиана теории - подставим (10) в (9) и получаем выражение
и = igкaдaкa - 2gдaaфдaaф- К12каКадааф-- - К21К2Щ - - К21 К12к2К2 - - К^К2 -
(2" +1)!
- - ЩЩ + Щ2К2 + Щ2к2 + К22к2К2.
(11)
т
А"Р2
2"
К
К2 + К2(2")Р \~,дааЧ>д^ +
"=0 (2")! [ 2" +1 2(2"+1Г 2(2") | 2
да Л " Т7> 2 "+1
ЕА Р ТуГ —2
-К2(9 +..К +
"=0(2" +1)! 2(2"+1)
Здесь первые три слагаемых составляют кинетический член, а остальные формируют потенциал и
т
"772"
А"Р
и = - К21Щ1к2 + - К21 К12к2К2 + - К^К2 +
1
"=0(2" +1)! 1
{Щ(2"+2)К2 + Щ(2"+1)Р} + ЩР + Щ-К + + -ЩЩ - - Щк2 - К^к2.
(12)
+т
и=0
К» {2"КК(АР 2)"-1}-
X
(2")!
{(АР 2)"Ка(д»Ка}],
(2" +1)!K-(2и+1) Х
где А = -detС - параметр деформации, а также отброшены все вклады в кэлеров потенциал, обращающиеся в нуль при интегрировании по полному суперпространству. Данный компонентный лагранжиан модели (7) представим в виде суммы
и* = и + Д (А),
(8)
Таким образом, лагранжиан (9) включает в себя все слагаемые, не зависящие от параметра деформации А (т. е. остающиеся существовать в выражении (7) при А = 1 (п=0)), в то время как новая величина Ди обусловлена введением деформации суперпространства и явно зависит от данного параметра А:
да Л " 77-2"
Ди ^ТаЙЙ+к+^ - Р}+
да л " 77-2"
+Т-Р {К1(2 + V + К1(2 +1) Р}+
"=0(2" +1)! 1 1(2"+2) 1(2"+1) >
"=0
Вестник ТГПУ (TSPUBulletin). 2015. 2 (155)
2n +1 T(2n+1)
„ ÄnF2n-T r 2n ^ +> n s, Пф<~-- K
П=0 (2n)!
да yjn F 2n
+5(2n +1)!
к2 + KT„ ,F ^ +
1(2n)
n 77 2 n—1
lnF
2n
+ > -i-KT(2 +пк + K2(2 )F ¡>x
(2n)! 12n +1 1(2n+1) 2(2n)
1 ^ ^n TP2n+1
x15аафд Ф+Y—-К +
2 aa n=0(2n +1)! 2(2n+1)
n=0
1
_ (2n)! 1
K2(2n) {W*2^2)П—1■}-
-K-
(2n +1)! 2(2n+1)
{(if 2) п/ка(5:ф)ка}
(13)
Полученные соотношения (8), (9) и (13) определяют полную компонентную структуру лагранжиана общей деформированной кирально-антикираль-ной суперполевой модели.
Компактная форма лагранжиана
Форма компонентного лагранжиана (7) имеет достаточно сложную структуру и неудобна для рассмотрения различных частных случаев теории и анализа вытекающих следствий. А значит, предпочтительно записать выражение (7) в более компактной форме - близкой к стандартному виду лагранжиана Зумино [11] при отсутствии деформации теории. Покажем, что такая компактная форма записи существует для рассмотренной модели.
Аналогично подходу приведенному в работах [12] и [13], вводим так называемые «размытые» поля
(ф + т^), те [-1,1],
регулирующие вспомогательные поля. Используем потенциалы W(фф и К (ф,фф и определим некоторые функции по правилу
1 1
М(0) (ф, F) = -1 dтW (ф + т£),
2 -1
- 1 1 -К (0)(ф, F ,ф) = -1 dтK (ф + т$,ф),
2 -1
- 1 1 -К (1)(ф, F ,ф) = -1 dттK (ф + т£,ф),
2 -1
К(-1) (ф, F ,ф) = -1 dт£(тK (ф + т£,ф)), (14)
где обозначили i;=y[lF. Теперь функции (14) разложим в ряд по степеням параметра 4 и проинтегрируем по переменной т и лагранжиан (7) перепишется в более простой и компактной форме:
L, = W1F + W-K + FW1(0) + к2 W2(0) + к2 FK^ +
r«
+ ^ + Кадуа) +пфК((1)+41к2 □фК^ + +-даафдаафК^ + К^К<20> + Ка(д:ф)КаК(°
Замечателен тот факт, что теперь деформация суперпространства закодирована внутри функций (14). Также входящие в (15) величины можно интерпретировать как геометрические термины,
(15)
K1(1) - «метрика», K(0) •22 - «кривизна».
21
- «связность» и
а именно: К-0)
Таким образом, произведена модификация полного компонентного лагранжиана теории и предложена новая форма записи лагранжиана в виде интегралов по вспомогательной переменной.
Список литературы
1. Douglass M. R., Nekrasov N. A. Noncommutative Field Theory // Reviews of Modern Physics. 2002. Vol. 73. Pp. 0977-1029.
2. Szabo R. J. Quantum Field Theory on Nonocommutative Spaces // Physical Reports. 2003. Vol. 378. Pp. 201-299.
3. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M (atrix) theory and noncommutative geometry // Physical Reports. 2002. Vol. 360. Pp. 353-465.
4. Seiberg N. Nonocommutative Superspace N=1/2 Supersymmetry, Field Theory and String Theory // Journal of High Energy, Physics. 2003. Vol. 0306. Pp. 010-029.
5. Weyl H. Quantum mechanics and group theory // Zeitschrift fur Physik. 1927. Vol. 46. Pp. 001-262.
6. Wigner E. P. Quantum corrections for thermodynamics equilibrium // Physics Review. 1932. Vol. 40. Pp. 749-756.
7. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1949. Vol. 45. Pp. 099-124.
8. Азоркина О. Д. Суперполевые методы исследования деформированных неантикоммутативных моделей // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2012. Вып. 7 (122). C. 40-48.
9. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998. 665 p.
10. Азоркина О. Д. Классические и квантовые аспекты общей модели кирального-антикирального суперполей на деформированном суперпространстве // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2006. Вып. 6 (57). С. 39-45.
11. Zumino B. Supersymmetry and Kahler manifold // Physics Letter B. 1979. Vol. 87. Pp. 203-206.
О. Д. Азоркина. Модификация компонентного лагранжиана общей деформированной...
12. Alvarez-Gaume L., Vazquer-Mozo M. A. On nonanticommutative N=2 sigma-model in two dimensions // Journal of High Energy, Physics, 2005. Vol. 0504. Pp. 007-036.
13. Hatanaka T., Ketov S., Kobayashi Y., Sasaki S. Non-anticommutative Deformation of Effective Potentials in Supersymmetric Gauge Theories // Nuclear Physical B. 2055. Vol. 716. Pp. 088-104.
Азоркина О. Д., кандидат физико-математических наук, доцент. Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061. E-mail: [email protected]
Материал поступил в редакцию 04.02.2015.
O. D. Azorkina
COMPONENT LAGRANGE FUNCTION MODIFICATION OF GENERAL DEFORMED CHIRAL AND ANTICHIRAL MODEL
For visual interpretation of deformed non anticommutative N = 1 supersymmetric theories as a standard field
models and distinctive features research of their dynamics it is necessary to output component Lagrange function formula of this theory effect. The definition of component structure of non anticommutative theory is quite an
unconventional technical problem because of N = 1 non anticommutative deformation the given superspace and
therefore requires special analysis. Let us study Lagrange function form of non anticommutative general superfield
model of chiral and antichiral superfields on the base of deformed N = 1 non anticommutative superspace. The model
is formulated in terms of undirected Kahler's potential and chiral and antichiral superpotentials which were decomposed in series according to superfields with allowance for imputed deformation. They assay the analysis of component structure of deformed Lagrange function of the given model and find quite a simple and compact form fore register Lagrange function theory.
Key words: supersymmetry, component action, chiral and antichiral model.
References
1. Douglass M. R., Nekrasov N. A. Noncommutative Field Theory. Reviews of Modern Physics, 2002, vol. 73, pp. 0977-1029.
2. Szabo R. J. Quantum Field Theory on Nonocommutative Spaces. Physical Reports, 2003, vol. 378, pp. 201-299.
3. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M (atrix) theory and noncommutative geometry. Physical Reports, 2002, vol. 360, pp. 353-465.
4. Seiberg N. Nonocommutative Superspace N=1/2 Supersymmetry, Field Theory and String Theory. Journal of High Energy, Physics, 2003, vol. 0306, pp. 010-029.
5. Weyl H. Quantum mechanics and group theory. Zeitschrift furPhysik, 1927, vol. 46, pp. 001-262.
6. Wigner E. P. Quantum corrections for thermodynamics equilibrium. Physics Review, 1932, vol. 40, pp. 749-756.
7. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1949, vol. 45, pp. 099-124.
8. Azorkina O. D. Superpolevye metody issledovaniya deformirovannyh neantikommutativnyh modelej [Superfield methods of research of the deformed non-anticommutative models]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta - TSPU Bulletin, 2012, vol. 7 (122), pp. 40-48 (in Russian).
9. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998. 665 p.
10. Azorkina O. D. Klassicheskie i kvantovye aspekty obshchey modeli kiral'nogo-antikiral'nogo superpoley na deformirovannom superprostranstve [Classical and Quantum Aspects of Generic Chiral-Antichiral Superfield Model on Deformed Superspace]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta - TSPU Bulletin. 2006, vol. 6 (57), pp. 39-45 (in Russian).
11. Zumino B. Supersymmetry and Kahler manifold. Physics LetterB,, 1979, vol. 87, pp. 203-206.
12. Alvarez-Gaume L., Vazquer-Mozo M. A. On nonanticommutative N=2 sigma-model in two dimensions. Journal of High Energy, Physics, 2005. vol. 0504, pp. 007-036.
13. Hatanaka T., Ketov S., Kobayashi Y., Sasaki S. Non-anticommutative Deformation of Effective Potentials in Supersymmetric Gauge Theories. Nuclear Physical B. 2055. vol. 716. pp. 088-104.
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. Kievskay, 60, Tomsk, Russia, 634061. E-mail: [email protected]
