CC BY
1TECHNOLOGY FOR MASTERING MATERIALS FROM THE EDUCATIONAL SECTION "TRIGONOMETRIC FUNCTIONS" IN THE 10 TH GRADE OF A
COMPREHENSIVE SCHOOL
IBRAGiMOV FiRADUN NADiR OGLY
Sheki branch of ADPU, doctor of pedagogical sciences, professor
SHiRiNOVA KiFAYAT FiKRET
Sheki branch of ADPU, senior lecturer, doctor of philosophy in pedagogy
Summary. In the article, the content of the skills intended to become the subject of students in the process of teaching materials for the "Trigonometric functions" educational unit, which is included in the content of the Mathematics subject in the X classes of general education schools, is presented. In the "Trigonometric functions" educational unit, attention is directed to the place of the content elements that perform the "enabling function" in the formation of the mentioned skills, and to the technology of turning them into actions in the students' cognition. Elements that are transformed in the "Trigonometric functions" teaching unit "Periodic functions. Graph the function у = sinx
Graph of the function у = cosx, " Transformations of the graphs of the functions у = sinx and у = cosx. Period and amplitude of the function у = asin bx and у = acos bx, "Co nstruction of sinusoid according to its five principal points. Trigonometric functions and periodic events", " у = tgx and у = ctgx functions and graphs", "Inverse trigonometric functions" are considered to be made into a system. It should be noted that the task system, which serves as a means of organizing and managing the educational process for mastering the content elements presented by the students, should contain verbs that are required to be performed in the topics. Examples of tasks of that kind are included in the content of the work.
Keywords. function; trigonometric function; periodic functions; periodic functions; inverse trigonometric functions; teaching process; teaching unit; content lines; standard; system; methodological system; "system-structure" approach; paradigm.
ТЕХНОЛОГИЯ УСВОЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНОГО РАЗДЕЛА «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» В X КЛАССЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ШКОЛЫ
ИБРАГИМОВ ФИРАДУН НАДИР ОГЛЫ,
Шекинский филиал АДПУ, доктор педагогических наук, профессор
ШИРИНОВА КИФАЯТ ФИКРЕТ КЫЗЫ
Шекинский филиал АДПУ, старший преподаватель, доктор философии по педагогике
Аннотация. В статье рассмотрено содержание умений, призванных стать предметом учащихся в процессе преподавания учебных материалов по учебному разделу «Тригонометрические функции», входящего в содержание предмета «Математика» в X классах общеобразовательной школы. представлено. В учебном блоке «Тригонометрические функции» внимание направлено на место элементов содержания, выполняющих «функцию обеспечения» в формировании упомянутых умений, и на технологию превращения их в действия в познании учащихся. Элементы, преобразуемые в учебном блоке «Тригонометрические функции» «Периодические функции. Постройте график функции у = sinx, график функции у = cosx, Преобразования графиков функций у = sinx. и у = cosx Период и амплитуда функции у = asin bx и у = acos bx, «Построение синусоиды по пяти ее
главным точкам. Тригонометрические функции и периодические события», «у = 1дх и у = с1дх функции и графики», «Обратные тригонометрические функции» считаются объединенными в систему.
Следует отметить, что система заданий, служащая средством организации и управления учебным процессом для освоения представленных обучающимися элементов содержания, должна содержать глаголы, которые необходимо выполнить по темам. Примеры задач такого рода включены в содержание работы.
Ключевые слова. функция; тригонометрическая функция; периодические функции; периодические функции; обратные тригонометрические функции; учебный процесс; учебный блок; строки контента; стандартный; система; методологическая система; «системно-структурный» подход; парадигма.
Актуальность темы. Одной из важных теорий в области педагогики является дидактика. Смена общественно-экономических формаций и смена промышленных революций сделали образовательное пространство совместимым с потоком цивилизации. Согласно изложенной выше логике, обогащается человеческий опыт, создаются новые формы его передачи из поколения в поколение, теория воспитания и обучения совершенствуется адекватно уровню развития научного понимания.
В дидактике в важных ее областях на первый план выдвигаются принципы, правила и рекомендации, полезные для руководства деятельностью учителя. В соответствии с указанным текстом даны рекомендации, которые полезно принять для руководства в деятельности учителя в используемом в настоящее время комплексе учебников[7-8] и различной учебной литературе по учебным единицам, основным стандартам, субстандартам, и определил темы по предмету Математика. Это очень полезно с точки зрения обучения процессу преподавания математики по модели учебной программы. Не отрицается, что постоянное совершенствование процесса обучения предмету логично, большинство дидактических проблем вечны. Разумеется, по мере формирования опыта использования учебной программы адекватная ей методическая система учебного процесса должна совершенствоваться. Исходя из этой логики, мы утверждаем актуальность исследования темы «Технология усвоения материалов учебного раздела «Тригонометрические функции» в X классе общеобразовательной школы.
Интерпретация обобщений на основе информации, полученной на основе исследования. Научные источники показывают, что «обучение» и «педагогическая деятельность» являются одними из основных понятий педагогики. Хотя обучение является важной характеристикой педагогической деятельности, оно не охватывает всех ее аспектов. этой и многих других педагогических концепций требует честного научного осмысления. [10; 8]
Обучение в самом широком смысле слова предполагает приобретение новых знаний, навыков и привычек. Однако обучение и учебная деятельность по сути являются разными событиями. Присвоение является неотъемлемой частью не только процесса обучения, но и любой сферы деятельности.[1;150]
Анализ материалов, полученных из научных источников, приводит нас к выводу, что обучение является способом реализации образования, и от того, каким образом зависит духовное обучение, запоминание изученного и приобретение на его основе опыта творческой деятельности. обучения (диалектика содержания и формы познавательной деятельности). Формирование модели образовательной реализации в дидактике - вечная проблема. [4-5]
Технология реализации образования (методика в традиционном подходе) имеет свою систему [11]. Ожидаемый результат в упомянутой технологической системе определяется состоянием движения выбранного контента. Технологическая система доступна для каждой образовательной единицы. Не случайно выбор образовательной единицы ставится в центр внимания при проектировании рассматриваемой системы.[ 3; 262-284]
В X классе общеобразовательной школы учебный раздел «Тригонометрические функции» включает следующие нормативы содержания: 2.2.2 Знает понятие графика функции, исследует периодичность, сингулярность, монотонность функции; 2.2.3 Знает понятия комплексной функции и обратной функции и находит обратные функции некоторых функций; , умеющий конвертировать графики; 2.2.4. Знает основные тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции, строит их графики [8].
В процессе преподавания 5 предметов, включенных в раздел «Тригонометрические функции», учащиеся должны овладеть следующими навыками: определять периодическую функцию по таблице цен и графику; определяет период периодической функции, наибольшее значение, диапазон значений по графику; и строит функции y = sin х и y = cos х на примерах представлены свойства функций y = sin х и y = cos х; Определяет амплитуду и период функций вида y = а • sinb х и y = а • cosb х; записывает формулу функции по ее графику; модели; y = sin х и y = cos х функции y = а • sinb х и y = а • cosb х; ¡x функции преобразует словами, описывает графически; Выражает преобразования y = а • sinb(x — с) + d и y= a-cosb(х — с) + d согласно функциям y = sinx и y = cosx ¡/oí x описывает графически задачи, соответствующие реальным ситуациям, с помощью тригонометрических функций; строит график функции по пяти главным точкам; строит графики функций y = tgx и у = ct gx; применяет свойства функций y = tg х и у = ct gx для решения задач; представлены преобразования функций y = tgx и у = ctgx ; моделирует реальные жизненные ситуации с помощью функций y = tgx и у = ctgx; Понимает и строит графики функций у = arcsrnx, у = arccosx, у = arctgx как обратную функцию функций у = srnx,y = cosx,y = tgx; строит графики как графики обратных функций;
Освоение материалов данного учебного раздела позволяет учащимся обогатить свой активный математический словарь следующими понятиями - периодическая функция, период, амплитуда, вертикальное и горизонтальное сжатие и растяжение, горизонтальное и вертикальное перемещение и соображения, связанные с ними.
В качестве дополнительного ресурса при преподавании материалов учебного раздела «Тригонометрические функции» рекомендуется использовать виртуальные графические калькуляторы и различные рабочие листы.[12-17]
«Периодические функции. Постройте график функции у = srnx. Достаточно уделить 3 часа преподаванию темы «График функции у = cosx » [8]. На первом занятии по преподаванию предмета учащимся напоминают, что в природе существует ряд процессов, которые время от времени повторяются. Такие процессы называются циклическими процессами. Зависимость между периодическими переменными величинами определяется периодическими функциями.
Предположим, что задана функция у = /(х) и существует число Т ^ 0 такое, что для любого x из области определения этой функции оно входит в область определения по х — Т и х + Т x-T и /(х — Г) = /(х) = /(х + Г) удовлетворяет уравнениям. Тогда функция /(х) называется периодической функцией с периодическим T. Если число T (T^0) является периодом функции /(х), то число (—Г ) также является периодом этой функции. Легко показать, что если число T является периодом функции. функции f(A x), то число пГ для любого целого числа n является периодом этой функции. Действительно, /(х ± 2Г) = /((х ± Г) ± Г) = /(х ± Г) = /(х)/(х ± 3t) = /((х + 2Г) + Г) = /(х)
и по этому правилу получаем, что /(х + пГ) = /(х) для любого nEZ. Последнее равенство показывает, что периодическая функция имеет бесконечное число циклов. Наименьший период функции также называют ее фундаментальным биением. Для исследования периодических изменений внимание студентов направляется на примеры [8; 122].
На этом уроке изучению периодичности тригонометрических функций уделяется приоритетное внимание. До сведения учащихся доводится, что при рассмотрении углов
поворота, торцевые стороны которых совпадают, мы заметили, что значения их тригонометрических функций одинаковы. Например, sin(x + 2п) = sinx для всех значений x.
Итак, значения тригонометрической функции повторяются. Значения функций синуса и косинуса повторяются с периодом 2п, а значения функции тангенса повторяются с периодом п. Тригонометрическая функция числового аргумента x называется одноименной тригонометрической функцией радианного угла x. Все свойства тригонометрической функции угла (нечетность, периодичность и т. д.) одинаковы и для тригонометрической функции числового аргумента. Достаточно построить график этих функций в куске, длина которого равна периоду, и повторить эту часть. Чтобы создать учащимся условия для осознанного освоения процесса построения графика функции у = sinx , необходимо. Рекомендуется обратить их внимание на следующее: показывает высоту (расстояние по вертикали) от оси. Координаты каждой точки единичного круга имеют вид (х; у) = (cosa; sina) , удовлетворяющие уравнению х2 + у2 = 1. Здесь угол а — это угол, образуемый единичным радиусом с радиусом. положительное направление оси x. Следовательно, (x; точка y) изменяется на окружности и определяет ее координату y sina[8; 124].
Между движением точки по дуге окружности и значениями функции f(o) = sina существует однозначная зависимость.
Учащимся должен знать, что, поскольку цикл у = sin х является функцией, ее график равен [-п; п], достаточно переместить полученный график параллельно влево и вправо по оси абсцисс на расстояние 2пп , neZ .
Поскольку у = sin х — уникальная функция, ее график [0; п], построив его в куске и повернув симметричным относительно начала координат [-п; 0] можно найти на графике. Заметим, что sin (я — х) = sinx и точки х и ти-х симметричны относительно Рисунок 1
прямой х = -. Поэтому достаточно построить график
у'
/ 7\a>0
i /V Y(1;0)
s ¡y'
функции у = sin х на отрезке
2 .
. Разделим дугу,
расположенную в I четверти единичной окружности, на три равные дуги и проведем из
точек разделения прямые, параллельные оси абсцисс, а точки пересечения этих линий отметим п п п
прямой х = 0,х = - ,х = — , х = и соединив соответствующие точки плавной линией,
6 3 2
получим график функции у = sin х на отрезке 0; ^
Рисунок 2
Если сделать полученный график симметричным относительно прямой х = ~, то мы
получим график функции у = sinx на отрезке [0;п]. Рисунок 3 [0; п] если превратить график симметричным относительно начала координат O, то функция у = sin xy=sin¡/oix [-п; 0] мы также возьмем график из фрагмента [384-385]. у = sin х функция [-п; п] по оси абсцисс
Рисунок 3.
Если мы переместимся параллельно влево и вправо на расстояние 2пп , пе2, то получим его график. Полученный график называется синусоидой [8 124-125].
§akil 4
§akil 5
У'
1- / 1 _Já-
0 г - I Tí я *
-1- 2
Как видно из синусоидального рисунка, она расположена в полосе между прямыми у = 1, у = 1. График функции у = sinx можно построить и с помощью таблицы значений. Поскольку синус является периодической функцией, его график имеет длину 2п [0; 2п] достаточно для встраивания фрагмента. Если точки таблицы разместить на координатной плоскости и соединить их плавной кривой, то получится график функции у = sinx .
На основании таблицы значений и графика обучающийся должен «увидеть»: график функции у = sinx проходит через начало координат - точку (0;0), когда значение x
к
увеличивается от от 0 до 1 , значение y изменяется от 0 до 1, увеличивается до; Когда значение x увеличивается от ^ до п, значения y уменьшаются от 1 до нуля; Когда значение x
3n
увеличивается с п до , значение y уменьшается с 0 до -1, когда значение x увеличивается с
3я л
до 2п, значение y уменьшается с —1 увеличивается до 0;
На основе таблицы значений и графика функции y=sinx можно перечислить следующие свойства:
1. Областью определения функции у = sin х является множество всех действительных чисел: D(sinx) = R
2. Известно, что sin х — ордината точки Рх на единичной окружности, а ордината точки на единичной окружности принимает значения от -1 до 1. Следовательно, множество значений функции у = sinx является частью [—1; 1] : E(sinx) = [—1; 1].
3. у = sinx — нечетная функция. Потому что для любого xeR у = sin(—х) = —sinx и область определения у = sin х симметрична относительно начала координат.
4. Основной период функции у = sin х равен 2п. То есть для любого х i/oisin(x — 2п) = sin х = sin(x + 2п).
5. График функции у = sin х пересекает ось ОХ в точках (пп, 0) neZ. Действительно, если принять у = 0 в формуле у = sinx, то корнями уравнения sin х = 0 будут х = пп, neZ.
6. График функции у = sinx пересекает ось OY OY в точках (0;0). Потому что если принять х = 0 в формуле у = sin х, то у = sin 0 = 0.
7. Функция у = sinx (2пп,п + 2пп) , neZ , принимает положительные значения. Действительно, при хе(0; п) точки Рх принадлежат верхнему полукругу единичной окружности. Когда верхний полукруг поворачивается на 2п вокруг начала координат, он поворачивается обратно к самому себе. Следовательно, хе(2пп;п + 2nn),neZ имеет sinx > 0.
8. Делая суждения, аналогичные суждениям в седьмом пункте, получаем, что sinx < 0 при хе(—п + 2пп; 2nn),neZ . Следовательно, функция у = sinx принимает отрицательные значения в интервалах хе(—п + 2пп; 2nn),neZ.
9. функция у = sinх + 2пп; | + 2пп], возрастающая в интервалах neZ.
Легко показать, что sinx2 > sinx-L при х1 > х2 для любых х,х2е , то есть
функция yani у = sin х увеличивается во фрагменте \— ^; . Учитывая, что основной период
функции у = sin х равен 2п, можно сказать, что функция у = sin х \— j + 2пп; j + 2пп], возрастающая в интервалах neZ.
10. Функция у = sinx уменьшается в интервалах ^ + 2пп; ^ + 2лп], neZ.
'К
11. Точки х = —— + 2п, neZ являются точками минимума функции у = sin х, а ее минимальное значение равно у = —1.
12. х = ~+ 2пп , neZ точек являются точками максимума функции у = sinx и ее
максимальным значением является у = 1.[6; 387-388]
В продолжение процесса преподавания предмета доводится до сведения учащихся, что график функции у = cos х можно построить на основе связи между функцией у = sin х и у =
cos х. функция. Итак, поскольку cos х = sin (х + j), достаточно построить график функции у = sin х (х , чтобы построить график функции у = cos х. То есть, чтобы построить график функции у = sin х(х + необходимо переместить график функции у = sin х по оси абсцисс, параллельной влево, на ^ единицы.
у'
1--Jí -'-*
-*--1- -2л ЗлЧ. -л í 2 О п 2п х _ ......
Рисунок 6.
По графику функции у = cosx можно перечислить ее свойства. Было бы полезно поручить эту работу студентам.
1. Областью определения функции у = cosx является ft : D(cosx) = ft.
2. Множество значений функции у = cosx представляет собой часть [-1;1] : ^(cosx) = [-1; 1].
3. у = cos х — четная функция. То естьcos(— х) = cos х верно для любого х G ft.
4. Функция у = cos х периодична и ее фундаментальный период равен 2п: cos(x — 2я) = cosx = cos(x + 2л").
5. График функции у = cos х пересекает ось Ох в точке (j + л"п; о), п G Z.
6. График функции у = cos х пересекает ось y в точке (0; 1).
('К 'К \
—- + 2л"п; — + 2л"п) , п G Z принимает положительные
значения.
8. Функция
принимает отрицательные
у = cos х + 2тсп; + , nGZ значения.
9. Функция у = cosх возрастает в интервалах х е [—я + ,2тсп] , nGZ
10. Функция у = cos х убывает в интервалах х G [2л"п ; я + 2л"п] , п G Z
11. Точки х = я + 2л"п , п G Z являются точками минимума функции у = cos х и их минимальными значениями являются у = —1
12. Точки х = , nGZ являются точками максимума функции у = cos х , а их максимальное значение равно у = 1 . [9]
Графики функций у = sin х и у = cos х удобно строить по пяти основным точкам (точкам пересечения с осью абсцисс и точкам экстремума). Пять главных точек чередуются в интервале [0;2п] для функции у = sinx в следующем порядке: ноль - максимальная точка -ноль - минимальная точка - ноль
Пять главных точек функции у = cos х в диапазоне [0;2п] в следующем порядке
чередование:максимальная точка - ноль - минимальная точка - ноль - максимальная точка.
«Периодические функции. При преподавании предмета «Графики функций y=sin¡/(.)Jx и у = cos х» известно, что необходимо привлекать учащихся к деятельности на примерах задач, которые включены ниже.
1) а) Постройте график функции у = sin х на отрезке [0 ;2п] относительно пяти главных точек.
б) Сколько чисел x удовлетворяют уравнению sin х = в интервале [0 ;2п]?
2) а) Постройте график функции у = cos х на отрезке [0 ;2п] относительно пяти главных
точек.
б) Сколько чисел x удовлетворяют уравнению cos х = 0,6 в диапазоне [0;2п]? 3) Постройте график функций на заданных интервалах. у = sin х , 0 < х < 4тсу = cos х , 0 < х < у = sin х , — 2я < х < 2тсу = cos х , — 2я < х < 2я
4) Запишите три значения аргумента, соответствующие точкам максимума функции у =
sinx.
5) Постройте график функций у = cos х и у = sin х на одной координатной плоскости, напишите их сходство и различие.
«Преобразования графиков функций у = sinx и у = cosx. На изучение темы «Период и амплитуда функции у = asin bx va у = acos bx» рекомендуется отвести 4 часа. Уяснение сущности понятий сжатия и растяжения на примере дает эффективные результаты [8; 128130].
Пример 1. Если оставить абсциссу точки на графике функции у = sinx как есть и умножить ее ординату на 2, то точка на графике функции у = 2sin х будет равна полученный. Это значит, что график функции у = 2sin х можно построить, растягивая график функции у = 2sinx в 2 раза от оси абсцисс. График функции у = 0,5sinx получается прижатием графика функции у = 2sinx 2 раза к оси абсцисс. Графики функций у = sinx и у = cosx соответственно, путем растяжения графиков функций у = sin х и у = cos х от оси абсцисс при | а I > 1, и сжимая их к оси абсцисс, когда |а| < 1.
Пример 2. Функция у = sin 2х «предшествует» функции у = sin х в 2 раза. Функция у = sin х принимает значения от 0 до 1 в интервале [ 0; j ], а функция у = sin 2х принимает эти
значения в интервале [ 0; ^ ]. Если умножить абсциссу на 1, не меняя ординату точки на
графике функции у = sin х, получится точка на графике функции y=sin¡/o¡2x. График функции
у = sin 2х сжат в 2 раза по сравнению с графиком функции y=sin^x, она совершает свой
1
полный цикл на отрезке [ 0;п ]. График функции у = sin-x получается растяжением графика
функции у = sin х 2 раза от оси ординат и совершает свой полный цикл на отрезке [ 0;4п ] .
Графики функций у = sin bx и у = cos bx получаются сжатием графиков функций у =
sin х и у = cos х к оси ординат при b > 1 и растягиванием их от ось ординат, когда 0 < b <
1. Случай с b < 0 заменяется на описанный выше, принимая во внимание, что функция синуса
нечетная, а функция косинуса четная.
График функции у = asinbx(y = acosbx) представляет собой синусоиду, полученную
последовательным растяжением или сжатием графика функции у = sinx(y = cosx) по осям
координат. При увеличении значения |а| амплитуда увеличивается, а при ее уменьшении
амплитуда уменьшается | b |. При увеличении значения период функции уменьшается, а при его
уменьшении период увеличивается [6: 391-392].
Продолжая преподавание предмета, внимание учащихся обращается на следующую
теорему о периоде и амплитуде функций у = asinbx рэ у = acosbx.
Теорема. Если функция у = f(x) является периодической функцией с
т
фундаментальным периодом T, то функция у = а • f(bx) имеет фундаментальный период 1
2п
— периодическая функция (где а и Ь — ненулевые действительные числа).
Отсюда следует, что основной период функций у = азтЬх(рэ у = асозЬх) равен ^
случается. Действительно, /(х) = аБтЪх = asm(bx + 2п) = азтЬ(х + ^ )= х +
д(х) = acos Ьх = acos(bx + 2п) = асозЬ(х + = д(х +
|а| указывает амплитуду. Амплитуда равна половине разницы между максимальным и минимальным значениями.
При преподавании предмета понятия «сдвиг по горизонтали» и «сдвиг по вертикали» входят в число материалов, которые должны освоить учащиеся.
В функции у = азтЬ(х — с),у = асозЬ(х — с) предел с показывает горизонтальный сдвиг графика и называется фазовым сдвигом.
Пример. Последовательность построения графика функции у = cos Q х — следующая:
Перетаскиванием графика функции у = cos х 2 раза от оси ординат строится график функции у = cos 1 х Сдвигом графика функции на ^ единицы вправо, у = cos 1 (х — j), то
есть получается график функции у = cos (1 х —
Пример. Последовательность построения графика функции у = 2 sinx — 1 следующая:
1. Амплитуда функции у = sin х увеличивается в 2 раза, получается график у = 2srnx .
2. График у = 2srnx сдвигается на единицу вниз и получается график функции у = 2sinx — 1.
Набор значений функции будет —3 < у < 1. График функции у = 2srnx — 1 изменяется
на 2 единицы вверх и на одну единицу вниз относительно прямой у = —1. Эта прямая линия
называется средней линией.
mafcsímum+minímum
средняя линия=
максимум=средняя линия+амплитуда; минимум = средняя линия-амплитуда.
у = asrnb(x — с) + d а - влияет на амплитуду; б-влияет на основной цикл; с- влияет на горизонтальное смещение; d- влияет на вертикальное смещение.
При преподавании темы «Преобразования графиков функций у = sinx и у = cosx. Период и амплитуда функции у = asinЬxи у = acosbx» известно, что учащиеся должны заниматься в активности на примере задачи, которая включена ниже.
1) Запишите словами преобразование каждой из функций к графику функции у = sinx
2
. a) y = 5sinx b) у = -sinx c) у = sin 3х d) y = —3sin4x
2) Запишите словами преобразование каждой из функций в график функции у = cos х.
1
а) у = 4 cos х b) у = - cos х c) у = cos 4х d) у = —4 cos 3х
3) Построить график функции у = sinx на отрезке [0 ; 2я] по пяти главным точкам. Нарисуйте график соответствующей функции относительно точек, через которые эти пять точек преобразуются в растяжение (сжатие) от осей координат.
а) y = 3sinx b) y = 1sinx c) у = sin 2x d) y = 4sin2x
4) Построить график функции у = cos х |/o¡x на отрезке [0 ; 2я] по пяти основным точкам. Нарисуйте график соответствующей функции относительно точек, через которые эти
пять точек преобразуются в растяжение (сжатие) от осей координат.
1
а) у = 2 cos х b) у = - cos х c) у = cos 2х d) у = 4 cos 2х
5) Напишите формулу функции у = a sin Ьх по заданным амплитуде и периоду (где a > 0 ,Ь > 0).
1
а) Амплитуда: б) Амплитуда: 4 в) Амплитуда: 2
Период: 3п Период: 3п Период: 2п
6) Напишите формулу функции у = a cos Ьх с учетом амплитуды и периода (где a > 0 ,Ь > 0).
1
а) Амплитуда: б) Амплитуда: 2 в) Амплитуда: 5
к
Период: 5п Период: п Период: ■
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
7) Определить основные периоды данных функций х) и д(х)). Найдите их общий период. а)
f(x) = 2 sin y g(x) = 3cos1x g(x)=4cos3x
b) f(x)=1sin2x c) f(x) = 3sin1x
g(x)=2cos2x .
8) Напишите словами, как преобразовать график каждой из функций в график функции
у = sin X
. а) у = sin (х +
b) у = 3 sin1(x — с) у = 2 sin(x + 600) — 4
9) Напишите словами, как преобразовать график каждой из функций в график функции
У
cos X.
a) у = cos (х — b) у = 3 cos (2х + с) у = 4 cos(x — 150) + 3
10) Найдите минимум и максимум функции, запишите набор значений.
a)
у = 3 cos (х + 5
b) у = ^sin3x — 3
1 1 с) у =^cos(x + 500) +1
и. т. д. [3; 273]
«Построение синусоиды по пяти ее сторонам света. На преподавание предмета «Тригонометрические функции и периодические события» можно уделить около 4 часов. Учащимся должно быть понятно, что можно построить график функций вида у = а^ sinbx,у = а^ cosbx в любом интервале по их пяти основным точкам.
у = а • sinb(x — с), у = а • cosb(x — с) + d , считается целесообразным рассмотреть построение графика функции по 5 пунктам в целом и на примерах. В общем подходе предполагается, что последовательность шагов будет именно в таком порядке.
Шаг 1. Константы a,b,c,d определяются по формуле функции. На координатной плоскости отмечается линия у = d. Путем вычитания и прибавления значения a из d находят максимальное и минимальное значения функции и рисуют соответствующую прямую.
2п
Шаг 2. Период находится по формуле Т = .
Шаг 3. Чтобы записать 5 ключевых точек в каждом периоде, часть x, показывающая один период, делится на 4 интервала с помощью 5 делений.
Шаг 4. Определены координаты первой точки. Координата x этой точки равна 0+c единиц. На пересечении линии у = d функции синуса, соответствующей этой координате, отмечается первая точка, соответствующая максимуму функции косинуса.
Шаг 5. Для функции синус (ноль, максимум, ноль, минимум, ноль), косинус (максимум, ноль, минимум, ноль, максимум) эти точки записываются в определенной последовательности из 5 точек [8;136]. К координате первой точки прибавляется размер 4 частей (по 5 точек), на которые разбит интервал. Например, если период равен 4п, абсцисса каждой последующей точки находится путем прибавления п к предыдущей.
В процессе понимания представленного алгоритма необходимо привлекать учащихся к выполнению заданий на примере.
Преподавание темы «Построение синусоид по 5 основным пунктам. Тригонометрические функции и периодические события» продолжается путем вовлечения учащихся в деятельность на примерах задач, включенных ниже.
1. а) Напишите координаты 5 основных точек функции у = sin х, находящихся в интервале [0 ;2п].
б) Постройте функцию у = sin 2х по 5 основным точкам, расположенным на интервале [0;п], покажите интервалы возрастания и убывания.
2. Построить графики функций f(x) и д(х)) на одной координатной плоскости по 5 основным моментам:
1)f (х) =—2 sin х; 2) f(x)=sinx; 3) f(x) = 2cosx;
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
g(x) = 4 sin x; g(x) = sin -; g(x) = —cos 4x
5nt
3. С помощью функции P = 100 — 20 cos P можно определить артериальное давление
спокойно стоящего человека в момент времени t (секунды). определить период функции.
определить количество ударов сердца человека за 1 минуту.
4. Математические модели, показывающие численность кроликов D(t) и шака лов ^.(t): D(t) = 30000 + 15000 cos^¡ ; $(t) = 4000 + 2000 sin^ ;
Постройте график обеих функций в одной системе координат и изобразите на графике условную диаграмму, изображенную на рисунке.
Достаточно посвятить три часа изучению темы «Функции и графики у = tgx уэ у = ctgx ». Преподавание предмета рекомендуется начинать с проведения исследований следующим образом [8; 144-145]
Исследовать. Изменение тангенса угла.
1) На клетчатом листе нарисуйте окружность с координатной плоскостью и центром в начале координат. Нарисуйте касательную к окружности в точке (1;0).
2) Обозначим точку пересечения последней стороны угла поворота а с этой касательной
как А. AOP0A-d tga = — = — = Р0А
и а ор0 i и
Для острого угла поворота at да примерно ра
3) В какой точке последняя сторона угла 45° у» 1/1(1;«)
4) С помощью транспортира начертите еще не р / тге ординату их точек пересечения с касательной.
5) Как изменится ордината точки К при npi / / \ 0°, пересекается ли последняя сторона угла с касателы I /а р
6) Чтобы изучить функцию с периодом Т, дост г q ^ * ше длины Т. На каком интервале было бы целесообраз \ J
7) Не определяется при tga = 90° и а = —90 N. У )°) построить функцию тангенса. __—^^
Рисунок 7
Bucagin 0I9ÜSÜ —700 —600 —450 — 300 00 300 450 600 700
Toxunan üzэrindэki nóqtэшn ordinati
Таблица 1
8) Постройте график функции у = tga с помощью графического калькулятора. Студенты должны усвоить следующие свойства функции tg х и уметь извлечь из них пользу: 1. Область определения функции у = tg х состоит из комбинации интервалов в виде
(-- + яп ; — + яп) ,п Е Z . Поскольку tg х = , функция у = tg х определена, когда
\ 2 2 J cos х
cos х ^ 0, т.е х + пп, п Е Z. Точки х = ~ + пп, п Е Z делят числовую ось на интервалы
(—^ + пп ; | + пп
2. Множество значений функции у = tg х равно R
С помощью касательной можно показать, что если a — любое действительное число, то будет найдено число а ф- + пп,п Е Z такое, что tga = а. = получается из подобия
2 OPq ОС
прямоугольных треугольников ААОР0 и АРаОС (см. изображение, включенное в содержание исследования).
Известно, что АР0 = а , ОР0 = 1 , РаС = sin а , ОС = cosa. Если мы заменим их в приведенном выше уравнении получается
a sin а
— =- , taa = а
1 cos а
3. у = tg х — нечетная функция.
4. То есть tg(—x) = —tgx для любого х Е (—^ + пп ; | + пп) ,п Е Z.
5. Функция у = tg х периодическая и ее период равен tg(x — п) = tgx = tg(x + п) для любого х = + пп ; ~ + ли).
6. График функции у = tg х y=tg x пересекает ось ОХ в точках (пп ;0),п Е Z.
7. График функции у = tg х пересекает ось OY в точке (0; 0), п Е Z.
8. Функция у = tg х принимает положительные значения в интервалах х Е (пп ; ^ + пп),п Е Z.
9. Функция у = tg х принимает отрицательные значения в интервалах хе(—^ + пп ,пп ) ,п Е Z.
'К 'К
10. Функция у = 1д х возрастает в своей области определения, т.е. (-- + пп )~ + пп ) ,п Е Z.
11. Функция у = 1д х не убывает. 12. Функция у = 1д х не имеет точек экстремума и экстремумов.
Учащиеся должны уметь построить график функции у = 1д х на основе ее свойств. Этот процесс выполняется следующим образом: построить график функции у = 1д х. Если мы
построим его в интервале [о ; ; и преобразуем его симметрично относительно начала
координат, мы получим график в интервале ;0]. Поэтому построим график у = 1д в.
интервал [о ; . Для этого дуга единичной окружности в I четверти и [о ; ; разделим интервал на 4 равные части. Проведем параллельные прямые от точек деления дуги к оси абсцисс, а от точек деления диапазона к оси ординат.
i/ У
Г
ч у 0 К 71 8 4 ~S~ f—-v 71 Л 2
Рисунок 8
Точки их пересечения и будут точками графика. Соединяя эти точки плавной линией, функция у = Ьд х [о ; получаем график функции у = Ьд х [о ; ; Если превратить график в интервале симметричным относительно начала координат, мы получим график в интеграле от функции у = Ьд х (-- ; -) .
Если сдвинуть график функции у = х на интервале (—^ ; по оси абсцисс параллельно
расстоянию п пп ,п Е 2 влево и вправо, мы получим ее график. График функции у = Ьд х называется тангенсоидой.
Рисунок 9
J t У J J -1—*■
-1- -2 л _3л ~~2 ( ' 0 ZL / я 2f i Зл 2л .V 2
Рисунок 10
Студенты должны освоить свойства функции у = ctgx и уметь использовать эти свойства. Упомянутые свойства таковы: 1. Область определения функции у = ctgx представляет собой комбинацию интервалов (пп; п + пп), п Е Z; Поскольку ctgx = ——,
sinx
функция у = ctgx определяется, когда sinx Ф 0, то есть х Ф пп, п Е Z. Точки х = пп, п Е Z делят числовую ось на интервалы (пп; п + пп), п Е Z. 2. Множество значений функции y=ctgx равно R.
Действительно, tgx • ctgx = 1, ctgx =-, когда х Ф пк, к Е Z. Следовательно, если
ctgx = — любое действительное число и будет иметь любое действительное значение.
3. у = сТдх — нечетная функция. То есть, если х Е (пп; п + пп),п Е 2 с1д(—х} = сЬдх;
4. Период у = сЬдх является функцией и ее главный период равен п. То есть, когда х Е (пп; п + пп),п Е 2 Мд(х — п) = сЬдх = Мд(х + п ); 5. График функции у = сЬдх
пересекает ось ОХ в точке (^ + пп; о) ,п Е 2; 6. График функции у = сЬдх не пересекает ось
ОУ ; 7. При (пп; ^ + пп) ,п Е 2 функция у = сЬдх принимает положительные значения; 8. Функция у = сЬдх принимает отрицательные значения в интервалах (— ^+ пп; пп) ,п Е 2.
VI
Зк " 2 -к X 0 Л 2л Т1 X
Рисунок 11
9. Функция у = сЬдх не возрастает ни на одном интервале; 10. Функция у = сЬдх убывает в интервалах (пп,п + пп),п Е 2, т.е. всюду в области; 11. Функция у = сЬдх не имеет точек экстремума и экстремумов.
До сведения учащихся доводится, что график функции у = сЬдх можно построить,
используя график функции у = 1дх , п оскольку сЬдх = Ьд (^ — х) = —1д (х — ^)
если двигать график функции у = —1д (х — параллельно. вправо на ^ единицы по оси
абсцисс, а затем поверните полученный график симметрично относительно оси абсцисс,
график функции у = —1д (х — т.е. получаем график функции у = сЬдх.
При преподавании этой темы внимание учащихся также направлено на построение графика функции у = а ЬдЬх. Им рассказывают, что для построения графика функции у = а ЬдЬх, когда а и Ъ — ненулевые числа, необходимо определить следующие ключевые показатели:
'К 'К
1.Период: | .Например, основной период функции у = 41д3х равен . 1 &1 3
2. Вертикальные асимптоты: х = • (2п + 1), пе2 — прямые. Например, Вертикальными асимптотами функции у = 4Ьд3х являются прямые х = (2п + 1)^ =
п пп „
- +--,пе2.
6 3
3. Определяется середина отрезка между точкой пересечения оси х и асимптотой. В этот момент значение у равно либо а , либо - а.
Тема «Графики функций у = tgx рэ у = ctg x » продолжается путем привлечения учащихся к деятельности на примерах задач, включенных ниже в отдельные моменты обучения.
1) Постройте график функции у = tg х на отрезке [-2п;2п].
2) Постройте графики функций на требуемом интервале:
а)у = tg х, -900 <х < 900; b)y = tg х,-<х< — ; c) у = tg х, -900 < х < 2700 ;
?)у = ^д х, —п <х<п .
3) В интервале —2п < х <2п каждой функции: а) нули; б) найдите вертикальные асимптоты.
1) у = гд х 2) у = сгд х
4) Найдите асимптоты, нули и середины функций.
b) у = 2tg^ х
c) У = tg 2п х
a) у = 3 tg х 5) Постройте график функции.
y = tg (x-fy У = *д + ; y = tg (х ; у = tg (х + ^) [3; 280]
Достаточно уделить изучению темы «Обратные тригонометрические функции» 3 часа. В отношении функции у = sinx вниманию студентов предлагается следующее.
Прямая, параллельная оси абсцисс у = а(-1 < а < 1) , пересекает синусоиду в бесконечном количестве точек (см. описание случая а = у0)
1 У
j/i ! IV
-2л _3к x> ~n\ n / л 1 ■ "V-1--> u Xl £ *3 2n x
Рисунок 12
Как видно из рисунка (12), существует бесконечно много х (х1,х2,х3,■■■) , удовлетворяющих условию sinx = у0 . Другими словами, каждое значение y из [-1,1] соответствует бесконечному числу х. Это означает, что не существует обратной функции y=sinx на целой числовой оси (Обратная функция y у = sinx на целой числовой оси является многозначной функцией, обозначается x=arcsiny и читается как «арксинус дуга»). Но
однозначная часть этой функции (имеет «крыло»). [— ^; имеет у = sin х возрастающую и
принимающую все значения от —1 до 1, но при этом каждое значение принимает только одно
значение аргумента. Следовательно, функция sinx на отрезке [— обратима, и при |а| <
1 уравнение sin х = а имеет единственный корень на отрезке [— ^; . В качестве однозначной
и и г и U-.
части берется часть, соответствующая переменному значению х от — - до : х Е [— —; -]
при у = sinx — монотонно возрастающая функция, множество значений — кусок [-1,1], и по теореме о существовании обратной функции она имеет единственную обратную. Эта обратная функция обозначается х = arcsiny и называется главным значением арксинуса.
Угол, взятый из отрезка [— ^; и синус которого равен а, называется арксинусом числа а и обозначается атсвт а .
Уравнение х = arcsina эквивалентно двум условиям: 1)— < х < - ;
2) sinx = а
Как показывает определение, sin(arcsina) = а . Можно показать, что arcsin(-а) = —arcsina.
С помощью арксинуса можно определить функцию, определенную на отрезке [-1;1] и диапазон значений которой составляет ;ft ]. Эта функция обозначается как
у = arcsinx. Функция y=arcsinx также обозначается как у = sin-1x (Студенты должны быть проинформированы о том, что запись sin-1x не следует понимать как —^. График функции у = arcsinx получается симметричным преобразованием графика функции у = sin х в диапазоне '> ft ] относительно прямой у = х. Область определения функции у =
arcsinx равна [-1;1], диапазон значений ]. Затем внимание учащихся направляется на
понятие обратной функции. функции у = cos х.
Аналогичное правило показывает, что обратной функции y=cos x на целой числовой оси нет, однако у = cos х уменьшается в части [0;1] и принимает все значения, входящие в часть [-. 1;1]. То есть [0; п]. Функция у = cos х ¡/oí х на отрезке обратима, и если |а| < 1, уравнение cos х = а имеет единственный корень на отрезке. [0;п].
Выводы учащихся таковы: угол, взятый из [0;п ] и косинус которого равен a, называется арккосинусом числа a, обозначается как arccos а . Уравнение х = arccosa эквивалентно двум условиям: 1) 0 < х < п; 2)cosx = а
Как видно из определения, cos(arccosa) = а. Можно показать, что arccos(—а) = п — arccosa. Функция у = arccos х, определенная в [-1;1], является обратной функцией у = cos х, определенной в [0;п. ]. Функция у = arccos х также записывается как у = cos-1x. График функции у = arccos х, получается поворотом графика функции функцией у = cos х на части. [0;п] симметрично относительно прямой у = х. Область определения функции у = arccos х равна [-1;1], диапазон значений — [0;п].
Студенты у = cosx, х Е [0; п ] Основываясь на свойствах функции, они должны понимать, что получаются следующие свойства у = arccosx : 1. Областью определения множества является фрагмент [-1;1]; 2. Набор значений [0; п]; 3. Функция у = arccosx не является ни четной, ни нечетной; arccos(-x) = п - arccosx удовлетворяет тождеству; 4.
Функция у = arccosx монотонно убывает на отрезке [-1;1], график пересекает ось абсцисс в
ft
0;-) ; 5. arcsinx + arccosx =- , хЕ [—1; 1] ;
6. sin(arccosx) = л11 — х2, Ixl < 1;7. cos(arcsinx) = л11 — х2, Ixl < 1; 8. arccos(cosx) = х, х Е [0;тс] ;;
Процесс обучения предмету продолжается обратной функцией у = tg х. Обучающимся сообщается, что функция у = tg х возрастает в диапазоне ; и принимает все значения.
в диапазоне (—го; . Поэтому также имеет единственный корень в интервале
уравнения tg х = а для любого числа а . Студентам предлагается такое определение (фактически они готовятся сформулировать такое определение).
Определение. Угол, взятый из интервала тангенс которого равен a, называется
арктангенсом угла a и обозначается arctga.
ft ft
Уравнение arctga = х эквивалентно двум условиям: 1)—~ < х < ~ 2) tg х =
а
По определению: tg(arctga) = a . Можно показать, что arctg(-a) = —arctga .
(ft ft\ — ~2'~2J. График
функции у = arctgx получается симметричным преобразованием графика функции у = tg х
(ft ft\ ft ft — ~2'~2) относительно прямой y = x . Прямые y = —, У = — являются
горизонтальными асимптотами функции у = arctgx.
Студенты должны знать, что функция у = arctgx имеет следующие ключевые свойства:
(ft ft\ ——; ~); 3.
Функция у = arctgx является сингулярной функцией: arctg(—x) = — arctgx; 4. Функция у = arctgx монотонно возрастает вдоль целой числовой оси; 5. График пересекает оси координат в начале координат; 6. arctgx <0 для —го < х <0, arctgx > 0 для 0< х < +го; 7. Прямые у = — ft,у = ft являются горизонтальными асимптотами графика у = arctgx.
Аналогичным об разом учащимся дается понятие арккотангенса. Вот как получается определение
Определение. Число, взятое из интервала (0;п), котангенс которого равен а, называется арккотангенсом числа а и обозначается arcctg а.
Уравнение arcctg а = х эквивалентно двум условиям: 1)0 < х < п ; 2)ctg х = а По определению: ctg(arcctg а) = а. Можно показать, что arcctg(-a) = п — arcctga. График функции у = arctgx получается преобразованием графика функции у = arctgx на интервале (0;п) симметрично относительно прямой у = х. Ось абсцисс и прямая у = п — горизонтальные асимптоты функции у = arctgx.
В процессе преподавания предмета учащиеся должны прийти к выводу, что функция у = arcctg х в общем случае обладает следующими свойствами: 1. Областью присвоения является целая числовая ось; 2. Множество значений - интервал (0, п); 3 у = arcctg(-x) = п — arcctgx,x Е R; 4. Функция у = arcctg х убывает по целой числовой оси 5; График функции
у = arcctg х не пересекает ось Ох, а пересекает ось Oy в точке (0;ft); arcctgx>0; 6. Когда xe(-
о>;+го), arcctgx >0 7. Прямые у = 0 и у = п— горизонтальные асимптоты графика функции
ft 1 у = arcctgx . 8; arctgx + arcctgx = - , х Е R ;9. tg(arcctgx) =- , ctg(arctgx) =
1 {ft ft\
- x ^0;10.arctg(tgx) = x, x Е \ — arcctg(ctgx) = x,x Е (0,n).
Они обозначают функцию у = arctgx как у = tg-1x, а функцию у = arcctg х как у = ctg-1x.
Преподавание предмета «Обратные тригонометрические функции» продолжается путем привлечения учащихся к деятельности на примерах задач.
Критерии итогового оценивания по учебному разделу «Тригонометрические функции»: 1. На примерах представляет периодические функции 2. Строит графики функций у = sinx, у = cosx 3. Графики функций у = tg х, ctg х строит; 4. представлены преобразования графиков функций у = sinx,у = cosx 5. представлены преобразования в функциях у = asinb(x — с) уэ у = acosb(x — c)f графически 6. Моделирует реальные жизненные ситуации с помощью функций у = asinb(x — с) уэ у = acosb(x — с) и графически представляет преобразования;
Результат. 1) Задания (вопросы, задачи, упражнения) являются важным инструментом в организации и управлении педагогическими процессами, реализуемыми в общеобразовательных учреждениях, именно содержание и система заданий формируют и развивают умения учащихся. Поэтому в процессе обучения тем, рассматриваемых в учебном блоке «Тригонометрические функции», следует сосредоточить внимание на выборе и применении типов заданий для того, чтобы учащиеся стали субъектами глаголов исходя из ожидаемых результатов;
2) Мышление не может формироваться вне речи. Это неопровержимое рассуждение принадлежит математическому мышлению. Поэтому в процессе преподавания учебных материалов по учебному разделу «Тригонометрические функции» включение необходимых терминов в состав активного математического словаря учащихся следует рассматривать как важное дидактическое требование;
3) В качестве дополнительного ресурса при преподавании материалов учебного раздела «Тригонометрические функции» рекомендуется использовать виртуальные инструменты (важные ссылки для преподавания курса) и различные рабочие листы;
4) Общее математическое образование полное, это организованная система. Эта система представляет собой диалектическое единство пяти содержательных линий, которое можно рассматривать как единое целое, состоящее из единства его структуры и функции. Не следует забывать, что системы отличаются друг от друга не только своей структурой и функциями, но и главным образом характером единства структуры и функции, природой этого единства.
Согласно наиболее распространенной точке зрения на целое и часть, часть - это компонент, входящий в состав системы и обладающий относительной самостоятельностью, целое - это система, включающая взаимосвязанные части и содержащая некоторые свойства, не всегда присутствующие в системе. отдельные части. Таким образом, поскольку материалы учебного раздела «Тригонометрические функции» относятся к направлению содержания «Алгебра и функции», в реальном педагогическом процессе они используются как в полном объеме (с содержанием, охватываемым предметом «Математика» в целом), так и части, принадлежащие каждой линии содержания (подразделы остальных четырех линий содержания, диалектическое единство (подход «система-структура» - отношения «целое-часть») между элементами);
5) Ожидание парадигмы «возможность - действие - новое качество», обусловленное диалектическим подходом «система-структура» в выборе задач, превращении их в систему, положительно влияет на эффективность образовательного процесса.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ализаде А.А. Психологические проблемы современной азербайджанской школы. Баку: Педагогика, 2004.
2. Предметные программы для I-IV классов общеобразовательных школ Баку: «Образование», 2008.
3. Ибрагимов Ф.Н. Лекции (методические материалы) по методике преподавания математики в общеобразовательных школах. Баку: «Мутерцим», 2019.
4. Ибрагимов Ф.Н. Методика преподавания математики на основе учебной модели в средней школе (методические материалы Баку: «Мутерцим», 2016).
5. Ибрагимов Ф.Н. Философия, дидактика, технология внедрения математики в общеобразовательной школе (методические материалы). Баку: «Мутерджим», 2018.
6. Ибрагимов Ф.Н., Абдурахманов В.А., Иманова А.Б. Технология внедрения стандартов по субконтенту «Функции» Баку: АДПУ, 2022.
7. Кахраманова Н.М., Каримов М.А., Гусейнов И.Х. Математика 10 (Учебник по предмету «Математика» для 9 класса общеобразовательной школы Баку, «Радиус», 2017).
8. Кахраманова Н.М., Каримов М.А., Гусейнов И.Х. Математика 10 (Пособие для учителя). Баку, Радиус, 2017.
9. Марданов М.Ч., Ягубов М.Н., Мирзаев С.С., Ибрагимов А.Б., Гусейнов И.Х., Каримов М.А.. «Алгебра 10» (Учебник Баку: «Чашиоглу», 2009).
10. Мирзаджанзаде А.Х. Введение в специализацию (Учебное пособие для вузов нефти и газа Баку: Бакинский университет, 1990).
11. Новые перспективы подготовки учителей и среднего образования (на основе опыта западной системы образования). Ресурсы для учителей. Баку: «Адилоглу», 2006.
12. www.mathtutordvd.com/worksheets/prealgebra_voll/a_Pre-Algebra_Voll_Work-sheet_I Real Numbers.pdf
13. https://www.desmos.com/calculator;
14. http://www.meta-calculator.com/online/;
15. http://my.hrw.com/math06_07/nsmedia/tools/Graph_Calculator/graphCalc.html;
16. https://m athway.com/graph
17. http://www.analyzemath.com/trigonometry_worksheets.html.
