CC BY
35
УДК 372.851
Перькова Н. В.
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» В ВУЗЕ
При обучении математике в школе главная трудность для учащихся состоит в умении отвлечься от конкретных объектов и овладеть абстрактными понятиями. При изучении же математического анализа главная трудность состоит уже не в обобщении (понятия даются обычно в достаточно общей и абстрактной форме), а в конкретизации, т. е. в умении видеть за математическими терминами и их определениями конкретные образы, представлять себе свойства изучаемого понятия. Здесь большую помощь должны оказать хорошо подобранные примеры.
Студентам необходимо предлагать задания конструктивного характера. Если студент может не только воспроизводить встречавшиеся ему ранее примеры, но и конструировать новые объекты, то это свидетельствует о его значительных творческих способностях, которые следует развивать. Только тот студент, который может строить объекты, обладающие наперед заданными свойствами, безусловно, лучше понимает существенность условий теорем, критически оценивает математические предложения, глубже усваивает материал.
На 1 курсе занятия по математическому анализу (лекционные и практические) целесообразно строить так, чтобы научно-теоретический его уровень не вступал бы в противоречие с математическим развитием студента.
В литературе [2] отмечаются следующие компоненты математического развития студента:
1. развитие мировоззрения;
2. владение навыками формально-логических преобразований;
3. умение логически мыслить;
4. умение абстрактно мыслить;
5. умение составлять простейшие математические модели изучаемых процессов и явлений;
6. умение критически оценивать содержание задачи и ставить новые задачи, в том числе и более общие;
7. умение в общих задачах выделять частные случаи и анализировать их;
8. владение навыками дедуктивного мышления;
9. умение грамотно выражать свою мысль в устном и письменном изложении математического материала.
Рассмотрим примеры нестандартных задач для студентов 1 курса по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Задача 1. При каком значении a график функции y = ax касается графика функции y = log a x ?
^ (Х)
Задача 2. Показать, что кривая у =-------------- пересекает ось абсцисс только под
^'(х)
углами в 45 .
Задача 3. Пусть х1, х 2,...хп - различные корни уравнения п-ой степени /(х) = 0.
Ґ(х) 1 1
Показать, что----------=----------1---------+... + -
/ (х) х - х1 х - х2
х • /
в 81П(Х Н---)
Задача 4. Показать, что если у = ех віп х , то у('п) =--------— .
• П
эт —
4
Задача 5. Пусть у = еах cos(b х + с) . Показать, что у(п) _ С08ф х + с + па) , где к и а определяются равенствами
а = ксо$а, Ь = к$т.а .
Задача 6. Постройте график функции, у которой имеется минимум, больший максимума.
Задача 7. Может ли функция иметь: а) два различных максимума; б) два различных наибольших в своей области определения значения; в) одно наибольшее значение, принимаемое в различных точках? Привести примеры.
Задача 8. Приведите пример функции, которая: а) непрерывна на (а;Ь), но не ограничена в этом интервале; б) непрерывна и ограничена на [а;Ь], но не имеет на нем наибольшего и наименьшего значений; в) определена на [а;Ь], но не имеет на нем наибольшего и наименьшего значений.
Индивидуальные задания
1. Найти значения параметра а, при которых функции/(х), /(х) удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям 1 и 2.
1
х - хп
№ варианта Д1( х) Уравнение 1.
1. —2 х с у = е •соб5х у" + 4у' + 2 9 а у = 0
2. у = 5ех • sin х у" — 2у' + а у = 0
3. у = 2е —2х cos3x у" + 4 у' + (1 0 + а) у = 0
/2( х) Уравнение 2.
1. у = 4 х е2’5 х 4у" + 5 а у' + 2 5у = 0
2. у = 2 х е3 х у''-6 у' - 3а у = 0
3. у = х е2 х у' - 4 у - 2 а у = 0
2. Указать промежутки монотонности функции /(х).
№ варианта /з( х)
1. у = (2 - x2)cos х + 2х sin х
2 у = 1п(С082 х + 41 + С084 х)
3. у = х + V1 - х2 • arccos х
3. Указать промежутки монотонности, выпуклости и вогнутости функции /(х).
№ варианта /4 (х)
1. у=(1)' (3 Г {х У
2. у=( 1)'{4 Г (2 Г
3. у=(X)'(6)3(хI
4. Исследовать на экстремум стационарные точки функций /5(х), /6(х).
№ варианта /5( х) /6( х)
1. V1 + х4 - х2 у = 1 п , •V1 + х 4 + х2 у =(2 х + 3)3 у = (х - 2)2
2. у = tg( у +1) + tg3 (х -1)3 у =(2х +1)2
3. у = 1 п(ех +л/1 + е2 х ) --рА + е2 х у =(3х - 6)3 у (х + 2)2
5. Найти уравнения прямых, касающихся графиков функций/(х), /(х) в их точках перегиба.
№ варианта Л( х) /8 (х)
1. О 2 2 х - х у = е 2 у = arctg (х + 41 + х2)
2. х - х2 у = 2е2 8 1 - х у = агс^ V 2 х - х
3. 2 * СО 3 = у , , х2 + х42+1 . х42 у = 1 +1 п— = 2 • аг^ — х2 - хТ2 +1 х2 -1
6. Составить и решить 10 примеров на технику дифференцирования. В каждом из этих примеров указать точку, в которой требуется вычислить значение произво-
дной заданной функции. При составлении примеров необходимо руководствоваться следующими правилами:
а) в каждом примере должны встречаться сложные функции, составленные не менее чем из 3-х основных элементарных функций;
б) каждая основная элементарная функция должна встречаться в составленном задании не менее 3-х раз:
в) составленные примеры пронумеровать, причем ответ примера должен совпадать с его номером;
г) среди составленных функций должны быть такие, дифференцирование которых значительно упрощается после использования свойств логарифма.
Предложенная система задач индивидуального задания по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» реализует внутрипредметный аспект прикладной направленности обучения студентов, повышает математическую подготовку их, и с учетом этого выполняет следующие функции:
— развивающую, направленную на развитие математического образа мышления, на овладение эффективными приемами умственной деятельности;
— обучающую, направленную на формирование системы математических знаний и умений, использования математического аппарата для решения задач;
— воспитательную, направленную на формирование познавательного интереса и самостоятельности, выработки навыков учебного труда;
— контролирующую, направленную на установление уровней обученности и обучаемости, способности к самостоятельному изучению отдельных тем курса математического анализа.
Таким образом, индивидуальные и нестандартные задания позволяют закреплять теоретические знания студентов по теме, гарантируют выполнение стандартных, базовых заданий и подводят студентов к элементам творчества.
Литература
1. Канин Е. С. и др. Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1986. 160 с.
2. Ованесов Н. Г. Математический анализ в педагогическом вузе. Астрахань: Изд-во Астраханского пед. университета, 1997. 347 с.
Per ’kova N.
SOME ASPECTS OF THE THEME ‘’DIFFERENTIAL CALCULUS OF FUNCTION OF ONE VARIABLE’’ IN THE COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS AT UNIVERSITIES
First-year students are challenged to specify the abstract mathematical objects, and describe their properties in the course of mathematical analysis at universities. Therefore, in lectures and practical classes it is appropriate to include solving basic problems along with unconventional tasks that allow students to do some research and construct functions with certain properties. In the paper we present the unconventional tasks on the theme «Differential Calculus of Function of One Variable» for first-year students.
Key words: mathematical analysis, function, differential calculus offunction of one variable, derivative of function, graph of function, monotony of function.
