Течение жидкости между неконцентрическими сферами, совершающими дифференциальное вращение Текст научной статьи по специальности «Физика»

2016, Т. 158, кн. 1 С.129-140

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 532.54

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ НЕКОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ СФЕРАМИ, СОВЕРШАЮЩИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ВРАЩЕНИЕ

В.В. Новиков, Л.Н. Февральских

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, 603950, Россия

Аннотация

Рассмотрено движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя неконцентрическими сферами, вращающимися с различными угловыми скоростями. Оси вращения сферических поверхностей параллельны и удалены друг от друга на малое расстояние. Для решения задачи использован аппарат шаровых векторов. Показано, что при данной постановке в системе наблюдается радиальное течение жидкости.

Ключевые слова: неконцентрические сферы, ламинарное течение, вязкая жидкость, дифференциальное вращение, неосесимметричные потоки, радиальное течение

В работе [1] рассмотрена система двух соосно-вращающихся эллипсоидальных тел, одно из которых находится в сферической полости другого. Пространство между телами заполнено вязкой несжимаемой жидкостью. В [1] показана возможность опережающего вращения внутреннего тела и дано объяснение долгоперио-дических вариаций длительности суток. В рамках этой модели изучено течение жидкости между поверхностями [2]. В частности, установлено, что данная модель допускает возможность радиального течения. При этом наблюдается некоторое сходство в поведении рассмотренных в [2] течений и магнитного поля Земли.

В настоящей работе изучена задача о движении жидкости между вращающимися сферами, причем центр симметрии внутренней сферы сдвинут относительно центра внешней на малое расстояние, что отвечает современным представлениям о внутреннем строении Земли. Известно [3], что твердое ядро испытывает малые смещения на расстояние 5-15 км относительно геоцентра. Предложенная модель позволяет учесть радиальное течение, с наличием которого связывают существование магнитного поля.

Рассмотрим движение однородной несжимаемой вязкой жидкости, заполняющей пространство между двумя вращающимися сферическими поверхностями. Внутренняя сфера радиуса с центром в точке 0\ вращается с постоянной угловой скоростью относительно оси 0\Х\ неподвижной системы О1 х\у\х\, а внешняя сфера радиуса Г2 с центром в точке О2 - с постоянной скоростью о>2 относительно О2%2 неподвижной системы О2Х2У2%2. Оси вращения О^ и О2%2 удалены друг от друга на малое расстояние 6Х (6Х ^ 1), а оси О1Х1 и О2Х2 - на малое расстояние 5г (5г ^ 1) таким образом, что центр О1 в системе О2Х2У2%2 имеет координаты О1(5Х, 0, 5г) (рис. 1).

Z2

_ Z1

--\

/ X1 I 01 - л

1 — — S2 — 1

[-_- oj — —

\ — _ _ /

-

Рис. 1. Модель течения жидкости между вращающимися сферическими поверхностями

Для описания движения жидкости будем использовать сферическую систему координат, согласованную с системой Ü2X2V2Z2 • Тогда переход от декартовых координат (x\,y\,z\) к сферическим (г,в,ф) осуществляется преобразованием:

xi = x2 — Sx = r sin в cos ф — Sx, yi = y2 = r sin в sin ф, zi = z2 — Sz = r cos в — Sz.

Уравнение внутренней поверхности в сферической системе координат с точностью до членов первого порядка по Sx, Sz есть r = ri + Sx sin в cos ф + Sz cos в. В предположении малости числа Рейнольдса

22 « 1, « 1, V V

где V - кинематическая вязкость жидкости, уравнение Навье - Стокса можно упростить. Нелинейную составляющую силы инерции |(v, v)vl ^ 1 не будем принимать в расчет, считая течение ламинарным. В стационарном случае уравнение движения жидкости имеет вид

— VP + V A v = 0, (1)

Р

где p - давление, р - плотность жидкости.

Применив к (1) операцию rot, приходим к уравнению

rot A v = 0. (2)

Скорость течения жидкости должна удовлетворять уравнению неразрывности

div v = 0. (3)

Условия прилипания жидкости к ограничивающим ее поверхностям имеют вид: 1) на внутренней поверхности

v(r1 + Sx sin в cos ф + Sz cos в, в, ф) =

= [ш1, ri] = [íiez,xiex + yiey] = íi(xiey — yiex) = = íi([ri + Sx sin в cos ф + Sz cos в] sin в cos ф — Sx)x х (sin в sin ф er + cos в sin ф eg + cos ф ev) — íi[ri + Sx sin в cos ф + Sz cos в] sin в sin ф x x (sin в cos ф er + cos в cos ф eg — sin ф ev) = шi ( — Sx sin в sin ф er — Sx cos в sin ф eg+

+ (ri sin в — Sx cos2 в cos ф + Sz sin в cos в) ev); (4)

2) на внешней поверхности

v(r2,0,<p) = [Ш2, Г2] = [^2ez,X2ex + у2&у] = ^r2 sin в ev. (5)

Представим вектор скорости v в виде ряда по малым параметрам Sx, Sz, ограничившись первым приближением:

v(r, в, ф) = Vo(r, в, ф) + SxVi(r, в, ф) + SzV2(r, в, ф).

В силу однородности уравнений (2), (3) каждый из векторов vo, vi, V2 также удовлетворяет этим уравнениям.

При решении задачи (2), (3) с соответствующими граничными условиями относительно vo, vi, v2 удобно использовать аппарат шаровых векторов [4].

Шаровыми векторами называют полную систему линейно независимых вектор-функций

Y+ив, Ф) = (1 + 1)Ут(в, ф)ег - grad Ут(в, ф), l = 0,1, 2,..., У-1т(в, ф) = 1У1т(в, ф)ег + grad У1т(в, ф), l = 1, 2,..., У0т(в, ф) = [er, grad У1т(в, ф)\, l = 1, 2,...,

где Уьт(в,ф) - сферические функции.

Разложим скорость жидкости на границах (4), (5) в ряд по шаровым векторам:

-iriY0

1 ^ , 2

v(ri + Sx sin в cos ф + Sz cos в, в, ф) =--wiriY0o-

V6

- 3 iuiVnSx(Y+i + Y+-i) - 3 i^iV^^Sx(Y- i + Y-- i)+ + ^L шiSx(Y0 i - Y0,- i) - ^Eo,iSzY0o, v(r2^^) = -Y0Í0. (6) Решение уравнений (2), (3) ищем в виде ряда

г(г^,ф) =J2 (Klm(r)Y0т(в,ф)+ Pim^Y+m^, ф) + Mim^Y^, ф)) . (7)

l=0, \m\<l

Подстановка (7) в уравнения (2), (3) и последующая группировка выражений при шаровых векторах с одинаковыми индексами позволяет свести уравнения (2), (3) в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для скалярных радиальных функций К1т(г), Рт(г), М1т(г)

М"' - Р"' - — М" - — Р" -

1 1т Р 1т г 1т ^ Р Iт

- (Мт - Рт) + ((I - 1)Мт + (I + 2)Р1т) = 0,

К,,, I - 2 К,, (I + 1)(1 + 2) К, + 1(1 + 1)(1 + 2) К

К1т К1т 2 К1т + 3 К1т — 0,

/у* /у* 2

,„ + I + 3 К 1(1 -1) К 1(1 - 1)(1 + 1) К

К1т + К1т 2 К1т 3 К1т — 0,

МЦт + (I + 1)Рт - ^ Мт + ^^ Рт — 0

В силу однородности уравнений и вида граничных условий (6) в ряде (7) будут присутствовать только вектора, вошедшие в (6).

Для искомых радиальных функций, отличных от нуля, получим систему

,,, ,,, 2 // 5 // 2 / / 6 Mlm - Plm + -Mlm - -Plm - ^(Mlm - Plm) + -3 Plm — 0,

,,, 1 t, 6 t 6

K1m + rK1m - Г2K1m + ^K1™ = 0,

4

K

6

K1m + K1m — 0,

r

Mm + 2P1m + -Pm — 0. r

,,, ,,, 1 ,, 6 // 6 / / 6

M2m - P2m + rM2m - rP2m - (M2m - P2m) + -3(M2m + 4P2m) — 0,

,,, 12 / 24

K2m - Г2 K2m + K2m — 0,

in 5 it 2 t 6 K2m + ГК2т - K2m - Г3K2m — 0,

t t 2 12 2M2m + 3P2m - rM2m + — P2m — 0.

Решение этой системы имеет вид

P1m(r) — -^2Г2 + C + C, M1m(r) — С + 5С2Г2 + ^,

Cr

K1m(r) — С5Г + cR ,

■21 ^ + Df + D, M2m(r) — D2r3 + D3r + DJ, (8)

^2т(г) = п5т2 + О,

т = 0, ±1.

Векторы Уо, VI, у2 удовлетворяют уравнениям (2), (3) и могут быть найдены с использованием представления (7), а радиальные функции, входящие в Уо, VI, У2, имеют вид (8). Произвольные постоянные = 1,..., 6 определяются

из граничных условий. Сформируем условия на границе и решим последовательно задачи для векторов Уо, VI, У2 .

Начальное приближение Уо(т,0,ц>), соответствующее скорости жидкости между двумя соосно-вращающимися концентрическими сферами (5Х = 5г =0), должно удовлетворять граничным условиям

umY0^ V0(r2 ,д, — - ^2r2Y0o.

Отсюда следует, что в Уо войдет лишь составляющая Ко(т^°о. Условия, накладываемые на радиальную функцию К ю (т):

К1 о(т 1) = —ш 1 т 1, К1 о(т2) = —^Т Ш2Т2,

позволяют определить произвольные постоянные, входящие в Kio(r): C _ 2 Убп(^2Г22 - и i rf) C _ 2 Ублт 3r^(u i - »2)

C5 0 3 3 , 0 3 3 •

3 r| — r 3 3 r| — r 3

Таким образом, получаем выражение для скорости жидкости, не зависящей от сдвигов Sx, Sz :

vo _ — 2 М — » r)r + ^ — "2>) yo.

Определим составляющие v i, V2 , содержащую члены, пропорциональные сдвигам. С точностью до членов первого порядка малости граничное условие на внутренней (сдвинутой) сфере может быть записано в виде

v(r i + Sx sin в cos ф + Sz cos в, в, ф) _ v0(ri, в, ф)+

+ Sx(vo i (r i, в, ф) + v i (r i, в, ф)) + Sz (vo2 (r i,e, ф) + v2 (r i, в, ф)), (9)

где vo i (r 1,в,ф), vo2 (r 1,в,ф) - выражения при Sx, Sz, полученные после подстановки в vo (r,в,ф) r _ r i + Sx sin в cos ф + Sz cos в, граничное условие на внешней сфере:

v(r2, в, ф) _ vo(r2, в, ф) + Sx v i (r2, в, ф) + Sz v2(r2,в, ф).

В формуле для вектора vo на внутренней сфере выделим выражения vo i(ri, в,ф), vo2(r 1,в,ф) при малых параметрах Sx, Sz :

vo (ri + Sx sin в cos ф + Sz cos в,в,ф) _

_ vo (r 1, в,ф) — 2 ¡f6 3 ((»2r3 — и 1 r3) — 2r3(u 1 — и2)) Y °o (Sx sin в cos ф + Sz cos в) _ 3 r23 — r 3

= v°(г ь в, ф)-^^ 2 6Х[ 7 г (У + +Y +- !)-3 ¿(УП+УГ,- 1)-1 -у2°,- 1)

Г2к

- 15 У°° = У°(Г 1,в,ф) + ^xv° 1 (г 1,в,ф) + 6;У°2(г 1,в,ф),

где 1

= "з-з ((^2г| - г3) - 2г|(^1 - .

г2 - г1

При построении граничных условий для векторов Vl, V2 на внутренней сфере учтем, что вклад, пропорциональный сдвигам, в выражение для скорости жидкости также вносит вектор v°. Приравнивая члены, вошедшие в граничное условие (6), при сдвиговых параметрах 6Х и 6;, выражениям Vl(гl,в,ф) + v°l(гl,в,ф) и V2(гl, в, ф) + vo2 (г 1, в, ф) соответственно получим

^(гь в, ф) - ¿(У+1+У+-1) -= ¿(У-1+у-,-1) - 7=0 (У°1 - Y0,-l)

= 7ЛШ1[ - = г(У+1 + У++-1) - ^ г(У-1 + У--1) + -== (У^ - У^)

V2(гl,в,ф) - 2£°\1 =5 Y0° = - Т/Л -lY0°.

Так как скорость жидкости на внешней сфере не зависит от параметров 6Х, 5г, то

У1(т2, в, ф) = 0, У2(т2, в, ф)=0.

В формулах для составляющих У1, У2 будут присутствовать только те шаровые векторы, которые вошли в условия на границе. Сформируем граничные условия для соответствующих радиальных функций, входящих в У1:

М1,±1(т1) = -1 г(£о + 2"1)-2П, Р1,±1(т1) = 3 г(ф - и^-Л,

Р1,±1 (т2) = М1,±1(т2)=0, К2,±1(т1) = Т^_(£о - "1), К2,±1(т2)=0. Граничные условия для ненулевой радиальной функции вектора У2:

К2о(т1) = -_ (ео - "1), К2о(т2)=0.

Введем обозначения

е1 = + 2"1), е2 = ео - "1,

д1 = _1_, д2 = т3 .

(т2 - т1)4(4т2 + 7т1т2 + 4т2) ' т5 - т5

Произвольные постоянные, входящие в радиальные функции вектора У1 с индексами I, т имеют следующий вид:

при I = 1, т = ±1

01 = 3 -^1^4(41 + 5е2)т5 - 5(е1 + 4е2)т2т| + 9е^],

02 = - 3 -п^п^3 - е+4е2)т2 т2 + е1т§],

03 = - 3 -л^п^ [(-е1 + _е2)т| - 5е2т?т2+е^],

04 = 1 -Л'^1т3т3[(-е1 + 5е2)т3 - 9е2т1т2 + е + 4е2)т3],

при I = 2, т = ±1

05 = д2е2, Об = т^!Я2е24.

Произвольные постоянные для радиальной функции вектора У2 при I = 2, т = 0 есть

05 = - —_ -^2, Об = —1 ^2е24-

Таким образом, для скорости жидкости в рассматриваемом приближении получаем

у(т, в, ф) = Уо(т, в, ф) + бхУфт, в, ф) + 5гУ2 (т, в, ф) =

- 2 ^ ((^ - "1т3)т + Щ-"! ^ У^^

1

3

з 3 2 т1т2[(-е1 + _е2)т5-5е2т\т\+е1т5]

фЛгЯА п[4е2т3-(е1+4е2)т2т2+е1т3]т2-' 11181 ' —^2'1,2 1 Ц1'2]+

+

rfr^r? - 9£2Tir2 + (£i + 4^2)r23]

r

(Y+i + Y+_ i) +

+~VniQiSx

2 v - ii т * i,-i;

r i[4(-£i+5£2)rf-5(£i+4£2)r 2^+9£ irf]-5r i [4£2r2-(£i+4£2)r 2r2+£ ir2]r2-4ri r2[(-£i + 5^2)r 5 - 5^2r 2r2 + £irf] -

+

r'2r"2[4£ ir2 - 9£2r i r2 + (£i + 4£2)r2]

(Y ii + Y i;-i )-2^2

(V +1+У+_ 1) - —=е^т2 - т§) у§о+

+ Я2бхе2(т2 - т§ )(У§ 1+У§,_ 1).

Выделим компоненты вектора скорости в сферической системе координат:

^ =1 я а [V2т 1[4(-е1 + 5е2 )т5 - 5(е1+4е2)т 2 т§ + 9е1т5]+ 6

+ (2 - 5-2)т1[4е2т§ - (е1+4е2)т2т2+е^зр-

- 2(1 + 2^2)rir2[(-£i +5£2)rf - ^r^ + £irf] +

+

2r 2r2[4£i r2 - 9£2rir2 + (£i + 46И]-

sin в sin

ve = -7 Sx 6

- QiV2ri[4(-£ i + 5£2)rf - 5(£i + 4£2)r 2r2 + 9£irf] +

+ (Qi(1 + 5V2)ri[4£2r2 - (£i + 4£2)r 2r2 + £i r2] + 3Q2£^r2+ + (4^2 - 1)Q /i r2[( £i + 5£2)r 5 - 5£2r 2r^ + £ir5] +

+ (Q ir2r22[4£ ir2 - 9£2r ir2 + (£i + 4£2>2] - 3Q2£2rf)-3

cos в sin y>;

„2 ^

(terU - uir2)r + rM^rp^sm в-

- 1 Sx 6

- QiV2ri[4(-£ i + 5£2)rf - 5(£i + 4£2)r2r2 + 9£irf] +

+ (Qi(1 + 5^2)ri [4£2r2 - (£i + 4£2)r 2r2 + £i r2] + 3Q2£2(cos2 в - sin2 e))r2+ + (4^2 - 1)Q /i r2[( £i + 5£2)r 5 - 5£2r 2r^ + £irf] +

+ (Qir 2r22[4£ ir 2 - 9£2r ir2 + (£i + 4£2>2] - 3Q2£2rf(cos2 в - sin2 в))^

cos Ф+

+ V2Q2Óz£^r2 - rt) sin в cos в.

Рассмотрим несколько частных случаев поведения вязкой жидкости. В случае концентрических сфер (Sx = Sz = 0), вращающихся с одинаковой угловой скоростью шi = Ш2 = ш, жидкость между ними вращается как твердое тело:

v = ur sin в ep.

r

2

r

1

v

p

2

При вращении концентрических сфер вокруг одной оси с различными угловыми скоростями линии тока образуют замкнутые кривые, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а значит,

V = V° = ((*2г! - *1г1)г + -^-2-Ч аШ в вР'

г г г

В частности, при опережающем вращении внутренней поверхности относительно внешней частицы жидкости будут двигаться быстрее вблизи внутренней сферы и медленнее вблизи внешней.

Сдвиг внутренней сферы относительно внешней вдоль общей оси вращения приводит к добавлению в формулу для v° слагаемого

5

У^Я26;г2 - г!) 8Ш в СОИ в

Это не приводит к осевой асимметрии потока и качественному изменению траекторий частиц.

В случае сдвига внутренней сферы относительно внешней в направлении, перпендикулярном осям вращения тел, возникает радиальное течение со скоростью уг . Ненулевой становится также компонента уд .

На рис. 2 изображены линии тока при 6Х > 0, 6; =0 с учетом опережающего вращения внутренней поверхности (*1 > *2 ). Как и в предыдущих случаях, вблизи внешней сферы линии тока образуют замкнутые кривые, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. При удалении от внешней сферы линии тока «поворачиваются», образуя с осью О2Х2 малый угол. Вблизи полюсов внутренней поверхности линии тока «выравниваются», располагаясь параллельно плоскости О2Х2У2 . Внутри полости между сферами существуют траектории, отделяющие круговые потоки жидкости от линий, берущих свое начало на внутренней сфере и входящих в нее. При этом из-за близости незамкнутых траекторий к внутренней поверхности движущиеся вдоль них частицы жидкости имеют большую скорость, чем частицы на ближайших замкнутых линиях тока. Кроме того, траектории, начинающиеся и заканчивающиеся на внутренней сфере, имеют заметные искривления.

Интерес представляет распределение скоростей без составляющей v°, отвечающей круговым потокам жидкости. На рис. 3 представлены линии, образованные полем скоростей V - v°. Условно их можно разделить на три типа: линии, соприкасающиеся с внешней сферой, линии с началом и концом на внутренней сфере и замкнутые линии, расположенные внутри пространства между сферами. Каждая линия поля V-v° лежит в определенной полуплоскости с границей вдоль оси О2У2 . Области, содержащие замкнутые линии, уменьшаются при повороте полуплоскости относительно О2У2 от {в = п/2, п/2 < ф < 3п/2} к {в = п/2, -п/2 < ф < п/2}, в которой замкнутые линии отсутствуют.

Возникновение магнитного поля Земли связывают с конвекционными токами в жидком ядре [5], которые невозможны без радиальной составляющей скорости. Рассмотренная модель допускает возможность радиального течения в случае смещения внутренней ограничивающей поверхности относительно внешней в направлении, перпендикулярном осям вращения тел. Наличие замкнутых траекторий векторного поля V - v° представляет интерес при изучении конвекционных течений. На рис. 4, 5 изображены линии векторного поля V - v° в двух взаимно перпендикулярных сечениях плоскостями 02X2X2 и О2Х2У2 с указанием направлений движения. Видно, что сдвиг внутренней сферы в плоскости, перпендикулярной оси вращения, приводит к появлению в каждом из рассматриваемых сечений двух

р-

Рис. 2. Линии тока жидкости между двумя сферическими поверхностями при 6Х > 0, = 0 с учетом опережающего вращения внутренней поверхности (ш1 >

Рис. 3. Линии векторного поля скоростей V — vo при 6Х > 0, = 0 с учетом опережающего вращения внутренней поверхности (ш1 >

Рис. 4. Линии векторного поля V - vo Рис. 5. Линии векторного поля V - vo В сечении плоскостью С°2х2%2 в сечении плоскостью О2Х2У2

ячеек. К примеру, в экваториальной плоскости (сечение плоскостью О2Х2У2 ) вещество поднимается из центра О2 к внешней границе вдоль радиуса, затем совершает движение вблизи поверхности вдоль экватора, стремясь к положению, противоположному направлению подъема вещества. Обогнув полушарие, вещество возвращается к центру О2. Совершенствование данной модели может выявить другие более сложные режимы течения вязкой жидкости.

Отметим, что рассматриваемая задача решена в предположении ламинарности течения жидкости. Оценка числа Рейнольдса по средней вязкости жидкого ядра и угловой скорости вращения твердого ядра относительно мантии дает значения Ие ~ 103 - 104 [6]. Эти значения числа Рейнольдса характеризуют режим движения жидкости как промежуточный между ламинарным и турбулентным. Тем не менее это не исключает возможность наличия обнаруженных особенностей течения в жидком ядре.

Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-08326) и финансовой поддержке Мино-брнауки РФ в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (проект № 1727).

Литература

1. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. Гравитационное взаимодействие твердого ядра с мантией Земли и вариации длительности суток // Астрон. журн. - 2008. -Т. 85, № 12. - С. 1143-1150.

2. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О течении жидкости между вращающимися поверхностями // Прикл. механика и техн. физика. - 2011. - Т. 52, № 1. - С. 40-46.

3. Баркин Ю.В. К динамике твердого ядра Земли // Труды Гос. астрономического ин-та им. П.К. Штернберга. - 1996. - Т. ЬХУ. - С. 136-145.

4. Петрашень Г.И. Динамические задачи теории упругости в случае изотропной сферы // Учен. зап. Ленинград. гос. ун-та. Сер. матем. наук. - 1945. - Вып. 17, № 114. - С. 2-27.

5. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика / Пер. с англ. В.Г. Петрова. - М.: Атомиздат, 1978. - 144 с.

6. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. Как твердое ядро Земли сутки изменяет// Природа. - 2013. - № 5. - С. 3-10.

Поступила в редакцию 16.02.16

Новиков Валерий Вячеславович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической, компьютерной и экспериментальной механики; ведущий научный сотрудник

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия Научно-исследовательский институт механики при ННГУ им. Н.И. Лобачевского

пр. Гагарина, д. 23, корп. 6, г. Нижний Новгород, 603950, Россия E-mail: vvnovikov2007@yandex.ru

Февральских Любовь Николаевна, аспирант кафедры теоретической, компьютерной и экспериментальной механики; младший научный сотрудник

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия Научно-исследовательский институт механики при ННГУ им. Н.И. Лобачевского

пр. Гагарина, д. 23, корп. 6, г. Нижний Новгород, 603600, Россия E-mail: grigorieva_ln@mail.ru

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 1, pp. 129-140

The Fluid Flow between Differentially Rotating Non-Concentric Spheres

V.V. Novikov* , L.N. Fevralskikh**

N.I. Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, 603950 Russia Research Institute for Mechanics, N.I. Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, 603600 Russia E-mail: *vvnovikov2007@yandex.ru, **grigorieva_ln@mail.ru

Received September 22, 2015 Abstract

The motion of a viscous incompressible fluid between two non-concentric spheres, which rotate with different angular velocities, is considered. The axes of rotation of spherical surfaces are parallel and spaced apart by a small distance. A technique of spherical vectors is used to solve the problem. The radial fluid flow is observed in this formulation of the problem.

Keywords: non-concentric spheres, laminar flow, viscous liquid, differential rotation, non-axisymmetric flows, radial flow

Acknowledgments. This study was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 15-01-08326) and the Ministry of Education and Science of the Russian Federation for the project part of the state assignment in the sphere of scientific activities (application no. 1727).

References

1. Denisov G.G., Novikov V.V., Fedorov A.E. Gravitational interactions of the solid core and the Earth's mantle and variations in the length of the day. Astron. Rep., vol. 52, no. 12, pp. 1027—1034.

2. Denisov G.G., Novikov V.V. On fluid flow between rotating surfaces. J. Appl. Mech. Tech. Phys., vol. 52, no. 1, pp. 31—36.

3. Barkin Yu.V. On the Earth's inner core dynamics. Tr. Gos. Astron. Inst. im.. P. K. Sternberga, 1996, vol. LXV, pp. 136-145. (In Russian)

4. Petrashen G.I. Dynamic problems of the theory of elasticity in the case of an isotropic sphere. Uch. Zap. Leningr. Gos. Univ. Ser. Mat. Nauk, 1945, vol. 17, no. 114, pp. 2-27. (In Russian)

5. Cowling T. Magnetic Hydrodynamics. Petrov V.G. (English Transl.). Moscow, Atomizdat, 1978. 144 p. (In Russian)

6. Denisov G.G., Novikov V.V., Fedorov A.E. How solid core of the Earth changes day duration. Priroda, 2013, no. 5, pp. 3-10. (In Russian)

Для цитирования: Новиков В.В., Февральских Л.Н. Течение жидкости между / неконцентрическими сферами, совершающими дифференциальное вращение // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. - С. 129140.

/ For citation: Novikov V.V., Fevralskikh L.N. The fluid flow between differentially ( rotating non-concentric spheres. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-\ Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 129-140. (In Russian)