Т-неприводимое расширение для объединения цепей и циклов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

Т-НЕПРИВОДИМОЕ РАСШИРЕНИЕ ДЛЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЦЕПЕЙ И ЦИКЛОВ

Д. Ю. Осипов

Студент факультета компьютерных наук и информационных технологий, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского. E-mail: [email protected]

Расширением n-вершинного графа G называется граф H с n + 1 вершинами такой, что граф G вкладывается в каждый максимальный подграф графа H. Тривиальное расширение графа G — соединение графа G с одноэлементным графом (т. е. к графу G добавляется вершина, которая соединяется ребром с каждой вершиной графа G). Т-неприводимым расширением графа G называется расширение графа G, получаемое из тривиального расширения данного графа удалением максимально возможного набора добавленных при построении тривиального расширения ребер. В данной работе описано одно из ТНР для произвольного объединения цепей и циклов.

Ключевые слова: граф, Т-неприводимое расширение, объединение цепей и циклов.

В данной статье все понятия и определения приводятся в соответствие с [1]. Неориентированным графом (далее графом) называется пара G = (V, а), где а (множество ребер) — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Ребро с концами u, v е V обозначим через uv. Подграфом графа G = (V, а) называется пара G' = (V',а'), где V' е V и а' = (V' х V') П а. Подграф по определению максимален, если он получается из исходного графа удалением одной вершины и всех связанных с нею ребер. Максимальный подграф графа G, полученный удалением вершины v, обозначим через G — v. Через G — uv обозначается граф, получающийся из G удалением ребра uv.

Под вложением графа G в граф H понимается инъективное отображение множества вершин графа G в множество вершин графа H, сохраняющее свойство смежности (т. е. если вершины u, v смежны в G, то ^(u),^(v) смежны в H).

Расширением n-вершинного графа G называется граф H с n + 1 вершинами такой, что граф G вкладывается в каждый максимальный подграф графа H. Простейшим примером расширения графа G будет его тривиальное расширение — соединение графа G с одноэлементным графом (т.е. к графу G добавляется вершина, которая соединяется ребром с каждой вершиной графа G).

Понятие расширения графа тесно связано с вопросами отказоустойчивости дискретных систем. Если граф G рассматривать как функциональную модель некоторого устройства Е, то расширение H графа G можно воспринимать как схему отказоустойчивой реализации этого устройства: при отказе любого элемента (что истолковывается как удаление из H соответствующей вершины и всех связанных с нею ребер) в неповрежденной части обнаруживается работоспособная модель для Е.

При таком подходе естественно возникает вопрос об оптимальности отказоустойчивой реализации для данной системы, т. е. о получении такого расширения H графа G, которое не содержало бы «лишних» ребер. Один из способов — конструкция минимального расширения графа [2,3], другой — его Т-неприводимое расширение [4].

Минимальным расширением графа G называется его расширение с минимальным количеством ребер. В общем случае при построении минимального расширения возникает необходимость добавлять ребра в исходный граф, т.е. менять всю систему, моделируемую этим графом. Но иногда технически важно найти решение следующей задачи: построить оптимальное расширение данного графа, сохраняя его первоначальную конструкцию (т.е. не меняя связей внутри него). Существует следующая процедура:

- построить тривиальное расширение исходного графа;

- удалять из полученного графа ребра до тех пор, пока будет выполняться свойство расширения. Полученные графы назовем Т-неприводимыми расширениями (для краткости ТНР) графа G. Для

произвольного графа количество неизоморфных ТНР неизвестно.

Покажем примеры ТНР для некоторых классов графов. Для n-вершинной цепи единственным ТНР является (п+1)-вершинный цикл. Для n-вершинного цикла единственным ТНР является тривиальное расширение исходного цикла.

У графа, представленного на рис. 1, a есть два неизоморфных ТНР, которые изображены на рис. 1, б, в.

© Осипов Д. Ю., 2013

а б в

Рис. 1

Известна следующая задача: зная ТНР для заданных графов, найти ТНР для их объединения. Некоторые частные случаи были рассмотрены в работах С. Г. Курносовой. Например, ею были найдены ТНР для объединений полных графов, объединений циклов, объединений цепей и для объединений колес, а также найдено одно из ТНР для объединения графа с его ТНР [5].

В теоремах 1 и 2 рассматривается частный случай: объединение цикла и нескольких цепей. В теореме 3 дается общее решение задачи о нахождении ТНР для произвольного объединения цепей и циклов. Результаты работы были анонсированы в [6].

Теорема 1. Пусть граф С является объединением п-вершинного цикла и некоторого множества цепей произвольной длины, кроме (п — 1)-вершинных цепей. Тогда одним из ТНР для С будет граф, получаемый из С добавлением новой вершины и ребер, соединяющих ее со всеми вершинами цикла и с концами всех цепей.

Доказательство. Пусть граф С является объединением п-вершинного цикла и т цепей произвольной длины. Обозначим через VI,..., vn вершины цикла, а через и\,..., игп. — вершины г-й цепи, состоящей из п вершин (п = п,г = 1,т). Пусть граф Н построен в соответствии с условием теоремы. Добавленную вершину в графе Н обозначим через ад.

Докажем, что Н — одно из ТНР для С.

1. Покажем, что граф Н является расширением графа С. Удалим произвольную вершину V из Н. Тогда эта вершина может быть добавленной вершиной ад, одной из вершин цикла или одной из вершин произвольной цепи.

• V = ад. Граф С естественным образом вкладывается в граф Н — V.

• V = Vj. Из п-вершинного цикла удалена одна вершина, тогда удаленную вершину в цикле заменим вершиной ад. Граф С вкладывается в граф Н — V.

• V = и(,?' = 1,п;г = 1,т). Цепь и1,...,иП. из графа С вкладывается в цепь и^,...,и1,ад, и^,... , и^ графа Н — и (,?' = 2,п — 1). Если V = и1, цепь и1,..., и^ из графа С вкладывается

в цепь и2,

ад, и1,

ип

;,ад графа Н — и1. Если V = иП., цепь и1,

ип

из графа С вкладывается в цепь

графа Н — игп.. Тогда граф С вкладывается в граф Н — V.

Мы получили, что при удалении произвольной вершины V из графа Н, граф С вкладывается в граф Н — V, а значит, граф Н является расширением графа С.

2. Докажем свойство неприводимости. Удалим произвольное ребро —V из Н. Тогда этим ребром может быть ребро, соединяющее вершину ад и одну из вершин цикла, либо ребро, соединяющее вершину - и один из концов произвольной цепи.

• V = Vj. Из графа Н — —V достаточно удалить вершину смежную с Vj, тогда степень вершины Vj будет равна 1, а следовательно, в полученный граф невозможно вложения п-вершинного цикла (так как все вершины в цикле имеют степень, равную 2). Граф Н — —V не является расширением для С.

• V = и (^ = 1,п; г = 1,т). Из графа Н — —V достаточно удалить вершину смежную с и, тогда вершина и будет изолированной вершиной, а следовательно, цепь и1,... ,иП. не вкладывается в полученный граф. Граф Н — —V не является расширением для С.

Мы получили, что никакой граф, полученный удалением из Н одного ребра, не является расширением графа С, а следовательно, граф Н будет ТНР для графа С. □

На рис. 2, а представлен граф, удовлетворяющий условию теоремы 1, а на рис. 2, б — одно из его ТНР, построенное в соответствии с теоремой 1.

Теорема 2. Пусть граф С является объединением п-вершинного цикла и некоторого множества цепей, среди которых имеются (п — 1)-вершинные цепи. Тогда одним из ТНР для С будет граф, получаемый из С добавлением новой вершины и ребер, соединяющих ее с концами всех цепей.

и2

У- V

и и2 и3 и

и

и

и и

и

Рис. 2

Доказательство. Пусть граф С является объединением п-вершинного цикла и т цепей произвольной длины. Обозначим через г>1 ,...,г>п вершины цикла, а через и1,...,иП. вершины %-й цепи, состоящей из п вершин (Зп = п, % = 1,т). Пусть граф Н построен в соответствии с условием теоремы. Добавленную вершину в графе Н обозначим через ад.

Докажем, что Н — одно из ТНР для С.

1. Покажем, что граф Н является расширением графа С. Удалим произвольную вершину V из Н. Тогда эта вершина может быть добавленной вершиной ад, одной из вершин цикла или одной из вершин произвольной цепи.

• V = ад. Граф С естественным образом вкладывается в граф Н — V.

• V = V]. Пусть и!,... ,иП-1 — одна из цепей, состоящих из (п/1)-вершин, тогда и1,... ,ад,и! образуют п-вершинный цикл, а вершины VI.,..., Vj-1, Vj+1,..., V«, в любом случае образуют (п — 1)-вершинную цепь. Тогда граф С вкладывается в граф Н"V.

• V = и (^ = 1,п; % = 1,т). Цепь и1,...,и^ из графа С вкладывается в цепь и^, ...,Ц, ад, и^,..., Ц-+1 графа Н — и(^ = 2,п — 1). Если V = и1, цепь и1,... из графа С вкладывается в цепь иг2,..., и^ ,ад графа Н — и1. Если V = и^, цепь и\,... , и^ из графа С вкладывается в цепь ад, Ц,..., иП._х графа Н — и^.. Тогда граф С вкладывается в граф Н — V.

Мы получили, что при удалении произвольной вершины V из графа Н граф С вкладывается в граф Н — V, а значит, граф Н является расширением графа С.

2. Докажем свойство неприводимости. Удалим произвольное ребро —V из Н. Тогда этим ребром может быть ребро, соединяющее вершину ад и один из концов произвольной цепи.

• V = ^ (] = 1,п; % = 1,т). Из графа Н — -V достаточно удалить вершину, смежную с ^, тогда вершина и будет изолированной вершиной, а следовательно, цепь и1,... , и^. не вкладывается в полученный граф. Граф Н — —V не является расширением для С.

Мы получили, что никакой граф, полученный удалением из Н одного ребра, не является расширением графа С, а следовательно, граф Н будет ТНР для графа С. □

На рис. 3, а представлен граф, удовлетворяющий условию теоремы 2, а на рис. 3, б — одно из его ТНР, построенное в соответствии с теоремой 2.

Уг

У4

иг

иг

и

из

иА

и^

и.6

ип

Рис. 3

б

а

б

а

Следующая теорема решает задачу о построении ТНР для графов, являющихся объединением произвольного количества цепей и циклов.

Теорема 3. Пусть граф С является объединением п циклов и т цепей произвольной длины:

с = ипи а иит = 1 Р] ■ Пусть Hi — Ci и У ^=1 Р]' 1 < ^ < п- Тогда одним из ТНР для графа С будет

объединение ТНР, построенных в соответствии с теоремой 1 или теоремой 2 для графов Hi■

Доказательство. Пусть граф С является объединением п циклов и т цепей произвольной длины: С — иГ=1 С-1 и иГ=1 Р] • Пусть Hi — С.1 и иГ=1 Р], 1 < я < п. Можно заметить, что С — иГ=1 Hi. Тогда нужно доказать, что Н — иП=1 ТНР1,2(Н^, где Н — одно из ТНР для С, а ТНР1,2(Hi) — функция, которая строит ТНР для графов в соответствии с теоремой 1 или теоремой 2. Доказательство теоремы производится с помощью метода математической индукции. Индукция по п — число циклов в графе.

Базис индукции: п — 1.

Пусть С является объединением одного цикла и т цепей произвольной длины. Тогда С — ^ь а H — ТНР1,2 (^) — одно из ТНР для графа С. Данный частный случай рассматривается и доказывается в теоремах 1 и 2.

Предположение индукции:

Предположим, что условие теоремы выполнено для всех к < п, т.е. условие выполнено для графа С, являющемся объединением п — 1 циклов и т цепей произвольной длины. а H — и "Г/ ТНР^ (^) — одно из ТНР для графа С.

Шаг индукции:

Докажем, что условие теоремы выполняется для к — п. Таким образом, С — иП=1 Hi — — иП—]1 ^ и Кп. Положим С' — иП—1 ^ и С'' — Кп. Получим, что С — С' и С''. Построим H — ип=1 ТНР12№) — иг="11 ТНР1,2(^{) и ТНР,,2(Hn), тогда H — H' и , где H' и — ТНР для графов С' и С'' соответственно. Докажем, что H — одно из ТНР для С.

1. Покажем, что граф H является расширением графа С. Удалим произвольную вершину V из H. Тогда вершина V принадлежит либо множеству вершин графа ^, либо множеству вершин графа H" (так как H — H' и H'').

• Если вершина V принадлежит множеству вершин графа H', то цикл Сп вкладывается в граф H — V (так как удаленная вершина принадлежит множеству вершин графа а вершины цикла Сп не принадлежат), а циклы С1,..., Сп-1 и цепи Р1,..., Рт вкладываются в граф H — V, так как H' является расширением для графа С', являющегося объединением циклов С1,..., Сп—1, и цепей

Р1 ? • • • ? Рт.

• Если вершина V принадлежит множеству вершин графа H'', то циклы С1,..., Сп—1 вкладываются в граф H — V (так как удаленная вершина принадлежит множеству вершин графа , а вершины циклов С1,..., Сп—1 не принадлежат), а цикл Сп и цепи Р1,..., Рт вкладываются в граф H — V, так как H" является расширением для графа С'', являющегося объединением цикла Сп и цепей

Р1 ?... ■> Рт .

Мы получили, что при удалении произвольной вершины V из графа H граф С вкладывается в граф H — V, а значит, граф H является расширением графа С.

2. Докажем свойство неприводимости. Удалим произвольное ребро —V из H, где — — добавленная вершина. Тогда это ребро принадлежит либо множеству ребер графа H', либо множеству ребер графа H'' (так как H — H' и H'').

• Если ребро —V принадлежит множеству ребер графа ^, то из графа H — —V можно удалить такую вершину, принадлежащую множеству вершин графа ^ (например, вершину, смежную с вершиной V), что граф H——V не являлся бы расширением для графа С. Это справедливо, так как граф H' является ТНР для графа С', являющегося объединением циклов С15...,Сп—1, и цепей Р1, ...,Рт, а следовательно, при удалении произвольного ребра —V из графа граф ^ — —V не является расширением для С' и, значит, граф H не является расширением для С.

• Если ребро —V принадлежит множеству ребер графа H'', то из графа H — —V можно удалить такую вершину, принадлежащую множеству вершин графа H" (например, вершину, смежную с вершиной V), что граф H — —V не являлся расширением для графа С. Это справедливо, так как граф является ТНР для графа С'', являющегося объединением цикла Сп, и цепей Р15...,Рт, а следовательно, при удалении произвольного ребра —V из графа H'', граф — —V не является расширением для С'' и, значит, граф H не является расширением для С.

Мы получили, что никакой граф, полученный удалением из Н одного ребра, не является расширением графа С, а следовательно, граф Н будет ТНР для графа С. □ На рис. 4, а представлен граф, удовлетворяющий условию теоремы 3, а на рис. 4, б — одно из его ТНР, построенное в соответствии с теоремой 3.

C !

C 2

C 3

P !

C 2

P,

Рис. 4

Библиографический список

1. Богомолов А. М, Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М. : Наука, 1997. 368 с.

2. Hayes P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. Vol. 25. P. 875884.

3. Абросимов М. Б. Минимальные расширения объединения некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 4. С. 3-11.

4. Салий В. Н. Доказательства с нулевым разглашени-

ем в задачах о расширениях графов // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2001. Вып. 6. С. 63-65.

5. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 113-125.

6. Осипов Д. Ю. Т-неприводимые расширения для объединения цепей и циклов // Компьютерные науки и информационные технологии. Саратов : Издат. центр «Наука», 2012. С. 245-246.

б

а

T-irreducible Extension for Union of Paths and Cycles D. U. Osipov

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected]

A graph H with n +1 nodes is an extension of a graph G with n nodes if each maximal subgraph of H contains G. Trivial extension of a graph G is the connection of graph G and the singleton graph (i.e. we add one node to the graph G and this node join with each node of G). T-irreducible extension of graph G is an extension of the graph G which is obtained by removing maximal set of edges from the trivial extension of G. One of T-irreducible extensions is constructed for an arbitrary union of cycles and paths.

Key words: graph, T-irreducible extensions, union of paths and cycles.

References

1. Bogomolov A. M., Salii V. N. Algebraicheskie osnovy teorii diskretnykh sistem [Algebraic foundations of the theory of discrete systems]. Moscow, Nauka, 1997, 368 p. (in Russian).

2. Hayes P. A graph model for fault-tolerant computing system. IEEE Trans. Comput., 1976, vol. 25, pp. 875-884.

3. Abrosimov M. B. Minimal'nye rasshireniia ob"edineniia nekotorykh grafov [Minimal extensions for union of some graphs. Teoreticheskie problemy informatiki i ee prilozhenii [Theoretical Problems of Informatics and its applications]. Saratov, 2001, iss. 4, pp. 3-11 (in Russian).

4. Salii V. N. Zero knowledge proofs in problems on ex-

tensions of graphs. Vestnik Tomskogo Gos. Univ., 2001, iss. 6, pp. 63-65 (in Russian).

5. Kurnosova S. G. T-neprivodimye rasshireniia dlia nekotorykh klassov grafov [T-irreducible extensions for some classes graphs]. Teoreticheskie problemy informatiki i ee prilozhenii [Theoretical Problems of In-

formatics and its applications]. Saratov, 2004, iss. 6, pp. 113-125 (in Russian).

6. Osipov D. Yu. T-neprivodimye rasshireniia dlia ob"edi-neniia tsepei i tsiklov [T-irreducible extensions for union of paths and cycles]. Komp'iuternye nauki i informatsionnye tekhnologii. Saratov, 2012, pp. 245-246 (in Russian).

УДК 519.7

ОБ ОЦЕНКЕ ДЛИНЫ СЛОВА, РАЗЛИЧАЮЩЕГО ДВЕ ВЕРШИНЫ ПОМЕЧЕННОГО НЕОРГРАФА

С. В. Сапунов

Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, [email protected]

Рассматривается задача различения вершин помеченного неорграфа по ассоциированным с ними языкам в алфавите меток. Показано, что верхняя оценка длины слова, различающего две вершины графа, равна половине от числа его вершин.

Ключевые слова: графы с помеченными вершинами, языки в алфавите меток вершин, различение вершин графа.

ВВЕДЕНИЕ

Основной проблемой теоретической кибернетики является проблема взаимодействия управляющей и управляемой систем (управляющего автомата и его операционной среды) [1,2]. Взаимодействие таких систем зачастую представляется как процесс перемещения автомата по помеченному графу или лабиринту среды. Такое представление интенсивно развивается в работах В. Б. Кудрявцева и его школы [3]. Одной из центральных и актуальных как в теоретическом, так и в прикладном аспектах проблем, возникающих при исследованиях взаимодействия автоматов и графов, является проблема анализа или распознавания свойств графа при различной априорной информации и при различных способах взаимодействия автомата и графа. Один из подходов к решению проблемы анализа графа операционной среды основывается на том, что операционная среда рассматривается как граф с помеченными вершинами. Такие графы возникли первоначально как блок-схемы и схемы программ, а в настоящее время находят применение в задачах навигации роботов [4]. В монографии Ю. В. Капитоновой и А. А. Летичевского [2] с вершинами таких графов естественным образом связаны языки в алфавите меток вершин и показано, что эти языки регулярны и не содержат пустого слова.

В настоящей статье рассматривается задача различения вершин неориентированных графов с помеченными вершинами. Объектом анализа графа выбран язык, ассоциированный с вершиной, то есть множество всех последовательностей меток, соответствующих путям, исходящим из вершины. Ранее автором было найдена достижимая линейная оценка длины слова, различающего две вершины ориентированного помеченного графа, детерминированного по разметке окрестностей вершин [5]. В настоящей работе показано, что для неориентированного помеченного графа эта оценка может быть уменьшена вдвое.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Неопределяемые понятия общеизвестны и их можно найти, например, в [6].

Помеченным графом назовем конечный простой связный неориентированный граф с помеченными вершинами С = (V, Е, М, ц), где V — множество вершин, |У | = п, Е — множество ребер (т.е. неупорядоченных пар вершин), М — множество меток, |М| = т, ц : V ^ М — сюръективная функция разметки вершин. Под окрестностью Г„ вершины V е V будем понимать множество всех вершин, смежных с V. Путем в графе С назовем последовательность вершин р = VI такую,

что (VI,^+1) е Е, г = 1 , ...,к — 1. Число к е N назовем длиной пути р. Меткой ц(р) пути р назовем слово — = ц^) ) в алфавите меток М. Будем говорить, что слово — определяется

вершиной VI. Длину слова — будем обозначать через й(-). Путь с меткой начинающейся в вершине V, будем обозначать р^, —). Инверсией слова — = ц^).. ) назовем слово —-1 = ).. .ц^).

© Сапунов С. В., 2013

105