CC BY
31
— восстановление правильного функционирования сложных систем, когда невозможно или нецелесообразно немедленное проведение ремонтно-восстановительных мероприятий, а также исключается подключение резервной или дублирующей составляющей или она вышла из строя;
— организация модификации поведения сложных систем без их физического перепроектирования, только за счет использования текущих функциональных возможностей;
—разработка отказоустойчивых систем, использующих весь спектр потенциальных средств для восстановления своего поведения — от традиционного резервирования-дублирования до особенностей с существующего в данный момент времени закона функционирования.
Библиографический список
1. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / Под ред. М.А. Арбиба; пер. с англ. М., 1975.
2. Богомолов A.M.. Сытник A.A., Твердохлебов В.А. Автоматные модели и рекурсивный конструктивизм. Саратов, 1992.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.
4. Пикар С. О базисах симметрической группы // Кибернетический сборник. 1965. № 1.
УДК 519.17
Т-НЕПРИВОДИМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ОБЪЕДИНЕНИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ
С.Г. Курносова
Саратовский государственный университет, кафедра теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии E-mail: csc@info.sgu.ru
Т-неприводимое расширение является одним из видов оптимальных расширений для графов. Конструкции оптимальных расширений применяются в диагностике дискретных систем и криптографии. Расширением л-вершинного графа G называется граф Не п+1 вершинами такой, что граф G вкладывается в каждый максимальный подграф графа Н. У любого графа есть тривиальное расширение - соединение G+i/ графа G с одной вершиной. Т-неприводимые расширения получаются из тривиального удалением максимального числа ребер, не нарушающим свойство расширения. Задача нахождения графа по его Т-неприводимому расширению имеет линейную сложность, а для задачи отыскания всех Т-неприводимых расширений произвольного графа в настоящее время эффективного алгоритма нет. В данной работе предлагается алгоритм построения всех Т-неприводимых расширений и оценка их количества для объединений полных графов, каждый из которых имеет не менее одной вершины.
5. Сытник А.А. Методы и модели восстановления поведения автоматов // Автоматика и телемеханика. 1992. № 11.
6. SytnikA.A., Posohina N.I. On some methods of discret systems behaviour simulation // CASYS'97: The 1st Intern. Conf. on computing anticipatory systems. Liege, 1997.
T-irreducible extensions for unions of complete graphs
S.G. Kurnosova
T-irreducible extension is one of kinds of optimal extensions of graphs. Constructions of optimal extensions are used in diagnosis of discrete systems and in cryptography. A graph H with n+1 vertices is called an extension of a graph G with n vertices if G can be embedded in every maximal subgraph of H. Any graph G has the trivial extension that is the join G+vof G with some outer vertex v. T-irreducible extensions are obtained from the trivial extension by removal of maximal number of edges in such a way that the extension property is preserved. The problem of finding of the initial graph from any of its T-irreducible extensions has a linear complexity, but until now there is no efficient algorithm for finding of all T-irreducible extensions of a given graph. Graphs studied in this paper are unions of complete graphs each of which has more than one vertex. An algorithm of construction of all T-irreducible extensions for such graphs is presented. Also an estimate of a total amount of the resultihg extensions is made.
Для характеризации надежности дискретной системы А. Авиженисом [1] было введено понятие отказоустойчивости как обеспечения работоспособности системы при наличии в ней ошибок. Хейз. [2] формализовал это понятие в терминах теории графов.
Расширением '«-вершинного графа б называется граф Я с п+1 вершиной такой, что граф С вкладывается в каждый максимальный подграф графа Я. Тогда если дискретное устройство представить в виде графа С (вершины графа - элементы устройства, а ребра - связи между элементами), то система, определяемая расширением этого графа Я, будет ¡-отказоустойчивой реализацией исходного устройства. Для любого графа С существует хотя бы одно расширение С + 1 (соединение С с одноэлементным графом), называемое тривиальным (ТР).
Тогда же Хейз предложил один из подходов к оптимальности расширений для графа: минимальность количества ребер в расширении. В 2003 г. В.Н. Салий [3] представил другую оптимальную конструкцию расширения для графа: из ТР графа С/ удаляется максимальное число ребер без нарушения свойства быть расширением. Полученные графы называются Т-неприво-димыми расширениями (ТНР) для С. Одним из преимуществ такого подхода будет то, что при построении ТНР сохраняется первоначальная конструкция графа.
Задача описания ТНР для произвольного графа остается нерешенной. В настоящий момент известны только отдельные классы графов, для которых найдены все ТНР [4-6]. Но кроме этой задачи, несомненный интерес представляет поведение конструкции Т-неприводимого расширения относительно операций над графами: объединение, соединение и дополнение. В данной статье полностью решается задача нахождения Т-неприводимых расширений для объединений полных графов. Один важный частный случай разобран в [7].
Рассмотрим последовательность полных графов {Кп+1 }'=0 (я > 1, / > 0). Положим
С = где т° > 0, > 0, а остальные /л, > 0 для 1 = 1, /-1. Такой граф однозначно
определяется числом п и вектором (т0, ть ..., т^.
Лемма. Пусть Я- расширение для графа С, заданного вектором (т0, ть ..., т/), причем в графе Я есть вершина v, при удалении которой из Я получится граф, изоморфный С. Тогда если из //можно удалить ребро ш, где и принадлежит некоторому подграфу Кп+1 (пусть в расширении обозначение вершин будет как в С), то расширением для графа С будет и граф, полученный из Я удалением всех ребер, соединяющих вершину V с вершинами подграфа КпН, которому принадлежит вершина и.
(Очевидно, что лемма имеет смысл, когда в графе Я с вершиной V смежны хотя бы две вершины из подграфа КпН.)
Доказательство. Положим Н\ = Я- му, и пусть Я - граф, полученный из //удалением всех ребер, соединяющих вершину V с вершинами подграфа КпН (хотя в графе Я может быть несколько подграфов Кп+1, здесь под обозначением К„н будет пониматься подграф, которому принадлежит вершина и). Покажем, что Я - расширение для О. Для этого возьмем произвольную вершину г из Я и построим вложение ф графа С в Я. Рассмотрим представляющиеся случаи.
1. Выбранная вершина г совпадает си,ив графе Я все вершины подграфа КпМ смежны с V. Тогда рассмотрим граф Я] - г', где г' отличная от и вершина подграфа К„+1. По условию существует вложение <р графа С в Н1 - г'. Тогда искомое ф определим следующим образом:
= (р (м>), если ср (и>) Ф г; <^(и>) = г', если (р (>у) =
Очевидно, что построенное (р - взаимно однозначное соответствие между вершинами графов С и Я - г. Теперь докажем, что ф сохраняет свойство смежности. Оно будет сохраняться,
если вершины ср 1 (w), где w принадлежит подграфу Kn+i - z', не смежны с вершиной срл (v). Пусть это не так, и вершины (р 1 (w), где w е М (здесь М— непустое подмножество множества вершин подграфа ( Kn+i- z') -и), смежны с срл (v). Тогда вершина (р~х (v) будет смежна только с вершинами (р} (w), где w е М (в силу транзитивности свойства смежности в исходном графе G). Значит, любая вершина ср 1 (w), где w из множества М, должна иметь степень \М], так как она смежна с v, которая имеет такую степень (в G любые две смежные вершины имеют одинаковые степени). Из вышесказанного следует, что вершины (р 1 (и>), где w е М, смежны только между собой (в силу транзитивности свойства смежности в графе G) и с вершиной <рл (v). Таким образом, (р~х отображает вершины из MU{v}b вершины полного графа размерности \М\ + \ < < n + i. То есть вершины полного подграфа Кщ+Х графа G, имеющие степень \М\ + 1 < n + i, переводятся отображением <р в вершины из М U М. Тогда в граф H\-f без вершин М U {v} должен вкладываться оставшийся подграф графа G без Кщ+\. Но это невозможно, поскольку в графе Н\ -z',
без вершин MUM, вершин степени не меньшей n + i не больше ^^ mj(n + j) + l-(\M |+1),
тогда как в графе G без Кщ+{ их ^ij=imj(n + Л-
Таким образом, построенное ср' будет вложением графа G в граф Н -z.
2. Вершина z не совпадает с и или вершина z совпадает с и, и в графе Н не все вершины подграфа Kn+i смежны с v. По условию существует вложение ср графа G в Hx-z. Определим ф тождественно равным вложению ср. Тогда ср' будет вложением графа G в граф 1T—z, если вершина q.г1 (v) не смежна ни с одной вершиной (р 1 (w), где w принадлежит подграфу Kn+i. Докажем выполнение последнего от противного. Пусть для w из некоторого непустого множества М вершин подграфа Кп+1 вершины ср 1 (w) смежны с <р 1 (v). Тогда аналогично предьщущему пункту вершины (рл (w), где w е М, смежны только друг с другом и с вершиной <p~l (v). Значит, в вершины MUM отображаются вершины некоторого полного графа Кщ+Х. Покажем, что размерность этого полного графа меньше числа n + i. Для этого рассмотрим следующие случаи.
• Вершина z совпадает с и, и в графе //не все вершины подграфа Kn+i смежны с v. Тогда в Я, не меньше двух вершин из Kn+i, не смежных с v. То есть \М\ < n + i, а \М\ + 1 < п + /'.
• Вершина z принадлежит подграфу Kn+i, но она отлична от и. Тогда в М нет хотя бы двух вершин подграфа Kn+i (и и z). А значит, \М\ < n + i - 2, и тогда \М\ + 1 < n + i.
• Вершина z не принадлежит подграфу Kn+i. Тогда \М\ < n + i - 1, а \Щ + 1 < п+ г. Но если \Щ + 1 = п + г, то М состоит из вершин подграфа Kn+i - и, а так как и в графе Нх смежна только с вершинами из М, то степень вершины <рл (и) в G будет равна нулю, что невозможно. Значит, Щ + 1 < n + i.
Таким образом, размерность полного графа Кщ+] меньше числа n + i. Следовательно, G без Кщ+х нельзя вложить в Нх - z без вершин М U{v} (вложение невозможно по числу вершин степени не меньше n + i). Значит, и в этом случае существует вложение графа G в Н - z.
Случаи 1 и 2 показывают, что если Н - uv является расширением для G, то и Н будет расширением для G. □
Согласно доказанной лемме ТНР рассматриваемого графа G можно задать последовательностью (а0, аь ..., а/), где a, показывает, со сколькими графами Kn+i соединяется вершина v. Например, графу G = Kn U Kn+i соответствует вектор (1,1), а его ТНР определяется вектором (1,0) [3]. Тогда по вектору (т0, тъ ..., т/), задающему граф G, можно построить множество векторов (а0, аь ..., а/), определяющих все ТНР для G, используя следующую процедуру.
АЛГОРИТМ построения всех ТНР для графа б, заданного вектором (т0, ть ..., т^ и и > 1
1. Положить а0 = т0, доопределив ач = 0и /и/+1 = 0, г = 1:
2. По табл. 1, в столбце найти соответствующее значение тг-га/+1 (где х - любое число больше 1), в строке найти а,-. 1 и на их пересечении получить значение а1, г = г+1.
(Если возможно несколько вариантов («О или 1»), то на этом этапе процесс дальнейшего построения вектора (а0, аь ..., а{) должен происходить отдельно для полученных вариантов.)
Таблица 1
m a,-2 Щ miH 0 0 Щ mi+, 0 1 m, mi+l 0 x Щ Щ+1 1 0 Щ mi+1 1 1 Щ mM 1 X m, mi+l x 0 Щ mi+1 x 1 Щ Щ+1 X X
0 0 0 0 0 1 1 1 m, m, mi
1 0 1 1 1 m,- mj Щ
х 0 1 1 1 m, m, Щ
0 1 0 0 или 1 0 или 1 0 0 или 1 0 или 1
1 1 0 0 0 0 0 или 1 0 или 1
х 1 0 0 0 0 0 или 1 0 или 1
0 х 0 0 или 1 0 или 1 0 0 или 1 0 или 1
1 X — — — — — — — — —
X X - — — — — — — — —
3. Выполнять пункт 2, пока i < I.
Результатом работы алгоритма будет множество векторов (a(h аъ ..., а/), задающих все ТНР для графа G, определяемого вектором (т0, тъ ...,т;)ии>1.
Следующая теорема дает обоснование приведенного алгоритма.
Теорема. Представленный алгоритм строит в точности все ТНР для графа G, заданного вектором (т0, тъ ..., т^) и числом n > 1.
Доказательство. Доказательство теоремы проведем в три этапа.
I. Покажем сначала, что алгоритм будет работать стабильно, то есть a, не могут принимать значение «1х» или «хх» , где х > 1, по ходу работы алгоритма. Докажем это, используя метод математической индукции по переменной i.
1. Очевидно, что условие выполнено для i = 1, так как а_{а() имеет значение От0.
2. Пусть условие выполнено для / > 1, покажем справедливость условия и для i + 1. То есть надо показать, что если ¿z,_2a<_i не может принимать значение «1х» или «хх», то и а1 ]а1 также не равно «1х» или «хх». Иначе говоря, если <я,ч > 0, то а, < 1, а это следует из правил построения (см. табл. 1) вектора (а0, аъ ..., а¡).
П. Теперь убедимся, что любой вектор (а0, аь at), построенный по алгоритму, будет определять граф Н, являющийся ТНР для графа G. Для доказательства этого факта используем полученный ранее критерий Т-неприводимости [5].
Граф H тогда и только тогда будет ТНР графа G, когда
1) H является расширением для графа G;
2) в графе H существует вершина v, такая что H-v = G;
3) (свойство неприводимости расширения) граф H- vu не будет расширением для G, если v удовлетворяет пункту 2), а и - любая вершина из G.
Последовательно проверяем выполнимость этих условий.
1) Убедимся, что Н будет расширением для графа О. Выберем произвольную вершину и и рассмотрим граф Н-и. Возможны следующие случаи:
a) вершина и соединена ребром с v, а значит, и все смежные с ней вершины смежны с v. Тогда при вложении вершина и перейдет в V, а остальные сами в себя;
b) вершина и (принадлежащая подграфу Кп+1) не соединена ребром с v, а значит, и все смежные с ней вершины не смежны с v. Значит, если тг = 1, то аг = 0, а если т{> 1, то а1 равно 0 или 1. По построению вектора (а0, аь ..., а/) имеем ам > 0, то есть с V смежны вершины какого-то подграфа КпНЛ. Тогда при вложении вершины графа КпН перейдут в вершины подграфа КпН ] + у, а вершины графа Кп+1_{ - в вершины подграфа КпН- и.
Из а) и Ь) следует, что Н будет расширением для графа С.
2) По построению в Нсуществует вершина V такая, что Н-у = О.
3) Покажем теперь неприводимость графа Н. Выберем произвольную вершину и, принадлежащую некоторому подграфу КпН (значит, 0). Убедимся, что граф Н- иу не будет расширением для исходного графа С. Рассмотрим следующие случаи:
a) пусть (а, =1)л(а1_1 ^0). Тогда по построению а1+1 + т1+у, то есть существует подграф К'п+М, вершины которого не соединены ребрами с вершиной V в Н. Проверим граф (Н- иу) - и', где и' принадлежит подграфу К'п+1+1- В исходном графе б количество вершин со степенью не
меньшей п + г + 1 равно + /)> тогда как в графе (Н-иу) - и' их не больше
X'=,+1 т} (л + Л +1 + (« + 0 ~ 1 - (и +1" +1) = (и + 7) -1 ■
Значит, Н-иу не будет расширением для графа С;
b) пусть теперь (а, = т1 > 1) V [(<х = 1) л (а1_1 = 0)]. По построению условие а, = т;> 1 означает, что = 0. Рассмотрим граф (Я - иу) - и', где и' Ф и принадлежит тому же графу, что и и.
В графе С количество вершин со степенью не меньшей п + г равно т1(п + у), а в графе (Н - иу) - и' их не больше
Х'у=г т1 (л + У)+1 ~ 2 = Х'/=, т1 (" + Л ~1 "
Таким образом, Н-иу не будет расширением для графа О.
Так как случаи а) и Ь) исчерпывают все возможные варианты, то Н-иу никогда не будет расширением для С. В силу произвольности выбора вершины и, граф Н будет ТНР для С.
III. Теперь покажем, что предложенный алгоритм строит все ТНР для графа С. Пусть граф Нявляется ТНР для С. По лемме это расширение можно задать вектором (а0, аь ..., а/). Очевидно, если в этот вектор добавить а_х = 0, то полученный расширенный вектор также будет задавать ТНР для С - граф Н. Значение а0 должно быть равным т(]. Иначе существует подграф К'„, вершины которого не смежны с вершиной у в Н. Следовательно, в граф Н - и (вершина и из подграфа К'п) не может вкладываться граф С (в С нет вершин степени меньшей п, в то время как в Н - и имеется п - 1 вершина степени п - 1). Таким образом а0 - т0. Так как начало вектора (й0, А], у графа Н подчиняется правилам построения, указанным в алгоритме, то для
доказательства этого пункта достаточно доказать, что значение аь где 0 < / < /, не может принимать значения, отличные от указанных в табл. 1, если все значения ар где у < г, получены по алгоритму. Рассмотрим возможные случаи.
1. Случай (а._1 > 1) л (а_2 > 0) невозможен в силу предположения, что значения в векторе до координаты г подчиняются правилам построения, предложенным в алгоритме.
2. Если О, очевидно, что а1 может равняться только 0.
3. Если (а ] = о) л (т > 0)'т0 а1= (см- табл- 1). Предположим, что в найденном Я а, < тг Значит, найдется подграф К'пН, вершины которого не смежны с у в графе Я. Тогда в графеЯ - и,
где и принадлежит подграфу К'л+Р вершин степени не меньшей п + / будет _.т; (п + у) — (и + /) +1, что меньше числа таких же вершин в исходном графе С. Следовательно, граф Я не может быть расширением для б, что противоречит условию. Таким образом, в этом случае а, может равняться только т{.
4. Если (я,,! > 0) л (т > 0) л (т1+1 - 0), то а, = 0 (см. табл. 1). Пусть в графе Я значение а, > 0 при ам > 0, т1 > 0, /яг+1 = 0. Покажем, что тогда из Я можно удалить все ребра, соединяющие подграфы КпН с вершиной у. Пусть Я - граф, полученный из Я удалением ребер, соединяющих подграфы КпМ с вершиной у. Построим вложение С в граф Я- и, где и принадлежит графу Я. Рассмотрим возможные случаи.
• Вершина и принадлежит одному из подграфов Кп+1. Так как ам > 0, то с V смежны вершины какого-то графа Кп+1_х. Тогда при вложении вершины графа КпН перейдут в вершины подграфа Кп+1_л + V, а вершины графа КпН_ | - в вершины подграфа Я. Оставшиеся вершины перейдут сами в себя.
• Вершина и не принадлежит ни одному из подграфов К„+г Тогда определим вложение графа С в Я - и тождественно равным вложению (р графа С в Я- и. Покажем, что при вложении ср удаленные из Я ребра не играют роли, то есть вершина (р х(у) не смежна с вершинами <р~1(м/), для любой и', принадлежащей подграфам КпН. Предположим противное. Пусть вершины (рл(рл>) (где и> е М, М непустое подмножество множества вершин подграфов Кп+1) смежны с (р х{у). Очевидно, что М не может состоять из вершин, принадлежащих разным КпН. Это будет противоречить определению графа С, в котором свойство смежности транзитивно. По той же причине вершина (р х{у) не может быть смежной с вершиной (рл(ы), где и/ из графа Кп+],] * г", а значит, ^т'(у) смежна только с вершинами (р '(и»), \1> е М.
М является собственным подмножеством множества вершин одного подграфа КпН\ оно не может состоять из всех вершин подграфа Кп+1, иначе их степень при отображении ср~х будет равна и + г + 1, а вершин с такой степенью в С нет (т,+1 =1). Следовательно, ср л отображает вершины из Л/и{у} в вершины степени не большей п + г. На самом деле степень вершин (рл{-м), шеМ, меньше числа п + /. Иначе М состоит из п + г - 1 вершин подграфа КпН и единственная вершина м>' из КпН, не принадлежащая множеству М, в Я смежна только с вершинами из М. Значит, степень вершины (рл{м>') будет равна нулю, что невозможно. Теперь рассмотрим граф Я без вершин МиМ. Он должен вмещать граф С без А это невозможно, так как в графе Я
без вершин миМ вершин степени не меньшей п + г осталось ^' тДи-ь у)-(| М \ +1), что меньше количества таких же вершин в графе О без Кщ+\. Таким образом, вершины (р~х(у) и (р~х{м>) не смежны для любой м>, принадлежащей подграфам КпН. И, значит, найдено вложение графа С в Я - и.
Итак, если а, > 0 при ам > 0, т1 > 0, т,+1 = 0, то Яне обладает свойством неприводимости, а значит, в этом случае а1 может равняться только 0.
5. Если (д1_1 > 0) л (те, > 1) л (т1 +1 > 0), то, согласно табл. 1 а, может равняться или 0, или 1. Предположим, что для графа Я будет а, > 1. Покажем, что такой граф не может быть ТНР, так как его часть Я, у которой нет ребер, соединяющих у с те, -1 подграфами Кп+Ь будет расширением для С. Чтобы это доказать, построим вложение графа О в Я - и. Пусть в Я есть ребра,
соединяющие подграф К'п+1. с вершиной у. Рассмотрим возможные случаи.
• Вершина и принадлежит подграфу К'пМ . Тогда при вложении вершина и, принадлежащая графу б, прейдет в V, а остальные сами в себя.
• Вершина и принадлежит одному из подграфов Кп+1, отличному от К'пМ . Так как ам > 0, то найдется граф КпН_и вершины которого смежны с V. Тогда при вложении вершины графа КпН перейдут в вершины подграфа Кп+1_, + v, а вершины графа Кп+1_х - в вершины подграфа Кп+1 - и. Оставшиеся вершины перейдут сами в себя.
• Вершина и принадлежит подграфу АГл+/,у Ф /. По предположению существует вложение (р графа С в Н-и. Пусть вершины ср '(Чу), где м? е М, смежны с (р~х{у). Очевидно, что М- подмножество вершин некоторого подграфа Кпт] (в силу транзитивности свойства смежности в графе (7). Тогда
если М - подмножество множества вершин подграфа Кп+р где / Ф г, то вложение б в Н- и зададим тождественно равным <р;
если М- подмножество множества вершин подграфа К'п+Р то вложение также будет совпадать с %
если М - подмножество множества вершин подграфа К"+р отличного от К'пМ, то соответствие между вершинами графов С и Н - и определим так: вершины О, переходящие в К' , будут отображаться в вершины вершины О, переходящие в К"н, будут отображаться в вершины К'п+:, оставшиеся вершины переходят согласно <р. Так как ср '(у) не может быть смежной с (р~Ч\\>), где \\> принадлежит графу К"+1, и вершины графа К"+1 отличаются от вершин К'пМ только ребрами, смежными с у, то определенное соответствие будет вложением С в Н -и.
Итак, построенное вложение противоречит свойству неприводимости для Н, и, следовательно, в этом случае а,- может равняться или 0, или 1.
6. Если (ам >0)л(а,_2 = 0) л (т1 =1)л(т1+1 >0), то а1 может равняться или 0, или 1 (см. табл. 1). А так как т,= 1, то других вариантов не может быть.
7. Если = 1) л (а,_2 > 0) л (т: = 1) л (тм > 0), то, а, = 0 (см. табл. 1). Предположим теперь,
что значением а, может быть 1. Пусть в Н вершина у соединена с вершинами графа (имеем ам = 1). Тогда часть графа Н - граф II', у которого нет ребер, соединяющих у с вершинами подграфа будет расширением для С. Покажем это, построив вложение графа С в Н- и для произвольной вершины и. Рассмотрим следующие случаи.
• Вершина и принадлежит какому-то подграфу Кп+1_х. Так как аг_2 > 0, то найдется подграф КпН_2, вершины которого смежны с у. Тогда при вложении вершины графа КпН_х перейдут в вершины подграфа КпН 2 + v, а вершины графа КпН_2 - в вершины подграфа Кп+1_[ - и. Оставшиеся вершины перейдут сами в себя.
• Вершина и принадлежит подграфу Кп+1. Согласно предположению, а, = т1 = 1. Тогда при вложении вершины графа КпН перейдут в вершины подграфа (Кп+1 - и) = у, а остальные сами в себя.
• Вершина и принадлежит подграфу у ф /, у ФI - 1. Тогда определим вложение графа С в Н— и тождественно равным вложению (р графа С в Н- и. Осталось показать, что при вложении ср удаленные из Н ребра не играют роли, то есть вершина <р~х{у) не смежна с вершинами
ср '(и1), где ж берется из некоторого М- подмножества множества вершин подграфа К'п+М. Очевидно, что <рл{у) смежна только с вершинами усеМ, а вершины (р~х(м>), е М, смежны только друг с другом и с #г'(у) (так как в графе С свойство смежности - транзитивно). Это означает, что в вершины из Ми{у} переходят при вложении в вершины полного графа степени \М\ + 1 < п + /.
Покажем, что \М\ + 1 < п + и Если предположить, что вершины полного графа степени п + / переходят при вложении в вершины из Ми{>'}, то оставшийся подграф //"(граф Н без вершин
подграфа у) должен вмещать граф С, полученный из- С удалением вершин полного гра-
фа степени п + г. Граф Н" состоит из ~ 1 полных графов. Из такого же количества пол-
ных графов состоит и граф С. Так как С вкладывается в Н", то оставшемуся подграфу Кп+1 графа Н" должен соответствовать полный граф степени п + / в графе С. Но в С нет такого графа, что противоречит существованию вложения ср. Следовательно, \М\ + 1 < п + г. На самом деле \М\ + 1 < п + г - 1 (иначе, если \М\ = п + г — 1, то в единственную вершину, не принадлежащую М, но смежную только с вершинами из этого множества, будет отображаться вершина степени нуль, что невозможно). Таким образом, будет нарушено свойство расширения для графа Н-и (по количеству вершин степени не меньшей «+г - 1), а значит, предположение неверно и построенное вложение (р будет и вложением С в Н - и.
Итак, построенное вложение противоречит свойству неприводимости для Н, а значит, если
= 1, аг_2 >0,гп1= 1, т1+] > 1, то а, может равняться только 0.
Случаи 1 - 7 исчерпывают все возможные варианты, и в каждом из этих случаев было показано, что аь где 0 < / < /, не может принимать значений, отличных от указанных в таблице. Таким образом, любое ТНР для С будет построено по представленному алгоритму. □
Пример. Построение всех ТНР для графа б, заданного вектором (1,0,1,10,1,0,0,2,3,3,3,0,1,1,1,1,1) и некоторым фиксированным числом п > 1.
Процедура построения отображена в табл. 2.
Таблица 2
а-1 0
я0 1 т0: 1
а\ 0 т,: о
<*2 т2'. 1
0 1 тъ- 10
щ 1 0 т4: 1
(¡5 0 0 т5: 0
а6 0 0 т6- 0
а? 2 2 от7: 2
а% 0 1 0 1 тъ\ з
а9 3 0 1 3 0 1 т9: з
«ю 0 3 0 0 3 0 3
«и 0 0 0 0 0 0 тп'- 0
а12 1 1 1 1 1 1 т,2- 1
«13 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 тп\ 1
а. 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 т14: !
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 тх5: 1
«16 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
/и,,: 0
Таким образом, у графа С восемнадцать неизоморфных ТНР, определяемых векторами:
(1,0,1,0,1,0,0,2,0,3,0,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,0,1,0,0,2,0,3,0,0,1,0,1,1,0) (1,0,1,0,1,0,0,2,0,3,0,0,1,1,0,1,0) (1,0,1,0,1,0,0,2,1,0,3,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,0,1,0,0,2,1,0,3,0,1,0,1,1,0)
(1,0,1,0,1,0,0,2,1,0,3,0,1,1,0,1,0) (1,0,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0,1,1,0) (1,0,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0) (1,0,1,1,0,0,0,2,0,3,0,0,1,0,1,0,1)
(1,0,1,1,0,0,0,2,0,3,0,0,1,0,1,1,0) (1,0,1,1,0,0,0,2,0,3,0,0,1,1,0,1,0) (1,0,1,1,0,0,0,2,1,0,3,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,1,0,0,0,2,1,0,3,0,1,0,1,1,0)
(1,0,1,1,0,0,0,2,1,0,3,0,1,1,0,1,0) (1,0,1,1,0,0,0,2,1,1,0,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,1,0,0,0,2,1,1,0,0,1,0,1,1,0) (1,0,1,1,0,0,0,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0)
Оценим количество ТНР для графа G, заданного вектором (m0, ть ..., mj) и числом n > 1. Для этого рассмотрим два случая.
1. Пусть вектор (т0, тъ ..., mi) состоит из 1. Для такого графа количество неизоморфных ТНР вычисляется по формуле s{l) = s(l - 2) + s(l -3), для / > 3. Это соотношение выводится непосредственно из правил построения ТНР. Действительно, развилка наступает после а0 = 0, а затем повторяется на одной из ветвей через 2 элемента, на другой - через 3. Начальные значения последовательности нетрудно вычислить, построив для этих случаев все неизоморфные ТНР: s(l) = s(2) = 1, s(3) = 2. Остальные можно получить по приведенной выше формуле:
5(4) = s(2) + ,s(l) = 2 и так далее. Примечательно, что зависимость a(n) - a(n-2) + a(n-3) - с другими начальными условиями - дает так называемую последовательность Падована [8].
2. Пусть теперь вектор (т0, mh ..., mf) состоит из чисел больших 1. Для такого графа количество неизоморфных ТНР вычисляется по формуле S(l) = S(l -1) + S (I - 2), для I >2. Это соотношение также следует из правил построения ТНР:
Sil) = S(l - 2) + [5(/ - 3) +...+ 5(1) +1] = S(I - 2) + S (I -1)-Начальные значения последовательности опять находим построением всех неизоморфных ТНР: 5(1) = 5(2) = 1.
В общем случае исходный вектор (т0, т{, ..., mi) разобьем на непрерывные, то есть без промежуточных нулей, подпоследовательности чисел, разделенные только нулями. Выделим из множества этих подпоследовательностей рх последовательностей единиц с длинами кь къ
..., кр] и р2 последовательностей чисел, больших единицы, с длинами к[,к'2,...,к'р. Пусть
оставшиеся ръ последовательности имеют длины к",к",...,к" . Тогда количество неизоморфных ТНР для графа G, заданного вектором (т0, ..., mî), будет лежать в пределах от
ДО m^ mW-mW' Если какое-нибудь pj = = 0,1 <j < 3, то соответствующее произведение отбрасывается.
Библиографический список
1. Авиженис А. Отказоустойчивость - свойство, обеспечивающее постоянную работоспособность цифровых систем // Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1978. Т. 66, № 10. С. 5-25.
2. Hayes P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V. C-25, № 9. P. 875-884.
3. Салий В Н. Доказательства с нулевым разглашением в задачах о расширениях графов // Вестн. Томск, ун-та. 2003. Прил. № 6. С. 63-65.
4. Курносова С.Г. Т-неприводимые расширения 3-, 4-, 5- и 6-вершинных графов. Саратов, 2003. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 21.06.2003, №1203-В2003.
5. Курносова С.Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2005. Вып. 6.
6. Курносова С.Г. Каталог Т-неприводимых расширений для деревьев с числом вершин не более 10. Саратов, 2004. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 30.06.2004, № 1126-В2004.
7. Курносова С.Г. Т-неприводимые расширения бесповторных объединений полных графов // Молодежь. Образование. Экономика: Сб. науч. ст. Ярославль, 2004. Ч. 4. С. 289-292.
8. Онлайн-энциклопедия целочйсленных последовательностей, последовательность номер А000931. http://www.research.att.com/~njas/sequences.
