Сюжетные и алгоритмические кластеры для реализации принципа наглядности Текст научной статьи по специальности «Математика»

YAK 378.147 ББК 74.580.2

П.И. СОВЕРТКОВ, Н.В. СУХАНОВА

P.I. SOVERTKOV, N.V. SUKHANOVA

СЮЖЕТНЫЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ КЛАСТЕРЫ ДЛЯ РЕАЛИЗАУИИ ПРИНУИПА НАГЛЯДНОСТИ

BASIC AND ALGORITHMIC CLUSTERS FOR REALIZING THE VISIBILITY PRINCIPLE

В статье представлена систематизация сюжетных и алгоритмических кластеров в процессе обучения математике. Изучены особенности данных кластеров для расширения границ применения принципа наглядности (на примерах элементарной и высшей математики).

The author systematizes the basic and algorithmic clusters in learning Mathematics. The peculiarities of data clusters are studied for extending the application of visibility principle (examples of elementary and higher Mathematics).

Ключевые слова: сюжетные и алгоритмические кластеры, расширение, классификация кластеров.

Key words: basic and algorithmic clusters, extending, classification of clusters.

Важнейший принцип обучения - принцип наглядности - расширяет свои границы применения в связи с активным использованием интерактивных технологий.

Наглядность есть свойство, особенность того психического образа объекта или явления, которое создается человеком в результате процессов восприятия, памяти, мышления и воображения; показатель простоты и понятности этого образа [1].

Если раньше наглядность обучения связывалась с иллюстрацией преподавателем сложных моментов в объяснении, затем с возможностью учащихся (студентов) вместе с преподавателем моделировать сложные процессы, то в интерактивных технологиях обучающейся пытается самостоятельно построить графические объекты, смоделировать их свойства и отношения между ними.

Так, в последние годы при обучении математике педагоги основной и высшей школы среди интерактивных технологий больше внимание стали уделять технологии развития критического мышления через чтение и письмо (РКМЧП) [4]. На одном из этапов данной технологии обучающемуся предлагается самостоятельно изучить материал и построить кластер для графической организации материала, т. е. иллюстрации смыслового поля изучаемого понятия или отношения между объектами.

Графическое оформление с помощью некоторого упорядочивания в виде грозди, графа, таблицы совокупности смысловых единиц является активной переработкой полученной информации, приводит к необходимости систематизации материала и поиску недостающих закономерностей.

Известная дискуссия о соотношении наглядности и объёме теоретического материала сглаживается в этой технологии, т. к. это две стороны одного процесса при разработке кластера. Наглядность в кластере нужно обосновывать установлением причинно-следственных связей, а значит, основательной переработкой содержания и умением кратко с помощью символов отразить это содержание. После создания кластера обе стороны процесса обучения (учащийся и учитель) получают положительные эмоции от подготовки нового продукта, который систематизирует не только знания одного ученика, но может служить опорой для других учащихся при изучении этой темы. Дан-

ныи кластер выступает в дальнейшем основой для сравнения с другими проектами и если его качество долгое время не могут превзойти другие проекты, то этот кластер утверждается коллективом как образец.

В работе [4] проведена систематизация понятийных и операционных кластеров. Продолжим изучение следующих классов кластеров, сохраняя введённую ранее нумерацию с целью получения полной классификации кластеров.

1.3. Алгоритмические кластеры. Наглядное представление алгоритма, т. е. последовательности действий, создаёт впечатление того, что кластер в этом случае является операционным кластером, изученным в статье [4], но это не так. В операционном кластере операция, т. е. действие, применяется для одного или двух однородных объектов. В алгоритмическом кластере применяются различные операции, как ко всему объекту, так и к его однородным и неоднородным элементам.

Наглядно это можно представить на примере нахождения корней квадратного уравнения. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет решений, если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. На кластере изображаем формулу для корней квадратного уравнения.

Аналогичный пример нахождения обратной матрицы для данной квадратной матрицы A = (a,y). Для данной матрицы находим определитель этой матрицы. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная матрица не существует. Если определитель отличен от нуля, то для каждого элемента atj находим алгебраические дополнения А^ и составляем обратную матрицу.

К алгоритмическому типу кластеров относятся материалы, иллюстрирующие задачи на построение, в которых демонстрируется с одной стороны многоступенчатая схема решения задачи на построение (анализ, построение, доказательство и исследование), а с другой стороны показываются различные приёмы решения задач на построение методом геометрических преобразований, алгебраическим методом, методом геометрических мест.

В алгоритмическом типе выделим кластеры - памятки, демонстрирующие применение свёрнутых приёмов мышления.

Например, одним из направлений подготовки к ЕГЭ является формирование умений сокращать число операций при решении сложных неравенств с логарифмической и показательной функцией.

Классический способ решения неравенства log (x) f (x) > 0 сводится к рассмотрению систем неравенств

g(x) > 1, Г 0 < g(x) < 1, ^ f (x) > 1 . или [0 < f (x) < 1.

Существует приём, сворачивающий эту сложную систему в одно неравенство. Выражения log (x) f (x) и ^g(x) — 1) ^ f (x) — 1) имеют одинаковые знаки.

При переходе к неравенству i g(x) — 1)i f (x) — 1) > 0 нужно помнить об области определения логарифмической функции, т. е. о дополнительном условии f (x) > 0, g(x) > 0, g(x) Ф 1.

Аналогично - g(x)f (x) и ( g(x) — 1) ( f (x) — 1) имеют одинаковые знаки.

При подготовке к ГИА и ЕГЭ следует уделить внимание на то, что иногда квадратное уравнение x + bx + С = 0 можно быстро решить на основе использования свойств корней квадратного уравнения x^x^ = С, x^ + x2 = — b .

Если a + b + С = 0 , то число 1 - корень уравнения ax2 + bx + С = 0 .

Если a — b + С = 0 , то число (-1) - корень уравнения ax2 + bx + С = 0.

В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ встречается задание о решении системы, в которой одно уравнение является тригонометрическим, а другое уравнение или неравенство является алгебраическим, логарифмическим или показательным.

Если вначале решить тригонометрическое уравнение, то получим целую серию решений, т. к. тригонометрические функции являются периодическими.

А если сначала решить алгебраическое уравнение, то получим конечный набор решений, причём в большинстве случаев - единственное решение. Подстановка этого решения в тригонометрическое уравнение значительно сокращает проверку условия совместности в системе. Итак, памятка-инструкция в этом случае позволяет сократить число операций и, как следствие, снижает вероятность допустить ошибку.

В алгоритмическом типе выделим кластеры - памятки, демонстрирующие предостережения от возможных ошибок.

При решении задач на сходимость рядов студенты должны использовать утверждение:

ю

«Если ряд X \ an - сходится, то lima = 0 ».

п=1

В действительности они часто используют обратное утверждение:

ю

«Если liman = 0 , то ряд X \ an - сходится», которое является оши-

п=1

бочным утверждением. Несмотря на то, что на лекции приводятся соответствующие контрпримеры, они многократно ошибаются.

В этом случае от ошибок предостерегает следующий кластер:

ю

X an - сходится ^ limün = 0

Стрелки наглядно показывают, в каком направлении от одного утверждения можно пройти к другому утверждению и в каком направлении запрещено использовать сложное высказывание. Символьная запись короче и нагляднее, чем соответствующая словесная формулировка. Опыт использования такой памятки показывает, что студенты быстро запоминают предложенную структуру применения алгоритма решения задач.

1.4. Кластеры с признаками объекта, т. е. перечисление свойств, которые полностью определяют изучаемый объект. Такой кластер в действительности является демонстрацией необходимых и достаточных условий задания объекта.

Например, для бинарных отношений полезно составить таблицу признаков этих свойств на основе матрицы отношения.

Отношение Р на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента х g X выполняется х р х, т. е. любой элемент X G X находится сам с собой в отношении Р.

Отношение р на множестве X называется антирефлексивным, если любой элемент X £ X не находится сам с собой в отношении р , т. е. х р х.

Если отношение Р не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным, то будем назвать его нерефлексивным. Нерефлексивность означает, что

Бх £ X : xpx и Бу £ X: ypy .

Отношение/?на множестве X называется антисимметричным, если для любых элементов х, у ^Х из х Р у и у р х следует х = у .

Отношение Р на множестве X называется симметричным, если для любых элементов х, у G X из х р у следует у Р х .

Если отношение Р не является ни симметричным, ни антисимметричным, то будем называть его несимметричным.

Отношение Р на множестве X называется транзитивным, если для любых элементов х,у, ъ е X из хру, у р ъ следует х р х.

Свойства бинарных отношений представлены в таблице 1.

Таблица 1

Бинарное отношение Характеристическое свойство матрицы

Рефлексивное отношение Все элементы главной диагонали равны 1

Антирефлексивное отношение Все элементы главной диагонали равны 0

Нерефлексивное отношение На главной диагонали находятся как единицы, так и нули

Симметричное отношение Матрица симметрична относительно главной диагонали

Антисимметричное отношение Матрица не содержит симметричные относительно главной диагонали единицы

Несимметричное отношение Матрица содержит симметричные элементы относительно главной диагонали, а также в матрице есть элементы не симметричные относительно главной диагонали

Транзитивное отношение с матрицей А(р) АО?) о Л{р) < А(р)

Применение кластера с признаками объекта сокращают число действий по сравнению с проверкой объекта по определению.

Рассмотрим второй пример, в котором для учащегося указана ориентировка, в каких случаях применять размещения, перестановки или сочетания в комбинаторных задачах.

При решении комбинаторных задач часто возникает затруднение при выборе размещения, сочетания или перестановки для решения конкретной задачи.

Иногда руководствуются следующим алгоритмом:

1. Обратить внимание на порядок расположения элементов и на повтор элементов в выборке.

2. Если порядок элементов не имеет значения, то это сочетание.

3. Если порядок имеет значение, то это размещение или перестановки, причём это размещение, если не все элементы входят в выборку и перестановки, если все элементы входят в выборку.

4. Количество размещений или сочетаний определяется по таблице 2.

Таблица 2

^^"^^-^^Цлияние порядка Повтор элементов"~-~— Порядок существенен Порядок не существенен

Элементы повторяются Размещения с повторениями А = пк Сочетания с повторениями Ск (п + к -1)! С п к! (п -1)!

Элементы не повторяются Размещения без повторений Ак = п(п - 1)...(п - к +1) Сочетания без повторений С = п! к! (п - к)!

1.5. Сюжетные кластеры, суть которых достаточно наглядно в педагогике представлена на следующем комиксе Х. Бидструпа «Кубики» (рис. 1).

Рис. 1

1.5.1. Сюжетные кластеры рекомендуется применять при решении арифметических и алгебраических задач о движении между двумя населёнными пунктами. Учащиеся изображают схематично сюжет о движении в одном и том же направлении или во встречных направлениях. В отличие от большинства других кластеров в этом случае кластер возникает в процессе чтения задачи и позволяет закрепить поступающую информацию. Будем называть такой подтип кластером, поясняющим условие задачи.

1.5.2. Другим направлением сюжетных кластеров в математике является реализация поучительных примеров, демонстрирующих ошибочность некоторых действий, совершаемых учащимися. Кластер в этом случае может иллюстрировать парадокс или противоречие, возникающее из-за неправильно применяемого действия.

Д. Пойа [2] сформулировал такие действия, как правдоподобные действия, приводящие к отрицательному результату. В математическом моделировании они также представлены в пособии [3, с. 196-202].

При обучении студентов методике преподавания математики можно выдать студентам задание - проиллюстрировать типичную ошибку, возникающую при неправильном сокращении алгебраических выражений:

Кластер, демонстрирующий правильное вычисление арифметического выражения и демонстрирующий ошибку при сокращении, может выглядеть следующим образом (табл. 3).

Таблица 3

Правильное вычисление Ошибочное вычисление после «сокращения»

2 + 4 = 6 = з 2 2 '2 + 4 5 5 X, " 1"

Кластеры этого подтипа можно назвать кластеры - контрпримеры к логическим рассуждениям, т. к. являются примерами, опровергающими сформулированное учеником «правило».

1.5.3. Выделим третий подтип сюжетных кластеров - кластеры аналогий.

Приведём примеры таких кластеров для объектов на плоскости Е2 и в пространстве Е3.

I. Медианы для плоской и пространственной фигур

Плоскость - Е2

Пространство - Е3 ^

Рис. 2

Рис. 3

а) медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся её в отношении 2:1 (рис. 2);

б) медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центре тяжести тетраэдра) и делятся её в отношении 3:1 (рис. 3).

II. Множество точек, равноудалённых от двух данных точек А и В:

а) серединный перпендикуляр, б) серединная плоскость. III. Множество точек, равноудаленных от а) сторон угла (а, ¿>), б) граней двугранного угла (oc,ß)

а) биссектриса угла,

Рас.. 7

б) биссекторная плоскость.

IV а) центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис треугольника;

б) центр сферы, вписанной в тетраэдр, является точкой пересечения биссекторных полуплоскостей тетраэдра.

V. а) биссектриса угла делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (рис. 8);

б) биссекторная плоскость тетраэдра делит противоположную сторону на части, пропорциональные площадям граней, которые заключают эту плоскость (рис. 9).

VI. а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении равном сумме двух прилежащих сторон к противолежащей стороне (рис. 10);

б) биссекторные полуплоскости тетраэдра пересекаются в одной точке I. Пусть прямая DI пересекает грань ABC в точке D1 тогда точка I делит отрезок DD1 выходящий из вершины D в отношении равном сумме площадей прилежащих граней к площади противолежащей грани (рис. 11).

VII. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Прямые, содержащие высоты тетраэдра, могут не пересекаться в одной точке (рис. 12).

£) Клнтрпримвр

ВО! АБС, ВВ - высота

АС 1АВО, АС-высота

АС к ВО - скрещивающиеся пряные

Рис. 12

Базовый курс геометрии за '/-У классы дополнен элементами стереометрии, чтобы реализовать идеи фузионизма. Расширение базовых знаний должно происходить на основе проведения аналогий от плоских фигур к объёмным фигурам, которые в основном окружают нас. К сожалению, эта параллель слабо представлена наглядными средствами в школьном курсе геометрии.

Представленные выше аналогии позволяют с одной стороны провести обобщение при повышении размерности, а с другой стороны они предостерегают от ошибочного переноса любого факта с плоскости в пространство.

2. Классификация кластеров по методу изображения.

2.1. Если при изображении объектов получаем зависимость от одного параметра, то кластер можно изобразить в одну линию, одну цепочку и такой кластер будем называть линейным. Ярким примером такого изображения кластеров является построение этапов развития математики, в котором расположение объектов зависит от времени.

2.2. Если при построении такого кластера современный этап развития математики нужно детализировать, то разделы математики начинают пересекаться и граф становится нелинейным, на котором от одного понятия расходятся несколько цепочек.

Расходящиеся цепочки могут снова сомкнуться (рис. 13), что наглядно демонстрирует, что для одного и того же понятия. Например, для квадрата, могут быть даны различные определения.

2.3. Если при изображении объекта получаем несколько частных случаев, которые не связаны между собой отношениями, то общее понятие изображают в центре графа, а все его частные случаи вокруг него. Примером такого графа является символьная запись производной функции в центре графа и формулы вычисления производной от конкретных функций, расположенные по окружности. Такой граф можно назвать графом-звездой. Иногда такой кластер изображается таблицей с перечислением всех основных производных.

3. Классификация кластеров по применению.

3.1. Простейшие кластеры предлагается построить при обучении для воспроизведения графическим способом ранее усвоенной информации. Такие кластеры называются обучающими, и они выполняют роль опорных конспектов при подготовке к текущему контролю. В большинстве случаев это понятийные и операционные кластеры. При изучении одной темы можно применять кластеры различных типов: понятийные, операционные или алгоритмические, сюжетные.

Одной из основных задач при построении кластеров является установление причинно-следственных связей между объектами.

Рассмотрим следующую задачу:

Изобразите кластер, состоящий из четырёхугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба и квадрата. Обозначьте вершины и стороны четырёхугольника. Используя определения четырёхугольников, над стрелкой, идущей от одного объекта к другому объекту понятийного кластера, укажите условия, при выполнении которых получается этот объект. В справочнике по элементарной математике найдите определение дельтоида и на полученном кластере дополнительно изобразите дельтоид с соответствующими связями.

Обозначение сторон четырёхугольника является непростой задачей. В школьном курсе математике приято обозначать сторону такой же прописной буквой, как и противолежащая вершина. В четырёхугольнике это условие теряет смысл. Заметим, что в школьном курсе вообще отсутствует обозначение сторон четырёхугольника одной буквой, что приводит к усложнению записи равенства сторон. В научно-популярной литературе принято обозначать стороны таким образом, чтобы при обходе вершин четырёхугольника в алфавитном порядке обозначения сторон предшествовали обозначению сторон.

Построенный кластер на рис. 14 отражает только определения фигур. Он может служить для фиксации определений фигур.

Рис. 14

В школьном учебнике определения записаны словами, т. е. используется вербальная информация, затем понятия изображены на рисунках, а значит, используется визуальная информация.

Что добавляет построенный кластер? Во-первых, воспроизведение полученной информации наглядным образом, во-вторых умение систематизировать, и в-третьих, добавляя запись символов, позволяет направить деятельность на сокращённую запись словесной формулировки и включить моторную деятельность при записи символики.

Кластер на рис. 14 можно использовать, чтобы вести диалог с учащимися о минимизации требований. Действительно, из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны, а значит, при переходе от параллелограмма к ромбу сложное требование а = Ь = с = d можно сократить, потребовав равенство двух смежных сторон, т. е. а = Ь.

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные углы равны, а значит, при переходе от параллелограмма к прямоугольнику сложное требование /_А = /.В = АС = АИ можно сократить, потребовав равенство двух смежных углов XА = АВ .

Аналогично можно рассмотреть минимизацию требований при переходе от прямоугольника к квадрату.

Кластер на рис. 14 провоцирует на поиск условия для перехода от ромба к квадрату, чего нет в школьном учебнике. Таким образом, визуализация текста с помощью кластера направляет на поиск новых причинно-следственных связей.

Если требуется доказать, что некоторый четырёхугольник является параллелограммом, то нужен другой кластер (рис. 15), на котором видны все свойства, гарантирующие получение параллелограмма из четырёхугольника, т. е. кластер, в котором дополнительно указаны достаточные свойства параллелограмма. Чтобы отделить определение от достаточных свойств, использованы пунктирная стрелка и сплошные стрелки.

3.2. При подготовке к рубежному контролю можно построить систематизирующие кластеры, в которых проведена систематизация понятий по разным линиям. Систематизирующие кластеры часто приходится перестраивать, чтобы минимизировать число точек пересечения линий или вставить между двумя объектами новый объект. Обсудив на занятии структуру такого кластера, можно предложить учащимся полностью оформить этот кластер в качестве домашнего задания, а на следующем занятии провести конкурс по лучшему изображению кластера.

При завершении изучения темы одной из возможностей проявить систематизирующие способности учащихся является умение составить кластер для демонстрации различных направлений применения этого понятия. Темы могут быть различными: элементы симметрии в природе, реализация геометрических форм в строительных конструкциях, применение производной (рис. 16).

Отметим особенности изображения этого кластера. Кластер построен в виде связного графа без циклов, т. е. в виде дерева. Основное понятие, т. е. производная, выделено жирной линией, изображено прямоугольником с закруглёнными вершинами и является корнем дерева.

Следующие три понятия - механический смысл, геометрический смысл и экономический смысл, т. е. вершины дерева первого уровня изображены фигурами новой формы, т. е. прямоугольниками. Последние шесть вершин графа второго уровня изображены овалами. При изображении графа в виде дерева вершины одного уровня желательно изображать в один ряд и фигурами одинаковой формы. Если граф имеет большое число вершин и связей между вершинами графа, то линии уровня можно деформировать. Шесть вершин второго уровня расположены парами с большим интервалом, чем интервал в каждой паре, чтобы лучше прослеживать три линии от корня дерева.

Оформление кластера имеет важное значение, т. к. приучает учащихся структурировать материал, с одной стороны, распределяя однородные элементы в ряд, а с другой стороны, выделяя линии от основного понятия, т. е. от корня графа к конечным вершинам, называемыми листьями графа.

Для этого же кластера можно использовать радиально-кольцевую схему расположения элементов (рис. 17). В центре расположено основное понятие. Все элементы каждого уровня располагаются в соответствующем кольце. С помощью радиусов от центра кластера выделяем каждую линию применения кластера.

АО = ОС,БО = ОП

А

О

Рис. 15

Рис. 1 6

Рис. 1 7

3.3. При подготовке к итоговой аттестации можно построить межпредметные кластеры по применению метода в различных разделах математики.

3.4. Кластеры часто используются при исследовании новой проблемы. Выделяются данные (начальные) объекты, объекты которые нужно получить (конечные объекты) и промежуточные объекты, которые частично удовлетворяют необходимым условиям. Исследователь пытается найти недостающие связи, отмечая их знаком вопроса.

3.5. Кластеры по математике и кластеры по методике преподавания математики (МПМ) имеют общие элементы и могут существенно отличаться.

Кластеры по математике представляют дидактические единицы изучения предмета математики с их взаимосвязями.

Кластеры по МПМ представляют элементы процесса обучения математике. На рис. 18 представлена методическая система поисково-исследовательской деятельности учащихся.

Рис. 18

При реализации принципа наглядности необходимо помнить, что непроизвольно наглядный образ, как правило, не образуется. Необходима активная работа по его созданию. А также, нужно предусматривать отбор действий, которые должны совершить обучающиеся с предъявленным предметом. Эти действия должны обеспечить выделение в предмете (явлении) тех свойств, тех связей и отношений, которые составляют объект усвоения. Такую работу позволяют организовать сюжетные и алгоритмические кластеры.

Литература

1. Наглядность в обучении [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http:// old.iro.yar.ru/resource/distant/pedagogy/kr_nagl.html#2 (дата обращения 10.04.13).

2. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения [Текст] / Д. Пойа. - М. : ИЛ, 1957. - 535 с.

3. Совертков, П.И. Моделирование в интегративном проекте по математике и информатике. Элективный курс : метод. пособие [Текст] / П.И. Совертков. -М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 320 с.

4. Совертков, П.И. Понятийные и операционные кластеры в процессе обучения математике [Текст] / П.И. Совертков, Н.В. Суханова // Вестник Сургутского государственного университета. - 2013. - № 3. - С. 172-181.