Преобразование кластера-понятия в каастер-инструментарий Текст научной статьи по специальности «Математика»

M атемати ка

YAK 378.147 ББК 74.580.2

П.И. СОВЕРТКОВ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КААСТЕРА-ПОНЯТИЯ

Н.В. СУХАНОВА В КААСТЕР-ИНСТРУМЕНТАРИЙ

P. SOVERTKOV, THE TRANSFORMATION

N. SUKHANOVА OF THE CLUSTER-CONCEPTS

IN CLUSTER-TOOLKIT

В работе рассматривается преобразование кластера-понятия в серию вспомогательных кластеров, которые становятся инструментами наглядного изображения условия задачи на чертеже и подводят к методу решения задачи.

The paper considers the transformation of concepts in a series of subsidiary clusters, which become tools of Visual images in the drawing tasks and lead to a method of solving a problem.

Ключевые слова: кластеры-инструментарии, кластер на чертеже в нестандартной ситуации.

Key words: clusters-toolkits, duster diagram in non-standard situations.

В 3, 4 статьях приведена классификация кластеров, используемых в процессе обучения математике. Представим одно из важнейших направлений методики работы с кластерами - подготовку кластера-шаблона для встраивания в сюжетный кластер с нестандартной ситуацией.

Для большинства школьных дисциплин кластеры имеют простую структуру. Основная деятельность учащихся направлена на вызов из памяти элементов кластера и их перемещение с целью установления причинно-следственных связей, т. е. упорядочивания элементов кластера.

В математике структура кластера является более сложной. В наглядном образе понятия, т. е. элемента кластера изображено с помощью символов несколько более простых его компонентов с соответствующими связями. Кластер-понятия, сформированный на основе объяснения, и объект, вызываемый словесным образом по условию задачи, могут значительно отличаться, хотя за ними закреплён один термин. При вербальном вызове понятия необходимо совершить трансформацию сложившегося шаблона визуальной картинки. Пропедевтическая подготовка к решению сложной задачи направлена на присвоение вербальному понятию эквивалентных шаблонов, которые должны стать инструментами понимания условия сформулированной задачи.

Текстовые утверждения в математике сложно воспринимаются для понимания, поэтому в школьном курсе математики проводится построение чертежа к каждой задаче или теореме с пространственной фигурой. При изучении математики у учащихся формируются шаблоны-картинки изображения некоторых понятий (рис. 1), например, угла между плоскостями [1, с. 50].

В сформулированной задаче на ЕГЭ иногда требуется определить величину угла между плоскостями, которые заданы таким образом, что при построении чертежа

Рис. 1

к задаче сформированный ранее шаблон не удаётся применить. Учащиеся в большинстве случаев не решают задачи подобного типа, т. к. не могут правильно интерпретировать условие задачи на чертеже.

Учащийся пытается вызвать из памяти вначале название угла, потом шаблон угла и, оказывается, что шаблон угла, в большинстве случаев, не подстраивается к данному чертежу. Его невозможно разместить на данном чертеже. Шаблон иногда содержит больше информации, чем данные чертежа. Очевидно, что в этом случае учащийся должен выполнить дополнительное построение на чертеже, приводящее к известному шаблону.

Учащийся пытается на вербальное понятие угла вызвать визуальный образ, но ввиду невозможности «пристроить» эту картинку к чертежу, визуальный образ повисает, обрывая изображение всего условия задачи на чертеже.

Трудность выполнения дополнительного построения обусловлена кажущейся ограниченностью пространственного тела, заданного в условии задачи. Создается разрыв между шаблоном понятия и его некоторым эквивалентом. Возникает необходимость преобразования шаблона определения в шаблон-инструментарий, причём для различных типов задач приходится создавать несколько шаблонов-заменителей.

Первая проблема состоит в том, что учащийся не видит того, что линия пересечения плоскостей лежит вне пространственной фигуры или, может быть, линия пересечения имеет с пространственной фигурой одну общую точку. Трудность в этом случае заключается в том, что учащийся затрудняется наложить известный ему шаблон на данную фигуру.

Вторая проблема - как мысленно выйти за пределы данной пространственной фигуры, чтобы построить вспомогательную линию, а затем, отправляясь с этой линии, нужно вернуться на данную фигуру и получить изображение искомого угла?

Добавим к этому следующую проблему. Если в условии задачи дан куб, то учащийся оперирует с изображением куба на чертеже. Если в условии задачи дан тетраэдр, то учащийся оперирует с изображением тетраэдра. В шаблоне угла задана линия пересечения плоскостей и представлен линейный угол двугранного угла. На изображении пространственной фигуры нет линии пересечения, а значит, возникают затруднения при построении линейного угла.

Рассмотрим задачу варианта ЕГЭ 2013 г., чтобы конкретизировать рекомендации по вызову известных понятий об угле и встраиванию известного шаблона на изображение в нестандартной ситуации.

Задача 1. Дана правильная треугольная пирамида . S

ABCS с вершиной S (рис. 2), боковое ребро которой равно / \\

6, а сторона основания пирамиды равна 4. Путь М - сере- / I \

дина отрезка BS, а N - середина отрезка CS. Найти угол / Uv^ между плоскостями АВС и AMN. / \

Надо выполнить построение чертежа (рис. 2) к за- __А

даче. А мы можем назвать выполненный чертёж класте- \ /'C

ром?

Тетраэдр нужно изобразить на плоскости в виде ^^

шести отрезков, установив между ними связи. Часть отрезков изображаются видимыми линиями, а часть - пунк- ' тирными. Далее на этом рисунке изобразим новые элементы кластера -середины отрезков. Среди построенных элементов кластера нужно изобразить неизвестный элемент - угол между плоскостями, а потом найти его величину.

В других дисциплинах, в отличие от математики, элементы кластера вначале располагаются произвольно, а потом они перемещаются на основе причинно-следственных связей. Кластер к рассмотренной выше задаче яв-

H

в

HMNG

ляется полудетерминированным, т. е. после построения тетраэдра, которое допускает некоторую свободу, далее все построения строго детерминированы.

Учащимся трудно наложить шаблон рис. 1 на рис. 2 по нескольким причинам. Во-первых, на рис. 1 шаблон образован вертикальными плоскостями, а на рис. 2 одна из плоскостей горизонтальная, а другая плоскость - наклонная. В школьном учебнике нет тренинга по решению задач на изображение углов между различными плоскостями. Во-вторых, на шаблоне плоскости изображены параллелограммами, а на пирамиде каждая из плоскостей заданы тремя точками, т. е. плоскости изображены треугольниками. Это отличие возникает в каждой задаче, т. к. плоскость всегда задаётся минимальным набором точек, т. е. тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Плоскости ABC и AMN имеют общую точку, значит, они пересекаются по прямой, проходящей через точку А. Если шаблон в виде раскрытой книги накладывать на рис. 2, то его нужно повернуть так, чтобы одна из плоскостей оказалась горизонтальной. Фактически шаблон нужно представить в виде вспомогательного шаблона, изображённого на рис. 3.

Если горизонтальная плоскость изображена параллелограммом HBCG (в частности прямоугольником), то HG||BC.

Если наклонная плоскость изображена параллелограммом (в частности прямоугольником), то HG||MN.

Следовательно, BC||MN. Справедливо и обратное утверждение: «Если BCIIMN и плоскости пересекаются, то линия пересечения плоскостей параллельна каждой из прямых BC и MN». Это утверждение сформулировано в школьном учебнике в качестве задачи [1, с. 33].

Линейный угол FAK между плоскостями в шаблоне строится как перпендикуляры из точки A к линии пересечения. Но в данной задаче оказывается, что линейный угол можно изображать другим способом. Нужно из точки A опустить перпендикуляры на параллельные отрезки BC и MN.

Решение задачи получило неожиданный поворот. Оказывается линию пересечения и не нужно строить, а достаточно опустить перпендикуляры на параллельные отрезки. Для первого осмысления такой ситуации линию нужно мысленно представлять, но тренинг к ЕГЭ и состоит в том, чтобы быстро мыслить свёрнутыми операциями, а значит, применять в аналогичной ситуации построение, представленное на рис. 4.

Рассмотрим выводы из предложенного способа решения.

Существует класс задач, в которых нужно применить шаблон с понятием угла между плоскостями в нестандартной ситуации. Если два отрезка в этих плоскостях параллельны и плоскости имеют общую точку, то достаточно из общей точки двух плоскостей опустить перпендикуляр на эти отрезки (рис. 4).

Перевести известный шаблон в требуемое положение можно на основе усечения параллелограммов до треугольников.

Шаблон-заменитель на рис. 4 становится рабочим инструментом применения шаблона понятия к определённому типу задач.

Упростим ещё рис. 3, усечением параллелограммов до треугольников (рис. 5). В таком виде шаблон применяется во многих задачах.

в

Рис. 4

C

Рис. 5

D

-'■У H

в

Заметим, что если Н проекция точки D на плоскость СВН, т. е. один треугольник является ортогональной проекцией другого треугольника, то площади треугольников удовлетворяют равенству

SABCH - SABCD C0S ¿HAD

(1)

Дальнейшее вычисление угла становится стандартным, поэтому перейдём к следующей задаче.

Изучим следующую типовую задачу, в которой, вначале, кажется, что нужно изобразить линейный угол между плоскостями, чтобы его найти, а потом окажется, что линейный угол не обязательно изображать, а задачу можно решить по формуле (1).

Задача 2. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 боковое ребро в три раза больше стороны основания. Найти угол между плоскостями BCD и BFD1, если AF=AB.

Найдём линию пересечения плоскостей BCD и BFD1. Пусть FD1ПAD=Р, тогда точка Р принадлежит плоскости основания. Прямая РВ - искомая линия пересечения плоскостей. Пусть AН±РВ, тогда FH±РВ. Угол AHF - искомый линейный угол между плоскостями.

Обозначим сторону основания призмы через а. Из подобия треугольников FAP и FA1D1 получаем AP=a/2.

Высоту АН в прямоугольном треугольнике АРВ найдём, вычисляя площадь прямоугольного треугольника двумя способами

S

ÁAPB

1 лп ¿г, 1 пп л тт 1 a 1 v5a лтт

- — AP■ AB - — PB■ AH ----a -—■---AH

2 2 - 2 2 2 2

AH-a, FH-^L cosZAHF

V5 V5 - 6

Ci

Ai

Замечание. Если использовать формулу (1) для треугольников РАВ и PFB, то вычисление величины угла можно свести к вычислению площадей треугольников. Чертёж нужен в этом случае, чтобы убедиться в том, что два треугольника РАВ и PFB имеют общую сторону и один из треугольников является ортогональной проекцией другого треугольника. Дополнительное построение линейного угла AHF в этом случае не требуется.

Итак, при решении этой задачи кластер понятия угла между плоскостями на рис. 1 преобразован на кластер-эквивалент (рис. 5), который становится инструментарием при решении задачи.

Чтобы вставить шаблон рисунка 5 на чертёж задачи нужно найти линию пересечения плоскостей. При решении задачи был использован метод следов, суть которого заключается в следующем (рис. 6). Нужно из плоскости ADDjAj, в которой заданы две точки F и Dj наклонной плоскости, перейти на плоскость основания, в которой задана одна точка наклонной плоскости. Находим полный след пересече- ^¡ 'с ния наклонной плоскости с плоскостью ADD^, пока не пересечём прямую AD, т. е. пока не дойдём до плоскости основания. Затем, имея две точки В и Р в осно- р вании, находим след пересечения наклонной плоско- Рис 6 сти и плоскости основания.

Эту идею нужно закрепить на новом рисунке (рис. 7), который и нужно выбрать в качестве шаблона, чтобы создать проблемную ситуацию для ответа на вопрос: «Как построить линию пересечения плоскости ABC с плоскостью /?»?

H

Анализ двух типовых задач показал, что для успешного решения задач необход имопровести дополнительную работу с кластером-шаблоном понятия (рис. 1), выстроив \ -В

ряд вспомогательных шаблонов (рис. 3-5, 7), играющих роль инструментариев. Шаблон понятие, приведённое в учебнике, наглядно демонстрирует двугранный угол между плоскостями и его представитель - линейный угол Рис. 7

для характеристики двугранного угла. При решении задач на определение угла между плоскостями возникает первая задача на определение линии пересечения двух плоскостей, решаемая с помощью шаблона-следа (рис. 7) и вторая задача - изображение линейного угла между плоскостями, решаемая с помощью шаблонов на рис. 4, 5.

Вместо шаблона понятия (рис. 1) в представлении учащихся должна возникать серия шаблонов (рис. 8), которая позволит наглядно интерпретировать условие задачи и подскажет направление дальнейшего вычисления угла между плоскостями.

Рис. 8

Создание вспомогательных кластеров для перехода от кластера шаблона понятия к расшифровке формулировки задачи в этом случае осуществляется на основе привлечения личного опыта работы с вспомогательными кластерами.

Как показывает практика, для активизации мыслительной деятельности учащихся при решении задач по математике целесообразна методика работы с кластерами, которая направлена на формирование следующих направлений:

1. Методические основы извлечения понятий из сформированного багажа знаний и их организация для упорядочивания элементов кластера.

2. Методы вставки шаблонного кластера, сформированного ранее, на чертёж с нестандартными данными.

Данные направления работы связаны с формированием универсального учебного действия «преобразования». Обобщённая ориентировочная основа проектирования действия состоит из образа результата и плана действия [2].

Построение образа результата заключается в определении следующих компонентов в соответствии с требованиями:

1) средством чего будет служить результат действия;

2) какими свойствами должен обладать результат, чтобы выполнять своё назначение;

3) обосновать необходимость каждого требования, указав последствия его невыполнения;

4) выявить показатели оценки выполнения требований к результату;

5) определить способы оценки достигнутых результатов.

В процессе формирования образа результата учебного действия «преобразования» мы выделяем следующие компоненты:

1) изменение (трансформация) объекта;

2) поиск рационального (упрощённого) объекта;

3)условие задачи позволит определить соответствие требованиям к результату;

4) и 5) позиции определяются процессом решения поставленной задачи.

Для описания плана действия необходимо указать:

1) какую теорию можно положить в основу решения этой частной задачи;

2) общую идею, принцип решения задачи;

3) последовательность действий, выполнение которых позволит получить желаемый результат, и обосновать, что их действий достаточно;

4) способ выполнения каждого действия.

Процесс формирования плана действия «преобразования» мы описали и обосновали выше, положив в основу решения частных задач 1 и 2, теорию применения кластеров (рис. 8).

Задачи с пространственными фигурами не являются единичными примерами, в которых кластер-понятия требует переосмысления. Если в задаче требуется доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, то используют в большинстве случаев не определение параллелограмма, а признаки параллелограмма. Для некоторых плоских фигур от кластера-понятия уже переброшен мостик к его кластеру-инструментарию на основе доказанных признаков этих фигур. Использование признаков фигуры значительно сокращает процесс решения задачи.

Опыт подготовки учащихся к ЕГЭ показал, что набор кластеров, представленных на рис. 8, значительно сокращает время излечения из памяти наглядного шаблона на вербальный вызов угла между плоскостями, делает более осознанными действия при встраивании шаблона в требуемый чертёж и наглядно представляет вид линейного угла, который необходимо вычислить.

Литература

1. Атанасян, Л.С. Геометрия [Текст] : учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян [и др.]. - М. : Просвещение, 1997. -207 с.

2. Лазарев, В.С. Инноватика в школе [Текст] : учеб. пособие для системы высшего педагогического образования и повышения квалификации работников образования / В.С. Лазарев. - Екатеринбург : Гуманитарный ун-т, 2011. -160 с.

3. Совертков, П.И. Понятийные и операционные кластеры в процессе обучения математике [Текст] / П.И. Совертков, Н.В. Суханова // Вестник Сургутского гос. пед. ун-та : РИО СурГПУ, 2013. - № 3 (24). - С. 172-181.

4. Совертков, П.И. Сюжетные и алгоритмические кластеры для реализации принципа наглядности [Текст] / П.И. Совертков, Н.В. Суханова // Вестник Сургутского гос. пед. ун-та : РИО СурГПУ, 2013. - № 6 (27). - С. 102-113.