СВЯЗАННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ДЛИННОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 677-691 188№ 2310-7081 (опИпе), 1991-8615 (рг1п1) сГ

УДК 539.3

Связанная нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного полого цилиндра

© Д. А. Шляхин, М. А. Кальмова

Самарский государственный технический университет,

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Аннотация

Построено новое замкнутое решение связанной нестационарной задачи термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического радиаль-но поляризованного цилиндра при удовлетворении на его лицевых поверхностях граничных условий теплопроводности 1-го и 3-го рода. Рассматривается случай, когда скорость изменения температурного поля не оказывает влияние на инерционные характеристики упругой системы, что позволяет включить в исходные расчетные соотношения рассматриваемой задачи линейные уравнения равновесия, электростатики и теплопроводности относительно радиальной компоненты вектора перемещений, электрического потенциала, а также функции изменения температурного поля. В расчетах применяется классический закон теплопроводности Фурье.

Для решения задачи используется математический аппарат неполного разделения переменных в виде обобщенного биортогонального конечного интегрального преобразования, основанного на многокомпонентном соотношении собственных вектор-функций двух однородных краевых задач. Важным моментом в процедуре структурного алгоритма данного метода является выделение сопряженного оператора, без которого невозможно осуществить решение несамосопряженных линейных задач математической физики.

Построенные расчетные соотношения дают возможность определить напряженно-деформированное состояние, температурное и электрическое поля, индуцируемые в пьезокерамическом элементе при произвольном температурном внешнем воздействии. Анализ численных результатов позволяет определить толщину стенки цилиндра, при которой электрическое поле приводит к перераспределению температурного поля. Установлено, что скорость изменения объема пьезокерамического тела при внешнем температурном воздействии не оказывает существенного влияния на температурное поле.

Научная статья

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Шляхин Д. А., Кальмова М. А. Связанная нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного полого цилиндра // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, №4. С. 677-691. https://doi.org/10.14498/vsgtu1781.

Сведения об авторах

Дмитрий Аверкиевич Шляхин © https://orcid.org/0000-0003-0926-7388 доктор технических наук; заведующий кафедрой; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов; e-mail: [email protected]

Мария Александровна Кальмова А https://orcid.org/0000-0001-9212-8631 старший преподаватель; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов; e-mail: [email protected]

https://doi.org/10.14498/vsgtu1781

© Самарский государственный технический университет

677

Разработанный алгоритм расчета находит свое применение при проектировании нерезонансных пьезоэлектрических датчиков температуры.

Ключевые слова: длинный пьезокерамический цилиндр, связанная задача термоэлектроупругости, нестационарное температурное воздействие, конечные интегральные преобразования.

Получение: 31 апреля 2020 г. / Исправление: 19 октября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 17 декабря 2020 г.

Введение. В настоящее время в измерительных приборах широко используются пьезоэлектрические датчики температуры резонансного и нерезонансного классов. Их работа основана на зависимости электрического поля, индуцируемого в пьезокерамическом элементе, от величины внешнего температурного воздействия [1—4]. Для расширения функциональных возможностей датчиков данного типа возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, позволяющего понять эффект взаимодействия механических, температурных и электрических полей.

Математическая формулировка начально-краевых задач, описывающих связанность термоэлектроупругих полей, включает систему несамосопряженных дифференциальных уравнений, исследование которых в последнее время, как правило, проводится при использовании численных методов [5,6]. Однако достаточно слабые эффекты взаимодействия полей различной физической природы удается проанализировать только с помощью замкнутых аналитических решений. При этом проблема интегрирования исходных расчетных соотношений и построения общего решения приводит к проведению расчетов в упрощенной постановке, а именно исследуются несвязанные задачи [4,7] или анализируются бесконечно длинные тела [8,9].

Замкнутые решения динамических задач термоэлектроупругости представлены в немногих работах [4,7-9]. В работе [4] на основании известных характеристик вынужденных стационарных электроупругих колебаний исследовалась плотность распределения температуры по длине конструкции. Статья [7] посвящена анализу напряженно-деформированного состояния длинного полого цилиндра в случае теплового удара без учета влияния электрического потенциала на термоупругие поля.

В [8,9] рассматриваются связанные задачи для однородного и неоднородного пьезокерамических неограниченных слоев. Статья [8] посвящена анализу дисперсионных свойств тепловых и электроупругих волн, а в [9] рассматривалась нестационарная задача при действии тепловой и электрической нагрузок. Использование преобразования Лапласа позволило сформулировать в пространстве изображений интегральное уравнение Фредгольма, которое реализовывалось численным методом.

Целью настоящей работы является решение связанной нестационарной задачи термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра при действии на его поверхностях температурной нагрузки (граничные условия 1 рода) и учете конвекционного теплообмена с окружающей средой (граничные условия 3 рода) [10]. Рассматривается случай, когда скорость изменения нагрузки существенно меньше скорости распространения упругих волн, что позволяет не принимать во внимание инерционные свойства конструкции и использовать в расчетах уравнения равновесия [11,12].

1. Постановка задачи. Пусть полый длинный незакрепленный пьезоке-рамический цилиндр занимает в цилиндрической системе координат (г*, в, z) область Q: {a ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 2к, —ж < z < ж}. Рассмотрим случай действия на его цилиндрических поверхностях нестационарной нагрузки в виде функций изменения температуры от времени t* — u*(t*) (г* = а), u**(t*) (г* = Ь) (граничные условия 1 рода). Лицевые электродированные поверхности элемента короткозамкнуты.

В общем случае дифференциальные уравнения равновесия, электростатики и теплового баланса на основании классического закона теплопроводности Фурье имеют вид [13-15]:

d<Jrr + &rr — &ее = о (1)

dr* г* ,

Яе _ я ©*

V А- = 0, Г0 - = AV ж. (2)

Уравнения осесимметричного состояния электроупругой анизотропной среды при радиальной поляризации пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой класса 6 мм записываются следующим образом [8]:

ди* ц* дф*

vrr = С33— + Сх + езз^- — 733©*, (3)

дг* г* дг*

_ du* „ и* дф*

°ее = Сх + Сх х~ + ез!^ — Ъ х©*, (4)

дг* г* дг*

дф* dU* U*

Dr = —езззз-,--+ ез^^--+ езх--+ дзз© , (5)

дг* дг* г*

а объемная плотность энтропии s(r*,t*) при разложении в ряд Тейлора с учетом условия ©*/Т ^ 1 (©* = Т — Т0; ©*, Т, Т0 — соответственно приращение, текущая температура и температура первоначального состояния тела, при котором отсутствуют механические напряжения), определяется равенством [9]:

s = 733V U * + к ©* — дз . (6)

То дг*

В равенствах (1)-(6) arr(r*,t*), а$в(r*,t*) — компоненты тензора механических напряжений; U*(r*,t*), Dr(r*,t*) — радиальные составляющие векторов перемещений и индукции электрического поля; ф*(г*,Ь*) —потенциал электрического поля; Cms, Ems, е33 — модули упругости, пьезомодули и коэффициент диэлектрической проницаемости электроупругого материала, m,s = 1, 2, 3; Л, к — коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости материала; 71 х, 733 — компоненты тензора температурных напряжений;

^ 9 1

д3 — компонента тензора пирокоэффициентов; V = —--\--.

дг* г*

В результате подстановки (3), (6) в (1) получаем систему дифференциальных уравнений термоэлектроупругости и краевые условия рассматриваемой задачи в безразмерной форме:

„dU U „дф 1 дф „„ © V^T — ^ -2 + V^ — а2~ —V© + 0,3- = 0, (7)

„дф „ди 1ди ^ п

-4-^ + 0,44— + аъ~— + а6Че = 0, д д д

,дв д / „ дф\ - а«— 1=0-

4дТ - Ы^4и + в 08£)=°- <9'

д и и д ф

т— + а9--+ тг-

д д

г = 0: и = ф = в = 0; (11)

г = К, г = 1 : ттт + ад- + - в = 0, ф = 0, е\г=к = шг, в|г=1 =Ш2- (10

где

{в, и^} = ^ {в*, К - То), (^ -То)}, {и, г, К} = 1{и *,п,а}, Сзз о

, езз <± , Л Си ез1 711

ф = -рт-гф , 1 = ТТ2~1*, 01 = —, 02 = —, аз = —, СззЪ кЬ2 Сзз езз 733

22

е2з ез1езз дзезз 7зз ™

а4 = ^-, а5 = ^-, а6 = -, а7 = ^—ГТ0,

Сзз^зз Сззезз 7зз^зз Сззк

7зз£з_ С1з д 1

аз = -Г-То, ад = -рг~, 4 = — +-.

езз к Сзз дг г

2. Построение общего решения. На первом этапе решения выполняется процедура приведения неоднородных граничных условий (10) к однородным, что позволяет в дальнейшем для решения рассматриваемой задачи использовать биортогональный метод конечных интегральных преобразований [16]. Для этого вводятся новые функции и(г, ¿), х(г, связанные с и(г, ¿), в(г, 1) следующим образом:

и (г, г) = н^ г, г)+и( г, г), в( г, г) = щ (г, г)+х(г, г), (12)

где Н1(г, г) = /1 (г)Ш1 + ¡2(г)Ш2, Н2(г, г) = ¡з(г)Ш1 + ¡4(г)Ш2.

Подстановка (12) в (7), (10), (11), при удовлетворении условий

йШ + к (К) Л Ыг) + ад—^— = 1

г=К К йг

+ а9 Ь(1)=0,

г= 1

+ а Щ) = 0

г=1 Н йг

г= 1

+ а9 ¡2(1) = 1,

(13)

/з (К) = /4 (1) = 1, 1з(1) = 14(К) = 0,

позволяет получить новую начально-краевую задачу относительно функций и( , ), ф( , ), х( , ) с однородными граничными условиями:

ди и дф 1дф х

4—--а1^ + V---а2--,--Ух + аз- = К1,

д 2 д д

д ф д и 1 д и

-4^- + а4 4— + а5^ + аб 4х = К2, (14)

д д д

дх д ( дф\

- а74и + х - а^ — 1 = Кз; д д д

д и и д ф

г = К, г = 1: -+а9- + ^ = 0, ф = х = 0; (15)

д д

í = 0: и = -#! I , ф = 0, х = -Н21=01 (16)

|4=0> Г А "2 |4=0)

где

дН1 Н1 Н2 дН1 1 дН1

+ + VЯ2 - а3—, = --а5——

/р2 /у (уТ' У* СУТ'

р Т79Я1 ^^Яо 9Я2 Дз = - V——

от ог аЪ

Начально-краевую задачу (14)-(16) решаем, используя структурный алгоритм биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [16]. Для этого вводим на сегменте [К, 1] КИП с неизвестными компонентами собственных вектор-функций ядер преобразований К1(Хг, г), К2(Хг, г), К3(Хг, г), т(щ,г), Мо(Щ,Г), N3(1.4, г):

С(Хг, г) = £ (а7Уи(г, г) + х(г, ^ - а8)гКз(\г, г)(1г, (17)

те

[и(г,г),ф(г,г),х(г,т = ^ с(хг,г){М1(^г,г),М2(^г,г),Мз(^г,г)}\\кг\\2,

г=1

\\Кг\\2 = /1 Кз(\г,г)Нз(\г,г)г(1г, ¿Я

где Хг, ^г — собственные значения соответствующих однородных линейных краевых задач относительно сопряженных К^(Хг, г) и инвариантных Иь(рчг, т) компонент вектор-функций ядер КИП (к = 1, 2, 3).

В результате использования алгоритма КИП [16] получаем счетное множество задач Коши для трансформанты

г)С ■

+ ХгСг = -Рн, г = 1,2,..., (18)

I = 0: Со = - [ [Н1(г, 0)К1(Хг,г)+ Но(Г, 0)К3 (Хг,г)]г(1г, (19) ■)к

решения которых имеют вид

Сг = Со ехр(-Х^) - Рн(т) ехр Х>(т - Ь)с1т,

г1 ]0 (20)

Рн = (В.1К1 + КоКо + К3К3)гс!г, JR

а также две системы дифференциальных уравнений и граничные условия относительно неизвестных компонент преобразований К^ = К^(XI, г), ] = 1, 2, 3, г = 1, 2,... :

(1К1 К1 ^ЛКо , аъ (Шо . йКз

V—--(11^- - --1------Хг(17—— = 0,

аг г2 аг г аг аг

V—^ + ао--т1 + V—^ + Хга8УКз = 0, (21)

аг г аг аг

йКл Кл ¿КоЛКз*^

■ + аз--+ а^—--+ V—--+ ХгКз = 0;

(1г Г (1г (1г

йК1 К1 йК2

г = К, г = 1 : —--+ ад--а4—— = 0,

йг г йг

и N3 = N3 (щ, г), ] = 1, 2, 3, г = 1, 2,...:

К2 = Кз = 0;

(22)

Ш1 N1 й^ а2 <¡N2 ^ N1

4—--+ 4—-------4Nз + аз— = 0,

г2 аг г аг г

йг

¡N2 <N1 а5<т 4—--а44—-------а64Щ = 0,

а

4—— + т йг

йг

г йг

а74N1 + ^ -а8

й^

0;

г = К, г = 1: ^ +аЛ + ^ = 0, N. = N. = 0. й й

(23)

(24)

Задачи для трансформанты (18), (19) Ог и сопряженная однородная задача (21), (22) относительно компонент ядра К1(\1, г), К2(Хг, г), Кз(\г, г) получены в результате применения вырожденного преобразования (17), а соотношения (23), (24) построены путем использования к полученной (сопряженной) задаче (21), (22) аналогичного (17) КИП с компонентами ядра N'¡^(1^, г), N2(т, г), Щ(щ, г).

Системы (21), (23) при использовании условий

а1 + а2а5 1 + а4

1, {а7, аз} ^ {а1,..., аб},

справедливых для пьезокерамических материалов, а также введении новых функций

{К4,Щ} = г Л{К2Л1М2\ {К5,т } = г{Кз,т}, приводятся к следующим разрешающим уравнениям:

/ й2 1 й 1 \йг2 г йг г2

й2 1

~Т2--Т~ + I ~ + *

.йг2 г йг

К5 = Би ^,

/ й + 2 \/ й2 1 й й 1 \ = Е р2 \йг г)\йг2 г йг *Дйг г) 5 1г г2,

(25)

(26)

где

а5(аз - а2аб) та8(ь2 - Ь22)Ь1 + Ь2(а2Ь21 - а8Ь2)

Р1 =аб + -—-, Р2 = -^-,

1 + а4 з1

Ъ1 = (а4а8 - а7), Ь2 = (а5а8 - а7). Общие решения дифференциальных уравнений (25), (26) имеют вид

К5 = г), N5 = ^Еп1Рп(Цг, г), 1 = 1, 2,..., (27)

п=1

п=1

где

КГ

Р1(К, г) = -Р1 —

Го(Вгг) I Зо(Вгг)йг - Зо(Вгг) I ¥о(Вгг)йг

{ Р2(\,,г),Ег(\,,г)} = г[.]а (В,г),Г0 (В,г)},

г) = Ц-

гУо(Вгг) У .0(Вгг)г 1(г -Г.0(Вгг) ^ У0(Вгг)г 1(г

Рг(Щ, г) =р2Г Р2(щ, Г) = Г

Е5(Хг, г) = Вг = л/~Хг,

Хг

/ У^Ц, г)Ь (АгГ)(г - Уъ(щ, г)К1(АгГ)(г

У3(Иг, г)Ь(АгГ)(г - / У^, ^К^Г)(г

{Р3(Иг, г),РА(Иг, Г)} = Г{ 1а(АгГ), К0(Агг)}, Р5 = Г, МЩ,г) = ¡г-1к1{А,г)Лг, У^,г) = ¡г-Чт,

у3(щ, г) = У г-2К1(Агг)(г, У4(щ, г) = ! г-2Ь(А1г)(г, Аг = /Щ.

В равенствах (25)—(27) Иц, ..., Ец, ..., — постоянные интегрирования; 3,0( ■ ), У0( ■ ), ( ■ ), К*и( ■ ) — обыкновенные и модифицированные функции Бесселя 1-го и 2-го рода порядка V.

Использование дифференциальных зависимостей, полученных в процессе приведения (21), (23) к (25), (26), позволяет найти выражения для функций К1(\г, г), К2(\г, г), N1(Щ, г), г).

Подстановка К1 (Хг, г), К(\г, г), К3(Хг, г), N1(111, г), N2([ц, г), Щ(/ц, г) в соответствующие граничные условия (22), (24) позволяет сформировать две системы алгебраических уравнений, решение которых дает возможность определить постоянные интегрирования Иц, ..., И^, Ец, ..., Е& и собственные значения Хг,

Окончательные выражения функций и(г, ¿), ф(г, ¿), 0(г, Ь) получим, применяя к трансформанте (20) формулы обращения (17). В результате с учетом (12) имеем

{и(г, г ), в(г, г )} = {Н1(г, г),Н2(г, *)}+

те

+ £С(Хг, Ш1(ц,г, г),Щ(Иг, г)}\\Кг\\-2,

г=1

ф(г, 1)=^в(Хг, №(щ, г)\\Кг\\-2.

г=1

Функции Н1(г, ¿), Н2(г, Ь) определяются при решении следующих дифференциальных уравнений:

дНт

V—— = 0, т = 1, 2, д

(28)

что позволяет существенно упростить правые части системы (14). В результате решения (28) при удовлетворении условий (13) получаем выражения для Н(г) - ¡4(г):

— г 1 г) = — Ъ(г)--_

] 1( ) а9 .'13( ) а9 ЫШ

г) = а91Ш + а^ю

, , л 1пг „ , , 1пК - 1пг

Ш = ык, Ш =

Построенный алгоритм расчета позволяет также исследовать начально-краевые задачи термоэлектроупругости при учете конвекционного теплообмена лицевых поверхностей с окружающей средой (граничные условия 3-го рода).

Рассмотрим случай действия на внутренней ( г * = а) цилиндрической поверхности нестационарной нагрузки в виде функции изменения температуры (¿*), а на внешней (г* = Ъ) лицевой поверхности пусть задан закон конвекционного теплообмена с окружающей средой

дв*(г „t *) —Л'

д

= а[в*(г*,t*) — Г(Q],

г=Ь

и известна температура окружающей среды V* (¿*).

Для решения поставленной задачи необходимо в расчетных соотношениях (7)-(11) функцию ш2{Ъ), входящую в краевые условия (10), представить в виде

. , Лд0(г, г) . .

ab дг

Г=1

33 ^ /Ч т >к «_»

где г = ——г ; г = V - 10, г —относительная температура внешней среды; Сзз

а — коэффициент теплоотдачи.

На первом этапе исследования выполняется расчет при Ш2^) = г(Ь) с по-

д0(г, г)

следующим определением функции

д

и уточнением w2(t).

Г=1

3. Численный анализ результатов. В качестве примера рассматривается радиально поляризованный пьезокерамический цилиндр ( R = 0.8) состава PZT-4, имеющего следующие физические характеристики:

{Сii, С33, С13} = {13.9,11.5, 7.43} х 1010 H/м2, £33 = 5.62 • 10-9 Ф/м, {езъ &зз} = {-5.2,15.1} Кл/м2, р = 7500 кг/м3, {711,7зз} = {4.6, 3.9} х 105 Н/(м2К), дз = 2 • 10-4 Кл/(м2К), к = 3 • 106 Дж/(мзК), Л = 1.6 Вт/(мК), a = 5.6 Вт/(м2К).

Исследуется задача, когда на внутренней поверхности (г* = а) цилиндра температурная нагрузка изменяется по следующей зависимости:

u*1(Q=TmJsm(-^u)H(t*max-U)+H(U-t*max)}, ^(U) = 0, (30)

L V2 fmax ' J

где H(•) — функция Хэвисайда; Tmax = Tmax — T0; Tmax, tmax — максимальное значение внешнего температурного воздействия и соответствующее ему время в размерной форме (Tmax = 373 К (100С), To = 293 К (20С), t*max = 2 с).

На рис. 1 представлены графики изменения функций в *(г, t), ф(г, t), U(г, t) по радиальной координате в различные моменты времени ( = 0.02 м). Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты для t = tmax, 3tmax, _ Л *

15tmax, где tmax — kb^max.

Анализ представленных графиков позволяет сделать следующие выводы.

1. При достижении температурной нагрузкой максимальных значений t = tmax (рис. 1, а, кривая 1) температурное поле изменяется в области, близкой к лицевой нагреваемой поверхности (г = R). В дальнейшем температурное поле цилиндра растет (рис. 1, а, кривая 2) и полный прогрев пьезокерамической конструкции наблюдается при t = 15imax (рис. 1, а, кривая 3).

2. При действии температурной нагрузки (30) наблюдается сжатие пьезо-керамического цилиндра в радиальной плоскости (рис. 1, с), что приводит к образованию электрического поля. При этом электрический потенциал ф(г, t) и перемещения U(г, t) имеют максимальное значение при t = tmax (рис. 1, b, кривая 1; рис. 1, с, кривая 1). В дальнейшем численные значения ф(г,Ь) и U(r,t) уменьшаются (рис. 1, b, кривая 2;

Рис. 1. Графики функций Q*(r,t) (a), 4>(r,t) (b), U(r,t) (c) по радиальной координате г в различные моменты времени t: 1 — t — imax,

2 ^ — 3£max, 3 ^ — 15tmax [Figure 1. Graphs of the functions Q*(r,t) (a), 4>(r,t) (b), and U(r,t) (c) along the radial coordinate r at different times t: 1 — t — imax, 2 ^ — 3£max , 3 ^ — 15tmax I

рис. 1, с, кривые 2, 3) и электрическое поле исчезает при установившемся температурном режиме Ь = 15£тах.

На рис. 2 приведены графики изменения радиальной компоненты напряженности электрического поля Ег = дф/дг по координате г. Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты для цилиндра радиусом Ь = 0.01, 0.02, 0.03 м. Результаты расчета позволяют сделать вывод, что увеличение толщины стенки цилиндра, то есть уменьшение жесткости конструкции, приводит к росту напряженности электрического поля Ег.

На рис. 3 представлены графики изменения температурного поля ©*(г, ¿) по радиальной координате г в различные моменты времени £ (Ь = 0.02 м) в случае действия температурной нагрузки ш*(Ь*) (30) и при учете теплообмена (29). Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты для £ = ¿тах, 8tmax, 15tmax ($* = Т0 = 293 К (20°С)). Расчеты показывают, что при заданном внешнем воздействии температурный режим устанавливается при времени Ь = 15^тах и относительная температура на внешней лицевой поверхности цилиндра равна ©*(1,15^тах) = 78С.

На рис. 4 представлены графики изменения температуры ©(£) срединной поверхности цилиндра (К = 0.1, Ь = 0.04 м) по времени ¿. Сплошной и пунктирной линиями соответственно обозначены результаты, полученные с учетом и без учета электрического поля. Численные результаты расчета показывает, что только в толстостенном цилиндре индуцируемое электрическое поле оказывает влияние на температурное поле.

Рис. 2. Графики напряженности электрического поля Er(r,tmax) по радиальной координате г для цилиндров с различными радиусами Ь: 1 — b = 0.01 м, 2 — b = 0.02 м, 3 — b = 0.03 м

[Figure 2. Graphs of the electric field strength Er (r,tmax) along the radial coordinate r for cylinders with different radii b: 1 — b = 0.0l m, 2 — b = 0.02 m, 3 — b = 0.03 m)]

Рис. 3. Графики температурного поля Q*(r,t) по радиальной координате г в различные моменты времени t: 1 — t = imax, 2 — t = 3tmax,

3 £ = 15£max

[Figure 3. Graphs of the temperature field ©* (r, t) along the radial coordinate r at different times t: 1 — t = tmax, 2 — t = 3tmax, 3 — t = 15imax]

Рис. 4. Изменение температуры Q(t) срединной поверхности толстостенного цилиндра: сплошная линия — c учетом электрического поля, пунктирная линия — без учета электрического поля

[Figure 4. The change in temperature Q(t) of the middle surface of a thick-walled cylinder: the solid line corresponds to the calculation taking into account the electric field; the dotted line corresponds to the calculation without taking into account the electric field]

Заключение. При исследовании начально-краевых задач термоэлектро-упругости для длинного полого пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра в случае действия нестационарной температурной нагрузки связанность электрических и температурных полей необходимо учитывать в толстостенных элементах (К ^ 0.1).

В свою очередь, учет скорости изменения объема электроупругого тела

Чи^ не приводит к перераспределению в нем температуры. Данная зависимость наблюдается в конструкциях, изготовленных из материала, имеющего существенно больший коэффициент линейного теплового расширения, в частности в поливиниловых составах [17].

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Козлов В. Л. Оптоэлектронные датчики. Минск: Белорус. гос. ун-т, 2005. 116 с.

2. Кульчин Ю. Н. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы. М.: Физматлит, 2001. 272 с.

3. Дмитриев С. А., Слепов Н. Н. Волоконно-оптическая техника: современное состояние и новые перспективы. М.: Техносфера, 2010. 608 с.

4. Паньков А. А. Резонансная диагностика распределения температуры пьезоэлектро-люминесцентным оптоволоконным датчиком по решению интегрального уравнения Фредгольма // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2018. №2. С. 72-82. https://doi.org/10.15593/perm. mech/2018.2.07.

5. Abbas I. A., Youssef H. M. Finite element analysis of two-temperature generalized magneto-thermoelasticity // Arch. Appl. Mech., 2009. vol. 79, no. 10. pp. 917-925. https://doi.org/ 10.1007/s00419-008-0259-9.

6. He T., Tian X., Shen Y. A generalized electromagneto-thermoelastic problem for an infinitely long solid cylinder // Eur. J. Mech. a/Solids, 2005. vol. 24, no. 2. pp. 349-359. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2004.12.001.

7. Abbas I. A., Zenkour A. M. LS model on electro-magneto-thermoelastic response of an infinite functionally graded cylinder// Compos. Struct., 2013. vol.96. pp. 89-96. https:// doi.org/10.1016/j.compstruct.2012.08.046.

8. Ватульян А. О., Кирютенко А. Ю., Наседкин А. В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ, 1996. Т. 37, №5. С. 135-142.

9. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Вычислительная механика сплошных сред, 2017. Т. 10, №2. С. 117-126. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.2.10.

10. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. Киев: Наук. думка, 1965. 204 с.

11. Шляхин Д. А., Даулетмуратова Ж. М. Нестационарная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Инженерный журнал: наука и инновации, 2018. №78. С. 1-18. https://doi.org/10.18698/ 2308-6033-2018-5-1761.

12. Шляхин Д. А., Даулетмуратова Ж. М. Нестационарная связанная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2019. №4. С. 191-200. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2019.4.18.

13. Лычев С. А., Манжиров А. В., Юбер С. В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости// Изв. РАН. МТТ, 2010. №4. С. 138-154.

14. Радаев Ю. Н., Таранова М. В. Волновые числа термоупругих волн в волноводе с теплообменом на боковой стенке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №2(23). С. 53-61. https://doi.org/10.14498/vsgtu965.

15. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев: Наук. думка, 1989. 279 с.

16. Сеницкий Ю. Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Матем., 1996. №8. С. 71-81.

17. Кобзарь В. Н., Фильштинский Л. А. Плоская динамическая задача связанной термоупругости// ПММ, 2008. Т. 72, №5. С. 842-851.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 677-691 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1781

MSC: 74F15, 74S20

The coupled non-stationary thermo-electro-elasticity problem for a long hollow cylinder

© D. A. Shlyakhin, M. A. Kalmova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.

Abstract

A new closed solution of the coupled non-stationary thermo-electro-elas-ticity problem for a long piezoelectric ceramic radially polarized cylinder is constructed while satisfying the boundary conditions of thermal conductivity of the 1st and 3rd kind on its front surfaces. The case when the rate of change of the temperature field does not affect the inertia characteristics of the elastic system is considered. This makes it possible to include linear equations of equilibrium, electrostatics, and thermal conductivity with respect to the radial component of the displacement vector, electric potential, and also the function of changing the temperature field in the initial calculated relations of the problem under consideration. In the calculations, the classical Fourier law of thermal conductivity is used.

To solve the problem, the mathematical apparatus of incomplete separation of variables is used in the form of a generalized biorthogonal finite integral transformation based on the multicomponent relation of the eigenvector functions of two homogeneous boundary value problems. An important point in the procedure of the structural algorithm of this method is the selection of the adjoint operator, without which it is impossible to solve non-self-adjoint linear problems of mathematical physics.

The constructed calculated relationships make it possible to determine the stress-strain state, temperature and electric fields induced in a piezoelectric ceramic element under an arbitrary temperature external influence. An analysis of the numerical results makes it possible to determine the cylinder wall thickness at which the electric field leads to a redistribution of the temperature field. It is established that the rate of change in the volume of a piezoceramic body under external temperature influence does not significantly affect the temperature field.

The developed calculation algorithm finds its application in the design of non-resonant piezoelectric temperature sensors.

Research Article

3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Shlyakhin D. A., Kalmova M. A. The coupled non-stationary thermo-electro-elasticity problem for a long hollow cylinder, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 677-691. https://doi.org/10.14498/vsgtu1781 (In Russian). Authors' Details:

Dmitriy A. Shlyakhin © https://orcid.org/0000-0003-0926-7388

Dr. Techn. Sci.; Head of Dept.; Dept. of Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations; e-mail: [email protected]

Mariya A. Kalmova https://orcid.org/0000-0001-9212-8631

Senior Lecturer; Dept. of Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations; e-mail: [email protected]

© Samara State Technical University

689

Keywords: long piezoceramic cylinder, coupled thermo-electro-elasticity problem, unsteady temperature effect, finite integral transformations.

Received: 31st April, 2020 / Revised: 19th October, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 17th December, 2020

Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.

Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript.

Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors.

References

1. Kozlov V. L. Optoelektronnye datchiki [Optoelectronic Sensors]. Minsk, Belarus. State Univ., 2005, 116 pp. (In Russian)

2. Kulchin Yu. N. Raspredelennye volokonno-opticheskie izmeritel'nye sistemy [Distributed Fiberoptic Measuring Systems]. Moscow, Fizmatlit, 2001, 272 pp. (In Russian)

3. Dmitriev S. A., Slepov N. N. Volokonno-opticheskaia tekhnika: sovremennoe sostoianie i novye perspektivy [Fiber-Optic Technology: Current Status and New Perspectives]. Moscow, Tekhnosfera, 2010, 608 pp. (In Russian)

4. Pan'kov A. A. Resonant diagnostics of temperature distribution by the piezo-electro-luminescent fiber-optical sensor according to the solution of the Fredholm integral equation, PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no. 2, pp. 72-82 (In Russian). https://doi.org/ 10.15593/perm.mech/2018.2.07.

5. Abbas I. A., Youssef H. M. Finite element analysis of two-temperature generalized magneto-thermoelasticity, Arch. Appl. Mech., 2009, vol.79, no. 10, pp. 917-925. https://doi.org/ 10.1007/s00419-008-0259-9.

6. He T., Tian X., Shen Y. A generalized electromagneto-thermoelastic problem for an infinitely long solid cylinder, Eur. J. Mech. a/Solids, 2005, vol. 24, no. 2, pp. 349-359. https:// doi.org/10.1016/j.euromechsol.2004.12.001.

7. Abbas I. A., Zenkour A. M. LS model on electro-magneto-thermoelastic response of an infinite functionally graded cylinder, Compos. Struct., 2013, vol.96, pp. 89-96. https:// doi.org/10.1016/j.compstruct.2012.08.046.

8. Vatulyan A. O., Kiryutenko A. Yu., Nasedkin A. V. Plane waves and fundamental solutions in linear thermoelectroelasticity, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1996, vol.37, no. 5, pp. 727733. https://doi.org/10.1007/BF02369312.

9. Vatulyan A. O., Nesterov S. A. The dynamic problem of thermoelectroelasticity for functionally graded layer, Computational Continuum Mechanics, 2017, vol. 10, no. 2, pp. 117-126 (In Russian). https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.2.10.

10. Kovalenko A. D. Vvedenie v termouprugost' [Introduction to Thermoelasticity]. Kiev, Nauk. dumka, 1965, 204 pp. (In Russian)

11. Shlyakhin D. A., Dauletmuratova Zh. M. Nonstationary axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed circular plate, Engineering Journal: Science and Innovation, 2018, no. 78, pp. 1-18 (In Russian). https://doi.org/10.18698/2308-6033-2018-5-1761.

12. Shlyakhin D. A., Dauletmuratova Zh. M. Non-stationary coupled axisymmetric thermoe-lasticity problem for a rigidly fixed round plate, PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, no. 4, pp. 191-200 (In Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2019.4.18.

13. Lychev S. A., Manzhirov A. V., Joubert S. V. Closed solutions of boundary value problems of coupled thermoelasticity, Mech. Solids, 2010, vol.45, no. 4, pp. 610-623. https://doi. org/10.3103/S0025654410040102.

14. Radayev Yu. N., Taranova M. V. Wavenumbers of type III thermoelastic waves in a long waveguide under sidewall heat interchanging, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2011, no. 2(23), pp. 53-61 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu965.

15. Grinchenko V. T., Ulitko A. F., Shul'ga N. A. Mekhanika sviazannykh polei v elementakh konstruktsii [Mechanics of Coupled Fields in Structural Elements]. Kiev, Nauk. dumka, 1989, 279 pp. (In Russian)

16. Senitskij Yu. E. A biorthogonal multicomponent finite integral transformation and its application to boundary value problems in mechanics, Russian Math. (Iz. VUZ), 1996, vol. 40, no. 8, pp. 69-79.

17. Kobzar' V. N., Fil'shtinskii L. A. The plane dynamic problem of coupled thermoelastic-ity, J. Appl. Math. Mech.., 2008, vol.72, no. 5, pp. 611-618. https://doi.Org/10.1016/j. jappmathmech.2008.11.002.