Связанная неосесимметричная нестационарная задача термоупругости для длинного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

2024

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 90

Научная статья УДК 539.3

doi: 10.17223/19988621/90/13

Связанная неосесимметричная нестационарная задача термоупругости для длинного цилиндра

Дмитрий Аверкиевич Шляхин1, Владимир Андреевич Юрин2, Олеся Викторовна Ратманова3

12•3 Самарский государственный технический университет, Самара, Россия 1 [email protected] 2 get8ack@mail. ru 3 ratmanova654@mail. ru

Аннотация. Построено новое замкнутое решение задачи термоупругости для длинного анизотропного цилиндра при нестационарном изменении температуры на его внутренней поверхности. Математическая формулировка задачи включила в себя уравнения равновесия и нестационарное уравнение теплопроводности. При решении использовано обобщенное биортогональное преобразование, позволяющее исследовать несамосопряженную систему уравнений. Полученные расчетные соотношения дали возможность определить температурное поле, а также напряженно-деформированное состояние цилиндра.

Ключевые слова: неосесимметричная задача термоупругости, длинный анизотропный цилиндр, конечные биортогональные преобразования

Для цитирования: Шляхин Д.А., Юрин В.А., Ратманова О.В. Связанная неосе-симметричная нестационарная задача термоупругости для длинного цилиндра // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 90. С. 152-166. doi: 10.17223/19988621/90/13

Original article

A coupled non-axisymmetric non-stationary problem of the thermoelasticity of a long cylinder

Dmitriy A. Shlyakhin1, Vladimir A. Yurin2, Olesya V. Ratmanova3

1 3 Samara State Technical University, Samara, Russian Federation 1 [email protected] 2 get8ack@mail. ru 3 ratmanova654@mail. ru

Abstract. Inhomogeneous non-stationary heating of constructions of various purposes induces thermal strains and stresses that should be considered in the comprehensive analysis of elastic systems. The mathematical formulation of the considered linear three-dimensional thermoelasticity problems includes coupled non-self-adjoint differential

© Д.А. Шляхин, В.А. Юрин, О.В. Ратманова, 2024

equations of motion and thermal conductivity. Due to their integration difficulty, axisym-metric problems are usually analyzed instead.

The purpose of this work is to develop a solution algorithm for the coupled non-axisymmetric non-stationary problem of the thermoelasticity of a long cylinder. On the internal surface of the hollow anisotropic cylinder, the temperature variation function is known; on the external surface, the convective heat transfer and environmental temperature are given. The rate of the temperature load does not affect the inertial characteristics of the cylinder. Therefore, the equilibrium and heat equations can be added to the initial system of linear equations.

The finite Fourier sine and cosine transforms and general biorthogonal transforms are used to study a non-self-adjoint system of differential equations and to develop a closed solution. The obtained solution allows one to determine the temperature field and the stress-strain state of a cylinder with its internal surface affected by non-stationary non-axisymmetric loading in terms of the temperature variation function. Keywords: non-axisymmetric problem of thermoelasticity, long anisotropic cylinder, finite biorthogonal transforms

For citation: Shlyakhin, D.A., Yurin, V.A., Ratmanova, O.V. (2024) A coupled non-axisymmetric non-stationary problem of the thermoelasticity of a long cylinder. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 90. pp. 151-166. doi: 10.17223/19988621/90/13

Введение

Неравномерный нестационарный нагрев строительных конструкций приводит к возникновению тепловых деформаций, которые необходимо учитывать при определении прочностных характеристик упругих систем [1, 2]. При этом математическая формулировка задач термоупругости сводится к системе связанных несамосопряженных дифференциальных уравнений движения и теплопроводности [3-6].

В целях упрощения их интегрирования обычно исследуются осесимметричные задачи [7-15]. Здесь в первую очередь следует отметить статьи [14-15], в которых был разработан новый подход к решению подобных задач. В неосесимметричном случае замкнутые решения представлены в немногих работах. В статьях [16-17] в несвязанной постановке при действии статической температурной «нагрузки» построены замкнутые решения для длинного цилиндра и цилиндра конечных размеров. Исследование [18] посвящено анализу работы радиально-неоднородного цилиндра.

Цель данной работы - построение замкнутого решения связанной нестационарной неосесимметричной задачи термоупругости для длинного анизотропного цилиндра с учетом граничных условий 1-го и 3-го родов. Скорость изменения температурной «нагрузки» не влияет на его инерционные характеристики, что позволяет включить в исходную систему уравнения равновесия и теплопроводности.

Постановка задачи

Полый длинный анизотропный цилиндр (рис. 1) занимает в цилиндрической системе координат область Е = {(r*, ф, z) | r* е [a; b], ф е [0; 2п), z е R}. На его внутренней поверхности известна функция изменения температуры ю1*(ф, t*), а на

внешней заданы закон конвекционного теплообмена и температура окружающей среды 9*.

V*(r*, ф, t*)

b

b

U"(r*, ф, t*)

Рис. 1. Схема задачи Fig. 1. Schematic model of the problem

Математическая формулировка задачи включает неосесимметричные дифференциальные уравнения равновесия, теплопроводности, а также граничные и начальные условия [19]:

„5 а, 1 д2 \ 1

V---1- + а2——- |U + -

дг r r дф

д (а, + а2)

( а2 + аз Ьг-*-¿

1 ( _ 5 а, )дП -I аv+а—+

дг r J дф

дг r

32

+ 1 а V—+а- О- IV - а 1д© = 0,

5г r дф r

^-V,e = 0 , (!)

1 д©

r дф

„ д 1 д2 \ д( 1 5V , а V— + — —- ©--© + аVU + а--= 0 ;

5г r дф

3t

r дф

r = R, 1:

ди+Ци+5V1-© = о, +5V - V = о,

5г r ^ дф J r дф 5г r

©i r=r =®1, i5^ а6 ©J = а6 &;

m g [1; «,): {u,v,©}^ = {u,v,©}| t = 0:

lf=2!»' дф U = V = 0 = 0,

д{и ,V, ©} _д{и ,V, ©}

|ф=о

дф

|ф=2пт

(2)

(3)

z

»

a

a

r

где {U,V,r,^} — {u*,Vr,a}/b ; (5)

_ Y33

Y33 c33ai ; У11 c11ai; ^

C13 Yll

I3 = ; a4 — ; a5 = 70

- T 70 , Э'- T0 };

— bj > ; a — ja —

Y33 . a 6 — b a—; Л Sr r

Y33

В выражениях (5) (r*, ф, t*), F"(r*, ф, t*), 0*(r*, ф, t*) - радиальные и окружные перемещения, а также температура тела в размерной форме; уц, уээ - температурные напряжения; е^ - модули упругости; To(r*) - начальная температура тела; at - коэффициент линейного температурного расширения материала; Л, k, a -коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и теплоотдачи.

Соотношения (3) являются условиями периодичности для круговой области. В начальный момент времени (4) цилиндр находится в недеформированном состоянии, а его температурное поле определяется температурой первоначального состояния T0(r*).

Построение общего решения

Решение нестационарной задачи термоупругости начинается с неполного разделения переменных с помощью конечного косинус- и синус-преобразования Фурье [20] при использовании трансформант

3л

{UH (r, n, t), ®н (r,n, t)} — J {и (r, Ф, t), © (r, ф, t)} cos («ф) dф , (6)

0

3л

VH (r, n, t) — J V (r, ф, t) sin («ф) dф

0

и формул обращения

да

{U (r, ф, t), © (r, ф, t)} = X QЛUtf (r,«, t), ©h (r,«, t)} cos («ф) dф, (7)

n—0

да

V (r, ф, t) — л-1 X VH (r, n, t) sin («ф) dф,

n—1

причем при n = 0: Q„ = (2л)4; n Ф 0: = n-1.

Применение алгоритма преобразования с учетом условия периодичности решения (3) позволяет получить в пространстве изображений следующую начально-краевую задачу:

„SUH / n UH , ч 1SVH , ч VH ©H ™ п

V—H-(a + a2n +(a+a)n—H-(a+a)n-H+-v©ff — 0, (8)

Sr v 'r r Sr r r

n ( „тт SUH UH Л wSVH / 2 \ VH ©H n —i av^ + a —H+a~^ + av—H-(an + a) 2 + an—H — 0,

r ^ Sr r J Sr v ' r r

V—-«j |©H- —|©H + a5VUH + a5-VH | — 0 ; Sr r2 J St i 5 5 r H J

r = R, 1:

t = 0: где

5uh uh vh „ n —H + а3—- + аъп — -©я = 0, 5г r r

UH дК V

©H|r =R = ®1 H ,

5©h 5г

+ аб ©h

+- 0.

5г r

- а6-&н:

ия = Vh = 0h = 0,

2л

(9)

(10)

(®1H (n, t), Эн }- |{®1 (ф, t),Эcos(пф)dф .

Приведение неоднородных граничных условий (9) к однородным реализуется при использовании разложения:

ин (г, п, г) = Н- (г, п, г) + ын (г, п, г) , (11)

Ун (г, п, г) = Н2 (г, п, г)+-н (г, п, г),

®Н (г, п, г) = Н 3 (г, п, г) + Тн (г, п, г);

(Н (г,п,г),Н2 (г,п,г),Н (г,п,г)} = {/ (г),/ (г),/ (г)}»ш (п,г(г),/ (г),/ (г

где /¡(г).. /Г) - дважды дифференцируемые функции. Подстановка (11) в (8)-(10) при выполнении условий

r = R, 1:

дН H

5г

+ а,

н Н зн, н,

i — -Н - 0, п—1--2 + —^ - 0.

H3|r-R ®1Н ■

дН, 5г

+ аб Н3

Зг

- абЭн

(12)

позволяет получить новую систему относительно функций ин, ун, Тн с однородными граничными условиями

у^Ын_(а + а2п2)Ын+(а + а)п-—н-(а + а)п-т+а4 —_^тн = ^, (¡3)

r 5г

п I „ ди„ и„ | „ov„ / 2 \ v„ i„ ^

—I av^ + а —н+а + аv—н-(ап + a)-Н+аАп—-F

r I 5г r 5г у ' r r

5vu

i

V^пАТн-|( Тн + а^ин + а5п^Н|- ;

r = R, 1:

—^+а—+а^-^ - тя - 0, п— —н+—-0,

5г r r r 5г r

Т - 0

1Н|r-R - 0 ,

^ + а6Тн 5г

- 0:

t - 0:

дН, 1 2\ л, где F --V—1+(а + ап )—г -

{uh, Vh, Th} = {u0H, V0H, Th} H (а3 + а2) п дН

(14)

(15)

Я.

Я,

5г

F> - пI а^Н1 + а ■Н + а1 H1 Ir I or r У or

+(а + а) п - а ~+vh ;

зн,

н,

/2 \Н 2 Л3 ( ап + а)—^— аАп— ;

r

н,

F3 -п2 )Н3 +ЪiН3 + а^Н1 + а5пН^ |;

п

r

0

r

r

r

r

{ыон,^, Тон } = -{н, (г,и,0),И2 (г,п,0),Нз (г, и,0)} .

Полученная задача (13)-(15) решается методом биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [21-23]. Для этого вводится КИП с неизвестными компонентами собственных вектор-функций К1(к1п, г)...Кз(Хш, г) и М(Дш, г)...Щдш, г):

G(K, n, t) =J

^ + ^ + a5 + a$n-

r

rK3(Xn,r)dr , (16.1)

; ^^ (Ц,п,г), N (Ц,п,г), N ,г)} .....

{ин , ^ , ТН }=^ О (Хп , п Ч-2-¡¡2-, (162)

,=1 \К п II

1

||К,п||2 =|Кз (Х,и,г)N3 (Цп,г)гёг ,

я

где Х,и, Дш - собственные значения соответствующих однородных задач относительно Кк(Ът, г) и г) при к = 1.3.

Согласно алгоритму преобразования формируется счетное множество задач для трансформанты в(Х,„, п, г):

I е [1; ®); п е [0; ®): + ^П.)О(Х„, п, г) = Рн (Х,и, п, г); (17)

г = 0: в(Хм, п, Г) = вон. (18)

Их решение имеет вид:

г

О(Х,и,п,г) = Оон ехр(-Х^) +{Р (Х,и,п,т)ехр^ (х-г)]ёт , (19)

Р (Хп, п, г) = -{(^Кщ+р К2,и + ^Кз,и ,

я

Оон = (Тон + а5Уион ) кзпгёг ,

где Кк,ш = Кк(Х,„, г); = г).

Кроме того, формируются две однородные задачи. Первая - относительно Кк,т:

V^-(а + а2п2)% + (а + а)п1 ^-(а + а )п^-аХ22 = о, (20 ёг 112 ) г К 2 " г ёг v 1 27 г 5 п ёг

а V ^-(а,п2 + а) %-(а + а) п1 ^-(а + а) п^-+х^апКзп = о, ёг у ' г г ёг г г

\~7 аК3 п ,.2 К3 п , „ К1 п , ёК1 п , „ ,„ К2 п , 1 2^ _П. --п —¡г + а4 -+ —— + а4п-+ ХпК3п = о ;

ёг г г ёг г

ёк к к К ак к

г = Я, 1: + + ап — -а5Х2кз,.и = о, п^-+ ^ = о, (21)

ёг г г г ёг г

кз,=. = о • + а«кз„ )м= о.

Вторая - относительно

V^ _ (а+а«2)%+(а + а)п1—- (а+а)+а—- = о, (22)

ёг К 'г г ёг г г

R

0

- п I а VN,„+а^+^Nn. 1+а V dNn-(ап + а ) %+аАп^ - 0

r i dt* V J dt* ^ ' V V

dN„.„ N..

r = R, 1:

dr

dN,. N

dr r

2

r

dN

N

N

dr

2 1 "4"

r r

N

V^-п ^т + ип I N3* + + а5п — | - 0 ;

- + а,

N

1 ¿п | _ ,„ 2in лт n 1 ш 2ш , 2¿n n

+ап--N.. - 0, п----1--- 0,

N N N,.

1 п 2 п 2

т ' 3 1 "3 гп dr r r

n - 0 I

N3i,|r-R 0, i dr

r dr r

(23)

+ а6 N3, I - 0.

В системах (20)-(21) и (22)-(23) связанность полей осуществляется за счет коэффициентов Я5^1я2 и а^ы. С учетом того, что для твердых материалов параметр а5 << 1, а собственные значения для первых членов ряда (/ = 1.7) достаточно малы, связанность полей можно не учитывать и принять а5 = 0.

Рост номера ряда приводит к увеличению и образованию члена ряда,

которым можно пренебречь вследствие его малости.

В результате при решении однородных задач (20)-(21) и (22)-(23) получаются следующие выражения функций К^т и ^т (к = 1.3):

4 4

К (Хп, г) = X Орпгтр, К2 , г) = XОрпЛрпгтр , (24)

р=1 р=1

p-1

4

K3 (^, r) - -X Ярп ("р + а + а пАрп )С (^r) + D,nJn (^r ) + ад (V ),

N1 К,r)-£ Epnr"p + £ Vp (r)rmp ,

p-1 p-1

N2 К, r)-£ E^A^ + £ Vp (r )Aprmp ,

p-1 p-1

N3 (hn,r) - E5nJn (^r) + E6nYn {^inr),

где

V1 (r )--

A9n

(b2n - Ьы )

A9n

V2 (r) - . ч

2 () (b2n - Ьы )

л T 1-m, N3 ,nr 2 +

а^

V а2Ь3п'

V3 ( r )--

V4 (r )-

A.

(b5n - b4n )

A

(Ь5п - b4n )

N3 пгХщ +I а^п - а + m |j N3 jnr i

V а2Ь3п У

- а4 + m2 |j N3 шГ - m2dr

г- а4 + Ш3 Jj N3^ - mdr

- a + Ш4 |j N3 br-m'dr

\ т 1-Ш-,

N3inr 3 +

а4Ь5п

V а2Ь6п

а4Ь4п

V а2Ь6п

Ь1п - A9nm1 + A10nm3 - A8nm4 , Ь2п - 4пШ2 - A7n" + ЛпШ4 , Ь3п - АпАпШ1 + A3nA10nm3 - A4nA8nm4 , Ь4n - A5n" - АпШ2 - ЛпШ1 , Ь5п - A5nm4 - A10nm2 - A7nm1 , Ь6п - A3nA5n" - ЛпАпШ2 - ЛпЛпШ1 ;

Арп =[(а2 + а3)трп-(а1 + а2)п] ^а1 + а2п2ш2р] прир = 1.4;

А5п = А2п - А1п , А6п = А2п - А3п , А7п = А2п - А4п , А8п = А3п - А1п , А9п = А3п - А4п , А1оп = А4п - А1п .

В выражениях (24) Зп, Уп - функции Бесселя I и II родов порядка п; Опт - неэлементарные функции Ломмеля; Лгп.Л\0п и Ь\п...Ь6п - постоянные, полученные в результате приведения (20) и (22) к разрешающим уравнениям относительно функций К\,т и М,1п соответственно; постоянные шь..ш4 являются корнями следующего биквадратного уравнения:

а2 (т2) + ^пт2 + е2л = 0 , (25)

е2и = (ап2 + а) (ап2 + а) - п2 (а + а )2, е1и = п2 (2а2а3 + а2 - а ) - а (а + ^) .

Подстановка Кк,1п и Жк>1п (к = 1.3) в граничные условия (21), (23) позволяет определить постоянные 0\п...04п, Е1п...Е4п и сформировать трансцендентные уравнения для определения собственных значений Дп.

Итоговые выражения для П(г, ф, г), У(г, ф, г), 0(г, ф, г) формируются при использовании формул обращения (7), (16.2) с учетом (11):

U ( r, Ф, t ) = £ßn

n = 0

да

F ( r, ф, t ) = л-1 £

n = 1

да

©( r, Ф, t ) = £Ц,

H (r,n, t) + £ G(Xn, n, t)N (^,r ) ||Kin

i= 1

да

H2 (r, n, t) + £ G(X,.„, n, t)N2 , r)||K,

i= 1

да

H3 (r,n,t) + £G(Xin,n,t)N3 (h„,r)||Kin

cos (пф) dф , (26) sin (пф) dф , cos (пф) dф .

Для определения функций/\(г)..,/6(г) при удовлетворении граничных условий (14) решаются следующие дифференциальные уравнения:

d ( a1 + a2n ) dr r2

fp ( r ) + п

(a2 +a3) d (a1 +a2)

n ( a2V + a3 d + T ] fP ( r ) +

r dr

( an2 + a )

a.

fp +( r ) + — -V

r

vd

- a V—

dr

fp+4 (r) = 0 , (27)

fP+2 ( r )-an^+i^ = 0:

V

dfP+4 (r ) 2 fP+4 (r )

dr

--n

= 0 .

Анализ результатов

2

r

В качестве примера рассматривается длинный анизотропный цилиндр со следующими физико-механическими характеристиками: Ь = 2 х 102 м; а = 5 х 103 м;

(С11, С13, С33, С44} = {13.9, 7.43, 11.5, 2.56} х 1010 Па; р = 7 600 кг/м3; к = 3 х 106 Дж/(м3 х К); Л = 1.6 Вт/(м х К); а = 0.4 х 10-5 К-1.

Изменение температуры на внутренней поверхности цилиндра определяется следующей зависимостью:

®1<р,t.) = Y (t.)

Y ( t.)= T

H| ^-ф] + H + 2к

+ T

ЩрЛ J-H (P +1-2 тс

(28)

(

sin

Л

V 2tmax J

H (C ax - t.) + H (t.- £ ax )

где 9 е [—п/4; п/4] - участок, на котором изменяется температура Y(t*); H(x) = 1 при x > 0, H(x) = 0 при x < 0; Tmax, t*max - максимальное значение действующей температуры в соответствующий момент времени в размерной форме (Tmax = 373 К;

t max 1 с).

Температура окружающей среды 9* равна температуре первоначального состояния тела (To(r*) = To, 9 = 0), а коэффициент теплоотдачи материала а = 5.6 Вт/(м2 х K).

На рис. 2-6 показаны графики изменения температуры в размерной форме и перемещений по тангенциальной координате в различные моменты времени. Для лучшей сходимости рядов радиальная ось располагается в середине участка 9 температурного «нагружения».

©*, °C 80

40

0

1

N4

0

2

4

6

Ф

Рис. 2. Изменение ©*(r, ф, 500f*max) по тангенциальной координате: r = R (1); r = 1 (2) Fig. 2. Variation of ©*(r, ф, 500f*max) with respect to the tangential coordinate: r = (1) R and

(2) 1

Рис. 3. Изменение U(r, ф, t*) по тангенциальной координате при t* = t*max: r = R (1); r = 1 (2) Fig. 3. Variation of U(r, ф, t*) with respect to the tangential coordinate for t* = t*max:

r = (1) R and (2) 1

Рис. 4. Изменение U(r, ф, t*) по тангенциальной координате при t* = 500t*max:

r = R (1); r = 1 (2)

Fig. 4. Variation of U(r, ф, t*) with respect to the tangential coordinate for t* = 500t*max:

r = (1) R and (2) 1

Рис. 5. Изменение V(r, ф, t*) по тангенциальной координате при t* = f*max: r = (1); r = 1 (2) Fig. 5. Variation of V(r, ф, t*) with respect to the tangential coordinate for t* = t*max:

r = (1) R and (2) 1

Рис. 6. Изменение V(r, ф, t*) по тангенциальной координате при t* = 500t*max:

r = R (1); r = 1 (2)

Fig. 6. Variation of V(r, ф, t*) with respect to the tangential coordinate for t* = 500t*max:

r = (1) R and (2) 1

По результатам расчета можно сделать следующие выводы: 1. Изменение температуры на внутренней цилиндрической поверхности (см. рис. 2, r = R), описываемое функцией ю1*(ф, t*), приводит к образованию установившегося температурного режима во всем теле цилиндра при t* = 500t*max.

2. Наибольшее значение температуры на внешней поверхности наблюдается в середине участка «нагружения» (ф = 0). На других участках при г = 1 повышение температуры имеет меньшие значения.

3. На первом этапе изменения температурного поля (/* = /"шах) разница в радиальных перемещениях цилиндрических поверхностей П(г, ф, /*) при г = Я и г = 1 наиболее существенна. Однако при установившемся режиме (/* = 500/*тах) данная характеристика снижается (см. рис. 3, 4). Обратная картина наблюдается при определении тангенциальных перемещений У(г, ф, /*) (см. рис. 5, 6).

4. Наибольшие значения радиальных перемещений П(г, ф, /*) образуются в начальный момент времени при неустановившемся температурном режиме (/* = ?*шах) (см. рис. 3, ф = 0).

На рис. 7-8 представлены графики изменения окружной компоненты тензора нормальных напряжений по радиальной координате в различные моменты времени в размерной форме.

Рис. 7. Изменение а*фф(г, ф, t*) по радиальной координате при t* = t*max: ф = 0 (1), ф = п (2)

Fig. 7. Variation of а*фф(г, ф, t*) with respect to the radial coordinate for t* = t*m

ф = (1) 0 and (2) п

Рис. 8. Изменение а*фф(г, ф, t*) по радиальной координате при t* = 500t*max:

ф = 0 (1), ф = п (2)

Fig. 8. Variation of а*фф(г, ф, t*) with respect to the radial coordinate for t* = 500t*max:

ф = (1) 0 and (2) п

По представленным графикам можно отметить следующие характерные особенности работы цилиндра:

1. На первом этапе деформирования цилиндра при t* = t*max напряжения с*фф(г, ф, t*) по радиальной координате имеют одинаковый знак. При ф = 0 -напряжения растяжения, а при ф = п - напряжения сжатия (см. рис. 7).

2. При установившемся температурном режиме (t* = 500t*max) напряжения меняют свой знак при r = 0.49 (см. рис. 8).

3. Наибольшие напряжения наблюдаются в теле цилиндра при t* = t*max и r = 0.35. Для оценки связанности термоупругих полей, а именно влияния скорости изменения толщины стенки на температурное поле, краевые задачи (20)-(23) относительно компонент вектор-функций ядер преобразований Kk,in и Nkj„ (при к = 1.3) исследовались с учетом коэффициента связанности (a5 = 1.79 х 10-4) и без его учета (a5 = 0). Разница между соответствующими собственными значениями для элемента с различной толщиной стенки составила менее 0.5%.

При оценке влияния связанности полей на трансформанту «нагрузки» G(ki„, „, t) выясняется, что данное свойство необходимо учитывать, когда a5 > 102.

Заключение

Построено новое замкнутое решение связанной задачи термоупругости для длинного полого анизотропного цилиндра при удовлетворении граничных условий теплопроводности 1-го и 3-го родов. В отличие от несвязанной постановки задачи представленный алгоритм расчета имеет преимущества, так как при исследовании уравнения равновесия отпадает необходимость аппроксимации функции температуры, а влиянием скорости изменения толщины стенки на температурное поле цилиндра можно пренебречь.

Список источников

1. Подстригая Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Теплоупругость тел неоднородной струк-

туры. М. : Наука, 1984.

2. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М. : Мир, 1970.

3. Mi„dli„ R.D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates //

International Journal of Solids and Structures. 1974. V. 10 (6). P. 625-637. doi: 10.1016/0020-7683(74)90047-X

4. Lord H.W., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity // Journal

of the Mechanics and Physics of Solids. 1967. V. 15 (5). P. 299-309. doi: 10.1016/0022-5096(67)90024-5

5. Green A.E., Naghdi P.M. Thermoelasticity without energy dissipation // Journal of Elasticity.

1993. V. 31. P. 189-208. doi: 10.1016/S0307-904X(02)00078-1

6. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. Киев : Наукова думка, 1965. 204 с.

7. Sargsyan S.H. Mathematical Model of Micropolar Thermo-Elasticity of Thin Shells // Journal

of Thermal Stresses. 2013. V. 36 (11). P. 1200-1216. doi: 10.1080/01495739.2013.819265

8. Verma K.L. Thermoelastic waves in anisotropic plates using normal mode expansion method //

World Academy of Science, Engineering and Technology. 2008. V. 37. P. 573-580. doi: 10.5281/zenodo.1058727

9. Жорник А.И., Жорник В.А., Савочка П.А. Об одной задаче термоупругости для сплош-

ного цилиндра // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2012. № 9 (1). С. 63-69.

10. Harmatij H., Krol M., Popovycz V. Quasi-Static Problem of Thermoelasticity for Thermo-sensitive Infinite Circular Cylinder of Complex Heat Exchange // Advances in Pure Mathematics. 2013. V. 3 (4). P. 430-437. doi: 10.4236/apm.2013.34061

11. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Семенов Д.А. Связанные динамические задачи гиперболической термоупругости // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. № 4 (2). С. 94-127. doi: 10.18500/1816-97912009-9-4-2-94-127

12. Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Инженерный журнал: наука и инновации. 2018. № 5 (77). C. 1-15. doi: 10.18698/2308-6033-2018-5-1761

13. Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная связанная осесимметричная задача термоупругости для жестко закрепленной круглой пластины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 4. С. 191-200. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.18

14. Лычев С.А. Связанная динамическая задача термоупругости для конечного цилиндра // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2003. № 4 (30). С. 112-124.

15. Лычев С.А., Манжиров А.В., Юбер С.В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2010. № 4. С. 138-154.

16. Jabbari M., Sohrabpour S., Eslami M.R. General Solution for Mechanical and Thermal Stresses in a Functionally Graded Hollow Cylinder due to Nonaxisymmetric Steady-State Loads // Journal of Applied Mechanics. 2003. V. 70 (1). P. 111-118. doi: 10.1115/1.1509484

17. Protsiuk B., Syniuta V. Solution of the non-axisymmetric quasistatic thermoelasticity problem for multilayer cylinder with identical lame coefficients // Scientific Journal of the Ternopil National Technical University. 2018. V. 89 (1). P. 40-51. doi: 10.33108/visnyk_tntu2018.01.040

18. Tokovyy Yu.V., Chien-Ching Ma. Analysis of 2D non-axisymmetric elasticity and thermo-elasticity problems for radially inhomogeneous hollow cylinders // Journal of Engineering Mathematics. 2008. V. 61. P. 171-184. doi: 10.1007/s10665-007-9154-6

19. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Ревинский Р.А. Прохождение обобщенной GNIII-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, № 1. С. 59-70.

20. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М. : Изд-во иностр. лит., 1955.

21. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Известия вузов. Математика. 1991. № 4. С. 57-63.

22. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Известия вузов. Математика. 1996. № 8. С. 71-81.

23. Лычев С.А., Сеницкий Ю.Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2002. Спец. вып. С. 16-38.

References

1. Podstrigach Ya.S., Lomakin V.A., Kolyano Yu.M. (1984) Termouprugost' tel neodnorodnoy

structury [Thermoelasticity of bodies of inhomogeneous structure]. Moscow: Nauka.

2. Nowacki W. (1975) Dynamic Problems of Thermoelasticity. Berlin: Springer.

3. Mindlin R.D. (1974) Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric

crystal plates. International Journal of Solids and Structures. 10(6). pp. 625-637. doi: 10.1016/0020-7683(74)90047-X

4. Lord H.W., Shulman Y. (1967) A generalized dynamical theory of thermoelasticity. Journal

of the Mechanics and Physics of Solids. 15(5). pp. 299-309. doi: 10.1016/0022-5096(67)90024-5

5. Green A.E., Naghdi P.M. (1993) Thermoelasticity without energy dissipation. Journal

of Elasticity. 31. pp. 189-208. doi: 10.1016/S0307-904X(02)00078-1

6. Kovalenko A.D. (1969) Thermoelasticity: Basic Theory and Applications. Groningen:

Wolters-Noordhoff.

7. Sargsyan S.H. (2013) Mathematical model of micropolar thermo-elasticity of thin shells.

Journal of Thermal Stresses. 36(11). pp. 1200-1216. doi: 10.1080/01495739.2013.819265

8. Verma K.L. (2008) Thermoelastic waves in anisotropic plates using normal mode expansion

method. World Academy of Science, Engineering and Technology. 37. pp. 573-580. doi: 10.5281/zenodo.1058727

9. Zhornik A.I., Zhornik V.A., Savochka P.A. (2012) Ob odnoy zadache termouprugosti dlya

sploshnogo tsilindra [On a thermoelasticity problem for a solid cylinder]. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskie nauki - Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 9(1). pp. 63-69.

10. Harmatij H., Krôl M., Popovycz V. (2013) Quasi-static problem of thermoelasticity for thermosensitive infinite circular cylinder of complex heat exchange. Advances in Pure Mathematics. 3(4). pp. 430-437. doi: 10.4236/apm.2013.34061

11. Kovalev V.A., Radaev Yu.N., Semenov D.A. (2009) Svyazannye dinamicheskie zadachi giperbolicheskoy termouprugosti [Coupled dynamic problems of hyperbolic thermoelasticity]. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika - Izvestiya of Saratov University. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics. 4(2). pp. 94-127. doi: 10.18500/1816-9791-2009-9-4-2-94-127

12. Shlyakhin D.A., Dauletmuratova Gh.M. (2018) Nestatsionarnaya osesimmetrichnaya zadacha termouprugosti dlya zhestkozakreplennoy krugloy plastiny [Non-stationary axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed round plate]. Inzhenernyy zhurnal: nauka i inno-vatsii - Engineering Journal: Science and Innovation. 5(77). pp. 1-15. doi: 10.18698/23086033-2018-5-1761

13. Shlyakhin D.A., Dauletmuratova Gh.M. (2019) Nestatsionarnaya svyazannaya osesimmet-richnaya zadacha termouprugosti dlya zhestko zakreplennoy krugloy plastiny [Non-stationary coupled axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed round plate]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika -PNRPU Mechanics Bulletin. 4. pp. 191-200. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.18

14. Lychev S.A. (2003) Svyazannaya dinamicheskaya zadacha termouprugosti dlya konechnogo tsilindra [Coupled dynamic thermoelastic problem for a finite cylinder]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya - Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 4(30). pp. 112-124.

15. Lychev S.A., Manzhirov A.V., Yuber S.V. (2010) Closed solutions of boundary-value problems of coupled thermoelasticity. Mechanics of Solids. 45(4). pp. 610-623. doi: 10.3103/S0025654410040102.

16. Jabbari M., Sohrabpour S., Eslami M.R. (2003) General solution for mechanical and thermal stresses in a functionally graded hollow cylinder due to nonaxisymmetric steady-state loads. Journal of Applied Mechanics. 70(1). pp. 111-118. doi: 10.1115/1.1509484

17. Protsiuk B., Syniuta V. (2018) Solution of the non-axisymmetric quasistatic thermoelasticity problem for multilayer cylinder with identical lame coefficients. Scientific Journal of the Ternopil National Technical University. 89(1). pp. 40-51. doi: 10.33108/visnyk_tntu2018.01.040

18. Tokovyy Yu.V., Ma Ch.-Ch. (2008) Analysis of 2D non-axisymmetric elasticity and thermo-elasticity problems for radially inhomogeneous hollow cylinders. Journal of Engineering Mathematics. 61. pp. 171-184. doi: 10.1007/s10665-007-9154-6

19. Kovalev V.A., Radaev Yu.N., Revinskiy R.A. (2011) Prokhozhdenie obobshchennoy GNIII-termouprugoy volny cherez volnovod s pronitsaemoy dlya tepla stenkoy [Generalized cross-

coupled type-III thermoelastic waves propagating via a waveguide under sidewall heat interchange]. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika -Izvestiya of Saratov University. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics. 1(11). pp. 5970. doi: 10.18500/1816-9791-2011-11-1-59-70

20. Sneddon I.N. (1951) Fourier Transforms. New York: McGraw-Hill.

21. Senitskiy Yu.E. (1991) Mnogokomponentnoe obobshchennoe konechnoe integral'noe preobrazovanie i ego prilozhenie k nestatsionarnym zadacham mekhaniki [A multicompo-nent generalized finite integral transformation and its application to nonstationary problems in mechanics]. Izvestiya vuzov. Matematika - Russian Mathematics. 4. pp. 57-63.

22. Senitskiy Yu.E. (1996) Biortogonal'noe mnogokomponentnoe konechnoe integral'noe preobrazovanie i ego prilozhenie k kraevym zadacham mekhaniki [A biorthogonal multi-component finite integral transformation and its application to boundary value problems in mechanics]. Izvestiya vuzov. Matematika - Russian Mathematics. 8. pp. 71-81.

23. Lychev S.A., Senitskiy Yu.E. (2002) Nesimmetrichnye integral'nye preobrazovaniya i ikh prilozheniya k zadacham vyazkouprugosti [Nonsymmetric finite integral transformations and their application to visco-elasticity problems]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestven-nonauchnaya seriya - Vestnik of Samara University. Natural Science Series. Special Issue. pp. 16-38.

Сведения об авторах:

Шляхин Дмитрий Аверкиевич - доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты» Самарского государственного технического университета (Самара, Россия). E-mail: [email protected] Юрин Владимир Андреевич - аспирант, инженер кафедры «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты» Самарского государственного технического университета (Самара, Россия). E-mail: [email protected]

Ратманова Олеся Викторовна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты» Самарского государственного технического университета (Самара, Россия). E-mail: [email protected]

Information about the authors:

Shlyakhin Dmitriy A. (Doctor of Technical Sciences, Samara State Technical University, Samara, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Yurin Vladimir A. (Samara State Technical University, Samara, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Ratmanova Olesya V. (Candidate of Technical Sciences, Samara State Technical University, Samara, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 17.05.2023; принята к публикации 05.08.2024 The article was submitted 17.05.2023; accepted for publication 05.08.2024