CC BY
60
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №5(39).
УДК 621.373.826
131
СВЯЗЬ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ РАЗРЕШАЮЩИХ СПОСОБНОСТЕЙ КВАЗИВЫРОЖДЕННОГО ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
© 2005 В.В.Ивахник, В.И. Никонов1
Для квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения получены приближенные выражения для продольной и поперечной разрешающих способностей. Показано, что отношение продольной к квадрату поперечной разрешающим способностям четырехволнового преобразователя излучения является постоянной величиной, не зависящей от положения плоскости фокусировки сигнальной волны.
Интерес к изучению невырожденных четырехволновых преобразователей излучения обусловлен, прежде всего, возможностью получения с их помощью волны с обращенным волновым фронтом с одновременным изменением частоты излучения. Для использования четырехволновых преобразователей излучения в оптических системах коррекции фазовых искажений необходимо знать, насколько точно комплексная амплитуда генерируемой объектной волны соответствует сопряженной комплексной амплитуде сигнальной волны.
В приближении заданного поля по накачкам система уравнений, описывающая четырехволновое взаимодействие, линеаризуется относительно комплексных амплитуд сигнальной и объектной волн. Поэтому в качестве полной характеристики четырехволнового преобразователя излучения как оптической системы, состоящей из участка свободного пространства толщиной гъ, нелинейной среды, в которой распространяются две волны накачки, и участка свободного пространства толщиной г4, может выступать функция размытия точки (ФРТ), являющаяся откликом оптической системы на точечный сигнал [1]. Ширина модуля ФРТ определяет поперечную разрешающую способность оптической системы.
В работах [2-4] достаточно подробно исследована зависимость поперечной разрешающей способности четырехволнового преобразователя излучения от характеристик нелинейной среды, параметров волны накачки.
1 Ивахник Валерий Владимирович (ivakhnik@ssu.samara.ru), Никонов Владимир Иванович (nikonov@ssu.samara.ru), кафедра оптики и спектроскопии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
В настоящей работе анализируется связь продольной и поперечной разрешающих способностей квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения.
Пусть в среде с керровской нелинейностью, расположенной между плоскостями z = 0 и z = £, распространяются навстречу друг другу две волны накачки с комплексными амплитудами Ai и A2, частотами Шх и Ш2 и сигнальная волна с комплексной амплитудой A3 и частотой Шх. В результате квазивырожденного четырехволнового взаимодействия Шх + Ш2 - Шх = Ш2 генерируется объектная волна с комплексной амплитудой A4, с обращенным по отношению к сигнальной волне волновым фронтом.
Для волн накачки произвольной пространственной структуры без учета их самовоздействия при малом коэффициенте отражения в параксиальном приближении Фурье-образ комплексной амплитуды объектной волны A4(iKx, Z4) в плоскости, расположенной на расстоянии Z4 от передней грани нелинейной среды (плоскость фокусировки объектной волны), связан с Фу-рье-образом комплексной амплитуды сигнальной волны A3(K3,Z3) в плоскости, расположенной на расстоянии Z3 от передней грани нелинейной среды (плоскость фокусировки сигнальной волны), соотношением [1]
£ СЮ СЮ
A4 (K4, Z3, Z4) = ig J dz J JdKidK2Ai (Ki,Z = 0) A2 (K2,Z = 0) x
0 —Ю -Ю
{(K + K — K.)2 к2 1
—2^-----------Z3 + ‘2k^Z4 I CXP ^~iAz^' ('1')
Здесь Am(Km, z = 0) — Фурье-образы комплексных амплитуд волн накачки на передней грани нелинейного слоя; Km |кшх, Kmy j — поперечные составляющие волнового вектора km соответственно; g — коэффициент нелинейной связи; Д = (ki +k2 —k3 — k4)z — проекция волновой расстройки на ось Z; m = 1,4. Выражение (1) записано при условии, что проекция волновой расстройки на оси X и Y равна нулю: Ki + K2 — K3 = K4.
При квазивырожденном четырехволновом взаимодействии проекция волновой расстройки на ось Z есть
к2 /1 i \ к4(к1 + к2) — кхк2 к2 /1 i
А = Т^"%] ь +Т^ + ^' <2)
В случае плоских волн накачки Ау(Ку, z = 0) = Ар6(Ку - Куо), распространяющихся навстречу друг другу К10 + Й20 = 0, выражение для проекции волновой расстройки принимает вид
Для плоских волн накачки выражение, связывающее Фурье-образы объектной и сигнальной, комплексных амплитуд, есть
Л4(К4, zз, Z4) = І§Лз(-К4, Zз) exp < І
K42 z4
Zз
2 k2 kl
sin c
М
~2
(4)
Отношение Фурье-образов комплексных амплитуд объектной и сигнальной назовем коэффициентом преобразования
K(К4,zз,Z4) =
A4(K4,Z3,Z4)
a:(-K4,z3) '
(5)
Из выражения (4) коэффициент преобразования квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения есть
K(К4, zз, Z4) = ig exp ї І
K42 z4
Zз
2 k2 kl
~2
• sin c
M
~2
(б)
Функция размытия точки является Фурье-образом коэффициента преобразования. Для плоских волн накачки, распространяющихся строго вдоль оси Z (К20 = 0), из (6) с учетом (3) с точностью до постоянного множителя выражение для ФРТ имеет вид
Л f, f .(fWo)2^ Z3 /1 1\
Г(р - Р0.О,*) = J *е*р j— - - - - г^_ - -j
-l
X
X
Z4_Z3_ (1_____
кг к\ \к\ кг
(7)
Здесь р0 — вектор, задающий положение точки в плоскости фокусировки сигнальной волны.
Численный анализ (7) показывает, что модуль ФРТ спадает с ростом поперечной координаты. При фиксированном положении плоскости фокусировки сигнальной волны по мере приближения плоскости фокусировки объектной волны к участку пространства, ограниченному плоскостями z, =
k2 ,, k2 „ k2 *
-Z3 и Z =-Z3+£l--l
/vl /vl у /vl
происходит монотонное уменьшение ширины
модуля ФРТ, определяемой на уровне 1/е от максимального значения модуля ФРТ.
При фиксированном положении плоскости фокусировки сигнальной волны плоскость оптимальной фокусировки объектной волны, в которой ширина модуля функции размытия точки минимальна, а изменение фазы на ширине модуля ФРТ незначительно [4], расположена между плоскостями z, и z,,.
К сожалению, определение положения плоскости оптимальной фокусировки и значения поперечной разрешающей способности в этой плоскости с использованием выражения для ФРТ (7) невозможно из-за возникающей в подынтегральном выражении неопределенности вида ’’бесконечность”.
l
Положение плоскости оптимальной фокусировки определим из условия независимости фазы коэффициента преобразования от поперечной составляющей волнового вектора сигнальной волны
1 1
kl k2
(8)
Для нахождения поперечной разрешающей способности в плоскости оптимальной фокусировки воспользуемся приближенным выражением для ко/ Д£
эффициента преобразования. Для этого заменим функцию sine
2
в вы-•2 Л
ражении для коэффициента преобразования гауссовой функцией exp І -
K
b2
ширина которой определяется ближайшим к точке максимума нулем функ' Аі \
ции sin с | —
b=
2л/ 1 1
€ \к\ к2
С учетом сделанной замены выражение для коэффициента преобразования квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения примет вид
K(К4, zз, Z4) = Іg ex^ -К
1 І
& ~ 2hAz
(9)
Здесь Дz = Z4 -Z4opt — отстройка плоскости фокусировки объектной волны от плоскости оптимальной фокусировки.
Осуществив преобразование Фурье (9), получим с точностью до постоянного множителя приближенное выражение для ФРТ
(Р- ?0)2 1 ' -‘21- ' ^
Г(р- po,Z3,z4) = exp <
4
І
Д z
2Т2
AzY 2к2)
(1О)
В плоскости оптимальной фокусировки поперечная разрешающая способность четырехволнового преобразователя излучения связана с толщиной нелинейной среды и волновыми векторами к\и кг соотношением
ьР = 1 =
2£ П_ п \kl
(11)
Продольная разрешающая способность четырехволнового преобразователя излучения определяется как отрезок прямой 6z вдоль оси Z, на концах которого полуширина функции размытия точки в 2 раза больше полуширины ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки [4].
Из анализа (10) следует, что продольная разрешающая способность ква-зивырожденного четырехволнового преобразователя излучения есть
1
п \kl
(12)
l
2
Отношение продольной к квадрату поперечной разрешающим способностям четырехволнового преобразователя излучения не зависит от положения плоскости фокусировки сигнальной волны и равно
= VI (13)
£2 (бр)
Постоянство отношения продольной к квадрату поперечной разреша-юших способностей хорошо согласуется с аналогичным результатом для вырожденного четырехволнового преобразователя излучения с гауссовыми волнами накачки [3].
Приведем оценки продольной и поперечной разрешаюших способностей. В качестве нелинейной среды возьмем среду толщиной € = 1 см с показателем преломления п = 1.5. Пусть длины сигнальной и объектной волн равны А.1 = 0.69 мкм, А.2 = 0.53 мкм. Тогда, используя (11) и (12), в плоскости оптимальной фокусировки получим бр ~ 10 мкм, бz ~ 3.3 мм.
Литература
[1] Воронин Э.С., ИвахникВ.В., ПетниковаВ.М. и др. Квантовая электроника. 1979. Т. 6. №9. С. 2009.
[1] ИвахникВ.В. Известия вузов. Физика. 1984. №9. С. 115.
[2] ИвахникВ.В., НекрасоваГ.Э. Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 66. Вып. 6. С. 1369.
[3] ИвахникВ.В., НиконовВ.И. Оптика и спектроскопия. 1991. Т. 71. Вып. 5. С. 847.
[4] Воронин Э.С., Стрижевский В.А. УФН. 1979. Т. 127. Вып. 1. С. 99.
Поступила в редакцию 17/У7/2005; в окончательном варианте—17/КТ/2005.
CORRELATION OF LONGITUDINAL AND CROSS RESOLUTIONS OF THE QUASI-DEGENERATE FOUR-WAVE RADIATION CONVERTER
© 2005 V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov2
Approximate expressions for longitudinal and cross resolutions of the quasi-degenerate four-wave converter of radiation are obtained. It is shown that the ratio of longitudinal to squared crosses resolutions of the quasi-degenerate four-wave converter of radiation has a stationary value. It is also independent on position of optimal focus plane of the signal wave.
Paper received 17/V7/2005. Paper accepted 17/VT/2005.
2Ivakhnik Valerij Vladimirovich (ivakhnik@ssu.samara.ru), Nikonov Vladimir Ivanovich (nikonov@ssu.samara.ru), Dept. of Optics and Spectroscopy, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
