CC BY
30
УДК 621. 373. 826
КАЧЕСТВО ОБРАЩЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА КВАЗИВЫРОЖДЕННЫМ ЧЕТЫРЁХВОЛНОВЫМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
© 2007 В.В. Ивахник, В.И. Никонов, Т.Г. Харская
Самарский государственный университет
Получен вид функции размытия точки квазивырожденного четырёхволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности. Проанализированы зависимости ширины модуля функции размытия точки в плоскости оптимальной фокусировки от отношения волновых чисел волн накачки и толщины нелинейного слоя для схем с попутной и встречной геометрией.
Интерес к квазивырожденному четырех-волновому взаимодействию со1 + с2 - со1 = со2 обусловлен возможностью наряду с получением волны с обращенным волновым фронтом одновременно осуществлять перевод излучения с одной частоты на другую, что оказывается предпочтительно при решении целого ряда задач [1-3]. Если качество обращения волнового фронта вырожденным че-тырехволновым преобразователем излучения на тепловой нелинейности изучено достаточно подробно [4-7], то вопрос о качестве обращения волнового фронта квазивырожденным четырехволновым преобразователем излучения остается открытым [8]. Одним из наиболее распространенных методов исследования соответствия комплексных амплитуд сигнальной и объектной волн при четырех-волновом взаимодействии является метод функции размытия точки [9].
Пусть в среде с тепловой нелинейностью распространяются две волны накачки с комплексными амплитудами А1 и А2 и частотами с и с2 и сигнальная волна с амплитудой А3 и частотой с . В результате четырех-волнового взаимодействия генерируется объектная волна с комплексной амплитудой А4 и частотой с2.
Стационарное волновое уравнение, описывающее такое взаимодействие, есть
(
(V2 + [к2
1 +
2 ^
п0 . dT
\
дТ
( 4 / Ч ^ (1)
2ik]a] ]} X А} ехр (ю/) + к.с. I = 0.
V' =1 У
Здесь п0. - среднее значение показате-
со п .
ля преломления, к. = ——'— волновое число,
'с
О 1 - коэффициент поглощения, к1 = к
к = кл , О
а3,а2
О4, 5Т - изменение
температуры, обусловленное выделением тепла при поглощении излучения.
Уравнение (1) необходимо дополнить уравнением Пуассона
V2 дТ +
1
АсрУ
О (А + Аз)(А* + Аз*)+
+«2 (А+А4)(А* + А4*)}=0
(2)
где Л - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость, у - объемная плотность вещества.
Будем рассматривать четырехволновое взаимодействие волн в среде в приближении заданного поля по волнам накачки, при условии, что коэффициент преобразования мал
2 I I 2 I I 2
( А12 >> А3 >> А4 ). Распределение интенсивности можно представить в виде
I = 1 А. А* + А Аз* + А* Аз
'=1
.=, (3)
С учетом сделанных предположений волновое уравнение распадается на четыре уравнения
(
(V2 + к
1 +
2 dn с» гт1
П. 0
л
2ik }А = 0, ' = 1 - 3
(V2+к
1+
2 й~п с» гт!
ппл йТ
л
2 к2 ап
2гк4а4}Л4 + ^ ^ §ТЛ
п04 йт
0
(5)
а уравнение Пуассона разбивается на два уравнения
V2§T + аЛ1Л1 ^ аЛ Л2 = 0
V2 +
а
Ксру ^ (Л1 Л3* + л; Л3 ) = 0
(6) (7)
т = 3,4.
(10)
Здесь Кj и kjz - поперечная и продольная составляющие волнового вектора .
В приближении медленно меняющихся амплитуд с учетом (9), (10) уравнения (4), (5) примут вид
ёЛ] 0 .к, [ к1 йп
^ -к. \пп.ат§т0-ЧЛ0 = 0;(11)
+ г
Jz
10 ]
j= 1,2,
йА (К, z) . к\ ^ к\ йп с пи / \ 3\3 7 + ¿тЧ—§Т0( z) -dz к3 п03 аТ
3 z 03
-га3}Л3(К3, z) = 0
; (12)
йЛ4 (К4 , z) + г к4 ( к4 йп §Т (z) _
dz
-га4}Л4(К4, z) =
г к42 йп
к4zn04 йТ
к4z п04 йТ
§Т31(Кт = К4 К2, z) X . (13)
Л
20
(z)exP {-¿(Х, - к4)zZ}
Здесь §Т31 и §Т0 быстро и медленно меняющие в пространстве составляющие температуры
§Т = §Т0 + §Т31).
Разложим быстро осциллирующую в пространстве составляющую изменения температуры по гармоническим решеткам
§Т31(г) = 1§Т31(КТ,z)exp(-гКTр)йкт. (8)
Здесь §Т31 - амплитуда спектра тепловой решетки, р - поперечная составляющая радиус-вектора Г, Кт - пространственный вектор гармонической тепловой решетки.
Пусть волны накачки являются плоскими волнами
А(г) = А 0( z) ехР (-г^Jр - -гМ, (9) J = 1,2.
Сигнальную и объектную волны разложим по плоским волнам
Лт (Г ) = I ЛЛт Кт, Z) еХР {-г*тР - гк^}
Уравнения (11)-(12), (6), (7) необходимо дополнить граничными условиями для амплитуд волны накачки Л1 и сигнальной волны:
Лю^ = 0) = Л°,
Д(^, z = 0) = Л^),
для температуры:
§Т)( z = 0) = §Т)( z = £) = = §Т„( z = 0) = §ТЪ1( z = £) = 0.
Граничные условия для температуры записаны при условии отвода тепла от обеих граней нелинейного слоя.
Решая уравнения (7) с учетом граничных условий и изменения амплитуд волны накачки и сигнальной волны по нелинейному слою (решение уравнений (11), (12)), получим
§Т31(/?Т , z) = ^
1
/2 -КТ I 2shкT£
-x
{ехр(-к^) [ехр(кт £) - ехр(-/£) ]}
■ +
+
2shкт £
(exp(ктz) х
[ехр(-/£) - ехр(-кт £) ]-
ехР(-/^
. (14)
Здесь /
К-т
1Л00л^(к3)]/Асру, ^ кт\, / = 2а1 + г(к -к3)z
кт = К1 К3.
Подставив (14) в (13) и проинтегрировав по координате z, найдем с точностью до постоянного множителя амплитуду пространственного спектра объектной волны.
В схеме со встречными волнами накачки при использовании граничных условий
1
Ao(z = £) = A20, A4(k4, z = £) = 0
амплитуда пространственного спектра объектной волны на передней грани нелинейного слоя есть
A4 (к4 = к2 + £Т, z = 0) =
A20f
п 2 2
[ 1 [exp(-ff£) - exp(^T£)] х [ 2shKT £ [кТ + ip]
[exp(-^T£ - ip£) -1] +
1 [exp(-p£) - exp(-^T £)]
X
2shKT£ [kt - ip]
г /- Л • ,n n exp(-p£ - ip£) -1 ч [exp(^£ - ip£)-1] + д . — }
Р + ip (15)
где Р = (k2 - г .
Выражение для амплитуды пространственного спектра объектной волны на задней грани нелинейного слоя в схеме с попутными волнами накачки при использовании граничных условий 2 = 0) = АО, Л4(к4,г = 0) = 0 полностью совпадает с выражением (15).
В параксиальном приближении
(к - кз) z
1
2к
(< - <).
1
Р =^Т К - ^2) 2к 2
в схеме с попутными волнами накачки,
Р
1
(< -
2 J в схеме со встречны-
2k 2
ми волнами накачки.
Зная амплитуду пространственного спектра объектной волны при условии A3 (кз) = const, найдем функцию размытия точки (ФРТ) четырехволнового преобразователя излучения
G(P, zз, Z4) = J А(К4 = 4 +4 )
X
exp
-ik4 р
2 • 2
_L z +_—
2k 2k
z
dKA
(16)
Здесь 2Ъ - расстояние от плоскости фокусировки сигнальной волны до передней грани нелинейного слоя, г 4 - расстояние от плоскости фокусировки объектной волны до передней грани нелинейного слоя в схеме со встречными волнами накачки, до задней грани нелинейного слоя в схеме с попутными волнами накачки,
Л4 (^4 = ^2 ^ ^т ) = Л4 (^4 = ^2 ^ ^т, г = 0)
-~в схеме со в стречными волнами накачки, Л4 (^4 = + Кт ) = Л4 (к4 = к2 + кт, 2 = €) — в схеме с попутными волнами накачки.
Схема со встречными волнами накачки
Пусть волны накачки распространяются навстречу друг другу строго вдоль оси Z.
Численный анализ выражения (16) с учетом (15) показывает, что функция размытия точки завис ит от модуля поперечной координаты р = |р| и с ее увеличением модуль ФРТ монотонно уменьшается. Введем понятие ширины модуля ФРТ (Ар) , характеризующего разрешающую способность четырех-волнового преобразователя излучения
G
Р =
Ар 2
= 2 G (Р = 0).
При фиксированном положении плоскости фокусировки сигнальной волны существует положение плоскости фокусировки объектной волны, в которой ширина модуля ФРТ минимальна (плоскость оптимальной фокусировки (г4^ )).
На рис. 1 (кривая 1) приведен график зависимостей нормированной ширины модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки (Ар' = Ар • k1) от отношения волновых чисел волн накачки. Ширина модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки минимальна, если отношение волновых чисел
волн накачки близко к единице. С увеличе-
^ > 1
нием отношения волновых чисел при k
ширина модуля ФРТ, монотонно увеличиваясь, выходит на постоянное значение, величина которого определяется толщиной нелинейной среды и значением волнового числа первой волны накачки.
При фиксированных параметрах волн
X
Рис. 1. Зависимость ширины модуля ФРТ от отношения волновых чисел волн накачки в схеме с попутными волнами накачки (кривая 1), в схеме со встречными волнами накачки (кривая 2)
при а£ = 1.6 , k2£ = 160
Рис. 2. Зависимость ширины модуля ФРТ от толщины нелинейного слоя в схемах со встречными волнами накачки (кривая 1), с попутными волнами накачки
(кривая 2 ) при / ^ «17
схеме изменение ФРТ четырехволнового преобразователя излучения зависит как от кор-динаты х, так и от координаты у . Направление координатных осей X и Y выберем таким образом, чтобы ось X лежала в плоскости волновых векторов волн накачки, а ось Y была направлена перпендикулярно этой плоскости. Введем понятие ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки (Ах = |х1 — х 21) и в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки (Ау = |у1 — у2 |), где х12 и у12, определяются из условий
Рис. 3. Зависимость ширины модуля ФРТ от отстройки плоскости фокусировки объектной волны от плоскости оптимальной фокусировки.
накачки увеличение толщины нелинейного слоя приводит к монотонному росту ширины модуля ФРТ (рис. 2. кривая 1). Если нелинейная среда "тонкая" (а£ < 1), то ширина модуля ФРТ прямо пропорциональна £1/2.
По мере отстройки плоскости фокусировки объектной волны от плоскости оптимальной фокусировки (8z = z4 — z4í) происходит резкое увеличение ширины модуля ФРТ (рис. 3)
Схема с попутными волнами накачки
Пусть при распространении волн накачки выполняется условие к1 + к2 = 0. В этой
G(х1,2 , У = 0)| = 2 О G(У1,2 , х = 0)| = 2 0
(19)
(20)
Здесь О - максимальное значение мо-
^ тах
дуля ФРТ.
На рис. 1 (кривая 2) для плоскости перпендикулярной плоскости волн накачки приведен график зависимости нормированной ширины модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки (Ах' = Ах • ^ ) от отношения волновых чисел волн накачки. В плоскости волн накачки значение ширины модуля ФРТ отличается от значения в плоскости перпендикулярной плоскости волн накачки менее чем на 1%. С увеличением отношения волновых чисел нормированная ширина мо-
дуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки монотонно убывая выходит на постоянное значение.
Как и в схеме со встречными волнами накачки увеличение толщины нелинейного слоя приводит к росту ширины модуля ФРТ (рис. 2.кривая 2). При этом зависимости Дх и Ду от толщины нелинейного слоя с точностью 0.1% при k2|^ « 17 совпадают.
В заключение приведем оценки ширины модуля ФРТ квазивырожденного четырехвол-нового преобразователя излучения на тепловой нелинейности. Пусть тепловая решетка записывается излучением CO2 лазера (Я = 10.6 мкм), а считывается излучением Ив — Ыв лазера (Я1 = 0.63мкм). В качестве нелинейной среды рассмотрим слой ацетона (а1 = 40смп1 = п2 = 1.33) толщиной £ = 400мкм. Численный анализ выражения ФРТ показывает, что ширина модуля ФРТ в плоскости оптимальной фокусировки в схеме с о встречными волнами накачки равна Др = 9 мкм , в схеме с попутными волнами накачки - Дх « Ду «10 мкм . Отстройка плоскости фокусировки сигнальной волны от плоскости оптимальной фокусировки на 3 мм в схеме со встречными волнами накачки приводит к увеличению ширины модуля ФРТ до 14.5 мкм.
Полученное значение ширины модуля ФРТ определяет придельное (максимальное) значение разрешающей способности квазивырожденного четырёхволнового преобразовате-
ля на тепловой нелинейности, качественно совпадают с экспериментальными результатами работы [8], в которой для приведённых выше параметров нелинейной среды и взаимодействующих волн наблюдалось восстановление одномерной сетки с диаметром проволоки 35 мкм.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Petersen P.M. // JOSA. B. 1991. V.8. N.8.
2. Agrawal G.P. // Opt. Commun. 1981. V.39. N.4.
3. Гюламирян А.Л., Мамаев А.В., Пилипец-кий Н.Ф., Рагульский В.В., Шкунов В.В. // Квантовая электроника. 1981. Т.8. №1.
4. Ивахник В.В., Никонов В.И. // Оптика и спектроскопия. 1997.Т.82. №1.
5. Ивахник В.В., Никонов В.И., Харская Т.Г. // Известия ВУЗов. Приборостроение. 2006. Т.49. №8.
6. Бетин А.А., Жуков Е.А., Митропольский О.В. // Квантовая электроника. 1985. Т.12. №9.
7. Бетин А.А., Митропольский О.В. // Квантовая электроника. 1987. Т.14. №5.
8. Бетин А.А., Жуков Е.А., Митропольский О.В, Тургенев С.Г. // ЖТФ. 1987. Т.57. В.5.
9. Воронин Э.С., Ивахник В.В., Соломатин В.В, Петникова В.М., Шувалов В.В. // Квантовая электроника. 1979. Т.6. №9.
10. Ивахник В.В., Некрасова Г.Э. // Квантовая электроника. 1989. Т. 16. №1.
THE QUALITY OF PHASE CONJUGATE WAVES VIA PARTIALLY DEGENERATE FOUR-WAVE MIXING IN THERMAL NONLINEAR MEDIA
© 2007 V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov, T.G. Harskaya
Samara State University
An expression for the point spread function (PSF) of a partially degenerate four-wave radiation converter in thermal nonlinear media is created . We investigate dependence of the width of module point spread function for the quotient of wave numbers of the pumping waves and for the thickness nonlinear stratum.
