CC BY
32
АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЧЕТЫРЁХВОЛНОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ В СХЕМЕ С ПОПУТНЫМИ ВОЛНАМИ НАКАЧКИ
В.В. Ивахник, В.И. Никонов, Т.Г. Харская Самарский государственный университет
Аннотация
Получена система уравнений, описывающих четырёхволновое взаимодействие в схеме с попутными волнами накачки на тепловой нелинейности. При условии отвода тепла от передней и задней граней нелинейной среды в приближении заданного поля по волнам накачки найдено изменение пространственного спектра амплитуды преобразованной волны на задней грани нелинейного слоя. Проанализирована зависимость ширины модуля функции размытия точки (ФРТ) от параметров волн накачки и характеристик нелинейной среды.
Введение
Важнейшей характеристикой любого четырехволнового преобразователя излучения является точность, с которой он осуществляет преобразование комплексной амплитуды падающей на него волны. В линейном приближении по амплитудам сигнальной и преобразованной волн полной характеристикой точности преобразования амплитуды сигнальной волны может выступать функция размытия точки (ФРТ) [1,2]. Использование тепловой нелинейности позволяет расширить класс веществ, применяемых для обращения волнового фронта, за счёт сред с линейным коэффициентом поглощения, которые не обладают выраженными нелинейными свойствами нетеплового характера [3]. Для среды с тепловым механизмом нелинейности в [4] найдена и проанализирована ФРТ четырехволнового преобразователя излучения в схеме со встречными волнами накачки. Переход к схеме с попутными волнами накачки позволяет создать волну с обращённым волновым фронтом распространяющуюся в направлении сигнальной волны [5], поэтому не меньший интерес представляет анализ пространственных характеристик четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности в схеме с попутными волнами накачки.
1. Вывод основных уравнений, описывающих четырехволновое взаимодействие
Пусть в плоском слое с тепловой нелинейностью толщиной і распространяются две волны накачки с комплексными амплитудами А1 и А2 и сигнальная волна с амплитудой А3. В результате вырожденного четырехволнового взаимодействия ю+ю-ю = ю генерируется преобразованная волна с амплитудой А4 (рис. 1).
Стационарное волновое уравнение, описывающее такое взаимодействие, имеет вид
(V2 + [к2
1 + -
V ( 4
2 йп
п0 йТ
ЬТ
-2/ка]}
Л
(1)
+ к.с.
= 0.
Здесь п0 - среднее значение показателя преломления, к - волновое число, а - коэффициент поглощения, 5Т - изменение температуры, обусловленное
Рис. 1. Схема четырехволнового взаимодействия с попутными волнами накачки
Уравнение (1) необходимо дополнить уравнением Пуассона
V25T +-
а
ЛсР V
IА
і=1
+ к.с.
= 0,
(2)
где Л - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость, V - объемная плотность вещества.
Будем рассматривать четырехволновое взаимодействие в приближении заданного поля по волнам
накачки (\Л1212 >> |Л3 412). При условии, что коэффициент преобразования мал (|Л312 >> |Л412), в выражении для интенсивности взаимодействующих волн необходимо учитывать только решетки, образованные при интерференции волн накачки с сигнальной волной
I Аі + кс.
і=1
= I АіАі + А1А3 + А2 А3 + А1А3 + Л А3 . і=1
Изменение температуры представим в виде суммы трёх слагаемых:
5Т = 8Т0 + 8Т31 + 5Т32,
одно из которых ЬТ0 связано с распространением в среде волн накачки, а два других ЬТ31 и ЬТ32 с интерференцией волн накачки с сигнальной волной.
2
Разложим составляющие изменения температуры ST3j по гармоническим решеткам
8T3 j (r) = J5T 3 j (кTj, z) exp(-iKT.p)dкTj, j = 1,2.
Здесь 57"з. - амплитуды спектров тепловых решеток, записанных сигнальной волной и j - ой волной накачки, p(x, у) - поперечная составляющая радиус-вектора r, к^ - пространственный вектор
гармонической решетки.
Пусть волны накачки являются плоскими волнами
Aj (r ) = A0 (z) exp {-iк.p - ikjZz} , j = 1,2.
Падающую волну разложим по плоским волнам
A3(r ) = J z)exP {-iK3p- ik3zz}dK3 .
Учитывая наличие в нелинейной среде двух тепловых решеток, представим преобразованную волну в виде суммы двух волн A4 = A41 + A42, каждую из которых также разложим по плоским волнам
A4m (Г) = J A4m (K4m , z)eXP {4mp- ik4mzZ}}4m ,
m = 1,2 .
Здесь к j и K4m , kjz и k4mz - поперечная и продольная составляющие волновых векторов kj и k4m, j = 1 +3, m = 1,2, |kj.| = |k4m| = k. Направления осей
OX и OY выберем таким образом, чтобы ось OX лежала в плоскости, образованной волновыми векторами волн накачки (плоскость волн накачки), а ось OY в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки.
Учитывая сделанные выше предположения и в приближении медленно меняющихся амплитуд, волновое уравнение (1) распадается на пять уравнений вида
М]0-+ik- j ST0 - ia Г Aj0 = 0, j = 1,2,
dz hJz | n0 dT
dA3(K3, z) k I k dn
(3)
dz
■ + i ~
k3 z I n0 dT
8T0(z) - ia Г A3(K3, z) = 0, (4)
dA41(K41, z) i k j k dn I
dz
k2 dn І---------------
k41zn0 dT
+ h-----1-^ 6T)( z) - ia Г A4l( K41, z)
k41z I n0 dT
8?3l(KT1 =K41 K2 ’ z)>
X A 20 ( z)exp {-i(k2z - k41z ) z}
dA42(K42,z) ' k j k dn
dz
+ i -1 ^-^5T0( z) - ia Г A42 (K42 = z) =
k42 z I n0 d1
i к----- dn ^T32 (Kt2 = K42 -Ki; z)>
k42zn0 dT XA 10(z)eXP {-i(k1z - k42z )z)-
(6)
Уравнения (3-6) дополняются граничными условиями:
A]0( z = 0) = A
J 0 ’
A3 (K3 , z = 0) = A3 (K3 ) :
(7)
A4m (K4m , Z = 0) = 0.
Уравнение Пуассона распадается на три уравнения
+ та-(Ло(z)A*o(z) + A20 (z)A2o (z)) = 0 , (8) dz2 Ac vv ’
— + K 2.|ST3 j (Ktj ,z) =
A.cp v
Aj0A (k3, z) exP {-i (kjz - k3z)z},
(9)
j = 1,2.
При выводе уравнений (3)-(6), (9) считали, что
КТ1 = К1 -К3 = к41 -к КТ 2 = к2 -К3 = К42 - К1 .
При условии отвода тепла от передней и задней граней нелинейной среды (5Т3 (KTj, z = 0) =
= ST3 j (KTj, z = t) = 0) с учетом граничных условий (7)
решения уравнений (3)-(4), (8) можно записать следующим образом:
Aj0 (z) = Aj0 exp{-az - iC(z)} , j = 1,2 ,
A3 (K3, z) = A30 (K3) exp {-az - iC(z)}, 5T-< z) = t:^ ¿< J2 X
4аЛср v j=1
1 - exp(-2az) - z [1 - exp(-2a^)]
(10)
(11)
(12)
1^2
где С (2) = —-П [ЗТо^)^ .
п0 <ЛТ о
С учетом изменения вдоль оси Ъ амплитуд волн накачки и сигнальной волны уравнение (9) имеет решение вида
5T3 (kT] , z) =-
1
2shKTj £
в j - K1j
X |exp(-K Tj.z) [exp( Ktj t) - exp(-p j £)]}
(5) + 2shK ■ t ^exp^Tjz) texp(-ej f ) - exp(-K1j^)]}
(13)
-exp(-p j.z)
Здесь ^ = [аЛ“оА* (кз)]/ЛсрV, = |кт>| ,
в ; = 2а+ /(—2 - к32 ).
Подставив (13) в (5-6), получим с точностью до постоянного множителя выражения для пространственных спектров амплитуд преобразованной волны на задней грани нелинейного слоя
a
A4 j (K4 j = Kj - K3, z = ^ =
1 [exp(-p j £) - exp( Ktj i)]
p2 - k1J. 12shKij£ [Ktj + ipj ]
x[exp(-ktj£ - ipj£) -1] +
1 [exp(-p j £) - exp(-Kij£)]
(14)
2shKTj £
[Kt, - ipj ]
x[exp(KT;.£ - ip j£) -1] +
exp(-p j £ - ipj £) -1 j
p j+p I
где р = (—22 - —412), Р2 = (—12 - —422). В параксиальном приближении при условии, что волны накачки падают на нелинейную среду под одинаковыми углами (к 1 = -к2): р1 = 2— (к;; 1 -к2).
На рис. 2 при условии Л100 = Л200 приведён характерный график зависимости модуля коэффициента преобразования
Ь A4 j (K4 j =K j -K3 , z = ^
* ( K3) =
j =1
A0* (K3)
(15)
от поперечной составляющей волнового вектора сигнальной волны.
Рис. 2. Вид модуля коэффициента преобразования при угле между волнами накачки 6 ° и al = 1,44
На графике зависимости модуля коэффициента преобразования от к3 наблюдаются два максимума, расстояние между которыми прямо пропорционально углу между волнами накачки. Наличие двух максимумов связано с записью в нелинейной среде двух тепловых решеток. В сечении максимумов плоскостью, параллельной плоскости к3 ^ к3 по уровню 0,5
от максимального значения, наблюдаются кривые, напоминающие эллипсы. Большая ось эллипса расположена в плоскости волн накачки и направлена по прямой, соединяющей максимумы. Величины малой и большой осей эллипса зависят от величины коэффициента поглощения и волнового числа.
При возрастании волнового числа большая и малая оси эллипса возрастают. При k = const и росте коэффициента поглощения малая полуось эллипса уменьшается, а большая - возрастает.
Фаза коэффициента преобразования в зависимости от К3 меняется по закону, близкому к параболическому. С ростом коэффициента поглощения скорость изменения фазы увеличивается, а при возрастании волнового числа - уменьшается.
2. Функция размытия точки Пусть сигнальная волна распространяется от точечного источника, расположенного на расстоянии 23 от
передней грани нелинейного слоя (плоскость фокусировки сигнальной волны). Тогда с точностью до постоянного множителя комплексная амплитуда сигнальной волны на передней грани нелинейного слоя есть
A3 (K3, z = 0) = exp(-iK3P0 + i -3 z3),
2k
(16)
где р0 - вектор, определяющий положение точечного источника в плоскости 23 .
Будем рассматривать поле преобразованной волны на расстоянии 24 от задней грани нелинейного слоя (плоскость фокусировки преобразованной волны)
~ ~ к47.
А4] (к4], 24) = Л4] (к4], 2 = £) ехр(/ -2—- 24). (17)
Под четырехволновым преобразователем излучения будем понимать оптическую систему, состоящую из участка свободного пространства толщиной 23 , среды с тепловой нелинейностью, в которой распространяются две волны накачки, и участка свободного пространства толщиной 24 .
Функция размытия точки является Фурье-образом от амплитуды пространственного спектра преобразованной волны на выходе оптической системы при условии, что на ее входе оптический сигнал является точечным
Г (P, z3, z4) = J .A41 (K41, z3, z4) exp(-iK 4!p)d K 4! +
+J^A42 (K42 , ^ z4) exp(-iK42p)dK42 •
(18)
Подставив (14) в (18), с учетом (16), (17) получим выражение для функции размытия точки четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности с попутными волнами накачки в центре поля зрения (р0 = 0) в виде
Г (p, z3, z4)
j=1
fj
j0
P2 -Kij
1
2shKT
[exp(-p j I) - exp(Kij l)]
[kt, + ipi ]
[exp(-KijI - ipj£') -1] +
texp(-p j -0 - exp(-Kij ^)]
2shKT
x[exp(KTj і
[ktj - Vj]
. .. n exp(-p j і -ip£) -1] +----------—
- Wji) -
ipj
<exp
4j
2k
2k
"iK4 j P
d K
4 j-
x
Здесь /і0 = аА°0/ЛсрV. На рис. 3 приведен характерный график зависимости от поперечных координат нормированного на максимальное значение (Гтах) модуля функции размытия точки
Г (р) = \Г (р)|/ Гтах, полученный методом численного анализа выражения (19). С ростом поперечной координаты наблюдается уменьшение модуля ФРТ.
Рис. 3. Вид модуля ФРТ при угле между волнами накачки 6° иа£ = 1,44
Введем понятие ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки (Ах = |х1 - х21) и в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки (Ау = |у - у2 \), где х12 и у12, определяются из условий
|Г (*1,2 , У = 0 ^ 2а)\ = -2|Г (Р = 0, ^ 2 4 ^ , |Г (Уі,2 , * = 0, ^ 2*)\ = -2ІГ (Р = 0, ^ 24)\ .
(20)
(21)
кАх, кАу
Рис. 4. Изменение ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки (1), в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки (2) при угле между волнами накачки 3° и а1 = 1,44
Ширина модуля ФРТ характеризует разрешающую способность четырехволнового преобразователя излучения. На рис.4 приведены зависимости ширины модуля ФРТ от разности положений плоскостей фокусировки сигнальной и преобразованных волн: А2 = 23 - 24 .
При фиксированном положении плоскости фокусировки сигнальной волны существует оптимальное положение плоскости фокусировки преобразованной волны (плоскость оптимальной фокусировки), в пределах которой ширина модуля ФРТ минимальна. Положения плоскостей оптимальной фокусировки преобразованной волны при рассмотрении ширины модуля ФРТ в направлениях, задаваемых осями ОХ
(2Аор,// ) и ОГ (24ор,±) , различно. При малых углах
к!
падения волн накачки на нелинейную среду — << 1
—
и а^ < 1 положение плоскостей 24ор(± и 24 // совпадает и определяется выражением вида
= = (_
24ор<1 = 24орг// = 23 + п ■
(22)
С увеличением угла между волнами накачки наблюдается резкое уменьшение ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки и незначительное изменение ширины модуля ФРТ в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки (рис.5, кривые 1,2). При этом увеличивается и расстояние между плоскостями оптимальной фокусировки 2Аор1 // и
24ор(1 (рис. 5, кривая 3). С физической точки зрения
сужение модуля ФРТ в плоскости волн накачки аналогично уменьшению ширины пятна при дифракции Фраунгофера на двух отверстиях с ростом расстояния между отверстиями.
кАх, кАу
^оріП
Рис. 5. Зависимость ширины модуля ФРТ в плоскости волн накачки (1), в плоскости, перпендикулярной плоскости волн накачки, (2) и расстояния между плоскостями оптимальной фокусировки А2орг = А2ор11 - А2ор^ (3) от угла между волнами накачки при а£ = 1,44
На рис. 6 приведены зависимости ширины модуля ФРТ в плоскостях оптимальной фокусировки 24ор<// и 24ор(1 (кривые 1, 2) и относительного положения этих плоскостей А2// = (4ор// - 23 ) и
А2± = (4ор1 - 23 ) (кривые 3,4) от толщины нелинейного слоя. При а£ > 1 увеличение толщины нелинейного слоя приводит к относительному сдвигу положения плоскостей оптимальной фокусировки к нелинейному слою. При этом ширина модуля ФРТ в плоскостях оптимальной фокусировки 24ор1 // и 24ор11 изменяется по закону
Ах = Р1 л/7, Ау = Р2 >/7 .
Здесь р] - коэффициенты, Р1 >Р2. Величина коэффициента Р1 возрастает с увеличением угла между волнами накачки.
В заключение приведем оценки ширины ФРТ четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности в схеме с попутными волнами накачки. В качестве нелинейной среды рассмотрим СС/4, в которой распространяется излучение С02 -
лазера (а= 18см-1, п = 1,46) [6]. При толщине нели- 1
нейной среды I = 500 мкм , и угле между волнами 2.
накачки 2,3° ширина ФРТ в плоскости волн накачки Ах = 12 мкм, в плоскости, перпендикулярной волнам 3
накачки Ау = 15,5 мкм. Приведённые значения получены в плоскости оптимальной фокусировки. 4
Для сравнения отметим, что в случае четырёхволнового преобразователя излучения на тепловой 5
нелинейности в схеме со встречными волнами накачки, при условии А2 = 0 [4] ширина модуля ФРТ 6.
равна 10 мкм.
кАх, кАу Агор, И
Рис. 6. Зависимость ширины модуля ФРТ в плоскостях оптимальной фокусировки z4opt// (1)
и z0opt± (2) и относительного положения
этих плоскостей (3,4) от толщины нелинейного слоя при угле между волнами накачки 6°
Литература
Ильинский Ю.А., Янайт Ю.А. // Известия вузов. Радиофизика. 1970. Т.13. №1. С. 37-43.
Воронин Э.С., Ивахник В.В., Соломатин В.В, Петни-кова В.М., Шувалов В.В. // Квантовая электроника. 1979. Т.6. №9. C. 2009-2014.
Васильев Л.А., Галушкин М.Г., Серёгин А.М., Чебур-кин Н.В. // Квантовая электроника. 1982. Т. 9. №8.
С. 1571-1575.
Ивахник В.В., Никонов В.И. // Оптика и спектроскопия. 1997.Т.82. №1. С. 55-59.
Ананьев Ю. А., Соловьёв В. Д., // Оптика и спектроскопия. 1983. Т.54. №1. C. 136-142.
Бетин А.А., Жуков Е. А., Новиков В. П. // Оптика и спектроскопия. 1985. Т. 59. №6. C. 1363-1366.
