CC BY
12
СВЯЗЬ ПОВЕРХНОСТНОЙ И ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ ДЛЯ РЕЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНЖА
В.Н. ИВАНОВ, канд. технических наук, профессор ГОВИНД ЛАМИЧХАНЕ, аспирант
Российский университет дружбы народов
В теории оболочек основные уравнения - уравнения равновесия, уравнения деформаций записывается в поверхностной системе координат оболочки Однако на практике ряд расчетных параметров: нагрузки, например собственный вес, граничные условия могут задаются в глобальной системе координат. В этом случае приходится в процессе расчета проектировать нагрузки и перемещения, заданные в глобальной системе координат, в поверхностную систему координат. Вопросы связи поверхностных систем координат приходится решать при расчете сопряжений (пересечений) отсеков оболочек разной геометрии [4], или пересечения однотипных оболочек, привязанных к различными системам координат, например пересечение цилиндрических оболочек. При расчете традиционных типов оболочек - сферических, цилиндрических, конических, пологих оболочек этот вопрос решается достаточно просто. При расчете оболочек вращения для решения рассматриваемого вопроса достаточно знать уравнения образующей оболочки.
Для поверхностей сложной геометрии углы между ортами глобальной и поверхностной систем координат являются функциями поверхностной системы координат. Поэтому вопрос увязки глобальных и поверхностных расчетных параметров приходится решать для каждого типа оболочек отдельно. В уравнениях, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочек, используются характеристики срединной поверхности оболочек - коэффициенты квадратичных форм и радиусы кривизн оболочек. Связь с глобальной системой координат в них отсутствует. Поэтому, рассматриваемые вопросы приходится решать, возвращаясь к уравнению срединной поверхности оболочки и его связи с глобальной системой координат
Далее будем полагать, что поверхностная система координат ортогональная. Если задан радиус вектор поверхности р(а,,а2) и орты глобальной системы координат /,, 12, <3, то проекции вектора Р, заданного в глобальной системе координат Р = Р} ■ ¡1 4- • <2 » I', ■ < 3 . то его проекции в поверхностной системе координат определяются по формулам
(1)
í. \ 1 5p
где Утк =Vm ' ек ек ~--' е\'егг - орты поверхностной сис-
4 да-к
темы координат в касательной плоскости поверхности; е3 = [el х е2 ] -
вектор единичной нормали поверхности; АХ,А2 - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Для произвольного вектора, заданного проекциями в глобальной системе координат, составляющие вектора в поверхностной системе координат получаем умножением матицы \у к„,} на заданный вектор
Ра={Уы}Р- (2)
Если вектор задан проекциями в поверхностной системе координат,, то для получения проекций в глобальной системе координат, вектор умножается на транспонированную (обратную) матрицу {у'кт } = {у^ }*
P = ly'JPa- (3)
Чтобы получить формулы компонент проектирования векторов глобальной системе координат в поверхностную систему координат для конкретной оболочки нужно иметь уравнение поверхности. Рассмотрим этот вопрос на примере оболочек в форме резных поверхностей [1]
Резная поверхность образуется движением образующей плоской кривой в нормальной плоскости направляющей кривой г (а). Далее будем рассматривать резные поверхности с плоской направляющей линией. В этом случае положение образующей кривой по отношению к нормали и бинормали направляющей кривой остается неизменным (образующая кривая не не меняет угол в нормальной плоскости по отношению к нормали направляющей кривой). Векторное уравнение резной поверхности (рис. 1)
р(а,р) = г(а)+ф(р,е> + ч/(р,е)Л (4)
где V - нормаль направляющей кривой, к - орт, нормальный к плоскости направляющей кривой; ф(р, б) = хс + XQ (p)cos sin 9,
V|/(p, в) = ус + х0 (p)sin в + у0 (p)cos е; х0 (р), у0 (р) - параметрические уравнения образующей кривой, в прямоугольной системе координат, повернутой в нормальной плоскости направляющей кривой на угол 0 ; хс, ус - сдвиг начала координат образующей кривой по отношению к направляющей кривой.
Ф(Э,е>
Ч/(Р,9)
Производные по координате а далее будем обозначать символом ..', производные по координате (3 - символом .: .
Отметим некоторые свойства координатных функций ф , , выявляемых при их дифференцировании по координате (3, которые будут учитываться далее:
ф<*уо_ф(/у*) =
(5)
Дифференцируя радиус-вектор поверхности (4) по а, и учитывая правила дифференцирования радиус вектора, векторов касательной и нормали плоской кривой, имеем:
Направляющая кривая
Рис. 1. Образование резной поверхности
(6)
где т- вектор касательной, Л^ =|г'| - параметр длины и ки - кривизна
направляющей кривои. Тогда
у о
= т; е2 = — (ф-у + м/ Л); е3 =—(-у у + ф-Л) ;
(7)
Л'() - параметр дайны образующей кривой.
Пусть уравнение направляющей кривой задано в параметрической форме в декартовой системе координат:
г(а) = хи (а)/ + уи (а)у , (8)
тогда Т = — (х',1 + у'н)) \ V =■—{у'„1 ~ х'н}), и, следовательно, по-
лучаем:
1 / , • , л 1
«1 =—(*„'+Л/); е2= —
я..
1
=
V5«
(9)
На основании формул (9), построим матрицу, связывающую орты поверхности - е^,е2,е3 с ортами декартовой системы координат плоской направляющей кривой - I, у, к - матрицу проектирования системы координат направляющей кривой в поверхностную систему координат
ы=
(<••*.) (/•'■) (*•'.) (1е2) 0 е2) (к е2) 0-е3) (/ е3) (к е3)
А 0
г
<?у'„
^н -'о ¿0
Ч-Ун Ч-х'и -А
г 5« '^о 5и - ¿О V
(10)
В свою очередь координатная система направляющей кривой связывается с глобальной системой координат матрицей - матрицей проектирования векторов из глобальной системы координат в координатную систему направляющей кривой:
{у},. -
('. ') ('V') ('з •*')
О, Л (<2 • /) (')•/)
(¡г к] {¡2 к) ('V*).
Уз
У « УГз
У 22 У 23
Уп У 33
(11)
Последовательное проектирование вектора, заданного в глобальной системе координат в координатную систему направляющей кривой и далее в систему координат поверхности:
ра = М. ({у}« Р) = {у}„ {у}« Р = {укт }Р ■
(12)
Таким образом,, матрица проектирования векторов из глобальной системы в поверхностную систему координат получается умножением матрицы, связывающую координатную систему направляющей кривой с координатной системой поверхности, на матрицу, связывающую глобальную систему координат с координатной системой направляющей кривой.
(Уь,НУШ„- (13)
Очевидно, матрица {у}и задается соответствующими направляющими косинусами, взаимного расположения глобальной системы координат и системы координат направляющей кривой. Если системы координат
совпадают, то {у ы } = {у }0 . В большинстве случаев направляющая кривая располагается в горизонтальной плоскости (/, ]) и плоскость кривой совпадает с одной из координатных плоскостей глобальной системы координат (¡1, /2), тогда матрица проектирования определяется углом поворота координатной системы направляющей кривой вокруг оси к на некоторый угол со. Тогда получаем
СОБО) втю 0
-этсо сое со 0
0 0 1
Матрица проектирования векторов из координатной системы в систему координат поверхности строится на основе уравнений направляющей и образующей плоских кривых. Для формирования этой матрицы в программном комплексе создается библиотека кривых, включающая как
уравнения кривых (функции х(и\ >*(м)), так и формулы производных, необходимые для вычисления параметров, используемых при построении матрицы {у}0.
Подобная библиотека кривых, например, используется в программном комплексе расчета тонкостенных пространственных конструкций на основе вариационно-разностного метода [2,3], разработанная на кафедре сопротивления материалов РУДН. Библиотека позволяет формировать тонкостенные конструкции и вычислять их геометрические характеристики при расчете плоских и оболочечных тонкостенных конструкций: пластин и пологих оболочек с использованием произвольной ортогональной системы координат, оболочек вращения, оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя, оболочек в форме резных поверхностей Монжа с различными типами направляющих и образующих кривых.
В данной статье показано построение матриц проектирования из глобальной системы координат в координатную систему поверхности и обратно на примере резных поверхностей. Аналогичные построения можно провести и для поверхностей вращения, каналовых поверхностей Иоахим-сталя и других типов поверхностей
Литература
1. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Мон-жа и конструирование оболочек//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 11. -М.: Изд-во АСВ, 2002. -С. 27-36.
2. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболо-чек//Расчет и проектирование строительных конструкций. -М.: УДН, 1982. -С. 131-141.
3. Наср Юнее Аббуши. Расчет оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методом//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 9. -М.: Изд-во АСВ, 2000. -С. 25-33.
4. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод и метод глобальных элементов в расчете сопряженных отсеков оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 12. -М.: Изд-во АСВ, 2000. -С. 34-41.
CONNECTION OF COOORDINATES ON SURFACES AND GLOBAL COOORDINATES SYSTEM FOR MONGE'S SURFACES
V.N. Ivanov, Govind Lamichane
Analyzing stress-strain state of the thin shell one usually used the curvilinear coordinates of the surface/ But some loads or boundary conditions may be given in global coordinate system. The same task is stated before investigator when the construction is combined modules of the shells of different geometry. . So it is necessary to transform some parameters from one coordinate system to another It can't be done without using the equation of the surface. In the article there shone the procedure of building of transform matrix for shells of Monge's surfaces.
