CC BY
35
КОНСТРУИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ ПАРАБОЛО-СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В.Н. ИВАНОВ, канд. технических наук, профессор Российский университет дружбы народов
Резная поверхность образуется движением некоторой плоской кривой {образующей) вдоль другой произвольной кривой (направляющей) так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жестко с ней связана.
Впервые, геометрия резных поверхностей рассматривалась Гаспаром Монжем в его монографии [1], в связи с чем, эти поверхности часто называют резными поверхностями Монжа. Г. Монж дал определение резных поверхностей, как поверхностей, образуемых движением плоской (образующей) кривой, лежащей в плоскости, катящейся без скольжения по некоторой развертывающейся поверхности. Так как каждая точка плоскости, катящейся без скольжения по развертывающейся поверхности, в каждый момент совершает ортогональное плоскости перемещение, то очевидно, данное выше определение резной поверхности эквивалентно определению, данному Г. Монжем.
Определение резной поверхности как поверхности, образуемой движением плоской направляющей кривой связанной с направляющей кривой, более удобно для записи уравнения и исследования геометрии поверхности. За направляющую кривую может быть принята произвольная пространственная или плоская кривая, а за образующую - произвольная плоская кривая. Геометрия резных поверхностей общего вида с произвольной направляющей рассмотрена, в частности, в работе [2]. В работе показано, что в случае пространственной направляющей локальная система координат, в которой описывается уравнение плоской образующей кривой, образует в процессе движения с нормалью направляющей кривой угол
и
9(и) = 90- , где X " кручение направляющей. Для плоской
"о
кривой (х = 0), этот угол постоянный 9 = 90.
Векторное уравнение резной поверхности с плоской направляющей кривой имеет вид:
р{а,р)=гн{а)+<р{Р,0> + ¥{Р,0)р, (1)
15
где />(а, р) - радиус-вектор поверхности; гн(а) - радиус-вектор плоской направляющей кривой; V, р - нормаль и бинормаль направляющей кривой гя(ог); фф,в) = хс + л:0(р)созв - ^0(р)зтв, = Ус + хо (РЬ'110 + У о (Р)соз 0; (Р)> У о (Р) - параметрические уравнения плоской образующей кривой в прямоугольной локальной системе координат, повернутой в нормальной плоскости направляющей кривой относительно нормали (по направлению к бинормали) на угол в = 9 0; хс - сдвиг начала локальной системы координат образующей кривой относительно направляющей кривой в направлении нормали V направляющей кривой. Если плоская направляющая кривая лежит в горизонтальной плоскости (орты *", у), то направление бинормали совпадает или противоположно направлению орта к, в зависимости от вогнутости или выпуклости направляющей кривой.
Коэффициенты квадратичных форм резной поверхности с плоской направляющей кривой:
А = ~к„ -Ф); £ = V<p2 о +у1 =
L = -s'Hk„ (¿o sin e + >>0 cose)4; N = -*»*>;-*.*> t (2)
В Sq
где s'H ■= jr,' j, kH - дифференциал дуги и кривизна направляющей кривой; i0, к{) - дифференциал дуги и кривизнаобразующей кривой.
Главные радиусы кривизны поверхности:
¿0 sin О + y(l cos 0 L _*оУ о- ХоУо
АВ
I Л0 3,11" т -Уй . , _ , /-J\
K]-SHKn-----77;-> К2---Г^-~ко- wJ
Из формул (2), (3) следует, что коэффициент квадратичной формы В и главная кривизна резной поверхности к2 вдоль любой параллели равны дифференциалу дуги л0 и кривизне к0 образующей кривой соответственно.
Комбинации многообразия направляющих и образующих кривых позволяют конструировать самые разнообразные пространственные конструкции в форме резных поверхностей.
В данной работе рассматриваются резные поверхности с направляющей параболой и образующей синусоидой.
А. Полуволновые оболочки с направляющей параболой в вертикальной плоскости.
2
Уравнение направляющей параболы г = ау .
Уравнение образующей синусоиды г = Ь эт
где Ь - амплитуда, с- длина полуволны синусоиды. В соответствии с формулами (2), (3) имеем:
2 а
А = ^\ + 4а2у2
1 +
(1 + 4а2у2 У 2а ф
3/2
/2
(1 + 4а2у2 У
В = *0 =
{ и2 , 2 & 2 1 + Л —сое
V с
/
Ьк —
\ с)
/
Ь2
вт
к2=к0=-п
г (
ЬцХ
V С,
, 2Ь2 2(. х^
1 + Я -—- сов 07Г -
с К с;
>3/2
(4)
При положительном параметре а параболы (а >0) вершина параболы направлена выпуклостью вниз, при отрицательном -вверх.
Синусоида лежит в нормальной плоскости параболы, начало координат образующей кривой (синусоиды) находится в текущей точке направляющей параболы, ось х перпендикулярна плоскости параболы (0 = 90°). На рис. 1 представлены типы параболо-синусоидальных оболочек при различных значениях параметров образующей синусоиды. Параметры параболы на всех чертежах
приняты одинаковыми: а = -0,05 м -15 < у < 15 (опорный пролет параболы в плане 30 м, высота подъема / = 11,25 м). Параметры синусоиды показаны на рис. 1. Чертежи получены в системе «Math-Cad».
При b < 0 (а < 0) получаем оболочки положительной гауссовой кривизны (рис. 1, а, в, д, ж) При b > 0 (а < 0) получаем оболочки отрицательной гауссовой кривизны (рис. 1,6, г, е, з). В зависимости от соотношения амплитуды b и длины полуволны с синусоиды получаем пологие или подъемистые в поперечном направлении оболочки.
Б. Параболо-косинусоидальные резные оболочки.
Если начало координат синусоиды сдвинуть на получим
\
L ■ I 71 У : b s in I — + я —
2 с j
/
= b cos
я — I, т.е. такой сдвиг аналогичен замене
с,
образующей синусоиды на косинусоиду. В этом случае получаем оболочку с зонами положительной и отрицательной гауссовой кривизны в сечении я/2. Чертежи представлены на рис. 2.
На форму параболо-косинусоидальных оболочек не влияет знак амплитуды косинусоиды (при 0 < х < тг), так как косинусоида обратно симметрична относительно сечения л: =я/2 . Изменение знака амплитуды косинусоиды приводит к развороту оболочки на 180°.
В. Полуволновые параболо-синусоидальные резные оболочки
на криволинейном плане.
Если направляющую параболическую кривую расположить в
горизонтальной плоскости у = ах2, а образующую синусоиду
/
z = -¿>sin
t
я—
. о
в нормальной плоскости параболы (ось t направ-
лена по нормали образующей параболы, 0 = 0), то получаем оболочку на криволинейном параболическом плане (рис. 3). В зависимости от отношения от отношения амплитуды синусоиды к длине полуволны получаем подъемистую или пологую оболочку.
Ограничивая изменение параметра I получаем полуоткрытую
параболо-синусоидальную оболочку консольного типа (рис. 3,д,е). 18
Рис. 1. Параболо-синусоидальные резные оболочки Направляющая - парабола г = -0,05^2, -15 < у < 15 ; Образующая синусоида 2=Ь-$т{ш1с), 0 < х <. с.
19
Рис. 2. Параболо-косинусоидальные резные оболочки Направляющая - парабола г = -0,05^2, -15 < у < 15; Образующая - синусоида а-б - г ~Ь-з1п(2лх/с) , д-г - г = Ь ■ витиях/с) О < х <. с
ж
b = 6
Ь = 8
Рис. 3. Нараболо-синусоидальные резные ооолочки Направляющая - парабола = 0,05*~, -15 <^<15; Образующая синусоида z - b ■ sin (тс/ / с)
- 0 <t< с; д, ж - 0 < t < 0,5с; е, з - 0,5с < t < с;
Г. Многоволновые параболо-синусоидальные оболочки с образующей параболой в вертикальной плоскости Рассмотрим оболочки образуемые несколькими волнами сину-
соиды г =Ь$т
' х^ рп—
\ С)
, р - число полуволн синусоиды. Направ-
ляющая парабола лежит в вертикальной плоскости, ось образующей синусоиды перпендикулярна плоскости параболы (рис. 4). При нечетном числе полуволн синусоиды оболочка имеет плоскость симметрии в поперечном направлении (середина синусоидальной кривой).
Ограничивая интервал изменения координаты образующей параболы в одном из направлений относительно начала координаты у, получаем полуоткрытую параболо-синусоидальную многоволновую оболочку (рис. 4, ж, з).
Многоволновые параболо-синусоидальные поверхности с направляющей параболой в вертикальной плоскости образуют зоны положительной и отрицательной Гауссовой кривизны. Каждая из зон представляет полуволну параболо-синусоидальной поверхности. Переход зоны положительной Гауссовой кривизны в зону отрицательной Гауссовой кривизны происходит в сечениях х-—с.
к
Зоны разделяются полосой нулевой Гауссовой кривизны.
Другой тип многоволновых параболо-синусоидальных оболочек получаем при направляющей параболе, расположенной в горизонтальной плоскости у — ОХ1, и с образующей синусоидой с
( Л
осью, совпадающей с нормалью параболы 2 = рп— (рис. 5,
V с)
а, б).
Оси синусоиды может также располагаться под острым углом к плоскости направляющей параболы. Примеры таких многоволновых параболо-синусоидальных оболочек представлены на рис 5.
b = с = 8; p = 3 ó=l; c = 8;p = 3
Рис. 4. Параболо-синусоидальные многоволновые оболочки
Направляющая - парабола z = 0,05_y2, -15 < >> < 15'; ¡
\ /
Образующая - синусоида z = b- $т(рш /с); -с < х < с;
а-е -15 < у < 15; ж-3 -15<у<5;
Ь=-3; с = 25; р = 5; 0 = 0
Ь = 3; с = 27; р = 9; 6 = 0;
в
Ь = 3; с = 25; р = 5;
А=3; с = 25; р = 5; 0 = 45°
Рис. 5. Многоволновые параболо-синусоидальные оболочки Направляющая парабола а-в - в горизонтальной плоскости;
е - в вертикальной плоскости
С конструкциями оболочек в форме резных поверхностей других типов можно ознакомиться в работе [3]. К резным поверхностям также относятся трубчатые поверхности - циклические нормальные поверхности постоянного радиуса [4].
Литература
1. Mohge G. Memoire sur l'intégration de quelques equation aux derivees partielles/ Mem. Ac. sei. 1787. -309 p.
2. Иванов В.H., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 11. -М.: Изд-во АСВ, 2002. -С. 27-36.
3. Ризван Мухаммад. Конструирование оболочек в форме резных поверхностей Монжа //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 12. -М.: Изд-во АСВ, 2003. -С. 27-36.
4. Иванов В.Н. Геометрия и конструирование трубчатых оболочек/Вестник Российского университета дружбы народов: Серия «Инженерные исследования, № 2, 2004.
THE FORMITI1 THE SHELLS ON THE BASE OF THE PARABOLO-SINE SURFACES
V.N. Ivanov
The article considers the geometry of the Monge's surfaces with plane directrix curve. The formulas of the quadratic forms are given. The many pictures of surfaces with parabola as directresses and sinus curve as generating curve are shown. There are shown surfaces with one wave of sinus curve and surfaces with multiplied waves. The "MathCad " system was used to draw surfaces.
