СВОЙСТВО КОЭНА-МАКОЛЕЯ АЛГЕБРЫ КОНКОМИТАНТОВ $2\times 2$ МАТРИЦ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 13-18

УДК 519.4

СВОЙСТВО КОЭНА-МАКОЛЕЯ АЛГЕБРЫ КОНКОМИТАНТОВ 2 х 2 МАТРИЦ

С.Г. Кузьмин

Algebras of concomitants of 2 by 2 matrices over any infinite field are described.

It is proved that they are free modules over parameter subalgebras.

Пусть A - аффинное многообразие,B - конечномерная алгебра и G - алгебраическая группа, действующая на A и B рационально. Другими словами, морфизм действия G на A и B задается полиномиальными функциями относительно аффинных координат на многообразиях A, B и G. Через f обозначим произвольное полиномиальное отображение A ^ B.

Определение 1. Алгеброй конкомитантов многообразия A со значениями в алгебре B относительно действия G называется множество

C(A, B, G) = {f : A ^ B | f (ag) = fg(a), Vg Є G,a Є A}.

Легко видеть, что это действительно алгебра с операциями, индуцированными операциями алгебры B.

Обозначим через Mn,m = M(n, K) х ... х M(n, K) пространство m экземпляров n х n- матриц над бесконечным полем K произвольной характеристики р. Общая линейная группа GL(n, K) действует сопряжением на Mn,m по правилу:

(Yb.. .,Ym)9 = (gYig-\.. .,gYmg-1),Vg Є GL(n,K),Yi Є M(n,K)(i = l,...,m).

Обозначим через Kn,m координатное кольцо аффинного многообразия Mn,m, а через Rnm подалгебру инвариантов, состоящую из всех полиномов f Є Knm таких, что

Vg Є GL(n,K), VX Є Mn,m : f (Xg) = f (X).

Обозначим алгебру C(Mnm, M(n, K),GL(n, K)) через Tnm и назовем ее алгеброй конкомитантов m n х n- матриц.

Известно, что Tn,m порождается как алгебра над Rn,m общими матрицами Xi... Xm, т.е Tn,m = Rn,m[X1,... , Xm]. Под общей матрицей Xi понимается матрица, составленная из координатных функций i- ой матричной компоненты многообразия Mnm. В случае charK = 0 это было доказано в [1], и в общем случае в [2,3]. В данной статье рассматриваются только 2 х 2 матрицы.

© 2002 С.Г. Кузьмин

E-mail: [email protected]

Омский государственный педагогический университет

14

С.Г. Кузьмин. Свойство Коэна-Маколея алгебры конкомитантов...

Пусть R = ®г>оRi градуированное конечнопорожденное кольцо, M = ®i>0Mi градуированный модуль над R, т.е RiMj С Mi+j, Vi, j. Например, T2,m является градуированным R2)m-модулем. Пусть F - однородное подкольцо в R, порожденное системой параметров, т.е. системой однородных и алгебраически независимых элементов таких, что F С R - целое расширение.

Определение 2. R-модуль M называется модулем Коэна-Маколея (сокра-

щенно KM модулем), если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

1) M - свободный модуль над каким-то F;

2) M - свободный модуль над любым F;

3) M/Mrі + ... + Mrs - конечномерное векторное пространство, где

Гі,... , rs - максимальная регулярная последовательность в M.

Напомним, что последовательность

R = {гі,..., rs}; Гі Є R, 1 < i < s

называется регулярной в M, если каждый ri не является делителем нуля в факторе М/(У)jMrj). Регулярная последовательность максимальна, если она не является собственным подмножеством никакой другой регулярной последовательности. Данное выше определение отличается от стандартного (см., например, [4]), но в действительности эквивалентно последнему.

Замечание 1. M - КМ модуль тогда и только тогда, когда

М/Мг1 + ... + Mrt - КМ модуль для всех t, 1 < t < s [4].

Если charK = 0, то T2m является КМ модулем [5]. Более того, в этой статье явно указан базис T2,m как свободного модуля над подкольцом, порожденным элементами

tr(Xi); det(Xi);

pk = tr(XiXj), 1 < i < m, 3 < k < 2m — 1.

i+j=k,i<j

Ниже мы докажем, что T2,m - КМ модуль над тем же подкольцом и в случае бесконечного поля любой характеристики. Мы доказываем существование такого базиса, но в отличие от [5] не приводим его явно, так как это достаточно сложная комбинаторная проблема. Кроме того, вычисления в R24 ( [6]) и в R25 ( [7]) показывают, что случай p > 0 (как и случай p = 0) существенно отличается от случая p = 2. Поэтому есть все основания ожидать, что такой же эффект имеет место и для конкомитантов.

Нам потребуются некоторые сведения из теории модулей с хорошей фильтрацией (сокращенно модуль с ХФ). Приведем их. Начнем с определения. Пусть G - связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем K, B - борелевская подгруппа в G, T - максимальный тор в B, X (T) - группа характеров T. Для произвольного А Є X (T) обозначим через Кд - одномерный B- модуль, на котором T действует посредством А, т.е. Xі = A(t)x,t Є T, x Є Кд.

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

15

Определение 3. Конечномерный G- модуль V будем называть модулем с ХФ, если в V имеется такая цепь подмодулей 0 = V0 С ... С Vm = V, что каждый фактор изоморфен индуцированному модулю Ind^(K\). Перечислим некоторые факты из теории модулей с ХФ [8-10].

1. Если V и W - модули с ХФ, то V ® W - модуль с ХФ.

2. Если

0 ^ V ^ W ^ S ^ 0

точная последовательность G-модулей с ХФ, тогда последовательность инвариантных подпространств

0 ^ VG ^ WG ^ SG ^ 0

также точна.

3. Если W есть G-модуль с ХФ и V его подмодуль с ХФ, тогда W/V также G- модуль с ХФ.

Доказательство нашей теоремы организовано следующим образом. Выбирается некоторая регулярная последовательность в K2m, состоящая из инвариантов в R2,m, которая остается регулярной в T2,m. Далее, фактор T2,m по идеалу, порожденному элементами этой регулярной последовательности, вкладывается в алгебру конкомитантов A2,m = C(Vm,M(2,K),SL(2,K)), где V - двумерное векторное пространство, рассматриваемое как естественный SL(2,K)- модуль. Затем доказывается, что A2,m - КМ модуль над K[Vm]SL(2,K). Остается заметить, что существует оператор Рейнолдса для этой пары вложенных многообразий и по теореме Хохстера-Игана ( [4], теорема 6.4.5) и Замечанию 1 мы получаем требуемое.

Это доказательство является некоторой модификацией доказательства, приведенного в [11], поэтому здесь будут использоваться некоторые промежуточные результаты последней статьи.

Алгебру всех полиномиальных функций можно отождествить с алгеброй K2,m 0 M(2, K) по правилу f ^ j 1 fij 0 eij, где fij функции, задающие отображение f, а eij матричные единицы . Легко проверить, что данное отображение определяет изоморфизм T2,m = (K2,m 0 M(2, K))SL(2’K), где SL(2, K) действует на K2,m 0 M(2,K) диагонально, т.е. на K2,m это левый сдвиг аргумента, а на M(2,K) - сопряжение.

Обозначим K2 m 0 M(2, K) через Dm. Рассмотрим элементы т1 = tr(X^, r2 = det(Xi), . . . , Т2m-1 = tr(Xm),T2m = det(Xm) из ^m и определим модули Jk = )Ci<i,<k TiDm и идеалы Ik = Yf1<i<k TiK2,m, 1 < k < 2m. Очевидно Jk = Ik 0 M2. Докажем, что выбранная последовательность элементов регулярна в T2,m. В [11] было доказано, что все Ik простые идеалы в K2,m. Кроме того (см. там же), Ik - модули с ХФ и IkSL(2,K) = 1<i<k riR2,m, 1 < k < 2m. Рассмотрим элемент

d Є Dm, d =Y, fks 0 eks, тогда rmd = E(®+ifks) 0 eks, и если rmd = 0(modJk), то, учитывая, что ri+1 не делитель нуля по модулю идеала ф, получаем d =

16

С.Г. Кузьмин. Свойство Коэна-Маколея алгебры конкомитантов...

0(modJi). Теперь докажем, что все Jk это SL(2,K) модули с ХФ,1 < k < 2m. Действительно, имеем фильтрацию 0 = J0 С Ji С ... с Jk-i С Jk с факторами

Ji+i/Ji = Ii+i 0 M(2, K)/Ii 0 M(2, K) = (li+i/Ii) 0 M(2, K).

Учитывая, что все Ij, SL(2,K) являются модулями с ХФ, 1 < j < 2m, а также то, что M(2, K) SL(2,K) - модуль с ХФ, получаем, что и Jk - SL(2,K) модуль с ХФ,1 < k < 2m. Далее, поскольку все Jk - модули с ХФ имеем Jk/Jk-1 = Ik/Ik-i 0 M(2, K) = rfc(Dm/Jk-1), где rk = rfc + Jk-i. Так как rk инвариант, то (Jk/Jk-i)SL(2K = fk(Dm/Jk-i)SL(2’K) = rk(Dm)SL(2’K)/( Jk-i)SL(2’K). Следовательно, по индукции

k

jfL(2’K) = rkT2,m + Jk-i = ^ ПT2,m , 1 < k < 2m.

i=i

Обозначим через S = {X Є sl(2,K) | det(x) = 0}. Теперь все готово для доказательства теоремы.

Теорема 1. T2m - КМ модуль над R2m, над бесконечным полем любой характеристики.

Доказательство. В силу всего сказанного выше имеем

T2,m = (Dm/J2m)SL(2,K) = (Km/hm) 0 M(2,K))SL(2,K).

Определим сюръективный морфизм аффинных ф : V = K2 ^ S следующим образом

v

vi

v2

2

—viv2 v2

— v22 v1 v2

Є S.

многообразий

Легко проверить, что это SL(2,K)- эквивариантный морфизм. В частности, имеем вложение SL(2,K)- модулей K[Sm] = K2,m/I2,m ^ K[Vm] определенное на матричных координатах по правилу x(i) ^ yi(i)y2(i), xi(i) ^ yi(i)2,x2(i) ^ y2(i)2, где

Xi

—x(i) x1(i) , Y

x2 (i) x(i) J , i

y1(i)

У2(і)

, 1 < i < m,

матричные и векторные координаты на многообразиях Sm и Vm соответственно. Это вложение продолжается до вложения SL(2,K)- модулей (K2 m/I2 m) 0 M(2,K) ^ K[Vm] 0 M(2,K). Обозначим через L образ K[Sm] в K[Vm]. Рассмотрим алгебру инвариантов

(L 0 M(2, K))sl(2K) С (K[Vm] 0 M(2, K))sl(2,k)

и докажем сначала, что (K[Vm] 0 M(2, K))SL(2,K) - КМ модуль над K[Vm]SL(2,K) Заметим, что M(2,K) = V* 0 V как SL(2,K)- модули. Поэтому K[Vm] 0 M(2, K) = K[Vm] 0 V* 0 V как SL(2, K)- модули. Кроме того,

((K[Vm] 0 V* 0 V))sl(2’k) = (K[Vm] 0 K[V* 0 V]deg(i,i))SL(2’K) =

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

17

= (K[Vm+1 0 V*]deg(*;...*;i;i))SL(2’K).

Известно [12], что (K[Vm+1 0 V*])SL(2'K) алгебра с порождающими (д,пк), [ui,Uj]], где п3,д, 1 < s < m +1 векторные координатные функции на Vm+1 и V* соответственно, а

(Ц, uk) ^1% + Р2Uk, [ui,uj]

det

u1 u] u2 u2

, 1 < i,j,k < m + 1

и определяющими соотношениями:

1* [ui,uj](^l,us') [us,uj](0 ui) [ui,us](^,uj) 0

2. E(i1,i2)i3),ii<i2 sign(i1,i203)[uii ,ui2][ui3 ,uj] = 0,

где sign(i1, i2, i3) = 1, если подстановка (i1,i2,i3) четная и sign(i1, i2, i3) = — 1 в противном случае.

Поэтому

U = (K[Vm+1 0 V*]deg(*;...*;1;1))SL(2’K)

как K[Vm]SL(2,K)-модуль порождается (^,um+1), [ui,um+1](^,uj). Рассмотрим фактор модуль U/(^,um+1)K[Vm]SL(2,K) и непосредственной проверкой убедимся, что он является свободным K [Vm]SL(2,K) -модулем со свободными порождающими [ui, um+1](^, uj),І < j. Более точно, по модулю (^,um+1)K[Vm]SL(2,K), т.е. по модулю дополнительного соотношения (^,um+1) = 0, соотношения 1-2 редуцируются в пустые, если их переписать в порождающих [ui,um+1](^,uj),i < j. Таким образом, модуль

U = (K[Vm+1 0 V*]deg(*,....,1,1)}SX(2'K)

как расширение свободного при помощи свободного будет тоже свободным, т.е. КМ модулем над K [Vm]SL(2'K).

Определим линейное отображение р : K [Vm] ^ L, которое любой моном u = ф[ 1<i<m y1(i)a(i)y2(i)e(i) отображает в нуль тогда и только тогда, когда u ^ L и оставляет таким как есть в противном случае. В [11] доказано, что р -оператор Рейнолдса для пары (K[Vm],L) и индуцирует оператор Рейнолдса для пары (K[Vm]SL(2'K), lsl(2'k)).

Рассмотрим отображение р : р 0 M(2,K) ^ L 0 M(2,K) по правилу р(/ 0

m) = р(/) 0 m. Очевидно, что р - оператор Рейнолдса для пары

(K[Vm] 0 M(2, K), L 0 M(2, K)) и индуцирует оператор Рейнолдса для пары (K[Vm] 0 M(2,K))SL(2,K), (L 0 M(2,K))SL(2,K)). По теореме 6.4.5 из ( [4]) получаем, что (L 0 M(2, K))SL(2,K)) - КМ модуль, а значит, таковым является и T2,m. Теорема доказана. ■

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А.Н.Зуб-кову за постановку задачи и многочисленные полезные обсуждения.

18

С.Г. Кузьмин. Свойство Коэна-Маколея алгебры конкомитантов...

Литература

1. Procesi S. Rings with Polynomial Identities Marcel Dekker, Inc. New York, 1973.

2. Donkin S. Invariant functions on matrices// Math.Proc.Cambridge Phil.Soc. 1992. V.113, N.23. P.23-43.

3. Зубков А.Н. Об одном обобщении теоремы Размыслова-Прочези.// Алгебра и логика, 1996. Т.35, N.4. С.433-457.

4. Bruns W. and Herzog J. Cohen-Macaulay rings Cambrige Stadies in Advenced Mathematics 39, Cambridge Univ. Press,Cambrige, 1993.

5. Teranishi Y. Explicit description of trace rings of 2 by 2 matrices// Nagoay Math.J. 1991. V.121. P.149-159.

6. Domokos M., Kuz'min S.G., Zubkov A.N. Rings of matrix invarians in positive characteristic// Pure Appl. Algebra. 2002. N.176. P.61-80.

7. Кузьмин С.Г. Коэн-Маколеево представление алгебры инвариантов 2 х 2 матриц/ Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. Выпуск 1. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. С.36-40.

8. Зубков А.Н. Матричные инварианты над бесконечным полем конечной характеристики// Сиб.мат.журн. 1993. Т.34, N.6. С.68-74.

9. Donkin S. The Normality of Conjugacy Classes of Matrices// Inv. Math. 1990. V.101. P.717-736.

10. Donkin S. A filtration for rational modules// Math.Z. 1981. V.177. P.1-8.

11. Kuz’min S.G., Zubkov A.N.Rings of invariants 2 х 2 matrices in positive characteristic// Linear Alg. and Aplications, to appear.

12. C de Concini., Procesi S. A characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. V.21. N.3. P.330-354