СВОЙСТВА РЯДОВ ПО СИНУСАМ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.5

СВОЙСТВА РЯДОВ ПО СИНУСАМ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕСОМ

Т. М. Вуколова1, Б. В. Симонов2

Исследованы суммы двойных рядов по синусам с кратно-монотонными подпоследовательностями коэффициентов. Получены условия принадлежности этих сумм пространствам с весом.

Ключевые слова: ряды, коэффициенты рядов, кратная монотонность, последовательность, сумма.

Sums of double sine series with coefficients multiply monotone by subsequences are studied. Conditions under which these sums belong to weighted spaces are obtained.

Key words: series, coefficients of series, multiply monotonicity, sequence, sum. 1. Введение. В работе изучаются тригонометрические ряды вида

œ œ

У^ ат«2 sinniXi sinП2Х2. (1)

«■2 = 1 «4 = 1

Скажем, что последовательность {ani«2} удовлетворяет условию А, если ani«2 —У 0 при П2 —У оо и любом фиксированном ni и при ni — о и любом фиксированном

При изучении сходимости двойных рядов (1) используется их сходимость по Прингсхейму определяемая следующим образом. Для числового ряда

œ œ v=0

(2)

п т

рассматривается прямоугольная сумма Бтп = ^ ^ в^.

V=0ц=0

Если существует число 5 и для любого е > 0 найдутся натуральные числа к и I, такие, что \Бтп — Б\ < е при любом п > к и любом т > I, то говорят, что ряд (2) сходится по Прингсхейму к своей сумме Б (см. [1, с. 27]).

Для целых к1 ^ 1,к2 ^ 1 обозначим

к-1 к2

^к1к2 ап1п2 = ^ 1)' Ск | ^ ^( Ск2 ап1+к п2+к, ^0,0ап1п2 = ап1п2 ,

к=0 к=0

2 |

^0к2 ап1п2 = 'У —Ск2 ап1 п2+к, ^к 10ап1п2 = У у( —1) 'Ск 1 ап1 +к п2 , к=0 к=0

где Ст = п(п — 1)... (п — т + 1)/т!.

Из работы [2] следует, что если последовательность {ап1п2} удовлетворяет условию А и Ак1к2 ап1п2 ^ 0 для любых натуральных щ и П2 и некоторых к1 ^ 1 и к2 ^ 1, то ряд (1) сходится по Прингсхейму всюду кроме, может быть, множества плоской меры нуль. Обозначим сумму ряда (1) через д(х1, ж2).

1 Вуколова Татьяна Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доцент Ин-та русского языка и культуры МГУ, e-mail: tmvukolovaQmail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.

Vukolova Tatyana Mikhaüovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Institute of Russian Language and Culture.

Simonov Boris Vital'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Volgograd State Technical University.

Приведем известный результат, устанавливающий связь между поведением коэффициентов ряда (1) и принадлежностью функции д(х\,х2) различным ^-пространствам.

Теорема А [2]. Пусть числовая последовательность {аП1П2} удовлетворяет условию А и Ак1к2 ап1п2 ^ 0 для некоторых натуральны,х чисел к1 и к2 и любых целых положительных чисел щи и2. Тогда, при любых р € (0, +ж) справедливы, неравенства

ОО ОО 1 оо оо

^2 п2~2 ^2 П1~2апт2}р < Шхъх2)\\р < С2{ ^ п2~2 ^2 П1~2апт2

П2 = 1 П1 = 1 П2 = 1 П1 = 1

где положительные постоянные С1 ,С2 не зависят, от, последовательности {аП1П2}.

Заметим, что все эти и нижеследующие неравенства понимаются следующим образом: из конечности правой части следует конечность левой части. Здесь и далее С,С1,С2,... — положительные постоянные, необязательно одинаковые в различных формулах.

Результат работы [2] является обобщением известной теоремы Харди-Литлвуда. В настоящей работе изучаются тригонометрические ряды (1) с кратно-монотонными подпоследовательностями коэффициентов. Находятся условия, при которых их суммы д(х1,х2) принадлежат весовым классам Ьр,т, а также устанавливаются оценки квазинорм для них, выраженные через коэффициенты ряда (1).

2. Определения и формулировки основных результатов. Введем определения и обозначения, необходимые для формулировки основных результатов работы.

Обозначим через Ш множество измеримых, неотрицательных на [—п, п]2 функций w(xl,x2),

П П

2п-периодических по каждой переменной и таких, что / / w(xl,x2)dxldx2 < ж, wc(xl,x2) =

— П —П

w(x1 ^2)+ w(—x1,x2) + w(x1, —x2) + w(—x1, —x2).

Пусть 0 < р < € Ш. Классом Ьр,т назовем множество измеримых функций f (xl,x2),

2п-периодических по каждой переменной и таких, что

п п

\\f{xi,x2)\\PíW = [J J w{xi,x2)\f{xi,x2)\pdxidx2Y < оо.

Пусть даны натуральные числа Г1 и г2. Последовательность коэффициентов {ап1 П2 }п1ем,п2ем можно разбить на Г1 • Г2 подпоследовательностей

{аГ1П1,Г2П2 }, {аГ1П1,Г2П2 — 1 } , . .., {аГ1П1,Г2 П2 —Г2 + 1 } , {аГ1П1 — 1,Г2П2 К . .., {аГ1П1—Г1 +1,Г2П2— Г2 + 1}.

Для последовательности {аП1П2}п{^м(г=1,2) и чисел г^ € М, = 1,2 (3 = 1,2), введем следующие обозначения: ^

А10 (аП1,П2 ) - аП1,П2 аП1+Г1,П2 , А01 (аП1,П2 ) - аП1,П2 аП1,П2+Г2 ,

а (г1,0)(а ) = А(п,0)(А(п ,0)(п )) = п —2а + п

А20 (аП1,П2 ) — А10 (А10 (аП1,П2 )) — аП1,П2 2аП1 +Г1,П2 + аП1+2г1,'

120 \U/ni,n2J — А10 V 10 \U"ni,n2)) — u"ni,n2 * иni +r\,n2~ u'rai+2ri,ra2) 4)2 (ani,n2) — A01 (A01

A(ri,r2) (a ) = A(ri,0)(A(0,r2)(a ))

Aiii2 (ani,n2) — Aii0 (A0í2 (ani,n2))■

А (0,r2) (a ) — A(0,r2)(A(0,r2)(a )) — +

A02 (ani,n2 ) — A01 (A01 (ani,n2 )) — ani,n2 2ani ,n2+r2 + ani,n2+2r2 ,

iii2 \ ni,n2} /—íii0 V 0i2 Скажем, что последовательность {anin2} удовлетворяет условию mohoтонности M(il22, если

* (ri r2) A (ri r2)

Ai^á ani,n2 ^ 0 для всех n1,n2 ми Ai ^ anin2 ^ 0 для всех n1,n2.

Пусть заданы числа Г1 Е N, Г2 £ Ми последовательности {ai!) n2 }, {an}, n2 },■■■, {a^n }■ Будем

Г (1) 1 Г (2) 1 г (m) 1

говорить, что последовательности {ani,n2}, {an(,n2}, ■■■, {ani 'n2} удовлетворяют условию одинаковой

монотонности OMrir2 ({a(t1i),n2}, {a^l,^},■■■, {ani,n2} Е OMri,r2), если A(¡r1i,r2)d£l,n2 ^ 0 для всех

д ( ri r2 ) ( 1)

j — 1, 2, ■■■ ,m и всех n1,n2 или если А11 ' anl,n2 ^ 0 для всех j — 1, 2,■■■,m и всех n-\_,n2. Для заданных последовательностей {a^ni1,^ }, {aini!,n2}, ■■■, {an^in } введем индикатор

-,(2^ i г (m)

r1,r2

Ф ип(1) 1 /п(2) -I гп(ш) 1 \ =\ ^ если {а<П1п2 }, {аш,П2 ^ ..., {аПт,п2} € ОМ,

ГТ1 ,Т2\ {ап1 ,п2 }, {ап1 ,п2 },..., {ап1,п2 }) = \ 1

1 2 1 2 1 2 1 .

Далее, для сокращения записи условий сконструируем специальные последовательности

^(^1,к1;0) (аГ1'п1,Г2'п2 ) ат1п1 — (г1—к1)вщпк1,г2п2 + ( —1)1 + аТ1п1—к1,Т2п2 ,

г(0,к2 ) / \ __, / Л\к2+1

"(0;г2 ,к2')(аг1'п1 Г2п2 ) аг1п1,г2п2-(г2—k2)signk2 + ( —1) аТ1п1,Т2п2-к2 ,

8{к1 ,к2) (а ) = 5(0,к2) (5(к1,0) (а ))

°(т1,к1 ;Г2,к2)(аг1п1 ,г2п2 ) = °(0 ; Т2,к2)(°(т1,к1; 0)(аг1п1,г2п2 )).

Введем коэффициент Т^'^2\{аП1П2}), к^ = 0,1,..., [Ц-]',гк = 1,2 (] = 1,2), следующим образом: если г1 + г2 = 2, то полагаем Т^'к2({апГп2}) = 1; если г1 + г2 = 2, то полагаем

^к-1,к2 ({а"-1П2}) = Фг1,г2 (^{аг1п1-(г1-к1)&1%пк1,г2п2-(г2-к2)&1%пк2 + 2^ ( — ^ )Х

ХЯ-П«,! —&1,г2гг,2 —(г2—fc2)signfc2 2^ ( 1) )^пп1 — (г1 — fcl)signfcl,г2гг,2 — ^ 2^ ( 1) 2)х

Ха,Г1Г11_д.1)Г2Г12_д.2 |, {^(1 ( 1) )®пг11—к\,г2п2 — (г2 — к2)&щпк2

+ ~~ ( —1) )аг1гг,1 — (г1—— &2 2^ ~~ ( — ^ 2)ач"1"-1— к-1,г2п2— к2 •

Скажем, что последовательность {ап1 п2}п1 п2ец удовлетворяет уеловию В(т1,т2), если при заданных Г1 € Ни г 2 € N выполняются следующие условия:

последовательность {ап1 ,п2 }П1,п2 удовлетворяет условию А и дл я каждых =0,1,... ,г1 — 1 и ]2 = 0,1,... ,Г2 — 1 подпоследовательности {аГ1 п1-к1,г2п,2-к2} удовлетворяют условию монотонности

( г л г о )

М11 ' , а также дополнительному условию:

для каждых к\ = 0,1,..., Щ;], к2 = 0,1,..., = 1, 2, г2 = 1, 2 последовательности

-^(к1к2){Г 1\ х(к1 ,к2)

Т(к1,к2)Иа У)- 5(к1 ,к2) (а )!

Тк1,к2 ({ап1п2}) и(т1,к1;т2,к2)(аг1п1,г2п2 )|

М(Г1,Т2) к к1 2 .

Сформулируем основные результаты.

Теорема 1. Пусть 0 <р< ж,г1 € Н,г2 € Н, функция w € Ш и такова, что для любых € (0, т") и — [Щ ^ т,г ^ }, (г = 1,2), имеет место оценка

¿2 ¿1 ¿2 ¿1

уимхг+тг — ,х2 + т2—)ах1ах2 ^ С / / гиЛх\ + т\ — ,х2 + т2 — )ах1ах2, (3) Г1 Г2 ] ] Г1 Г2

0 0 Ь Ь

2 2

где С не зависит от, 51 и д2.

Пусть, кром,е того, последовательность {ап1,п2}п1,п2ещ удовлетворяет условию В(г1,г2). Тогда, ряд (1) сходится, для, почт и всех х1,х2 и для его суммы д(х1 ,х2) справедливо неравенство

К/Т2 ъ/г1

по П1 [г2~11 Гг1-11

ОО ОО £ ¿12' ' 2 >

^с(Х1

Шх1,х2)\\рр,ш ^ Сх £ / / ( £ £ ™с(х1+т,1 — ,х2 + т2—)^(1х1(1х2х

^__1 ^ _1 «/ «/ г Г^ г ГЛ л Г1 Г2

п2 = 1 П1 = 1п/Г2 т/г1 т2 = -[^] "2+1 п1 +1

[?] 2 2

X £ £ £ £пГ • п22Р • Тк^аапп }) Л^-г^^агг^)) \р, (4) к2=0 к1=0 к2 = 1 к1 = 1

С1 не зависит от, последовательности {ап1,п2}п1,п2ен. Теорема 2. Пусть 0 < р < <х>,г1 € Н,г2 € Н, функция ад € Ш и такова, что ■шс(х1,х2) является периодической по переменной Х\ и периодической по переменной х2, а также (—х1,х2) = wc(x1 ,х2)^с(х1, —х2) = wc(x1 ,х2) для почти всех х1 € (0,п),х2 € (0,п). Пусть также для любых 5к € (0,п) и любых Ьк ^ п/(85к), г = 1, 2,

11 Wc(x1,Х2)Sln2(b1Х1)SШ2(b2Х2)dХ1dХ2 , С ] { ^.х,^. (5)

¿2 ¿1 52 ¿1

2 2 2 2

где С не зависит, от, ¿1, 52, и для любых 5к € (0, г = 1,2, имеет место оценка 3 ВМУ, математика, механика, №2

¿2

¿2 ¿1 Т ~2~

У У wc(x1,x2)dx1dx2 ^ С1 IJ wc(x1,x2)dx1dx2,

"с

0 0 «2 ¿1

4 4

г(9е С1 не зависит от, 51 и д2.

Пусть, кроме того, последовательности {ап1,п2 }П1'П2£щ удовлетворяет условию В(г1,г2) и д € Тр,и>, где g(x1,x2) — сумм,а, ряда, (1). Тогда, справедливо неравенство

п/г2 п/г1

ОС ОС

\\д{х1,х2)\\рр^ ^ С2 ^ £ / / ( £ £ гус(ж!+Ш1^,ж2+ т2^)^ж1сгж2х

"2+1 П1 +1

[?] 2 2

X £ £ £ £иГ • и22Р • Т^({аигП2}) ЧА^—,^¿Й;к1);г2,к2)(аг1п1,г2п2)) |р, (6) к2=0 к1=0 ¿2 = 1 ¿1 = 1

С2

не зависит от, последовательности {ат,п2}п1,п2бН. Замечание 1. Если w(x1 ^2) = 1, то из теорем 1 и 2 следует теорема А.

Замечание 2. Пусть 0 < р < ^2) = 1, а последовательность {ап1 ,п2}п1 удовлетво-

ряет условию А и подпоследовательности {arlnl—j1>r2n2—j2} € М<\г<1,г"2) для каждых з< = 0,1,...,г1 — 1; 32 = 0,1,... ,Г2 — 1 и удовлетворяют дополнительным условиям:

1) при г2 > 2 для = 0, ([у] — и каждого к2 = 1,..., [Г2^~1] подпоследовательности

{ащГ1— jl,n2r2— Г2+к2 }п1,п2€№ {ап1 rl—jl,n2r2—k2 }п1,п2€М € ОМТ1,Т2 ;

2) при п > 2 для = 0, ([у] — У2^1 и каждого к\ = 1,..., подпоследовательности

{anlrl—rl+kl,n2r2—j2 }п1,п2€М, {ап1 Г1—к1,п2Г2 —j2 }'1,П2€М € ОМТ1,Т2 ;

3) при г\ > 2, г2 > 2 для каждого к\ = 1,..., и каждого к2 = 1,..., подпоследовательности

{ап1Г1 — к1,п2Г2 — к2 }п1 ,п2&, {

ап1г1—к1,п2г2—г2+к2 }п1,п2€№ {ап1Г1—п+к1,п2Г2 — к2 }п1 ^МЬ { ап1 г1—г1+к1,п2г2—г2+к2 }п1 ,п2€М € ОМГ1,Г2 .

Тогда справедливы неравенства

ОО ОО 1 ОО ОО 1

<4 £ £ п\-\1~2\аП1,П2\рУ < |Ь(жьж2)||р < С2{ £ £ п\-\1~2\апип2гу

п2 =1 п1 =1 п2 =1 п1 =1

где положительные постоянные С1,С2 не зависят от последовательности {ап1п2}. 3. Вспомогательные утверждения. Пусть и = 1, 2,...; I = 0,1,... ;

Б0°(ж) = I; ж) = со8(пж); В}{ж) = £ ВЦх);

т=0

ж) = 8т(пж); В1п{ж) = £ В°т(х)]

т=1

BC°(x) = ео8((21 + 1)x); ВС/^) = £ ВСт(x); ВС2^) = £ ВСт(x);

т=0 т=0

БСГ(ж) = 8т((2/ + 1)ж); ВСЦж) = £

т=0

Заметим, что В^(х) — это ядро Дирихле Т>га(ж), Вп(ж) — сопряженное ядро Дирихле Т>га(ж). Лемма 1 [3]. Пусть 0 <р < ж,ап ^ 0,Ьп ^ 0 и = 1, 2,.... Тогда

те те к те

1) если £ ат ^ С3ап, и = 1, 2,..., где С3 не зависит от и, то ^ а^^ Ът)р ^ С4 £ атЬт,

т=п к=1 т=1 т=1

где С4 не зависит от, {Ьп};

п те те те

2) если ат ^ С5ап,и = 1, 2,..., где С5 не зависит от и, то ^ а^^ Ът)Р ^ Сб £ атЬт,

т=1 к=1 т=к т=1

где С б не зависит от, {Ьп}.

Лемма 2 [4]. Пусть n = 0,1,.... Тогда

а) для почти всех х имеем Bln(x) = °°s 2 аТ/п^Г"1"^2^ ВС^(х) = sm g^1^, ВСЦх) = > ВС2(х) = sin((ra+1)a:)sin((ra+2)a:) •

п\ ! 2sin2 х '

б) для любого х имеем \в\{х)\ < С\(п+1), \ВС^х)\ < С\(п+1),\ВС%(х)\ < С\(п+1)2, ЩС1п(х)\ < С\ (п + 1)^;

в) ^^f для хе (0,7г);

г) |5C¿(a;)| < f, |5С2(Ж)| < % ¡BC^x)] <: f для х е (О, f), где постоянные C<,C2, C3 не зависят, от, n и x.

Лемма 3. Пусть r<,r2 £ N, m<,m2 £ Z, числовая последовательность {anin2} удовлетворяет условию А и для каждых jl = 0,1,...,rl — 1;j2 = 0,1,...,r2 — 1 подпоследовательности {arini-jir2n2-j2} удовлетворяют условию mohoтонности M<f-]1'r"2">.

Тогда, ряд (1) сходится, по Прингсхейму всюду, кром,е, может быть, множества плоской меры

нуль, т.е. существует функция д(х\,х2) — сумма ряда (1) и функция д(х\ + т\^,х2 + т2Щ)

2тг i 2тг

VIJVIU рлии и угуппц'ил Т Iii] ~

может быть почти всюду представлена в виде

2п 2п

— ,х2 + т2 — ri r2

( 2П 2П\

g[xi + mi — ,х2 + т2 — ri r2

г r2 i г I I

1Л[ cos(fc2m2fj + (2k2 - r2 • sign к2)Щ-) 1Л[ cos(fcimi|^ + (2ki - n • signfci)^)

' j 22—sign k2—sign (r2-2k2) / j 22-sign ki—sign(ri — 2ki)

=0 ki=0

■X

£ £ íríLra.fa)^!"!^) sin(nina;i + ■ sign fci) sin(n2r2:c2 + • signk2) +

П2=0 n±=0

r r2 1 r rl 1

^ cos (fc2m2f| + (2 k2 - r2 • sign k2)^f) S sin^im^ + (2fci - n ■ signfci)^)

A—< 22—sign fc2—sign (r2 — 2fc2) / 22—sign fci—sign (ri—2fci) ^

k2=0 k1=0

<x <x

X £ £ ^ki.r2M){arinur2n2) cos{niriXi + • sign fci) sin(n2r2:c2 + • signfc2)+

U2=0ni=0

r r2 1 r rl 1

^ sin(fc2m2f| + (2 k2 - r2 • sign k2)^f) ^ cos(&imif^ + (2fci - n • signfci)^)

' j 22—sign fc2—sign (r2 — 2fc2) / j 22—sign fci—sign (ri — 2fci) ^

k2=0 ki=0

oo oo

x £ £ ^1^1;Г2М)(аГ1ПЪГ2П2)8т(п1Г1Х1 + Щр- ■ sign кг) cos(n2r2x2 + -Цр • signfc2)+

П2=0П1=0

Г Г21 Г£11

sin(fc2m2f7 + (2fc2 - r2 • signfc2)^) ^ sin^imi^ + № - П ■ signfci)^)

X

/ o2—sign fc2— sign (Г2 —2fc2) /

22—sign k2—sign(r2 — 2k2)^^ 22—sign ki—sign(ri — 2ki)

k2=0 ki=0

£ £ (r'l,ki;r2 ,k2) (^"Г1П1,Г2П2 ) COs(íliriíCi + • Sign fci) (X)s(n2r2X2 + ^^ • SÍgnfc2)-

П2=0 ni=0

Доказательство аналогично доказательству теоремы А из [2].

4. Доказательство теоремы 1. Сходимость ряда (1) по Прингсхейму всюду кроме, быть может, множества плоской меры нуль, следует из леммы 3. Применяя ее, будем иметь

У У w(x1 ,х2)\д(х1,х2)\рйх1йх2 = J У wc(x1,x2)\д(x1 ,х2)\рйх1 д,х2 =

-П П 0 0

P^i] г2 Г1

= У^ У I wc{xi+rrii — ,Х2 + т,2—)\g{xi + rrii — ,X2 + ni2-)\PdXidX2 ^

J ri r2 ri r2

m2=-|j| mi=-|j|0 0

-, -, JL JL

E E {/J Мх1+т1^-,Х2 + т2^)х

т2=-[у]т1=-[у] 0 О

Г r2I Г rl 1

^ cos(к2т2Щ + (2к2 - г2 • signК cos(fcimi^ + (2fci - п • signfci)^)

Х' / 22-signfc2-sign(r2-2fc2) ' 22-siSnkl-aign(r1-2k1) X

k2=G 21=G

те те

X £ E ôtiM-,r2,k2)^arini'r2n2"> s'm(nirixi + • signal) sin(n2r2a;2 + • signfc2)|pdxidx2+

n2 =G nl =G

7Г 7Г

„ [?] „^b ™ 2-7Г

2тг 2тг ^ cos (fc2m2^ + (2fc2 - r2 • sign

' Ж2 ^ m2 22—signfc2—sign(r2 —2fc2)

+ / Wc(xi+mi-,Ж2+Ш2-) y^ --;-:—;-—-X

c l l rl 2 2 r2

G G k2 =G

sin(A:imi^

X ^-- • ■ • - —-

2l=G

те те

sin(fcimi^ + (2ki - ri • signfci)Щ-)

22—signfci—sign(ri—2fci)

xE E St'ili-,r2,k2)^arini'r2n^ cos(nirixi + ■ signfci) sin(n2r2a;2 + ^p • signfc2)|pdxidx2+

n2 =G nl =G

7Г 7Г

r2 [Ü] о

f f , 2тг 2тг, ^ sin(fc2m2ff + (2fc2 - r2 • signк2)Щ) + j J Wc{Xl+mi-X2 + m2-)^ -22-Bignfc2-sign(,2-2fc2)-x

G G k2=G

PI r.rscib.^.'M.

x y,-^^—• - ——

kl=G

те те

cos(fcimi^" + (2fci — r\ • signfci)^-)

22—signfci—sign(ri—2fci)

xE E 0(rili;r2,k2)^arini'r2n2"> s[n(nirixi + ~lp ■ signfci) cos(п2Г2Х2 + • signfc2)|pcfeicfe2+

n2 =G nl =G

7Г 7Г

Г12

r2 [-^1 9

2тг , 2тгч ^ Sin(fc2m2ff + (2 fc2 - r2 • sign fc2)^f)

X

sin(fcimi|^ + (2fci - n • signfci)^)

/ / , 2П 271 r2 I V '^2 '2 "'b*

+ j J Wc(Xl+m1-,X2 + m2-)Y -22-signfc2-sign(,2-2fc2)

Pi

2

kl=G

xE E öt'ili;r2,k2)^arini'r2n2"> cos(nirixi + ' signfci) cos(п2Г2Х2 + • signfc2)|pcfei(fo;2} =

G G k2=G

22—signfci—sign(ri—2fci)

X --• , -X

kl=G

00 00

2 о ^ V 2 2 2 2

n2 =G nl =G

P^l P^l

= E E {il +12+13+14}.

Оценим Il :

п п

[?] р] г2 п

А ^ Ci E E J J wc(xi+mi^,X2 + m2^)

k2=G kl =G g G

2 J 12 J ; ^ cos(fc2m2|r + (2fc2 - r2 • signfc2)^)

2 -X

22- k2- (r2-2k2)

со^кхгпх^ + {2к\ — г\ • sign£;l)^)

22—п(т1-2к1)

те оо

2' ЕЕ и(т1 ,к1;Г2,к2) (аг1 п1,Г2п2

п2 =0 п1 =0

) а

) $т{п\Г1Х1 + —• signA;l) х

х ът(п2Г2Х2 + • sign£;2)

[121 ГЦ,

р I 2 1 I 2 1

йх1йх2 = С^ ^1(1к1 М. к2 =0 к1=0

Рассмотрим случай к1 = к2 = 0. Не ограничивая общности, считаем, что ^•Ц'''2ап1Г1,Г2п2 для всех п1 € Н,п2 € N. Тогда

^ 0

7Г 7Г г2 Г1

гГ-1 I Ыс(х1+т1^-,х2 + т2^)\^ ^ А

0 0 п2 = 1 п1 = 1

(Г1,Г2) 11 ап1'1,'2п2 Вп1

0"п1г1,г2п2Вп, (г 1X1)В (Г2х2) \Р(1X1(1X2 ^

те те

< С2(ЕЕ

12=0 ¡1 =0

2п

п/Г1 П/Г1 2(2 2(1

J ! У)С(Х1 + ГП1^-,Х2 + ГП2^)\ Е Е ЛИ '

к/г2 Х/Г! "2 = 1 «1 = 1

2г2+1 2г1+!

2 2г2+2 —1 2г1+2 —1

(пж^х

п/Г1 П/Г1 2(2 2(1

хБ^ГгЖг^^Ж^Жг + Е Е

2п

2 2г2+2 —1 те

¡2=0 ¡1=0

т/г2 7Т/Г1 212 +1 2г1 + !

Ъ1)С(Х1 + ГП1 — ,Х2 + ГП2 — )\ У^ У^ А Г1 Г2 ^ ^ ^

п2 = 1 п1=211+2

ап ' ,п '

11 п1 ' 1 ,п2 ' 2

п/Г1 П/Г1 2г2 2г1

ХВП1(ПХ1)ВП2(Г2Х2)\Р(1Х1С1Х2 + Е Е

¿2=0 ¿1=0 п/г2 7Г/Г1 ?2+Т ?1+Т

2п 2п.

гУс(Ж1 + Ш1-,Ж2 + ГП2-)х

Г1 Г2

оо 211+2-1

(' 1,' 2)

п2=2г2+2 п1 = 1

В1 (пх^В1 (г2Ж2) |Р(^Ж1(Й;2+

п/Г1 П/Г1 212 211

+ ЕЕ

¡2=0 ¡1=0 .

■/г2 г1 212+1 2г1 + !

тете

гус(ж! + Ш1 — ,ж2 + т2 —)| У^ У^ д(гьг2) Г1 Г2 ^^

п2=2 2+2 п1 =211+2

в1П1 (г1х1)х

11 п1 ' 1 ,п2 ' 2 п1

хВ1П2{г2Х2)\РйХ1<1Х2) = С2(Л + </2 + + -Ь)-

ТО

Так как (см. лемму 2) \В1П1{х\)\ ^ С(п\ + 1),В1П2(х2)\ ^ С(п2 + 1), где С не зависит от п\ и П2,

п/Г1 П/Г1

те те

т ^ тете [ [ 2п 2п

Л ^ Сз / / — ,ж2 + т2—)х

¿2=0 ¿1=0 ^

о'9 + 1 -,¡1+1

2г2+2 — 12г1+2 — 1 V V А ('1 ,'2) а

п2 =1 п1 =1

(п1 + 1)(п2 + 1)

йх1йх2.

Поскольку

Л('1,'2)п = /Л'Ъ^) _ /Л'Ъ^) < Д^ъЫ а

А11 ап1'1 ,п2'2 — д01 ап1'1 ,п2'2 д01 ап1'1+'1 ,п2'2 ^ д01 ап1'1 ,п2'2 ,

д('1,'2)п = д('1,'2)а _ д('1,'2)а < а

д01 ап1Г1,п2'2 — д00 ап1 Г1,п2'2 д00 ап1Г1,п2'2+Г2 ^ ап1'1,п2'2 ,

X

Р

X

ТО

2п1+2—1

У] Д^1, 2) ак1Г1,Г2 (к1 + 1) ^ 2П1+2д0<1, 2->аг1,2п1+1,г2 ; к1=2п1+1 2п2+2— 1

£ Д<lrl1,r2)arl,k2r2(к2 + 1) < 2п2+2д1Г01,Г2)аг1,г2.2П2+1; к2=2п2+1 2п2+2—1 2п1+2—1

]Т ]Т Д/г/,г2^ак1пМг2 (к1 + 1)(к2 + 1) < 2п1+22П2+2Пг1.2П1 + 1,г2-2"2+1 к2=2"2+1 к1=2п1 + 1 Отсюда имеем следующую оценку сверху для ,1 :

п/г1 п/г1 212 211

[ [ и}с(Х1 + Ш1 —, Х2 + Ш2 — )(1Х1(1Х2(1РГ1>Г2 + 12=011=0 ^ ^ г< Г2

п/г2 п/г1

?2+Т ?1+Т

п/г1 п/г1 о

^ ^ 2'2 2'1

+ ^ J У)с(х 1 + + т2^-)йх\йх2{ У^ 2"-1+2А[)711'7'2'>ат.1.2"1+1,Г2)р+

тете

w.

¿2=0^1=0 ^ П1=0

2г2+1 2г1+!

п/г1 п/г1

те те 2 2 21 о п 12

+ / / + Ш1 —,ж2 + т2 —)(1х1(1х2{ У^ 2"-2+2А^1о1'7'2->ат.ьт.2.2п2+1)р+

Ь=о11=о«,Г2 X ^ Г2 га2=0

?2+Т ?1+Т

п/г1 п/г1

те те 2/2 2 г 2п 2п 12 11

+ / / гус(ж!+Ш1 —,ж2+ т2—^ 2га1+22га2+2аГ1.2п1+1Г2.2п2+1)р).

г1 г2

^9 + 1 9Й+1

2 2+1 2 1+

Учитывая свойство (3) и применяя лемму 1, будем иметь

п/г1 п/г1 п2 П1

■Ь ^ Сб ^ ^ J ! ъис(х1 +ГП1^,Х2 + т^^йх1йх2{п1П2аП1ГиП2Г2)р = А. (7) "2 = 1 »1 = 1 ^ 7г/т.1 п2+1 П1 + 1

Оценим 72. Так как (см. лемму 2) |-В^2(ж2)| ^ С(п2 + 1), 1^(^1)1 ^ ГДе С не зависит от и2,x2 и u1,x1, то

п/г2 п/г1

те те у у 2п 2п 2 12 +2 — 1

^ <?6 £ £ J у -Шс(ж1 +Ш2^^Ж1СгЖ2(2г1 ^ Д0Г1ЬГ2)аЗ-2г1+2,Зп2(П2 + 1))Р-

г2=о г1=о 7г/т.з 7г/т,1 п2=1

2г2+1 2г1+1

Далее, рассуждая, как при оценке 71, заключаем, что ,12 ^ А. Аналогично получаем, что оценка (7) верна и для ,,4. Объединяя оценки для — ,4, будем иметь т/0,0 ^ А. Этим же методом получаем оценки сверху для т^1^2) ПрИ остальных кг = 0,1,..., [Щ] (г = 1,2). Объединяя оценки для /р1'^2^ Где ^ = 0,1,..., Щ (г = 1, 2), будем иметь

7т/г-| 7г/г-| [12.1 [111 п2 П1

I 2 ' I 2 ' °о оо £ £

^ ^ Е Е Е Е / / + Ш1 —,Ж2 +Ш2 —)^1^2|П1П2^.Г2^К1ГЬП2Г2)|Р-

к2=0 к1=0 п2 = 1 П1 = 1- _ ^ г< г2

п/г2 п/г1 п 2 + 1 П]_ + 1

Аналогичными рассуждениями устанавливаем оценки сверху для 12,1з,14. Таким образом, объединение полученных оценок для где г = 1 — 4, дает (4). Теорема 1 доказана.

5. Доказательство теоремы 2. Из условий, наложенных на функцию wc(xl,x2), следует, что

для почти всех Х1,Х2

Га-1] [г1-1]

1 2 1 1 2 1 2тг 2тг,

wc(xi,x2) ^ У V wc(xi+mi — ,х2 + т2—) ^ Cwc(xi, х2). ^ ^ r< r2

— j nv 1 —l—1

ГП2 = -[^\ Ш1=-&]

Можно проверить, что функция

= + 1 ЕМ,+tKxi -т Ах ,»)

r< \ 2 r< r< /

mi = l

представляется в виде

g<(xi,x2) = Е Е

aniri,n2r2 SÍn(n<rixi) SÍn(n2r2x2), (8)

n2=lni=1

/ '2 — 1 \

ще д1(хъх2) = ±(д(хъх2) + ± Е (э(хъ х2 + т2Ц) + д(хъ х2 - т2Ц))) •

^ т2 = 1 '

Не ограничивая общности, считаем, что подпоследовательность {аГ1п1Г2п2} удовлетворяет условию Д'!'"2аГ1п1,Г2п2 ^ 0 для всех п1 € Н,п2 € N. Из [2] следует представление функции

^(хъх2) = \ (91(х1,х2) хъх2) х2) +91(^-х1,^-х2))

те те

= Е Е ari(2ni-l),r2 (2n2-1) sin((2n< — 1)r<xi)sin((2n2 — 1)r2x2)

n2=lni=l

в виде

22

nWfr Г - X^ X^ A^hl sm n\r\Xi sin n2r2x2

9l \xi,x2) — > /^A11 йпщ2—:--:-!

l ll Sin rlxl Sin r2x2

n2=lni=l

Где dnin2 = ari(2ni-l),r2 (2n2-l).

( n/r2 n/r2 Для функции gl ) (x<, x2) имеем J = f f wc (xl,x2)\gl (x<,x2 )\p dxldx2 ^ C\\g(xl,x2)\\'lp,w

0 0

Оценим снизу J. Учитывая представление функции g(l )(x i,x2), получаем

n/r2 n/ri

nl'o -otti

те те 2 2 2 f тете ' 2( \ ' 2( \

Е Е у у MxiM Е Е ЧУ^^Г)1 slMr2x2) \Р(1х1(1х2 =

^2 = 1^1 = 1 П2 = 1щ = 1

2^2+Т 21'1 + 1

поэтому

те те

n/r2 n/ri

B ^ Е Е J J Wc(x l,x2 (x l,x2)\pdx idx2,

V2 = lvi = l

2"2+1 2"1 + 1

где

тете

$ViV2 (x l,x2)= E E ^M^

n2=2^2-i ni=2^i-i

(i,i) sin2(mria;i) sin2(n2r2a;2) i, i ni ,n2 sin(rl x l) sin(r2x2)

Так как (жьж2) € [^т, х [^тг,^] = Ъм, т0 ^¡/г^ь^) ^ С^+^с^-1^2-1 •

7г/3 7г/3 2^2 2"1

Рассмотрим А = / / гис(х1, Ж2)Ф^ц/2(Ж1 ? Х2)Лх\йх2- Так как = ъщЦт^- ^ то, приме-

7г/3 7г/3

2^2+Т 21'1+1

няя неравенство (5), будем иметь

п/г2 п/г1

А ^ С22и1+и2d2vl- 12*2-1 I / Wc (Xl,X2)dXldX2. (9)

п/г2 п/г1 21'2 + 1 21'1 + 1

Обозначим 1°1и2= {(x1,x2) € : wc(x1,x2) = 0}. Не ограничивая общности, считаем ц1„1и2= 0. Рассмотрим множество = {(ж1,ж2) € /°1г,2 : Ф^1гу2(ж1, Ж2) ^ ■^а2гУ1+гУ2с?21-1-121-2-1}. Докажем, что

j У и)с(Х1,Х2)(1Х1(1Х2 ^ - У У и)с(Х1,Х2)с1Х1С1Х2-

201 20

Предположим противное:

У У и)с(Х1,Х2)(1Х1(1Х2 < У У и)с(Х1,Х2)(1Х1(1Х2

201 20

Тогда

А = У У Wc(Xl,X2)Фv1v2 (Xl,X2)dXldX2 + 1 У Wc(Xl,X2)Фv1v2 (Xl,X2)dXldX2 ^

201 20 201

< С^1^2d2vl-l2v2-l I I Wc

У У гис(Ж1, Х2)с1Х1(1Х2 + у 2гУ1+гУ2С?2П-121'2-1 j ^ и}с(Х1,Х2)(1,Х1С1Х2 ^

201 20 п/г2 п/г1

^ -у2^+гУ2(¿^1-1^2-1 У У Ъис(Х1,Х2)с1Х1С1Х2,

п/г2 п/г1

2^2+Т 21'1+1

что противоречит неравенству (9). Таким образом,

У У Юс(Х1,Х2)с1Х1С1Х2 ^ У У Юс(Х1,Х2)с1Х1С1Х2-

Тогда

201 20

те те те те

, ^ Сз££ / Wc(Xl ^^ d2Vl-l2V2-l 1^X^X2 ^ С4 ^ ^ ^(2*1 — 1),г2(2^2 — 1) X

^2 = 1 ^1 = 1 2 01 ^2 = 1 ^1 = 1

7Г/Г2 тг/гх К / Г2 7г/Г1

2^2 2"1 ^ ^ п2 П1

х2(^1 +^2)р J у wc(x1,x2)dx1dx2 ^ С5 ^ ^ J ^ wc(x1,x2)dx1dx2|u1u2arlnl,

7г/г2 тг/г-1 "2 = 141 = 1^^ 7ГД1

2"2+1 2^1+1 "2 + 1 "1+1

г2

г2

#10(Ж1,Ж2) = #(Ж1,Ж2) -#1(Ж1,Ж2), 5о^(жьж2) = 5'1О(Ж1,Ж2)СО8( — Ж2),

22

«*«**> - ±^(ХЬХ.) + £ (^(хьх, + т,|) + (,„,, - тД))),

^ т2 = 1

92(Х1,Х2) = — (дг1^.(Х1,Х2) + ^ Е (й'п^^! +^1 — ,Ж2) -Ш1 —, Ж2)) V

^ Ш1 = 1 '

Для функции д2(Х1,Х2) верно представление, аналогичное (8):

тете

д2(х 1,Ж2)= Е £ К1г.ь(2п2+1)^ +ап1гь(2п2-1)^)81П(та1Г1Ж1)81П(та2Г2Ж2).

п2 =1 п1 =1

Проводя для этих сумм такие же оценки, как и для сумм из (8), получаем

п/г2 п/г1

ПО П1

тете 2 1

Ых1,х2)\\рр,ш ^ с6 Е Е / / адс(ж1,ж2)сгж1сгж2|пт2ага1Гь(2га2_1)^|р.

га2 = 1га! = 17г/г2 7г/т.1

п2+1 п1+1

Аналогично доказываются оценки снизу в случае четного Г1 :

п/г2 п/г1

ПО П1

тете г г

Ых\,х2)\\% ^ С7 Е Е у У адс(ж1,ж2)сгж1сгж2|п1п2а(2га1_1)^;га2г2|р

п2 1 п1 1 п/г2 п/г1 "2+1 п1+1

и оценка снизу, когда Г1 и Г2 — четные числа:

п/г2 п/г1

П2 ПХ

те ^ ^ ^

115(ж1,Ж2)|11и ^ Се Е Е / / адс(ж1,ж2)сгж1сгж2|щп2а(2га1_1)1Х)(2га2_1)12|Р

п2 =1 п1 =1

2

п2 =1 п1 =

т/г2 7Г/Г1

п2+1 п1 + 1

Пусть к2 е {1,..., Рассмотрим подпоследовательности {ащг1,г12г2-г2+А;2}г11,г12ем и

{ап1Г1,п2Г2—к2}п1 ,п2ен. Здесь могут возникнуть два случая: они или удовлетворяют условию одинаковой монотонности ОМГ1,Г2, или не удовлетворяют.

Рассмотрим сначала случай, когда они удовлетворяют условию ОМГ1,Г2. Не ограничивая общноСТИ) считаем, что А^'^Пппь«^^ Г2-Г2+к2 ^ 0 для всех щ € N^2 € Ни а^ща^ П2 Г2-к2 ^ 0 для всех п1 € Н,п2 € N.

Выше была построена функция д1(х1 ,Х2). Введем следующие функции:

д10 (Х1,Х2) = д(х1,Х2) — д1(х1,х2), д10к2 (х1,Х2) = д10 (х1,Х2)сов(к2 Х2), д10,(г2—к2)(Х1,Х2) = д10(Х1,Х2) СОё((Г2 — к2)Х2),

1 ( г2—1 2п 2п \

дЫ0к2(хг,х2) = —(2д10к2(х1,х2) + ^ {я^аьъ (х!,х2 + т2—) + д1ок2(хъх2 - т2—)) ),

^ т2 = 1

дЫ0^Г2_к2)(х1, х2) = ^(^2д10^Г2_к2)(х1,х2) + + Е (5,1О,(г2-Й2) (^1, Ж2 + т2у) + д1оХг2-к2)(х1,х2 - тяу-^ ),

Ш2 = 1

д1й"1 ,к2 (Х1,Х2) = д1^,("2 — к2)(Х1 ,Х2) + дЫ0к2 (Х1,Х2). 7 ВМУ, математика, механика, №2

Тогда для функции

9з(х1,х2) = —(д1(1Г1М{х1,х2) + \ ^ (дЫГ1М{х1 + чщ — ,х2) + дЫГ1М{х1 - чщ — ,ж2))) г1 2 г1 г1

Ш1 = 1

верно представление

те

^ ^ (^(anlrl,n2r2—r2+k2 + anlrl,n2r2 — k^^ + (anlrl,n2r2+k2 + пп1г1,п2г2 +r2 — k2^^j !5Ш(и1г1 Xl)siп(и2Г2X2).

п1 =1

Выполняя для этих сумм такие же оценки, как и для сумм из (8), получаем

п/г2 п/г1 п2 п1

те те » »

l|g(x1 > С9 ^ ^ / / ^(x1, x2)dx1dx2|и1и2{anlrl ,П2Г2—Г2 +к2 + anlrl,n2r2—k2

)|р. (10)

п2 =1 п1 =1

п2 =1 п1 =1

2 1 п/Г2 П/Г1

"2+1 "1 + 1

г1

последовательности {аП1Г1_а)П2Г2_Г2^2}пьп2ен и {ага1Г1_ц ,П2Г2_к2}П1,п2& удовлетворяют условию

2

ОМгъг2 :

,X2Wp,w >

тете ГС

] \ Мх1,х2)дх1дх2\п1п2(а{2п1_щ^2Г2_Г2+к2+а{2п1_щ,

п/г2 п/г1 п2 пх

2

"2 = 1 »1 = 1 ^ 7Г/Т.1 "2+1 "1 + 1

Пусть теперь для к2 € {1,..., [Г22-®"]} подпоследовательности {ага1Гьга2Г2_Г2+д;2 и

{пП1Г1,П2Г2—к2}п1,п2ен не удовлетворяют условию 0Мг1г2: а для каждого г2 = 1, 2 последовательности {^.'^кз)(пп1г1,п2г2)}п1,п2ен удовлетворяют условию монотонности м<(г12,Г2). Не ограничивая общности, будем считать, что

ДЙ,Г2)(пг1 п1,аП1Г1п2г2-г2+к2 + ^тиап^^Г2-к2) ^ 0 для всех и1 € м,и2 € Д1,1,Г2) (пг1 п1,аП1ГЪП2г2-г2+к2 — апп1,аП1ГЪП2Г2-к2 ) ^ 0 ДЛЯ вс6х и1 € М,и2 € n.

Так как по условию Дlд,r2)(arlnl,anlr.1,n2Г2-Г2+к2 + апп1,аП1Г1П2Г2-к2) ^ 0 для всех п<,п2, то, используя представление функции gз(xl,X2), получаем справедливость оценки (10). Теперь докажем справедливость неравенства

У&1 ,x2)||l>w >

п/г2 п/г1

П9 П1

тете ее

^ С11 £ £ / / wc(x 1 ,x2)dx 1 dx2 |и1и2 (anlrl,n2r2—r2+k2 — anlrl,n2r2 — k^ (11)

п2 =1 п1 =1

2 1 П/Г2 П/Г1

«2+1 "1 + 1

Выше была построена функция 9^x^x2). Введем следующие функции:

g1o(Xl,X2) = 9^X2) — д1^1 ,X2), д1в0к2 (Xl,X2) = д10(Xl,X2)siп(k2X2), ^1^0,(Г2 —k2)(Xl,X2 ) = д10 (Xl,X2)siп((Г2 — k2)X2),

1 / Г2 1

1 / 2 1 ^ 2^ 2^ д1зс10к2(х1,х2) = —\2д180к2{х1,х2) + V (д1в0к2 (жь ж2 + т2—) +5'1оа;2(хьх2 - т2—)

2 г2 2 2 г2 2 г2

т2 = 1

д18(10^Г2_к2)(х1,х2) = ^-(^2д180^Г2_к2)(х1,х2)+

V

+ Е {91$о,(г2-к2)(х1,х2 + + д180^Г2_к2)(х1,х2 -т2у) Н,

т2 = 1

д1вй"1,к2 (Х1,Х2) = д18й0("2—к2)(Х1,Х2) + д18й0к2 (Х1,Х2).

Тогда функция

' 1—1

1 / 1 '1—1 2п 2п

д4{х 1,ж2) = - 5НьЛ;2(жьЖ2) + - Е (5,1«^гьа;2(ж1 +Ш1 — ,ж2) + д1в(1Гък2(х1 -т\ — ,ж2) Г1 \ 2 _ V Г1 Г1

т1 = 1

представляется в виде

оо оо

д4(х1,Х2) = Е(

ап1"1,к2 ап1Г1,"2 — к2 )81п(п1Г1Х1) + Е Е ((ап1г1,п2г2—г2+к2 — Пп1 Г1,п2"2 —к2) +

п1 =1 п2 =1 п1 =1

+ (ап1Г1,п2"2+к2 + Пп1г1,п2"2+г2—к^ 81п(щГ1Х1)еО8(п2Г2Х2) =

Е 8т(П1ПЖ1)(-у^ + Е со8(п2г2ж2)),

2

п1 =1 п2 =1

где Ьщ ,0 = 2(ап-1 г1,к2 — ап1 ,"2—к2), Ьп1,п2 = [(ап1 г1,(п2 — 1)г2+к2 — ап1г1 ,(п2 — 1)г2+(г2 — к2)) + (ап1,п2"2+к2 —

ап1,п2"2+(г2 —к2))~\ .

Для этой функции

П / "2 П/"2

J ! Wc(Хl ,Х2)\д4 (Х1 ,Х2)\Р йХ1йХ2 ^ С12\\д(х1 ,Х2)\\Р,Ш. 00

Далее рассмотрим функцию <75(ж 1, ж2) = 54(ж 1, ж2) — 54(ж 1, ж2 + Тогда

£5(Ж1,ж2)СО8(Г2Ж2) = ^ 8т(п1ПЖ1)( - Ьп1'3 +

п1 =1

те д(°'2) (Ь + Ь ^т2((т2 + 1)г2ж2)\

+ 0,2 1°пь(2т2-1) +0пь(2т2 + 1);-28П12(г Ж )-/

т2=1 \ 2 2) /

Используя это представление, получаем оценку

п/"2 п/"2 В1 = / Wc(Хl ,Х2)

00

Е в1п(п1г1х1)х

п1 =1

те Л0,2)п ,, ч й1п2((Ш2 + 1)Г2Х2) Р

Ч),2 1°щ,(2т2-1) + °щ,(2т2 + 1))-„ . -^- аХ\аХ2 ^

Х Е Л0,2 (&пЬ(2т2-1) +Ьпь(2т2 + 1)) 2 8Ш2(Гж)

т2 = 1 ^ 2 2'

П/"2 П/"2

^ С13 I J Wc(Хl,Х2) 00

Покажем, что

Е й1п(п1 г1х1)

п1 =1

Ьп1,3 Ьп1,5

Р

йХ1йХ2 + \\д(Х1 ,Х2)\\Р.

р,т ■

п/"2 п/"1

J у Wc(Хl,Х2) 0 0 п1=1

Е в1п(п1г1х1)

Ьп1,3 Ьп1,5

йХ1йХ2 ^ Си\\д(Х1 ,Х2)\РШ. (12)

Р

Для этого рассмотрим

тете

g5(Xl,X2)siп(Г2X2) = ^ ^ Vп1,п2 siп(u1г1x1) ),

п2 =1 п1 =1

ГДе Уп1,п2 = (рп1,(2п2 — 1) — Ьп1,(2п2 + 1)) ,

дт{хьж2) = ^(д5(х1,х2) -жьж2) + ~ х2) + ~ жь ^ - жг)) =

те те те те 2 2

^ ^ • ((о л\ \ • ((о л\ \ ^ ^ Л (1,1) * SiП2 UlГlXl SiП2 и22^2 = ^2п1-1)2п2-18ш((2п1 - 1)ш)8ш((2п2 - 1 )у2) = ^ ^ А^ ^П1П2———---8.п ,

п2 =1 п1 =1 п2 =1 п1 =1 1 1 2 2

где = и2щ—1,2п2—1. Тогда

п/г2 п/г1

J У wc(x1,x2)|gm(x1 , x2)|pdx1dx2 ^ 00

тг/(2Г2) ТГ/Г!

[ [ ( Л (1,1) * Siп2(UlГl Xl) Siп2 (^2^X2) т, ,

^2=0^1=0^(2 ) Т/Г П2 = 1П1 = 1

г^г + з- 21'1 + 1

Рассуждая так же, как при оценивании В снизу, получаем

7Г/У2 Г1 2 2"!

В2 ^ С16£ |2^1+1(&2^1 —1,3 — — 1,5)|Р J ! Wc(Xl ,X2 )dXldX2.

^ 1 п/г2 п/г1

22 21'1+1

Таким образом, мы показали, что

т/г2 тг/т-1 2 2"!

те

Цд^^2) ЦР,™ ^ С17£ ^^^ — 1,3 — Ъ2"1 — 1,5) |Р / / Wc(Xl,X2)dxldx2. (13)

^ 1 п/г2 п/г1

22 21'1+1

П/г2 п/г1 те Ь -Ь

Теперь оценим сверху / / гус(ж1,ж2)| £ ^(пхГхХх) "1,32 "1,Б

0 0 п1 =1 2

Как и при доказательстве теоремы 1, получаем

п/г2 п/г1

Wc(Xl,X2)

У^ siп(u1г1x1)

Ьп1,3 Ьт,5

0 0 П1=<

р

dx1dx2 ^

к/г2 7Г/Г1 2 2^1

<

С18£ У У Wc(xl,x2)dxldx22vlp{^(Ъг1 — 1,3 — —1,5))р.

^ <п/Г2 п/г1 22 21'1 + 1

Учптывая (13), заключаем, что справедлива оценка (12).

Таким образом, мы показали, что В< ^ С^Нд^!X)Цр^. Теперь оценим снизу В<.

Пусть

^ о! г.2

Е ""'

ni = 1 m2 = 1

Заметим, что

F(xi,x2) = £ Mnirixi) <22)(b ni,(2m2 -1) + bn1,(2m2 + 1))

(0,2) íh , h Asin2((m2 + 1)г2ж2)

sin2(r2x2)

1 п -{F(xi, ж2) - F(xi Н--, ж2)) =

2 ri

^ sin2(nirixi) те Л (2,2) . , \ sin2((m2 + 1)Г2Ж2)

^ Sin riXi \ 1 л 2 ) 1 ,( 2+ )/ sin2 r2x2

n1=i m2=i

Тогда

п/г2 n/r1

те 2 те

0 0 ni = l m2 = l

sin2((m2 + 1)r2x2) p, , , „ ,, , ,np

X-—z-\pdxidx2 ^ C2o\\g{xi,x2mw.

sin2 r2x2

Осталось оценить B3 снизу. Действуя так же, как при получении оценки снизу для B, приходим к оценке (11).

Аналогично доказывается справедливость оценки снизу

\\g(xi,x2)Ew >

тете г г

£ \п1п22АоГ)(аг1п1-Г±,Г2п2-г2+к2 -аГ1П1_п.>Г2П2-к2)\Р / / wc(xi,x2)dxidx2,

n2 = i n1 = i

п/г2 п/г1 12 "i

/г2 7Т/Г1 п2+1 п1 +1

когда Г\ — четное число и для к2 € {1,..., подпоследовательности {ага1Г1_ц. П2Г2_Г2+к2}гц,п2&1

и {ап1Г1-^1 п2г2-к2}гч,п2еп не удовлетворяют условию ОМГ1>Г2, а для каждого г2 = 1,2 последова-

тельности П2Г.2)}щ,п2ен удовлетворяет условию монотонности

Аналогично проверяется справедливость оценок теоремы 2 в случае, когда последовательность {ani,n2}ni>n2eN удовлетворяет условию А и для каждых jl = 0,1,...,r l — 1; j2 = 0,1,... ,r2 — 1

подпоследовательности {arini-jirr2n2-j2} удовлетворяют условию mohoтонности M(ix,r22, а также дополнительным условиям для остальных ki,k2• Объединяя полученные результаты, убеждаемся в справедливости оценки (6). Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1962.

2. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно-монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1994. № 7. 20-28.

3. Потапов М.К., Бериша М. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного // Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.). 1979. 26. 215-228.

4. Симонов Б.В. О рядах по синусам и косинусам в классах L^ j/ Изв. вузов. Математика. 2013. N0 Ю. 24—42.

Поступила в редакцию 21.10.2021