УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X715/7
СВОЙСТВА ПОДФУНКЦИЙ САМОДУАЛЬНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1
А. В. Куценко
Бент-функция называется самодуальной, если она совпадает со своей дуальной бент-функцией. Исследованы подфункции самодуальных бент-функций, полученные фиксацией первой переменной, а также первых двух переменных. Для описания подфункций от п — 1 переменной введено понятие самодуальности почти бент-функции от нечётного числа переменных. Доказано, что между множествами самодуальных бент-функций от п переменных и почти бент-функций от п — 1 переменной существует взаимно однозначное соответствие. Получено достаточное условие того, что подфункции от п — 2 переменных самодуальной бент-функ-ции являются бент-функциями. Предложен ряд новых итеративных конструкций бент-функций. Получена новая итеративная нижняя оценка числа самодуальных бент-функций.
Ключевые слова: самодуальная бент-функция, подфункция, почти бент-функция, отношение Рэлея.
Через обозначим линейное пространство всех двоичных векторов длины п над полем Р2. Булевой функцией от п переменных называется отображение вида РП ^ F2. Множество всех булевых функций от п переменных обозначается через Тп. Характеристическим вектором (характеристической последовательностью) булевой функции f £ Тп называется вектор
Р = (—I)7 = ((-1)7(0), (—I)7(1),..., (—I)7(2"-1)) £ {±1}2",
где (f (0), f (1),..., f (2п — 1)) £ Р2" — вектор значений функции f. Для каждой пары
п
х,у £ РП через (х,у) обозначим значение ф х^. Преобразованием Уолша — Адамара
i=1
булевой функции f от п переменных называется целочисленная функция Ш/ : РП ^ заданная равенством
Ш/(у) = Е ( —1)7(х)ф<х'у), У £
Булева функция д от нечётного числа переменных т называется почти бент-функ-цией, если Ш/(у) £ {0, ±2(т+1)/2} для каждого у £ РП. Булева функция f от чётного числа переменных п называется почти бент-функцией, если Ш/(у) £ {0, ±2(п+2)/2| для каждого у £ РП.
Булева функция f от чётного числа переменных п называется бент-функци-ей, если |Ш/ (у)| = 2п/2 для каждого у £ РП [1]. Для множества бент-функций от п переменных используется обозначение Вп. Для каждой f £ Вп из соотношения
Ш/ (у) = (—1)/(у)2п/2 однозначным образом определяется дуальная к ней бент-функция f £ Вп, значения которой находятся из соответствия для каждого у £ Рп. Бент-функция f называется самодуальной (антисамодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Множество самодуальных бент-функций от п переменных обозначаются через .
Открытой проблемой является полная характеризация и описание класса самодуальных бент-функций. Данные вопросы исследовались в ряде работ. В частности, в [2]
1 Работа выполнена при поддержке Математического центра в Академгородке, соглашение с Ми-
нистерством науки и высшего образования РФ №075-15-2022-281.
приведена аффинная классификация самодуальных бент-функций от 2, 4, 6 переменных и всех квадратичных самодуальных бент-функций от 8 переменных относительно преобразования, сохраняющего самодуальность. В работе [3] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций. Аффинную классификацию квадратичных и кубических самодуальных бент-функций от 8 переменных относительно преобразования, сохраняющего самодуальность, можно найти в [4]. В работах [5, 6] представлены конструкции самодуальных бент-функций.
В настоящей работе исследованы подфункции самодуальных бент-функций, полученные фиксацией первой переменной, а также первых двух переменных. Другими словами, если ^ — вектор значений булевой функции f, то упомянутые подфункции есть в точности булевы функции с векторами значений fi в представлении ^ = fl,... , f2k-1) для к = 1, 2 соответственно. Предложены новые конструкции, а также новая итеративная нижняя оценка числа самодуальных бент-функций.
1. Подфункции от п — 1 переменной
Известно, что подфункции от п — 1 переменной каждой бент-функции являются почти бент-функциями, при этом носители их спектров Уолша — Адамара не пересекаются [7].
Отношением Рэлея булевой функции f от п переменных называется число
Sf = £ (—1)/(х)е/Ш{х,у) = ^ (—^Ду^(у). х,у&п уек?
Применительно к бент-функциям данная характеристика изучалась в работе [8]. Она представляет интерес в силу того, что число Б/ полностью характеризует расстояние Хэмминга между бент-функцией и дуальной к ней. Заметим, что задача поиска максимального (минимального) значения отношения Рэлея решена лишь для случая чётного числа переменных. Для нечётного случая она является открытой проблемой.
Известно [2], что для каждой булевой функции f от чётного числа п переменных справедливо |Б/1 ^ 23п/2, при этом равенство достигается в том и только в том случае, когда f — самодуальная (+23п/2) или антисамодуальная (— 23п/2) бент-функ-ция. Нетрудно видеть, что в случае чётного числа переменных экстремальные значения отношения Рэлея достигаются лишь на тех булевых функциях, для которых (—1)/(у)Ж/(у) = 2п/2 или (—1)/(у)Ж/(у) = —2п/2 при каждом у е ¥%.
Введём следующее понятие самодуальности почти бент-функции от нечётного числа переменных. Пусть т — нечётное положительное число. Почти бент-функцию д от т переменных будем называть самодуальной, если
(—1)9(у)Щ (у) ^ 0 для любого у е КГ".
В свою очередь, функция д называется антисамодуальной почти бент-функцией, если
(—1)9(у)Щ (у) ^ 0 для любого у е КГ".
Содержательно оба определения описывают ситуации, когда знаки коэффициентов Уолша — Адамара и значения характеристического вектора почти бент-функции согласованы. Можно показать, что
Утверждение 1. Пусть д — почти бент-функция от т переменных, тогда
Б| ^ 2(3т-1)/2,
при этом равенство достигается, если и только если д — самодуальная (+2(3т-1)/2) или антисамодуальная (— 2(3т-1)/2) почти бент-функция.
То есть (анти-)самодуальные почти бент-функции от нечётного числа переменных на множестве почти бент-функций, так же как и самодуальные бент-функции на множестве булевых функций от чётного числа переменных, являются экстремальными объектами в спектральном смысле.
Понятия самодуальности для чётного и нечётного числа переменных тесно связаны, что показывает следущая
Теорема 1. Между множествами самодуальных бент-функций от п ^ 4 переменных и множеством (анти-)самодуальных почти бент-функций от п — 1 переменных существует взаимно однозначное соответствие.
Упомянутая связь устанавливается на основе отображения, которое каждой самодуальной бент-функции ставит в соответствие её подфункцию, получаемую фиксацией первой координаты.
Таким образом, подфункциями от п — 1 переменной, получаемыми фиксацией первой координаты, являются самодуальные почти бент-функции, и только они.
2. Свойства подфункций от п — 2 переменных
Известно [9], что для каждой бент-функции от п переменных все её подфункции от п — 2 переменных имеют одинаковые спектры Уолша — Адамара. Более того, все подфункции являются бент-функциями, либо все являются почти бент-функциями, либо их спектры Уолша — Адамара состоят из чисел 0, ±2(п_2)/2, ±2п/2.
Случай, когда все подфункции являются бент-функциями, ведёт к итеративной конструкции бент функции от п + 2 переменных на основе четырёх бент-функций от п переменных. В работе [10] найдены необходимые и достаточные условия того, что конкатенация векторов значений четырёх бент-функций от п переменных даёт вектор значений бент-функции от п + 2 переменных.
Известны две итеративные конструкции самодуальных бент-функций от п + 2 переменных, в основе которых лежит конкатенация четырёх векторов значений бент-функций от п переменных. Они представлены ниже:
— конструкция 01: ^К, К, К, К ф , где К — бент-функция от п переменных [2];
— конструкция С2: (^ д ф 1,д^), где f — самодуальная, а д — антисамодуальная
бент-функции от п переменных [11].
Сумма мощностей данных непересекающихся конструкций С1 и С2 даёт нижнюю оценку |Вп-2| + |£В+_2| числа самодуальных бент-функций. Прямые вычисления показывают, что данная оценка превосходит другие известные оценки.
Очевидно, что для обоих конструкций характеристические векторы подфункций образуют линейно зависимые множества. В настоящей работе доказано утверждение, обобщающее данный факт:
Теорема 2. Если характеристические векторы подфункций самоду-
альной бент-функции f линейно зависимы, то данные подфункции являются бент-функциями.
Теорема 2 даёт достаточное условие того, что все подфункции, полученные фиксацией первых двух переменных, являются бент-функциями.
Отметим, что для случая п = 4 данное условие также является достаточным.
3. Новые конструкции и оценка числа самодуальных бент-функций
В настоящей работе мы предлагаем три новых конструкции С3, С4 и С5 самодуальных бент-функций. В данных конструкциях используются бент-функции от п — 4 переменных. Пусть Н — бент-функция от п — 4 переменных, f — самодуальная и д — антисамодуальная бент-функции от п — 4 переменных. Опишем конструкции:
— С3: вектор значений функции имеет вид
(Н, д, д ф 1, Н, lг,f,f Ф 1, Н, Н, f Ф 1,f, Н, Н ф 1, д, д ф 1,Н ф 1);
все подфункции от п — 2 переменных являются бент-функциями;
— С4: вектор значений функции имеет вид
(Н,д,Н, Лд ф 1, Н, / ф 1,Н,Н, f ф 1, Н ф 1,д, /, Н,д ф 1,Н ф 1);
подфункции от п — 2 переменных являются бент-функциями тогда и только тогда, когда Н ф Н ф f ф д = 0. Таким образом, данная конструкция даёт класс самодуальных бент-функций, которые нельзя представить в виде конкатенации четырёх бент-функций;
— С5: вектор значений функции имеет вид
(Н, Н ф 1,Н,Н, Н, Н, Н ф 1,Н,Н, Н, Н ф 1, Н,Н ф 1,Н, Н ф 1, Н ф 1);
все подфункции от п — 2 переменных являются бент-функциями. На основе анализа данных конструкций получена
Теорема 3. Число самодуальных бент-функций от п ^ 6 переменных не меньше
чем
|Вп-2| + №_2|2 + |Вп-4| (2 |^В+_4|2 + Л — 2 .
Таким образом, известная итеративная нижняя оценка увеличивается на слагаемое, соответствующее самодуальным бент-функциям от n — 4 переменных.
4. Линейная независимость характеристических векторов подфункций
Конструкции, предложенные в работе, позволяют однозначно ответить на вопрос о возможности обращения теоремы 2 для случая n ^ 6.
Теорема 4. Для каждого чётного n ^ 6 существуют самодуальные бент-функции от n переменных, подфункции которых образуют линейно независимые множества векторов.
Таким образом, обращение теоремы 2 не имеет места при n ^ 6, то есть линейная зависимость характеристических векторов не является необходимым условием, а обеспечивает лишь достаточное условие того, что подфункции от n — 2 переменных являются бент-функциями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.
2. Carlet C., Danielsen L. E., Parker M. G., and Sole P. Self-dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. V. 1. P. 384-399.
3. HouX.-D. Classification of self dual quadratic bent functions // Des. Codes Cryptogr. 2012. V. 63. No. 2. P. 183-198.
4. Feulner T., SokL., Solé P., and Wassermann A. Towards the classification of self-dual bent functions in eight variables // Des. Codes Cryptogr. 2013. V. 68. No. 1. P. 395-406.
5. Luo G., Cao X., and Mesnager S. Several new classes of self-dual bent functions derived from involutions // Cryptogr. Commun. 2019. V. 11. No. 6. P. 1261-1273.
6. LiY., KanH., Mesnager S., et al. Generic constructions of (Boolean and vectorial) bent functions and their consequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 2022. V. 68. No. 4. P. 27352751.
7. Wolfmann A. Special bent and near-bent functions // Adv. Math. Commun. 2014. V. 8. No. 1.
8. Danielsen L. E., Parker M. G., and Sole P. The Rayleigh quotient of bent functions // LNCS. 2009. V. 5921. P. 418-432.
9. Canteaut A. and Charpin P. Decomposing bent functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 2003. V. 49. No. 8. P. 2004-2019.
10. PreneelB., Van Leekwijck W., Van Linden L., et al. Propagation characteristics of Boolean functions // LNCS. 1990. V. 473. P. 161-173.
11. Kutsenko A. Metrical properties of self-dual bent functions // Des. Codes Cryptogr. 2020. V. 88. No. 1. P. 201-222.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/15/8
Предложен алгоритм генерации обратимой векторной булевой функции, все координатные функции которой существенно зависят от всех переменных.
Ключевые слова: векторные булевы функции, подстановки, существенная зависимость функции от переменной.
Обозначим через Р2(п) множество всех булевых функций от п переменных. Говорят, что переменная 1 ^ г ^ п, существенная для функции f (х1,..., яп) е Р2(п) (Д существенно зависит от переменной если найдётся пара наборов а, Ь е "Щ,, соседних по г-й координате, такая, что f (а) = f (Ь); будем называть такую пару наборов доказывающей существенность переменной я для функции f (или просто доказывающей парой, если из контекста ясно, о каких переменной и функции идёт речь). Переменная, от которой функция не зависит существенно, называется фиктивной для этой функции; функции, существенно зависящие от всех переменных, — невырожденными.
Векторной булевой функцией ((п,т) — ) называется отображение ^ : Жп ^ ЖГ". Такую функцию можно рассматривать как упорядоченный набор из т булевых функций г = 1,..., т, которые называются координатными функциями: ^ = (Д ...
Оценим вероятность того, что случайно сгенерированная векторная булева функция невырожденная. По формуле включений и исключений определим Дп — количество функций в Р2(п), имеющих фиктивные переменные:
Вероятность того, что булева функция от п переменных невырожденная, равна
P. 21-33.
ГЕНЕРАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С НЕВЫРОЖДЕННЫМИ КООРДИНАТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
И. А. Панкратова, Е. А. Рубан, С. В. Чикалова
Рn 1 Dn/2 •
(1)