Свойства одной задачи размещения взаимосвязанных объектов на линии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

Г. Г. ЗАБУДСКИЙ

Омский филиал Института математики СО РАН

СВОЙСТВА

ОДНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ЛИНИИ_

Рассматривается задача оптимального размещения взаимосвязанных прямоугольных объектов на линии с ограничениями на минимально допустимые расстояния между ними. Изучаются свойства задачи линейного программирования при фиксированном порядке расположения объектов, и приводится эквивалентная ей постановка.

1. Постановка задачи

Задачи оптимального размещения взаимосвязанных объектов необходимо решать, например, при проектировании генеральных планов предприятий. Область, в которой производится размещение, может быть различной: линия, плоскость, сеть и т.д. Ограничения на расположение объектов это, например, максимально или минимально допустимые расстояния. В работе [ 1 ] рассматривается задача размещения на древовидной сети с ограничениями на максимально допустимые расстояния. Статья [2] посвящена задаче размещения на плоскости с учетом зон запрета. Алгоритм локальной оптимизации для размещения прямоугольных объектов на плоскости предложен в [3]. Постановки задач размещения и некоторые подходы к их решению изложены в [4].

В данной работе рассматривается задача размещения взаимосвязанных прямоугольных объектов на линии с критерием минимальной суммарной стоимости связей и ограничениями на минимально допустимые расстояния между ними. Ранее в [5] рассматривалась целочисленная модель указанной задачи и исследовалась Ь — структура многогранного множества [6].

Пусть п — число размещаемых объектов, а N = = {1,...,п} — множество их номеров. Каждый объект 1 — это прямоугольник с размерами а, х Л,. Считаем, что связаны центры объектов, тогда длина вертикальной составляющей каждой коммуникации для произвольных связанных объектов I и ] не зависит от расположения объектов и равна А, х /2 . Поэтому достаточно минимизировать суммарную стоимость связей между проекциями геометрических центров прямоугольников на линию. Исходные минимально допустимые расстояния задаются между ближайшими точками объектов. Однако, учитывая величины я,, ¡е N , можно считать, что ограничения заданы между проекциями указанных центров. Тогда рассматриваемая задача сводится к размещению точечных объектов на линии. Минимально допустимое расстояние между объектами 1 и ] с учетом габаритов, будем обозначать через »;,, аЯ= (г,, ), = г]г, г = О, /, /еЛ' — матрица минимально допустимых расстояний. Если существует связь между объектами с номерами 1 и ], то удельную стоимость этой связи обозначим через Сч > О,С = С;/. Направим координатную ось вдоль линии размещения. Обозначим через

л, координату центра i - го объекта / е jV , в задаче требуется минимизировать функцию:

/М = 1Х С0\х,-х,\ (1)

i=l j=i+]

при ограничениях

\x,-Xj\>r¡j, i = 1,...,и-\]j = /' +1,...,«. (2)

Отметим, что задача (1), (2) является NP — трудной [5]. Мы будем рассматривать задачу (1), (2) для фиксированного порядка расположения объектов. Так как каждому размещению соответствует перестановка п элементов, т.е. номеров объектов то, не ограничивая общности, считаем, чтор = (1,...,п) и тогда задача (1), (2) для перестановки р имеет вид:

__п _

/(*) = XC'*<->min (3)

при ограничениях

xj-x¡^ry, i = \,...,n-\\j = i + l,...,n, (4)

_ 1-1 л

где С, = - ^ Сл — величины, полученные при-¿ = 1 *=/+!

ведением подобных членов при x,,i е N . Задача (3), (4) относится классу задач ЛП, т.е. для решения исходной задачи (1), (2) достаточно решить задачи ЛП, соответствующие всем перестановкам р из множества Р(п) и выбрать лучшее решение. Так как число перестановок равно n!, то для решения задач большой размерности можно использовать, например, алгоритмы локальной оптимизации с различными способами задания окрестностей.

2. Вершины многогранного множества задачи (3), (4)

Обозначим через W выпуклое многогранное множество, задаваемое неравенствами (4). Во-первых, W является неограниченным, а во-вторых, матрица коэффициентов неравенств(4) вполне унимодулярна. Покажем, что в W ист вершин в пространстве R". Действительно, обозначим через Н(х) = (N,E(x)) граф, построенный для размещения (х1,...,хп)&И/ следующим образом: вершины графа — это множество N,

а ребро (/,_/) е Е(х), если |дс( - = г . Нетрудно увидеть, что если в графе Н(х) есть цикл, то уравнение, соответствующее произвольному ребру цикла, может быть получено линейной комбинацией уравнений, отвечающих другим ребрам цикла. Тогда для любого х е IV и произвольной системы а равенств, достигающихся на х в графе Н(х) будет, по крайней мере, один цикл. Отсюда следует, что ранг такой системы не превосходит п-1.

Систему ранга п-1 можно построить, например, так. Положим = Ь , где Ь — произвольная константа, а остальные объекты разместим последовательно одиночным способом [4] в соответствии с перестановкой р = (1,...,п). Тогда первым уравнением такой системы будет х2-х1 = гп, вторым х} - х1 = ги , если 1з > г\г + ггг либо х} - х2 = г2) если гп < гп + га . В случае /¡з =гп +гп выбираем любое из указанных уравнений. Продолжая этот процесс, получим систему из п-1 линейно независимых уравнений, так как матрица коэффициентов такой системы будет нижней треугольной с ненулевыми диагональными элементами. В общем случае ее элементы равны + 1,-1. Отсюда следует, что один из объектов можно фиксировать произвольно, поэтому будем считать, что х{ = 0 и соответствующее многогранное множество обозначим через М.

Оптимум функции (3) достигается в вершине М и важным является вопрос о том, какое расположение объектов на линии соответствует вершине из М? В дальнейшем произвольную точку х е М будем называть упаковкой, а точку, для которой граф Н(х), связный — плотной упаковкой. Одним из свойств "плотного" размещения является то, что каждый объект с каким-то другим находится на минимально допустимом расстоянии. Очевидно, что множество плотных упаковок X и многогранное множество М зависят от перестановки р, поэтому обозначим их через Х(р) и М(р), соответственно. Нетрудно показать, что.хе е Х(р) тогда и только тогда, когда х — вершина в М(р). Действительно, связному графу Н(х) всегда можно сопоставить систему п-1 линейно независимых уравнений, т.е. выбрать остовное дерево в Н(х), наоборот, всякой вершине хеМ(р) соответствует п-1 линейно независимых уравнений, а тогда Н(х) будет деревом.

Изучим свойства вершин в М (р) в зависимости от условий на минимально допустимые расстояния между объектами. Отметим, что если Я — целочисленная матрица, то все вершины в М(р) имеют целые компоненты, так как матрица коэффициентов ограничений (4) вполне унимодулярна.

Пусть Л — произвольная и в ней выполнено неравенство треугольника строго, т.е. ^ + г/к > г1к, гу + г1к > г)к, гл + г,к > гч для любых ¡,7'Де N,1 * ) ф к . В частности, это имеет место, если заданы условия непересечения объектов. Тогда, очевидно, Н(х) является цепью и множество М(р) имеет лишь одну вершину, т.е. М(р) — конус с вершиной в точке х, причем эта вершина — невырожденная. Ее можно найти, например, методом последовательно одиночного размещения. Для р = = (1,...,п) единственной плотной упаковкой является = (12>'|2 + 'и>-»'Ь +г21 + "- + гл-1,л) • Действительно, вектор х — упаковка, так как из выполнения неравенства треугольника для произвольных к и 1 к>1 справедливо

4-1 /~1 4-1

, ** - */ = £ - X = £ > ъ.

I /=1 /=1

Связность Н(х) следует из того, что х2 ~х1 = гп ,

х1~хг= 'аз и т- А-

Если в К выполнено неравенство треугольника

нестрого, то найдется перестановка р, для которой соответствующее М(р) имеет вырожденную вершину. Например, если г1]+г]к=гЛ1 то для р = = (...,^,к1...) в графе Н(х) три ребра (1.Л. (],к), (¡,к) образуют цикл и любое из равенств: х1~х, , хк - х1 = г]к, хк - х, = >]к является линейной комбинацией остальных двух.

Если в Я есть нарушения неравенства треугольника, то М(р) уже не является конусом. Например, дляп = 3,р= (1,2,3), г]2 =1, гп =4, ги -2 имеютсядве плотные упаковки (0,1,4) и (0,2,4). Аналогично проводится исследование невырожденности вершин и в случае нарушений неравенства треугольника в Я, тогда каждой невырожденной вершине будет соответствовать дерево, а не цепь. Сформулируем

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если для произвольной тройки объектов 1,],к е N выполняется условие гу + г)к > г1к, то аля любой перестановкир множество М(р) является конусом с невырожденной вершиной.

Справедливость утверждения следует из проведенных выше рассуждений.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Если Я - произвольная и р такая перестановка, что для любых целых 1 <кх,к2 < <п,к2-к\ >2 выполняется условие

1

1-4,

то множество М(р) является конусом с невырожденной вершиной.

Легко заметить, что плотная упаковка для указанной перестановки р единственная и остовное дерево графа Н(х) является цепью.

Выделим случай, когда М(р) не является конусом с невырожденными вершинами.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если Я- произвольная и перестановка р такая, что:

a) аля любых целых 1 < к,, к2 <п,к2-кх >3 выполняется условие:

b) не существует 1=1,...,п-2 такого, что выполняется равенство

гр(').р('*0 + Гр0+1),р('+2) ~ Гр(0.рЧ*2) ' тогда в М(р) все вершины невырожденные.

Справед ливость этого утверждения следует из того, что условие а) исключает циклы с числом ребер больше либо равным 4, а Ь) — циклы из трех ребер. Отметим, что в условиях утверждения 3 плотной упаковке (вершине) может соответствовать дерево Н(х). Для ранее рассмотренного примера при п = 3 будет два дерева.

Из проведенных рассуждений следует, что исходную задачу в общем случае нельзя рассматривать как задачу на множестве перестановок, так как для каждой перестановки р необходимо решать задачу ЛП типа (3), (4). Оптимум в ней достигается в одной из вершин М(р), т.е. на плотной упаковке, поэтому исходную задачу можно рассматривать как комбинаторную на множестве плотных упаковок.

Обозначим через X(R) множество всех плотных упаковок для задачи размещения с матрицей R, т.е.

X(R)= (J , а через d(i,j,x) расстояние между

реР(п)

объектами с номерами i и j в плотной упаковке х. Тогда задачу (1), (2) можно записать следующим образом:

g(x)= £ Cvd{i,j,x)^> min . .

(i,J)cE,xtX(R) 1 '

Если в матрице R неравенство треугольника выполняется, то задача (5) становится задачей на множестве перестановок Р(п). Обозначим через T(i,j,p) множество номеров объектов, размещенных в перестановке р = (р (1),.. .,р (п)) между i - м и j - м объектами. Так как p(i) означает номер объекта, который стоит на i - м месте в р, тогда /Г1 (г) — это порядковый номер объекта i в р. Считаем p~\i)< p'\j) .Обозначим через d(i,j,p) величину d(i,j,x). В случае выполнения неравенства треугольника имеем

reTVJ.P)

и задача (5) принимает вид

z(p)= £ С0 d{i,j,p) min .

VJ)sE.peP(n)

Отметим некоторые свойствафункцийг(р) ид(х). Пусть q симметричная перестановка для р, т.е. q(t) = = p(n-t+l), teN тогда ясно, что g(x(p)) = g(x(q)), z(p) =z(q). Таким образом, вместо всего множества перестановок Р(п) достаточно рассматривать только половину с точностью до симметричных перестановок.

3. Построение оптимальных плотных упаковок

Некоторые свойства задачи (3), (4) уже были упомянуты. Отметим также, что двойственная к ней является задачей поиска оптимального потока в сети [7). В отличие от аналогичной задачи, рассматриваемой при построении локального алгоритма размещения объектов на плоскости [3], в данном случая отсутствуют ограничения на пропускные способности дуг. Задача двойственная к (3), (4) имеетвид:

п-1 п

при ограничениях

J<! J>< j<l J><

yiJ>0, i = l,...,n-\;j = i + \,...,n.

Тогда для поиска оптимальной плотной упаковки можно использовать алгоритмы нахождения оптимального потока.

Сформулируем задачу ЛП, эквивалентную (3), (4). Пусть, как и прежде, р=(1,...,п). Введем п-1 непрерывных переменных м]2,г/„,...,мп_1л, определяющих расстояния между соседними объектами, расположенными в соответствии с перестановкой р и запишем модель:

/(«) (6)

(=1 уа к>1+\

при ограничениях

¿и,,+1>ги, к = \,...,п-2;1=к + 2,...,п, (7) |- = 1,...,я- 1. (8)

Так как р — фиксированная и в дальнейшем мы не будем подчеркивать зависимость многогранных множеств задач (3), (4) и (6) — (8) от р, обозначим их через М и и, соответственно. Пусть ие1/, положим х = (м12,г/17 +м23,...,м|2 +м23 + ... + «„_,„). Обратно, еслих — произвольная точка из М, тогда и = (х2,х3-хг,...,хп-л„_|). Указанное соответствие между М и и обозначим I. Справедливо

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Отображение (является вза-имно-однозначньш, причем вершинам соответствуют вершины и для произвольной точки х е М и соответствующей ей и е!У , справедливо равенство

7 «=/(")■

Доказательство. Однозначность отображения I следует из его построения. Покажем, что для произвольной х е М соответствующая ей точка и принадлежит и и выполняется равенство / (х) = /(и).

Пусть х — некоторая точка из МикД — индексы ее компонент, к<1. Тогда х, - хк > гк1 и имеем:

IX»! = + - + »/-!,/ = «12 + "23 + -

1=*

Так как к и 1 — произвольные, то ueU . Для целевых функций имеем

7(«)=ZŒÉc*x*,.,-*,)=

i=l /Si t>l + l

f=l )<! къ*I j£i+4ii+2

f=l yst k>j+ 2

Последнее равенство следует из того, что выражение в скобках с точностью до обозначений совпадает с коэффициентами С, в(3).

Установим соответствие вершин. Для этого отметим, что подобно графу H (х) для хе M , точке и eU можно сопоставить в соответствие граф G(u) = = (N,V(u)) следующим образом: его вершины - это множество номеров объектов, а ребро соединяет i и

У-1

j, i* j , если = rtJ . Точка и е U является вер-

кЫ

шиной тогда и только тогда, когда G(u) связный. Рассуждения, доказывающие это, аналогичны ранее проведенным для Н(х). Покажем, что если Н(х) связный граф, тогда G(u) также будет связным. Пусть (i,j) произвольное ребро из графа Н(х), тогда (i,j) соединяет i и j в G(u). Действительно,

"/,41 + Ч>|,/+2 + •■• + = - X, + Х,+2 - Х1+) + ... ...х] - хн = у.) - = г0 . Последнее равенство следует из того, что (/.у) е Е(х), Получаем, что (/,7) е У(х). Следовательно, вершине в М будет соответствовать вершина в и. Утверждение доказано.

Из утверждения 4 следует, что если Я — целочисленная матрица, то все вершины в и целочисленные, так как при этом условии все вершины в М имеют целые компоненты.

В заключение отметим свойство задачи (6) — (8), позволяющее в некоторых случаях сократить число ограничений вида (7). Для этого введем новые переменные = м,,+1 -> 0, г' = 1,...,и-1 иперепишем задачу (6) — (8) в виде

/=1 Аг/+1 при ограничениях

1

Хл,+1 к = 1,...,п-2;1 = к + 2,...,п,

VI -0' ' =

п-г п /-1

где £ = Х £ Ск/, ек, = £г,м,к = 1,...,п-2;/ = к + 2,...,п.

Ы1 /=¿+2

Из последней модели видно, что если для некоторых к и 1 выполняется гк1 - ек, < 0, то соответствующее неравенство из (7) можно исключить, так как оно будет справедливо из-за условий неотрицательности переменных. Таким образом, количество ограничений в задаче (6) — (8) зависит от числа нарушений неравенства треугольника в матрице И. Если же в ней нет нарушений неравенства треугольника, то решением последней задачи будет вектор V = (0,0,...,0).

В заключение отметим, что новизна данной работы состоит в том, что ранее в литературе рассматривались задачи размещения с условиями непересе-

чения объектов. Наличие произвольных минимально допустимых расстояний между объектами приводит к тому, что при фиксированном порядке расположения объектов необходимо решать задачу ЛП. В статье исследована структура многогранного множествата-кой задачи ЛП в зависимости от условий на минимально допустимые расстояния. Заметим также, что так как двойственная к указанной задаче ЛП является потоковой задачей, то для ее решения можно использовать алгоритм поиска оптимального потока (7).

Библиографический список

1. Забудский Г.Г., Филимонов Д.В. Алгоритм решения минимаксной задачи размещения на дереве с ограничениями на максимальные расстояния//Омский научный вестник — 1999, Вып. 9 -С. 37-40.

2. Забудский Г.Г. Алгоритм решения минимаксной задачи размещения объекта на плоскости с запрещенными зонами // Автоматика и телемеханика — 2004, №4 — С. 93-100.

3. Панюков A.B. Алгоритмы локальной оптимизациидляэадачи размещения прямоугольных объектов с минимальной длиной связывающей их сети //Изв. АН СССР. Техн. киб-ка - 1981, № 6. -С. 180-184.

4. Стоян Ю.Г., Яковлев C.B. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования — Киев: На-уковадумка, 1986, - С. 268.

5. Забудский Г.Г. О целочисленной постановке одной задачи размещения объектов на линии//Управляемые системы — Новосибирск, 1990 - Вып. 30 - С. 35-45.

6. Колоколов A.A. Регулярные разбиения в целочисленном программировании// Сиб.журнал исслед.операций — Новосибирск, 1994 — Т. 1 — №2 —С. 18-39.

7. ФордЛ.Р.,ФалкерсонД.Р. Потоки в сетях - М.: Мир, 1966 -276 с.

ЗАБУДСКИЙ Геннадий Григорьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник.

Форумы, конкурсы, конференции

МЕЖДУНАРОДНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНГРЕСС

Испания, Мадрид 22-30 августа 2006 г.

• Algebra

• Logic and Foundations

• Number Theory

• Algebraic and Complex Theory

• Geometry

• Topology

■ Lie Groups and Lie Algebras

• Analysis

• Operator Algebras and Functional Analysis

• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems

• Partial Differentia] Equations

• Mathematical Physics

• Probability and Statistics

• Combinatorics

• Mathematical Aspects of Computer Science

• Numerical Analysis and Scientific Computing

• Control Theory and Optimization

• Applications of Mathematics in Sciences

• Mathematics Education and Popularization of Mathematics

•. History of Mathematics

Официальный язык: английский

Срок подачи заявки 30.03.2006. Срок подачи заявки на фин. поддержку 01.01.2006. Прием тезисов (предварительных) 30.03.2006

http://www. icm2006.org/